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소인수 분해 알고리즘은 말 그대로, 어떤 자연수 N을 소수의 곱으로 나타내는 것을 목표로 한다. 쉽게 설명하기 위해서 자연수 N이 두 개의 소수 p,q의 곱으로 이루어져 있다고 가정해 보겠다. 우리의 목표는 N이 주어졌을 때 p와 q를 빠른 시간 안에 알아내는 것이다.
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주니온TV 아무거나연구소 특별기획:
소인수 분해 알고리즘 완전정복
7. 소인수 분해를 위한 쇼어의 양자 알고리즘
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소인수 분해 알고리즘 – 코드를 분석해라
소인수 분해 알고리즘 C언어 알고리즘 중에 소인수 분해 알고리즘 문제를 봤다. 과정은 간단하다 변수를 생성하고 사용자 임의로 입력을 받아서 …
Source: aossuper8.tistory.com
Date Published: 3/24/2021
View: 9469
소인수분해 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
소인수분해(영어: prime factorization, integer factorization)는 1보다 큰 자연수를 소인수(소수인 인수)들만의 곱으로 나타내는 것 또는 합성수를 소수의 곱으로 …
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 4/16/2021
View: 4132
소인수분해 알고리즘 – velog
자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고한다. 예를 들자면, 12는 2 x 2 x 3의 소수로 분해된다. 그럼 코드를 사용한 소인수분해를 구현 …
Source: velog.io
Date Published: 7/4/2021
View: 3358
소인수분해 – 나무위키:대문
모든 합성수가 소인수분해된 형태를 가지고 있다는 것은 산술의 기본정리로 증명 … 이 알고리즘으로 소인수를 구하면 천억이 넘는 숫자도 소인수가 …
Source: namu.wiki
Date Published: 10/1/2021
View: 2924
[백준] 11653번: 소인수 분해 / 파이썬 – 코딩하는 수학도
N = 24 일 때의 소인수 분해를 통해 알고리즘을 알아보자. d = 2 (2부터 나누어떨어지는지 확인한다.) 24는 2로 나누어떨어지므로 소인수에 2를 담고, …
Source: devmath.tistory.com
Date Published: 1/20/2021
View: 4442
O(N^{1/4+e}) 시간 복잡도에 소인수 분해하기 – 구사과
소인수 분해 문제는 합성수가 주어졌을 때 이를 소수들의 곱으로 표현하는 … 이러한 “어려운” 성질 때문에 소인수 분해는 다양한 암호 알고리즘에 …
Source: koosaga.com
Date Published: 3/19/2021
View: 2437
[백준] 11653번 : 소인수분해 – JAVA [자바] – Stranger’s LAB
문제. 소인수 분해 문제다. 찾아보니 중학교 교과과정에서 배운다고 하니 아마 다들 쉽게 풀 수 있을 듯 하다. 알고리즘 [접근 방법].
Source: st-lab.tistory.com
Date Published: 1/21/2021
View: 3129
소인수 분해 알고리즘 순서도 C언어 코딩하기(9부)
소인수 분해의 정의. 소인수. 어떤 정수를 그 수의 소수의 곱의 형태로 나타내었을 때 각 인수가 되는 소수. ex) 12의 약수는 1, 2, 3, 4, …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 4/21/2021
View: 9916
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- Author: 주니온TV 아무거나연구소
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- Date Published: 2020. 8. 29.
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양자 알고리즘: 소인수 분해 알고리즘
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소인수 분해 알고리즘
소인수 분해 알고리즘
C언어 알고리즘 중에 소인수 분해 알고리즘 문제를 봤다.
과정은 간단하다 변수를 생성하고 사용자 임의로 입력을 받아서 반복문을 돌려주고 구하면 된다.
문제 : 임의의 자연수 N을 입력받아서 N을 소인수 분해 한 결과를 출력하여라.
input : 18
output : 2 * 3 * 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 #include < stdio.h > int main() { int number, i; scanf_s( “%d” , & number); for (i = 2 ; i < = number; i + + ) while (number % i = = 0 ) { number / = i; printf ( "%d * " , i); } return 0 ; } cs 먼저 임의의 자연수를 받을 N 변수를 만들어주고 for를 돌릴 변수 i 변수를 선언해준다. scanf_s로 자연수를 받아들이고 for문을 보면 i값을 2로 초기화 시켯다. 그 이유는 밑에 while문 때문이다. while문을 보면 number % i로 나눴을때 나머지가 0이면 실행되게끔 했다. number 에 몫을 저장하고 i 변수를 출력한다. (이때 i는 소수를 출력한다.) 그리고 다시 한번 더 조건에 만족하면 계속 반복을 한다. C언어 소인수 분해 알고리즘 정말 쉽다 조금만 생각하면 된다.
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소인수분해(영어: prime factorization, integer factorization)는 1보다 큰 자연수를 소인수(소수인 인수)들만의 곱으로 나타내는 것 또는 합성수를 소수의 곱으로 나타내는 방법을 말한다. 소인수분해를 일의적으로 결정하는 공식은 아직 발견되지 않았다. 현대 암호 처리에서 소인수분해의 어려움은 중요한 기준이 된다.
개요 [ 편집 ]
2 5 × 3 3 {\displaystyle 2^{5}\times 3^{3}} 이 그림은 864의 소인수분해 과정을 그림으로 예시하고 있다. 소인수분해의 결과를 간단하게 쓰면이 된다.
산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)에 의해 모든 양의 정수는 소수들의 곱으로 표현하는 방법이 (곱셈의 교환법칙을 제외하면) 유일하게 존재한다. 그러나 산술의 기본정리는 그 소인수분해를 하는 방법을 알려주지는 않는다. 단지 존재성을 확인해 줄 뿐이다.
아래는 200 이하 합성수의 소인수분해이다.[1]
4＝2×2(2 2 )
) 6＝2×3
8＝2×2×2(2 2 )
) 9＝3×3(3 2 )
) 10＝2×5
12＝2×2×3(2 2 x3)
x3) 14＝2×7
15＝3×5
16＝2×2×2×2(2 4 )
) 18＝2×3×3(2×3 2 )
) 20＝2×2×5(2 2 x5)
x5) 21＝3×7
22＝2×11
24＝2×2×2×3(2 3 x3)
x3) 25＝5×5(5 2 )
) 26＝2×13
27＝3×3×3(3 3 )
) 28＝2×2×7(2 2 x7)
x7) 30＝2×3×5
32＝2×2×2×2×2(2 5 )
) 33＝3×11
34＝2×17
35＝5×7
36＝2×2×3×3(2 2 x3 2 )
x3 ) 38＝2×19
39＝3×13
40＝2×2×2×5(2 3 x5)
x5) 42＝2×3×7
44＝2×2×11
45＝3×3×5(3 2 x5)
x5) 46＝2×23
48＝2×2×2×2×3(2 4 x3)
x3) 49＝7×7(7 2 )
) 50＝2×5×5(2×5 2 )
) 51＝3×17
52＝2×2×13(2 2 x13)
x13) 54＝2×3×3×3(2×3 3 )
) 55＝5×11
56＝2×2×2×7(2 3 x7)
x7) 57＝3×19
58＝2×29
60＝2×2×3×5(2 2 x3x5)
x3x5) 62＝2×31
63＝3×3×7(3 2 x7)
x7) 64＝2×2×2×2×2×2(2 6 )
) 65＝5×13
66＝2×3×11
68＝2×2×17(2 2 x17)
x17) 69＝3×23
70＝2×5×7
72＝2×2×2×3×3(2 3 x3 2 )
x3 ) 74＝2×37
75＝3×5×5(3×5 2 )
) 76＝2×2×19(2 2 x19)
x19) 77＝7×11
78＝2×3×13
80＝2×2×2×2×5(2 4 x5)
x5) 81＝3×3×3×3(3 4 )
) 82＝2×41
84＝2×2×3×7(2 2 x3x7)
x3x7) 85＝5×17
86＝2×43
87＝3×29
88＝2×2×2×11(2 3 x11)
x11) 90＝2×3×3×5(2×3 2 x5)
x5) 91＝7×13
92＝2×2×23(2 2 x23)
x23) 93＝3×31
94＝2×47
95＝5×19
96＝2×2×2×2×2×3(2 5 x3)
x3) 98＝2×7×7(2×7 2 )
) 99＝3×3×11(3 2 x11)
x11) 100＝2×2×5×5(2 2 x5 2 )
x5 ) 102＝2×3×17
104＝2×2×2×13(2 3 x13)
x13) 105＝3×5×7
106＝2×53
108＝2×2×3×3×3(2 2 x3 3 )
x3 ) 110＝2×5×11
111＝3×37
112＝2×2×2×2×7(2 4 x7)
x7) 114＝2×3×19
115＝5×23
116＝2×2×29(2 2 x29)
x29) 117＝3×3×13(3 2 x13)
x13) 118＝2×59
119＝7×17
120＝2×2×2×3×5(2 3 x3x5)
x3x5) 121＝11×11(11 2 )
) 122＝2×61
123＝3×41
124＝2×2×31(2 2 x31)
x31) 125＝5×5×5(5 3 )
) 126＝2×3×3×7(2×3 2 x7)
x7) 128＝2×2×2×2×2×2×2(2 7 )
) 129＝3×43
130＝2×5×13
132＝2×2×3×11(2 2 x3x11)
x3x11) 133＝7×19
134＝2×67
135＝3×3×3×5(3 3 x5)
x5) 136＝2×2×2×17(2 3 x17)
x17) 138＝2×3×23
140＝2×2×5×7(2 2 x5x7)
x5x7) 141＝3×47
142＝2×71
143＝11×13
144＝2×2×2×2×3×3(2 4 x3 2 )
x3 ) 145＝5×29
146＝2×73
147＝3×7×7(3×7 2 )
) 148＝2×2×37(2 2 x37)
x37) 150＝2×3×5×5(2x3x5 2 )
) 152＝2×2×2×19(2 3 x19)
x19) 153＝3×3×17(3 2 x17)
x17) 154＝2×7×11
155＝5×31
156＝2×2×3×13(2 2 x3x13)
x3x13) 158＝2×79
159＝3×53
160＝2×2×2×2×2×5(2 5 x5)
x5) 161＝7×23
162＝2×3×3×3×3(2×3 4 )
) 164＝2×2×41(2 2 x41)
x41) 165＝3×5×11
166＝2×83
168＝2×2×2×3×7(2 3 x3x7)
x3x7) 169＝13×13(13 2 )
) 170＝2×5×17
171＝3×3×19(3 2 x19)
x19) 172＝2×2×43(2 2 x43)
x43) 174＝2×3×29
175＝5×5×7(5 2 x7)
x7) 176＝2×2×2×2×11(2 4 x11)
x11) 177＝3×59
178＝2×89
180＝2×2×3×3×5(2 2 x3 2 )
x3 ) 182＝2×7×13
183＝3×61
184＝2×2×2×23(2 3 x23)
x23) 185＝5×37
186＝2×3×31
187＝11×17
188＝2×2×47(2 2 x47)
x47) 189＝3×3×3×7(3 3 x7)
x7) 190＝2×5×19
192＝2×2×2×2×2×2×3(2 6 x3)
x3) 194＝2×97
195＝3×5×13
196＝2×2×7×7(2 2 x7 2)
x7 198＝2×3×3×11(2×3 2 x11)
x11) 200＝2×2×2×5×5(23×52)
소인수분해 알고리즘 [ 편집 ]
현대의 전자기 기반 컴퓨터상에서 소인수분해에 대한 다항식 시간 알고리즘은 알려져 있지 않다. 단, 이론적인 양자컴퓨터에서의 다항식 시간 소인수분해 알고리즘 (쇼어의 알고리즘)은 존재한다. 하지만 아직까지 어떤 합성수를 다항 시간 안에 소인수분해하기는 어려운 문제이며, 예를 들어 193자리 수(RSA-640)는 5개월간 30개의 2.2 GHz 옵테론 CPU를 동원하여 소인수분해 되었다. 소인수분해의 난해함은 RSA와 같은 현대 암호의 핵심적 부분이 된다.
고전적 알고리즘 [ 편집 ]
고전적인 소인수분해 알고리즘은 대부분 페르마 소정리를 확장한 것을 이용한다. 그중 자주 사용되는 알고리즘은 아래와 같다.
알고리즘의 발전 [ 편집 ]
암호학의 발달과 함께 소인수분해 방법도 발전해 왔으며 그중 가장 효율적인 알고리즘들을 간추리면 아래와 같다.
렌스트라의 타원곡선 알고리즘 (Elliptic Curve Method, ECM): 타원곡선의 성질을 이용하여 어떤 수를 소인수분해하는 알고리즘으로, 가장 작은 소인수의 크기에 따라서 실행 시간이 결정된다. 이 알고리즘의 실행 시간은 O ( exp ( 2 ln ( p ln ( ln ( p ) ) ) ) {\displaystyle O\left(\exp \left({\sqrt {2\ln(p\ln(\ln(p))}}\right)\right)} 잉여체의 성질을 이용한 알고리즘에 비해 매우 우수하다.
잉여체의 성질을 이용한 알고리즘에 비해 매우 우수하다. 수체 체(General Number Field Sieve, GNFS) 알고리즘은 이차 체 알고리즘을 발전시킨 것으로 일반 컴퓨터로 실행시킬 수 있는 알고리즘 중에서는 가장 빠른 알고리즘이다. b가 합성수의 비트수일 때, 이 알고리즘은 O ( exp ( ( 64 9 b ) 1 3 ( log b ) 2 3 ) ) {\displaystyle O\left(\exp \left(\left({\begin{matrix}{\frac {64}{9}}\end{matrix}}b\right)^{1 \over 3}(\log b)^{2 \over 3}\right)\right)}
특수 수체 체 (Special Number Field Sieve, SNFS) 알고리즘은 r, e, s가 자연수일 때, r e ± s 꼴인 자연수에 대해서 작동하는 알고리즘이다. 여기서 r, s의 값이 커지면 속도가 급속도로 느려지기 때문에 r, s가 작은 자연수에 대해서만 잘 작동하며 사용할 수 있다.
± s 꼴인 자연수에 대해서 작동하는 알고리즘이다. 여기서 r, s의 값이 커지면 속도가 급속도로 느려지기 때문에 r, s가 작은 자연수에 대해서만 잘 작동하며 사용할 수 있다. 다중 다항식 이차체 (Multiple Polynomial Quadratic Sieve, MPQS) 알고리즘은 이차 체 알고리즘을 확장시킨 알고리즘으로, 한 개의 함수를 이용하는 이차 체와는 달리 여러 개의 함수를 이용하는 알고리즘이다.
이차 체 (Quadratic Sieve, QS) 알고리즘은 100자리 이하의 자연수를 소인수분해할 때 적합하며, 보통 어떤 합성수의 소인수들의 크기가 비슷할 때 잘 작동한다.
같이 보기 [ 편집 ]
소인수분해 알고리즘
소인수분해란?
자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고한다.
예를 들자면, 12는 2 x 2 x 3의 소수로 분해된다.
그럼 코드를 사용한 소인수분해를 구현하는 방법을 알아보자!
1. N을 모든 숫자와 나누기
입력 받은 N을 2부터 나누는데, 이때 N이 나누어 떨어지면 나누는 숫자는 N의 인수가 된다. 코드로 살펴 보자
int k = 2; while (num != 1) { if (num % k == 0) { System.out.println(k + ” “); num /= k; } else { k++; } }
N이 1이 아닐 때까지 while문을 반복하는데 이러한 이유는, k가 N을 나눈 나머지가 0일 때, 즉 나누어 떨어질 때 N을 k로 나눈 값으로 N의 값을 다시 수정해주어야 하기 때문이다.
k를 else문에서만 증가시킨 이유는 k로 나눈 나머지가 0이 아니라면 더이상 K로 나눌 수 없으므로 다음 k가 N의 인수인지 판별하기 위함이다.
위의 방식은 간단하지만, N이 커질수록 효율적이지 못하다.
2. 제곱근을 이용
제곱근을 이용한다면 중복되는 연산을 제거 할 수 있다.
16의 약수를 보면
1 x 16
2 x 8
4 x 4
8 x 2
1 x 16
여기서 4 x 4를 기준으로 앞 뒤 숫자들이 중복되는 것을 볼 수 있다.
잘 생각해보면 N은 해당 약수들로 나누었을 때 나머지가 0임을 알 수있는데, 그렇다면 위의 코드에서 k가 N을 나누는 숫자이므로 k를 N의 제곱근까지 증가시켜 비교를 하는 방법은 어떨까?
제곱근은 4 x 4이고 제곱근을 기준으로 중복이 되므로 위의 방법이 가능하다.
코드를 살펴보자
int k = 2; double sqrtNum = Math.sqrt(num); while (k <= sqrtNum && num != 1) { if (num2 % k == 0) { System.out.print(k + " "); num2 /= k; } else { k++; } } if (num2 > 1) { System.out.print(k + ” “); }
while 내부의 if문은 1번의 코드와 같다.
while문의 반복 조건을 살펴보면, k가 제곱근을 초과하면 종료되거나, N의 값이 1이 된다면 탈출하도록 설정했다.
num != 1을 설정하지 않는다면, K <= sqrtNum 보다 먼저 num ==1 이 되었을 경우 그 뒤의 반복들은 무의미하기에 k가 제곱근 보다 크지 않아도 종료되도록 한다.
[백준] 11653번: 소인수 분해
https://www.acmicpc.net/problem/11653
소인수 분해란?
자연수를 소수들만의 곱으로 나타내는 것을 소인수 분해라고 한다.
1보다 큰 자연수는 유한개의 소수(소인수)의 곱의 꼴로 나타낼 수 있는데, 이 곱의 꼴을 자연수의 소인수 분해라고 한다.
예) 24의 소인수 분해
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2^3 x 3
N = 24 일 때의 소인수 분해를 통해 알고리즘을 알아보자.
d = 2 (2부터 나누어떨어지는지 확인한다.)
24는 2로 나누어떨어지므로 소인수에 2를 담고, 24는 2로 나눈 12가 된다.
N = 12
소인수 = 2
12는 2로 나누어떨어지므로 소인수에 2를 담고, 12는 2로 나눈 6이 된다.
N = 6
소인수 = 2, 2
6은 2로 나누어떨어지므로 소인수에 2를 담고, 6은 2로 나눈 3이 된다.
N = 3
소인수 = 2, 2, 2
3은 2로 나누어떨어지지 않으므로, 2를 그 다음 수인 3으로 증가시킨다.
d = 3
3은 3으로 나누어떨어지므로 소인수에 3을 담고, 3은 3으로 나눈 1이 된다.
N = 1
소인수 = 2, 2, 2, 3
N이 1이 되면 소인수 분해를 종료한다.
코드
N = int(input()) # 나누어지는 수 d = 2 # 나누는 수 while N != 1: if N % d != 0: d += 1 else: N //= d print(d)
실행 결과
# 입력 20 # 출력 2 2 5
하지만 이 코드는 N이 커질수록 비효율적이다.
1 x 16 = 16
16 2 x 8 = 16
4 x 4 = 16
8 x 2 = 16
16 x 1 = 16
2 x 8 = 16 은 8 x 2 = 16 과 대칭이다. 즉, 가운데 약수를 기준으로 해서 각 등식이 대칭적인 형태를 보이기 때문에 우리는 특정한 자연수 N이 소수인지 확인하기 위해 바로 가운데 약수까지만 ‘나누어떨어지는지’ 확인하면 된다.
위의 예시에서는 가운데 약수가 4이기때문에 2부터 4까지만 확인하면 된다. 다시 말해 제곱근(가운데 약수)까지만 확인하면 된다.
참고
2021.07.28 – [자료구조 알고리즘] – [알고리즘] 소수의 판별 / 약수 / 에라토스테네스의 체 / 파이썬
개선된 코드
import math N = int(input()) # 나누어지는 수 d = 2 # 나누는 수 sqrt = int(math.sqrt(N)) # 나누어지는 수의 제곱근 # 나누는 수가 제곱근이하인 동안 while d <= sqrt: if N % d != 0: # 나누어 떨어지지 않으면 d += 1 # 나누는 수 1 증가 else: # 나누어 떨어지면 print(d) # 소인수니까 출력하고 N //= d # 나누어지는 수도 갱신 # 제곱근까지 나누어떨어지지 않으면, 소수이므로 그대로 출력 if N > 1: print(N)
실행 결과
# 입력1 17 # 출력1 17 # 입력2 12 # 출력2 2 2 3
4+e}) 시간 복잡도에 소인수 분해하기
소인수 분해 문제는 합성수가 주어졌을 때 이를 소수들의 곱으로 표현하는 방법이다. 대한민국 초등학교 교과 과정에도 있을 정도로 잘 알려진 이 문제는 계산적인 관점에서 보았을 때 매우 어려운 문제 중 하나이다. 소인수 분해는 입력 크기에 대해 (숫자의 크기를 $N$ 이라고 하면, $\log N$ 에 대해) 다항 시간 복잡도 알고리즘이 존재하지 않는다. 이러한 “어려운” 성질 때문에 소인수 분해는 다양한 암호 알고리즘에 자주 사용된다.
소인수 분해는 간단한 $O(N^{1/2})$ 알고리즘이 존재하지만, 이보다 빠른 알고리즘을 찾는 것은 쉽지 않다. 일반적으로 가장 자주 사용되는 알고리즘은 Pollard-rho라는 알고리즘이다. 이 알고리즘은 대회에 사용될 수 있을 정도로 복잡하지 않고, 평균 $O(N^{1/4})$ 시간 복잡도라는, 굉장히 효율적인 편인 시간 복잡도에 작동하지만, 정말 모든 숫자에 대해서 $O(N^{1/4})$ 에 작동하는가가 증명되거나 반증되지 않은 휴리스틱 알고리즘이다.
한편, 정말 $O(N^{1/4 + \epsilon})$ 시간 복잡도에 결정론적으로 작동하는 소인수 분해 알고리즘이 존재한다. 이 때 $\epsilon$ 은 0 이상의 임의의 양수로, 복잡도가 $O(N^{1/4})$ 는 아니지만 $1/4$ 초과의 임의의 지수부에 대해서 맞다는 뜻이다. 나의 경우, $\epsilon > 0, k > 0$ 일 때 $\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{N^{\epsilon}}{\log^{k}N}} = 0$ 이 항상 만족된다는 맥락에서 이러한 기호를 사용한다. (정확히는 $O(N^{1/4}\log^3 N)$ 이다.) 알고리즘은 전혀 대회에 사용될 수 있을 정도로 간단하지 않으나, 알고리즘을 이해하는 것은 어렵지 않고, 여러 교육적인 내용을 포함하고 있어서 설명해 본다.
이 글은 독자가 FFT를 통해 다항식 곱셈이 가능하다는 사실을 알고 있음을 가정한다.
Preliminaries
먼저 소인수 분해를 다음과 같은 문제로 변환한다. Pollard-rho 같은 다른 알고리즘에서도 사용하는 변환들이라서, 특별히 이 알고리즘에만 해당되는 내용이 아니다.
Input. 소수가 아닌 2 이상의 자연수 $N$
Output. $2 \le x \le N – 1$ 이며 $N\mod x = 0$ 인 $x$ 를 반환
이러한 문제를 해결한다면, 일반적으로 알고 있는 소인수 분해를 해결할 수 있다. $N$ 이 주어졌을 때, 이것이 소수임을 판별하고 (AKS / Miller-Rabin 등의 다항 시간 알고리즘 사용), 소수라면 자신을 반환한 후, 소수가 아니라면, 위 문제를 해결한 후, $N / x, x$ 에 대한 소인수 분해를 따로 합쳐주면 (Divide and conquer) 되기 때문이다. 또한, 위 문제를 $O(N^{1/4}\log^k N)$ 에 해결했다면, 전체 문제 역시 $O(N^{1/4}\log^k N)$ 에 해결됨을 보일 수 있다. ($N/2, 2$ 로 나눠지는 것이 성능상 최악의 경우이고, 이 때식을 쓰면 등비급수의 합의 형태로 항들이 사라진다)
이제 이 문제를 또 한번 다음과 같이 변형한다:
Input. 소수가 아닌 2 이상의 자연수 $N$
Output. $2 \le x \le \sqrt N $ 이며 $N\mod x = 0$ 인 $x$ 를 반환
$N$ 이 $x$ 로 나눠진다면, $N$ 은 $N/x$ 로도 나눠지고, 둘 중 하나는 $\sqrt N$ 이하이기 때문이다.
그리고 이 문제를 또 한번 다음과 같이 변형한다:
Input. 소수가 아닌 2 이상의 자연수 $N$
Output. $2 \le x \le \sqrt N $ 이며 $gcd(N, x)
eq 1$ 인 $x$ 를 반환
약수일 경우 $gcd(N, x)
eq 1$ 을 자명히 만족하고, 만약 $gcd(N, x)
eq 1$ 이라면 해당 gcd 값은 무조건 $x$ 의 약수이기 때문에 상관이 없다.
닭 잡는데 소 잡는 칼 쓰기
우리는 특정한 정수 구간에서 $gcd(N, x)
eq 1$, 즉 $N$과 서로소인 $x$ 의 존재 여부를 찾고 싶다. 이 구간을 $[s, e]$ 라고 하였을 때, 다음과 같은 Lemma가 성립한다.
Lemma. $gcd(\frac{e!}{(s-1)!} \mod N, N)
eq 1$ 이면, 구간 $[s, e]$ 에 $N$ 과 서로소가 아닌 수가 존재한다.
증명은 Euclid algorithm을 생각해 보면 자명하니 생략한다. 고로, $s \times (s+1) \times (s+2) \times \ldots \times e \mod N$ 을 빠르게 구할 수 있다면 문제를 해결할 수 있다. 갑자기 도대체 무슨 소리인가 싶지만, 어쨌든 된다. 그건 사실이다.
이제 위 함수를 어떻게인지 모르겠지만 아무튼 빠르게 계산할 수 있다고 가정하자. 이미 한번 $\sqrt N$ 으로 쪼갰지만, 이를 또 한번 루트로 쪼개서 $N^{1/4}$ 단위의 sqrt decomposition을 해 보자. 위 함수를 $O(1)$ 에 계산한다 치면, 다음과 같은 알고리즘을 사용해서 소인수 분해를 $O(N^{1/4})$ 에 해결할 수 있다:
$(0, N^{1/4}]$ 구간에 서로소가 아닌 수가 있는지 확인하고 ($O(1)$), 있으면 Brute force로 찾아서 반환
$(N^{1/4}, 2 \times N^{1/4}]$ 구간에 서로소가 아닌 수가 있는지 확인하고 ($O(1)$), 있으면 Brute force로 찾아서 반환
$(2\times N^{1/4}, 3\times N^{1/4}]$ 구간에 서로소가 아닌 수가 있는지 확인하고 ($O(1)$), 있으면 Brute force로 찾아서 반환
…
이 함수를 그래서 빠르게 계산할 수 있을까? 그렇다! 이제 다음 단락에서 이 함수를 $O(N^{1/4} \log^2 N)$ 에 계산할 수 있는 알고리즘을 소개한다.
Polynomial Evaluation with Fast Fourier Transform
편의상 $N^{1/4}$ 가 정수라고 가정하자 (정수가 아니어도 그렇게 쉽게 바꿔줄 수 있다). 모든 $x = 0 \mod N^{1/4}$ 에 대해서 $\frac{(x + N^{1/4})!}{x!} \mod N$ 을 계산할 수 있을 경우, 위에서 말한 “서로소 확인” 을 할 수 있으니 문제가 해결된다. 위 식은 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다:
$(x + 1) \times (x + 2) \times \ldots \times (x + N^{1/4}) \mod N$
그런데 사실 이것은 $x$ 에 대한 $N^{1/4}$ 다항식이다. 이를 $f(x)$ 라 두자. 우리가 원하는 것은 다음과 같은 값들이다:
$f(0), f(N^{1/4}), f(2 \times N^{1/4}), \ldots, f(N^{1/2})$
이렇게 되면 문제는 갑자기 정수론 문제에서 다항식 계산 문제로 바뀐다. $B = N^{1/4}$ 라 두자.다음과 같은 두 문제를 해결할 수 있으면 전체 문제를 바로 해결할 수 있다.
$(x + 1) \times (x + 2) \times \ldots \times (x +B) \mod N$ 을 어떻게 빠르게 전개하는가?
$B$ 차 다항식 $f(x)$, 그리고 $B$ 개의 쿼리 $q_0 = 0, q_1 = B, q_2 = 2B, \ldots$ 가 주어졌을 때, $f(q_0), f(q_1), f(q_2) \ldots$ 를 어떻게 빠르게 계산하는가?
첫 번째 문제는 분할 정복에 FFT를 더해 해결할 수 있다. $solve(S, E)$ 함수를, $(x + S) \times (x + S + 1) \times \ldots \times (x + E) \mod N$ 라는 다항식을 반환하는 함수라고 정의하자. $solve(1, B)$ 를 호출하면 문제를 해결할 수 있다. 이제 재귀적으로 분할 정복을 사용하여 다항식을 구해야 하는데, 이는 단순하게 $solve(S, (S+E)/2), solve((S+E)/2+1, E)$ 를 호출한 후 두 다항식을 빠른 푸리에 변환 (FFT) 를 사용하여 곱셈해 주면 된다. FFT는 $O(N\log N)$ 에 작동하고, $T(N) = 2T(N/2) + O(N\log N)$ 이기 때문에, $T(B) = O(B\log^2 B)$ 에 다항식 계산이 가능하다.
두 번째 문제를 해결하기 위해서 한 가지 사실을 짚고 넘어가자: 어떠한 두 다항식 $f(x), g(x)$ 가 존재한다고 하자. $g(x)$ 의 최고차항이 1일 경우 우리는 $f(x)$ 를 $g(x)$ 로 나눈다 라는 것을 정의할 수 있다. $f(x)$ 가 $n$ 차 다항식, $g(x)$ 가 $m$ 차 다항식이라면, $f(x) – g(x)h(x)$ 가 $n-m-1$ 차 이하의 다항식인 어떠한 다항식 $h(x)$ 가 존재하며 이를 쉽게 $O(nm)$ 시간 복잡도에 구할 수 있다. 여기서 재미있는 것은, FFT와 분할 정복을 통해서 $f(x) / g(x)$ 를 이보다 빠른 $O(n \log n)$ 시간에 구할 수 있다는 것이다. 이러한 알고리즘에 대해서는 여기서 배울 수 있다. 이 부분에 대해서는 따로 설명하지 않고, 꽤 어려운 내용이니, 그냥 이러한 알고리즘이 존재한다는 것만 알고 있어도 괜찮다.
이제 닭 잡는 데 소 잡는 칼을 또 한번 쓰자. 다항식 $f(x)$ 가 주어질 때, $f(q_0)$ 은, $f(x)$ 를 $(x – q_0)$ 으로 나눈 나머지 로 계산할 수 있다. 고로 두 번째 문제를 해결하는 것은, 다항식 $f(x)$ 에 대해서 이를 $(x – q_0), (x – q_1), (x – q_2) \ldots$ 로 나눈 나머지를 각각 계산하는 것으로 해석할 수 있다.
이 문제를 또 다시 분할 정복으로 해결할 것이나, 아까보다 조금 더 복잡한 방법을 사용한다. 이제는 Segment Tree 라는 자료 구조를 사용하자. Segment tree는 각각의 쿼리 $q_0, q_1, \cdots, q_{B-1}$ 을 인덱스로 가지며, $[S, E]$ 구간을 대표하는 노드에는 다항식을 저장한다. 저장된 다항식 값은 $(x – q_S) \times (x – q_{S+1}) \times \ldots \times (x – q_E)$ 임을 알 수 있다. 이러한 Segment Tree를 계산하는 것은 첫 번째 문제를 푸는 방식과 똑같은 방식으로 할 수 있다. 단말 노드를 만들어 주면, 그 위 단말이 아닌 노드들은 양쪽 자식에 들어있는 다항식을 곱한 값을 부모 노드로 설정해 준다. 이러한 Segment Tree는 아까와 똑같이 $T(B) = O(B\log^2 B)$ 시간에 구성할 수 있다.
이러한 Segment Tree를 사용하면 위 값을 빠르게 계산해 줄 수 있을까? 위 값을 계산하기 어려웠던 이유는, 분모로 들어오는 다항식이 매우 작음에도 불구하고 분자로 들어오는 다항식이 매우 크기 때문이다. 어떠한 구간 $[S, E]$ 에서 쿼리를 계산할 때, 맨 처음 $(x – q_S) \times (x – q_{S+1}) \times \ldots \times (x – q_E)$ 로 나눈 나머지를 계산해 주고 다항식의 크기를 $E – S$ 차 이하로 줄였다고 생각하자. 이러한 경우 만약 구간의 크기가 충분히 작다면, 아까와 같이 매우 큰 다항식을 전부 확인할 필요가 사라진다.
이제 진짜 문제를 해결하자. Segment Tree를 순회하면서, 단말 노드를 도달할 때마다 나머지 값을 알 수 있도록 구성할 것이다. 이를 위해, $solve(S, E, poly)$ = 해당 구간에 있는 모든 쿼리에 대한 결과를 계산하는 함수라고 정의하자. 이 함수는
$poly$ 를$(x – q_S) \times (x – q_{S+1}) \times \ldots \times (x – q_E)$ 로 나눈 후 나머지만 남기고 (이 다항식은 Segment Tree 계산 과정에서 전처리 되어 있으니 계산할 필요 없다.)
$E – S \geq 1$일 경우 $solve(S, M, poly), solve(M + 1, E, poly)$ 를 호출
아니면 $poly$ 는 상수항이니 해당 값을 출력.
이 함수의 시간 복잡도를 계산하자. 맨 처음 solve가 호출될 때를 제외한 모든 경우, $poly$ 의 차수는 해당 구간의 크기의 2배 이하임이 보장된다. 맨 처음 호출에서도, 다항식의 크기가 $B$ 이하이기 때문에 구간 크기의 2배 이하임이 여전히 성립한다. 고로 나머지를 연산하는 과정은 $T(N) = O(N \log N) + 2T(N/2) = O(N\log^2 N)$ 이다. 전체 문제가 $O(N^{1/4} \log^2 N)$ 에 해결된다.
여담으로, 이러한 방법을 그대로 사용하여 $N! \mod M$ 을 $\sqrt N \log^2 N$ 에도 해결할 수 있다. 🙂
Polynomial Interpolation with Fast Fourier Transform
이 글에서는 설명하지 않지만, 다른 방법을 사용하면 이 문제를 $\sqrt N \log N$ 에도 해결할 수 있다. 위 방법과는 접근 방법이 다르며, 다항식을 재귀적으로 만들어나가고 크기를 늘리는 방식의 풀이이다. 이 풀이 역시 실제 대회에 쓸만큼 빠르지는 않지만 그래도 Naive한 알고리즘과는 확실히 의미있는 차이를 보인다.
이 풀이에 대해서는 따로 설명하지는 않고 Min_25의 글을 링크로 건다. 이 방법을 사용하여 N! mod P (2), N! mod P (3) 문제를 해결할 수 있다.
[백준] 11653번 : 소인수분해 – JAVA [자바]
글 작성자: ST_
728×90
www.acmicpc.net/problem/11653
문제
소인수 분해 문제다. 찾아보니 중학교 교과과정에서 배운다고 하니 아마 다들 쉽게 풀 수 있을 듯 하다.
알고리즘 [접근 방법]
소인수분해 문제 자체는 어렵지 않으니 잠깐 소인수분해에 대해 알아보면 좋을 것 같다.
소인수분해가 어릴 때 부터 배우면서 약수와 배수를 구하기 위해 쓰이면서 자연스럽게 많이 쓰기 때문에 어떤 것인지는 대강 알고있으나 정확한 정의나 왜 소인수분해인지는 모르고 가는 경우가 많다.
사실 수학용어를 번역하면서 한자 뜻을 빌려와 쓰기 때문에 그렇기도 하다. 오히려 영어 뜻을 그대로 번역하는게 이해하기 쉬울 때도 많다.
그럼 소인수분해를 영어로 어떻게 표현할까?
소인수 분해를 영어로 하면 prime factorization 이라고 한다.
prime 은 소수(1과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 정수)를 의미한다. 그리고 factorization에서 보면 factor + ization이 결합된 문장인 것을 볼 수 있다.
factor는 말그대로 요소, 인수, 인자를 의미하고 -ization은 접미사로 본 형태는 ~ize에서 파생된 것인데, ~ize가 ‘~화 되다’를 의미한다면 ~ization은 ~ize를 명사화 해서 말 그대로 ‘~화’를 의미한다. 흔히 붙는다. (예로들어 socialize 는 ‘사회화 되다’라는 의미, socialization 은 사회화 의미로 된다.) 즉, factorization은 쉽게 말하면 ‘인수화’라는 의미고 이는 곧 인수분해랑 같은 의미다. 수학적으로 말하면 어떤 수를 인수로 분해하는 것을 의미할 것이다.
그럼 prime과 factorization의 뜻을 합치면 ‘소수 인수화’ 또는 ‘소수인수분해’라고 하는 겁니다. 다만 번역하면 소수의 ‘수’와 인수의 ‘수’가 같은 수로 동어반복이기 때문에 ‘소인수’라고 합쳐진 것이다.
참고로 한자로 표기하자면 소인수분해는 素因數分解 이고, 소수는 素數 이다.
즉, 소인수분해는 어떤 수를 소수인 인수로 분해하는 것이다.
이 소인수분해가 중요한 이유는 현대 암호학의 가장 기본 토대가 되는 부분이기 때문이다. 앞으로 여러분이 암호학에 관심을 갖게 된다면 배우겠지만, 아직까지 소인수분해를 일률적으로 구할 수 있는 공식을 발견하지 못했기 때문이다.
즉, 두 수의 곱셈을 결과로 나타내기는 쉬워도 결과를 두 수의 곱셈으로 나타내기 어렵다는 역발상에서 시작되는 것이 암호학의 가장 기초다.
혹여 이러한 내용에 관심이 있다면 아래 포스팅을 참고하면 좋을 것 같다.
패스워드의 암호화와 저장
그럼 본격적으로 알고리즘을 파헤쳐보자.
가장 쉬운 방법은 2부터 N까지 모든 수를 나눠보면서 나머지가 0일 경우 그 값을 출력하는 것이다. 즉, 아래와 같이 구할 수 있다. (1의 경우는 소수가 아니므로 당연히 제외되어야 한다.)
for(int i = 2; i <= N; i++) { while(N % i == 0) { println(i); N /= i; } } 물론 위와같이 구해도 문제는 없지만 좀 더 효율적으로 짤 수도 있다. 어떤 N이 두 개이상 곱셈(인수)으로 나타낼 수 있을 때 인수 중 한 개 이상은 반드시 √N보다 작거나 같다는 것이다. 즉, 반복문의 범위를 √N까지 반복하는 것이다. 그리고 이 때 중요한 점은, N /= i로 나누고 남은 최종 N이 두 가지 케이스로 나뉜다는 것이다. 예로들어 N = 16이 입력되었다고 가정해보자. 반복문으로 √N까지 한다고 하면 4까지 반복을 할 것이다. 그리고 처음 2에서 while문의 조건식을 만족(16 % 2 == 0)하면서 2를 출력한 다음 N을 2로 나누어 8이 되고, 다시 8 % 2 == 0 을 만족하므로 또다시 2를 출력한 뒤 N을 2로 나누어 4가 되고 이런식으로 쭉 가다가 마지막에 2 % 2 == 0 을 만족하여 2를 다시 한 번 출력한 뒤, N을 2로 나누어 1이 되고 while문 반복을 종료하게 된다. 그리고 1이 인수분해 되는 일은 없으므로 for문 또한 종료가 된다. 반대로 N = 34가 입력되었다고 가정해보자. 반복문으로 √N까지 한다고 하면 근사값이 대략 5.83이므로 5까지 반복을 할 것이다. 그리고 처음 2에서 while문의 조건식 34 % 2 == 0 이므로 2를 출력한 다음 N을 2로 나눌 것이다. 그러면 17이므로 17 % 2 는 0이 아니기 때문에 while문은 종료된다. 그리고 for반복문 i값이 1씩 증가해서 검사하다가 i = 5 가 되면 종료가 되어버린다. 그렇게 되면 N은 17이라는 인수를 갖고 있는데 출력을 못하고 종료가 되어버리는 문제가 생긴다. 즉, for반복문을 종료하고 N이 1이 아니라면 N은 소수이자 인수인 것이 자명하기 때문에 한 번 더 출력해주는 조건문을 달아주어야 한다. 즉 다음과 같이 써야한다. for(int i = 2; i <= sqrt(N); i++) { // 또는 i * i <= N while(N % i == 0) { println(i); N /= i; } } if(N != 1) { println(N); } 이를 토대로 알고리즘을 작성하면 끝난다. 3가지 방법을 사용하여 풀이한다. 기본적으로 알고리즘은 √N까지 반복하는 것으로 쓸 것이다. 굳이 N까지 검사해줄 필요가 없기 때문에.. 대신 입력과 출력을 달리하여 성능차이를 볼 것인데, 입력은 Scanner와 BufferedReader을 쓸 것이고 출력은 매 번 출력하는 방식과 StringBuilder을 사용하여 출력하는 방식을 사용해볼 것이다. 다음과 같은 3가지 방식을 이용할 것이니 참고하시길 바란다. 1. Scanner + System.out.println() 2. Scanner + StringBuilder 3. BufferedReader + StringBuilder 풀이 - 방법 1 : [Scanner + System.out.println()] import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner in = new Scanner(System.in); int N = in.nextInt(); for (int i = 2; i <= Math.sqrt(N); i++) { // 또는 i * i <= N while (N % i == 0) { System.out.println(i); N /= i; } } if (N != 1) { System.out.println(N); } } } 가장 기본적인 방법이라 할 수 있겠다. - 방법 2 : [Scanner + StringBuilder] 입력 방법을 Scanner 대신 BufferedReader 을 사용하여 풀이하는 방법이다. 단, BufferedReader 는 문자열을 한 줄로 읽기 때문에 N과 M을 구분하기 위해 공백을 기준으로 문자열을 분리해주어야하니 StringTokenizer 을 사용하여 풀도록 하겠다. import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner in = new Scanner(System.in); StringBuilder sb = new StringBuilder(); int N = in.nextInt(); for (int i = 2; i <= Math.sqrt(N); i++) { // 또는 i * i <= N while (N % i == 0) { sb.append(i).append(' '); N /= i; } } if (N != 1) { sb.append(N); } System.out.println(sb); } } 출력을 바꾼 방식이다. BufferedWriter을 써도 되지만, BufferedWriter을 쓸 줄 안다면 대부분 BufferedReader도 쓸테니.. - 방법 3 : [BufferedReader + StringBuilder] 입력 방법을 Scanner 대신 BufferedReader 을 사용하여 풀이하는 방법이다. import java.io.BufferedReader; import java.io.InputStreamReader; import java.io.IOException; public class Main { public static void main(String[] args) throws IOException { BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); StringBuilder sb = new StringBuilder(); int N = Integer.parseInt(br.readLine()); for (int i = 2; i <= Math.sqrt(N); i++) { while (N % i == 0) { sb.append(i).append(' '); N /= i; } } if (N != 1) { sb.append(N); } System.out.println(sb); } } 성능 채점 번호 : 20597227 - 방법 3 : BufferedReader + StringBuilder 채점 번호 : 20597227 - 방법 2 : Scanner + StringBuilder 채점 번호 : 20597227 - 방법 1 : Scanner + System.out.println() 입력의 경우는 확실히 Scanner 보다는 BufferedReader 가 빠른 걸 볼 수 있다. 다만 몇가지 TC를 보니 랜덤데이터인지 체점서버 문제인지는 모르겠지만 매번 출력하는 경우 200ms가 나올 때도 있고 위 처럼 120ms가 나올 때도 있어서 위 이미지에서는 차이가 거의 없는 것으로 나온다. 정리 워낙 쉬웠던 문제라 크게 어렵지 않았다. 그래서 소인수에 대해 좀 더 알고갔으면 하는 마음에 소인수분해에 대해 조금 내용보충을 하였다. 혹여 이해가 가지 않는 부분이 있다면 댓글 달아주시면 최대한 빠르게 답변드리도록 하겠다.
소인수 분해 알고리즘 순서도 C언어 코딩하기(9부)
어떤 정수를 그 수의 소수의 곱의 형태로 나타내었을 때 각 인수가 되는 소수
ex) 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6,12 => 12의 약수 중 소수는 2, 3 => 2×2×3 = 12 ⇒ 12의 소인수는 2, 2, 3
소인수 분해 : 임의의 합성수(1이외의 소수가 아닌 수)를 소인수들의 곱으로 나타내는 과정
ex) 12의 소인수 분해 결과 ⇒ 2×2×3
소인수 분해 방법
소인수 분해 방법 : 임의의 수 N을 K(2, 3, 4… 순서로 증가)로 순차적으로 나누었을 때 나머지가 0으로 나누어 떨어지는 시점의 몫이 1이라면 N은 소수이므로 수행을 종료하고 만약 몫이 1이 아니라면 나머지가 0으로 떨어진 시점의 K를 첫 번째 소인수로 배열에 기억 시킨 후 나머지가 0으로 떨어진 시점의 K(제수)로 N(피제수)을 나눈 결과의 몫을 다시 N에 대입하여 N값을 갱신한 후 N을 K(2, 3, 4…순서로 증가)로 순차적으로 나누었을 때 나머지가 0인 시점의 K를 두 번째 소인수로 배열에 저장하고 몫이 1이라면 종료하고 몫이 1이 아니라면 다시 과정을 반복 수행한다.
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