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역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 미분 – godingMath
이 글에서는 역삼각함수(arcsin, arccos, arctan)의 도함수를 구하는 방법을 설명하고 증명합니다.
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Date Published: 9/5/2021
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[역삼각함수 미분] 공식 증명 및 상세설명 – 블로그 – 네이버
6가지의 역삼각함수의 미분을 증명하는 과정은 사실상 동일한 과정입니다 … ② : cos의 역함수(‘아크코싸인’ 이라고도 하며 arccos 으로 표시).
Source: blog.naver.com
Date Published: 11/16/2021
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역삼각함수 – 나무위키:대문
아크 사인, 아크 탄젠트, 아크 코시컨트, 아크 코탄젠트는 원점 대칭인 홀 … 미분 형태에서 볼 수 있듯 제곱근 함수의 역수꼴이어서 삼각치환에서 …
Source: namu.wiki
Date Published: 11/22/2022
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아크 사인 미분 | (심화수학) 역삼각함수의 도함수 (1) 77 개의 …
아크 사인 미분 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요. 역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 미분 – godingMath; [역삼 …
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Date Published: 7/10/2021
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아크 사인 미분 | (심화수학) 역삼각함수의 도함수 (1) 87 개의 …
x의 아크 사인 함수의 미분은 1을 (1-x 2 )의 제곱근으로 나눈 것과 같습니다 . Arcsin 기능 ▻. 또한보십시오. Top 36 사인 역함수 미분 The …
Source: ppa.giarevietnam.vn
Date Published: 11/4/2022
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arcsin (x)의 미분 – RT
arcsin의 미분. x의 아크 사인 함수의 미분은 무엇입니까? x의 아크 사인 함수의 미분은 1을 (1-x 2 )의 제곱근으로 나눈 것과 같습니다 . Arcsin 기능 ▻ …
Source: www.rapidtables.org
Date Published: 12/6/2021
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역삼각함수 정리 – 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트
도함수와 미분법 – 미분 공식 정리 1. 접선과 도함수 ① $f^{\prime}(a)$ : $x=a$ 에서의 미분 계수 : $x=a$ 에서의 순간 변화율 : $(a,f(a))$ 에서의 …
Source: salix97.tistory.com
Date Published: 9/13/2021
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주제와 관련된 이미지 아크 사인 미분
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주제에 대한 기사 평가 아크 사인 미분
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삼각함수의 역함수의 미분 & 그래프 (arcsin, arccos, arctan)
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이전 글에서는 삼각함수의 미분에 대해서 다뤘다.
2020/04/19 – [AI/Math] – [미적분] 삼각 함수 미분 공식 & 그래프.
이번 글에서는 삼각함수의 역함수의 미분에 대해서 다루겠다.
역함수
: 원래 함수에서 일대일 대응 되는 구간을 y = x 축 대칭 시킨 것이다.
1. arcsin x 미분
sin x 그래프에서 일대일 대응 구간은 아래 붉은 박스와 같다.
sin x
domain : {-pi/2 <= x <= pi/2} range : {-1 < y < 1} sin x 붉은 박스 부분을 y = x 축으로 대칭 시키면 arcsin 그래프가 된다. arcsin x sin x 의 domain 은 arcsin 의 range가 된다. sin x 의 range 는 arcsin 의 domain이 된다. arcsin x domain : {-1 < x < 1} range : {-pi/2 <= y <= pi/2} arcsin x 의 미분 과정 2. arccos x 미분 기본 과정은 위의 arcsin x 과정과 같다. 직접 한번 해보길 바란다. cos x arccos x domain : range : 3. arctan x 미분 tan x arctan x domain : range : 4. arccsc x 미분 csc x arccsc domain : range : 5. arcsec x sec x arcsec x domain : range : 6. arccot x 미분 cot x arccot x domain : range : 그래프 출처 https://www.wolframalpha.com/ 반응형
아크 사인 미분 | (심화수학) 역삼각함수의 도함수 (1) 77 개의 자세한 답변
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아크 사인 미분 | (심화수학) 역삼각함수의 도함수 (1) 87 개의 가장 정확한 답변
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이 글에서는 역삼각함수(arcsin, arccos, arctan)의 도함수를 구하는 방법을 설명하고 증명합니다.
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Source: godingmath.com
Date Published: 8/27/2021
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① : sin의 역함수(‘아크싸인’. 이라고도 하며 arccsin 으로 표시). . 증명 및 설명). 6가지의 역삼각함수의 미분을 증명하는 과정은 사실상 동일한 …
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Source: blog.naver.com
Date Published: 5/14/2022
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한편, 아크 탄젠트와 아크 코탄젠트와 같은 개형의 그래프를 시그모이드라고 한다. 6. 도함수[편집].
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Date Published: 4/12/2022
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예를 들어 사인함수의 역함수는 arcsin(x) arcsin ( x ) 와 같이 쓰게 됩니다. 이와 같은 삼각함수는 arcsin(x) …
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Source: everyday-image-processing.tistory.com
Date Published: 6/26/2022
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x의 아크 사인 함수의 미분은 1을 (1-x 2 )의 제곱근으로 나눈 것과 같습니다 . Arcsin 기능 ▻. 또한보십시오. Arcsin · Arcsin 계산기 · 0의 Arcsin · 1의 Arcsin …
+ 여기에 표시
Source: www.rapidtables.org
Date Published: 1/9/2021
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: 원래 함수에서 일대일 대응 되는 구간을 y = x 축 대칭 시킨 것이다. 1. arcsin x 미분.
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Date Published: 6/2/2021
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Mathematics의 다른 글. 도함수와 미분법 – 미분 공식 정리 1. 접선과 도함수 ① $f^{\prime}(a)$ …
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Source: salix97.tistory.com
Date Published: 3/3/2021
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(심화수학) 역삼각함수의 도함수 (1)
(심화수학) 역삼각함수의 도함수 (1)
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1 arcsin x 미분
2 arccos x 미분
3 arctan x 미분
4 arccsc x 미분
5 arcsec x
6 arccot x 미분
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역삼각함수 arcsin(x) arccos(x) arctan(x)의 미분
December 21 2018 미분 초급
역함수의 도함수를 구하는 원리
(y=arcsin x=sin^{-1}x) 의 도함수
(y=arccos x=cos^{-1}x) 의 도함수
(y=arctan x=tan^{-1}x) 의 도함수
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(삼각함수의 미분) \[\begin{align*} \frac{d}{dx} \sin x &= \cos x , &\frac{d}{dx} \cos x &= -\sin x ,\\[6pt] \frac{d}{dx} \tan x &= \sec^2 x ,& \frac{d}{dx} \cot x &= – \csc^2 x, \\[6pt] \frac{d}{dx} \sec x &= \sec x \,\tan x ,&\frac{d}{dx} \csc x &= – \csc x \, \cot x . \end{align*}\] \[\begin{align*} \frac{d}{dx} \sin x &= \cos x , &\frac{d}{dx} \cos x &= -\sin x ,\\[6pt] \frac{d}{dx} \tan x &= \sec^2 x ,& \frac{d}{dx} \cot x &= – \csc^2 x, \\[6pt] \frac{d}{dx} \sec x &= \sec x \,\tan x ,&\frac{d}{dx} \csc x &= – \csc x \, \cot x . \end{align*}\] 역삼각함수의 미분 삼각함수는 일대일 함수가 아니기 때문에 그 역함수가 존재하지 않는다. 그러나 삼각함수의 정의역을 축소하여 일대일 함수가 되도록 만듦으로써 그 역함수를 정의할 수 있다. 이와 같은 관점에서 삼각함수의 역함수를 다음과 같이 정의하자. \[\begin{align} y = \sin^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x=\sin y \,\,\,\text{for}\,\,\, y\in \left[ -\frac{\pi}{2} ,\, \frac{\pi}{2}\right],\\[6pt] y = \cos^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x=\cos y \,\,\,\text{for}\,\,\, y\in \left[ 0 ,\, \pi\right],\\[6pt] y = \tan^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x=\tan y \,\,\,\text{for}\,\,\, y\in \left( -\frac{\pi}{2} ,\, \frac{\pi}{2}\right),\\[6pt] y = \cot^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x=\cot y \,\,\,\text{for}\,\,\, y\in \left( 0 ,\, \pi\right),\\[6pt] y = \sec^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x=\sec y \,\,\,\text{for}\,\,\, y\in \left[ 0 ,\, \pi \right] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}\right\},\\[6pt] y = \csc^{-1} x \,\, &\Longleftrightarrow \,\, x=\csc y \,\,\,\text{for}\,\,\, y\in \left[ -\frac{\pi}{2} ,\,\frac{\pi}{2} \right] \setminus \left\{ 0 \right\}. \end{align}\] 삼각함수의 역함수를 나타낼 때 지수에 \(-1\)을 쓰는 대신 앞에 \(\text{arc}\)를 붙이기도 한다. 즉 위 여섯 개의 역삼각함수 중 첫 세 개는 각각 \[\arcsin x ,\,\, \arccos x ,\,\, \arctan x\] 로 나타내기도 한다. 정의에 의하여 역삼각함수는 다음과 같은 정의역을 가진다. \[\begin{align} y=\sin^{-1}x \,\,\,&\text{for}\,\,\, x\in [-1,\,1], \\[6pt] y=\cos^{-1}x \,\,\,&\text{for}\,\,\, x\in [-1,\,1], \\[6pt] y=\tan^{-1}x \,\,\,&\text{for}\,\,\, x\in \mathbb{R}, \\[6pt] y=\cot^{-1}x \,\,\,&\text{for}\,\,\, x\in \mathbb{R}, \\[6pt] y=\sec^{-1}x \,\,\,&\text{for}\,\,\, x\in (-\infty ,\, -1] \cup [1,\, \infty ), \\[6pt] y=\csc^{-1}x \,\,\,&\text{for}\,\,\, x\in (-\infty ,\, -1] \cup [1,\, \infty ). \end{align}\] 삼각함수의 역함수를 정의하기 위하여 정의역을 축소하는 방법은 위와 같은 방법이 유일한 것은 아니다. 책에 따라서 다른 정의역과 다른 치역을 설정한 후 역함수를 정의하기도 하며, 현실 상황에서 응용할 때 상황에 맞게 정의역과 치역을 설정하기도 한다. 이제 이 함수들의 도함수를 구해 보자. 먼저 역함수의 미분법을 이용하여 역사인의 도함수를 구하면 다음과 같다. \[\begin{align} \frac{d}{dx} \sin^{-1} x &= \frac{1}{\cos (\sin^{-1} x )}\\[6pt] &= \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 (\sin^{-1} x)}} \\[6pt] &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\,\,(\lvert x \rvert < 1). \end{align}\] 다음으로 역탄젠트의 도함수를 구하면 다음과 같다. \[\begin{align} \frac{d}{dx}\tan^{-1} x &= \frac{1}{\sec^2 (\tan^{-1} x )} \\[6pt] &= \frac{1}{1+\tan^2 (\tan^{-1} x )} \\[6pt] &= \frac{1}{1+x^2}. \end{align}\] 위 등식은 모든 실수 \(x\)에 대하여 성립한다. 역시컨트 함수의 도함수를 구하는 과정은 앞의 두 함수에 비해 까다롭다. 일단 \(0\)과 \(\pi\)에서 코사인의 미분계수는 \(0\)이므로 역함수의 미분법에 의하여 역시컨트는 \(-1\)과 \(1\)을 제외한 점에서 미분 가능하다. 음함수 미분법을 이용하여 역시컨트의 도함수를 구하자. \[\begin{align} y&= \sec^{-1} x,\\[8pt] \sec y &= x ,\\[6pt] \frac{d}{dx} \sec y &= \frac{d}{dx} x, \\[6pt] \sec y \, \tan y \frac{dy}{dx} &= 1, \\[6pt] \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sec y \, \tan y} . \end{align}\] 여기에 \[\sec y =x\] 와 \[\tan y = \pm \sqrt{\sec^2 y -1} = \pm \sqrt{x^2 -1}\] 을 대입하면 \[\frac{dy}{dx} = \pm \frac{1}{x\sqrt{x^2 -1}} \,\,\,(\lvert x \rvert > 1)\] 을 얻는다. 그런데 \((0 ,\,\pi)\)에서 코사인의 도함수는 항상 양수이므로 그 역함수인 시컨트의 도함수 또한 양수이다. 그러므로 \[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\lvert x \rvert \sqrt{x^2 -1}}\,\,\,(\lvert x \rvert > 1)\] 을 얻는다. 이로써 역사인, 역시컨트, 역탄젠트의 도함수를 구하였다. 다른 세 역삼각함수의 도함수는 다음과 같은 공식을 이용하여 구한다. (이 공식은 한 변의 길이가 \(x\)인 직각삼각형을 이용하여 증명할 수 있다.) \[\begin{align} \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} – \sin^{-1} x,\\[6pt] \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} – \tan^{-1} x,\\[6pt] \csc^{-1} x = \frac{\pi}{2} – \sec^{-1} x. \end{align}\] 즉 \[\begin{align} \frac{d}{dx} \cos^{-1} x &= \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{2} – \sin^{-1} x \right) = – \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\,\, (\lvert x \rvert < 1),\\[6pt] \frac{d}{dx} \cot^{-1} x &= \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x \right) = - \frac{1}{1+x^2} \,\,\, ( x \in \mathbb{R}),\\[6pt] \frac{d}{dx} \csc^{-1} x &= \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{2} - \sec^{-1} x \right) = - \frac{1}{\lvert x \rvert \sqrt{x^2 -1}} \,\,\, (\lvert x \rvert > 1) \end{align}\] 이다. 지금까지 살펴본 내용을 정리하면 다음과 같다.
역삼각함수 미분 1
728×90 반응형 안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 – 음함수의 미분에서 $F(x, y) = c$ 꼴의 함수일 때 $\frac{dy}{dx}$를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 음함수 미분법을 이용해서 역삼각함수의 도함수를 유도하는 방법에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 먼저 역삼각함수의 기호는 $arc$라는 표시를 합니다. 예를 들어 사인함수의 역함수는 $\arcsin{(x)}$와 같이 쓰게 됩니다. 이와 같은 삼각함수는 $\arcsin{(x)}, \arccos{(x)}, \arctan{(x)}$와 같은 기본 삼각함수의 역함수부터 $\text{arccsc}{(x)}, \text{arcsec}{(x)}, \text{arccot}{(x)}$와 같은 고급 삼각함수의 역함수까지 다양하게 존재합니다. 또는 $\sin^{-1}{(x)}, \cos^{-1}{(x)}, \tan^{-1}{(x)}, \csc^{-1}{(x)}, \sec^{-1}{(x)}, \cot^{-1}{(x)}$와 같이도 쓸 수 있습니다. 오늘은 총 3개 함수들의 미분들을 유도하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 1. $y = \sin^{-1}{(x)} \Rightarrow x = \sin{(y)}$ $$\begin{align*} &\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\sin{(y)}) \\ &\Rightarrow 1 = \frac{d}{dy}(\sin{(y)}) \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow 1 = \cos{(y)} \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos{(y)}} = \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}\end{align*}$$ 2. $y = \cos^{-1}{(x)} \Rightarrow x = \cos{(y)}$ $$\begin{align*} &\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\cos{(y)}) \\ &\Rightarrow 1 = \frac{d}{dy}(\cos{(y)}) \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow 1 = -\sin{(y)} \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin{(y)}} = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}\end{align*}$$ 3. $y = \tan^{-1}{(x)} \Rightarrow x = \tan{(y)}$ $$\begin{align*} &\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\tan{(y)}) \\ &\Rightarrow 1 = \frac{d}{dy}(\tan{(y)}) \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow 1 = \sec^{2}{(y)} \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^{2}{(y)}} = \frac{1}{1 + \tan^{2}{(y)}} = \frac{1}{1 + x^{2}} \end{align*}$$ 728×90 반응형
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arcsin (x)의 미분
arcsin의 미분
x의 아크 사인 함수의 미분은 무엇입니까?
x의 아크 사인 함수의 미분은 1을 (1-x 2 )의 제곱근으로 나눈 것과 같습니다 .
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아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트
역삼각함수에 대해 이해하기 위해서는 우선 역함수의 개념에 대해 정확히 인지하고 있어야 한다. 역삼각함수 또한 삼각함수의 역함수이기 때문이다.
1. 역함수란?
어떤 함수 $f(x)$ 에서 정의역과 치역이 일대일 대응인 경우 역함수가 존재한다.
역함수에서는 정의역과 치역이 바뀌게 된다.
$f:X \rightarrow Y$ 일대일 대응 $\Rightarrow$ $f$의 역함수 $f^{-1}:Y \rightarrow X$ 존재
$f(f^{-1}(x))=x,\quad x\in Y$ → 합성시키면 자기 자신이 나온다.
위의 역함수 $f^{-1}(x)$ 의 정의역에 들어가는 원소 $x$ 는 $Y$의 원소이다.
$f^{-1}(f(x))=x,\quad x\in X$ → 합성시키면 자기 자신이 나온다.
위의 함수 $f(x)$ 의 정의역에 들어가는 원소 $x$ 는 $X$의 원소이다.
2. 역삼각함수란?
역삼각함수는 $f^{-1}(x)$에서 $f$자리에 $\sin$ , $\cos$ 또는 $\tan$ 를 위치시키는 것이라고 이해하자.
그런데, 삼각함수는 정의역과 치역 사이의 관계식을 만들 수 없는 함수이다. 그러므로 삼각함수의 역함수 값을 구하기 위해 $f$의 대응을 살펴보아야 한다.
**관계식을 만들 수 있는 함수의 경우, 예를 들어 $f(x)=x+2$ 의 경우를 생각해보자. 이때 $f(x)$ 의 역함수를 $f^{-1}(x)=x-2$ 라고 관계식으로 정의할 수 있다.
**그러나 아래와 같이 관계식을 만들 수는 없지만, 일대일 대응이 되는 함수 $f$에 대해서는, $f^{-1}(0)$의 값을 알기 위해서는 $f(x)$에서 $x$에 어떤 값이 들어가야 $0$이 되는지를 살펴봐야 한다.
아래의 예에서 $f(a)=0$ 이므로, $f^{-1}(0)=a$ 즉, $f$의 역함수의 값을 알 수 있다.
** 삼각함수는 일대일 대응이 아니다. ex) $\sin \frac{\pi}{6}=\sin \frac{5}{6}\pi$ → 다른 두 정의역 값이 하나의 치역을 가리킴
그래서 삼각함수의 역함수를 구할때, 삼각함수가 $x$ 값 하나에 대해서 $y$ 값 하나에만 일대일 대응이 되는 부분으로 정의역을 제한한다.
** 그래서 역삼각함수의 정의역과 치역에 대해 정확히 알고 있는 것이 중요하다
삼각함수에서 일대일 되는 정의역을 찾을 때 조건 $0\in X$ → 정의역에 0 이 포함되어야 한다. $Y = [-1, 1]$ → 치역은 일대일 대응이 되는 원래의 치역 $(-1\leq Y\leq1)$
*$[\quad]$ 는 닫힌구간을 의미한다.
2 – (1). 역사인함수 ( \arcsin x )
$\sin : [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \rightarrow [-1,1]$ 일대일 대응
$\Rightarrow$ $\sin^{-1}:[-1,1]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 역사인 함수
$\Rightarrow$ $y=\sin^{-1}x$
sin 함수에서 조건에 부합하는 일대일 대응이 되는 부분
$$\sin(\sin^{-1}(x))=x,x\in[-1,1],\quad \sin^{-1}(\sin(x))=x,x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$$
예제)
2 – (2). 역코사인 함수 ( \arccos x )
$\cos : [0,\pi] \rightarrow [-1,1]$ 일대일 대응
$\Rightarrow$ $\cos^{-1}:[-1,1]\rightarrow [0,\pi]$ 역코사인 함수
$\Rightarrow$ $y=\cos^{-1}x$
cos 함수에서 조건에 부합하는 일대일 대응이 되는 부분
$$\cos(\cos^{-1}(x))=x,x\in[-1,1],\quad \cos^{-1}(\cos(x))=x,x\in[0,\pi]$$
**역코사인 함수의 치역은 양수이다. 즉, 역코사인의 값은 음수가 없다는 사실을 기억하자.
예제)
2 – (3). 역탄젠트 함수 ( \arctan x )
$\tan : (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \rightarrow (-\infty,\infty)$ 일대일 대응
$\Rightarrow$ $\tan^{-1}:(-\infty,\infty) \rightarrow (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 역탄젠트 함수
$\Rightarrow$ $y=\tan^{-1}x$
*$(\quad)$ 는 열린구간을 의미한다. 점근선에 해당하는 값은 포함되지 않는다.
tan 함수에서 조건에 부합하는 일대일 대응이 되는 부분
$$\tan^{-1}(0)=0, \quad \tan^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$$
역탄젠트에서는 위의 두 식을 가장 많이 사용한다. 역탄젠트에서는 역사인, 역코사인 처럼 대수적인 계산을 하는 문제가 나오지 않는다. 역탄젠트 $x$의 그래프의 개형을 알고 있는 것이 중요하다.
역탄젠트 x 그래프의 개형이다. 점근선(치역) 주의해서 보자.
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