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안녕하세요 🙂
이번 영상부터, 상미분방정식의 기초 에 대해서도
업로드하여 스터디를 함께 진행하고자 합니다 ..^^
조금이나마 도움이 되어드릴 수 있었으면 합니다 🙂
다른 영상 기다려주시는 분들이 있으신데, 조금만 더 기다려주세요 ㅠ
항상 감사합니다 ^^
변수 분리형 미분 방정식 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.
3. 변수 분리형 미분방정식과 해법 – 공데셍 – 티스토리
지난 글에서 일계 미분방정식의 하위 분류 중 선형 일계미분방정식의 경우에는 양변에 적분인자를 곱해준 후 양변을 독립변수에 대해 적분해주면 해를 …
Source: vegatrash.tistory.com
Date Published: 11/2/2021
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[미분방정식] 1. 변수분리형 미분방정식 – 고뿔잽이 – 티스토리
미분방정식 개요편에서 우리는 미분방정식을 보는 순간 n계 n차 (비)선형 (상or편)미분방정식 임을 알수있어야. 그에 따른 풀이법을 적용할수 있다 …
Source: aoo1206.tistory.com
Date Published: 2/23/2022
View: 1620
변수분리형 방정식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
변수분리형 방정식(separable equation)은 상미분방정식의 일종이다. … 는 아래와 같이 대수적 조작을 통해 변환할 수 있다. … 위의 식을 변수분리형방정식이라 하고, 양변 …
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 2/13/2021
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미분방정식/풀이 – 나무위키
변수분리형(separation of variables)1.4. 완전형(exact ODE)1.5. 비선형 미분방정식. 2. 편미분방정식. 2.1. 미분작용소2.2. 존재성과 정규성2.3.
Source: namu.wiki
Date Published: 12/9/2022
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[미분방정식] 2. 변수 분리가 가능한 미분방정식 – Separable ODEs
변수분리 만약 어떤 미분방정식이 의 형태로 각각의 변수끼리 변수 분리가 가능하다면 미분방정식의 풀이가 한결 간결해지기 때문에, 미분방정식을 접 …
Source: min-97.tistory.com
Date Published: 3/3/2021
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변수분리법 – 공돌이의 수학정리노트
가장 간단한 형태의 미분방정식 중 하나는 다음과 같은 변수분리형 1계 미분방정식이다. dy …
Source: angeloyeo.github.io
Date Published: 11/15/2021
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주제와 관련된 이미지 변수 분리형 미분 방정식
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주제에 대한 기사 평가 변수 분리형 미분 방정식
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- Date Published: 2020. 5. 3.
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3. 변수 분리형 미분방정식과 해법
지난 글에서 일계 미분방정식의 하위 분류 중 선형 일계미분방정식의 경우에는
양변에 적분인자를 곱해준 후 양변을 독립변수에 대해 적분해주면 해를 구할 수 있다는 것을 알았다.
이번에는 일계미분방정식 중 선형이 아님에도 불구하고 특수한 조건 하에는
양변에 적분을 해줌으로써 해를 구할 수 있다는 것을 보일 것이다.
일반적인(General) 일계 미분방정식은 다음 꼴을 갖는다.
$$ \dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \tag{식 1}$$
참고로 이번 글에서는 독립변수로 $t$ 대신 $x$ 를 이용할 것이다.
$(\text{식} 1)$ 을 적당히 변형하면 다음과 같은 꼴을 얻을 수 있다.
$$ M(x, y) + N(x, y)\dfrac{dy}{dx} = 0 $$
이렇게 변형하는것은 항상 가능하다.
한 가지 방법으로 $(\text{식} 1)$ 에서 $M(x, y) = -f(x, y)$ 라 하고 $N(x, y) = 1$ 이라고 하면 된다.
이것 말고도 다른 여러 방법이 있을 수 있다. 따라서 이 식 역시 일반적인 일계 미분방정식이다.
이 중 특수한 경우를 선택하자.
만약 $M$ 가 오직 $x$ 만의 함수이고 $N$ 이 $y$ 만의 함수이면 다음과 같다.
$$ M(x) + N(y)\dfrac{dy}{dx} = 0 $$
이 경우, 적분을 통해 바로 해를 찾을 수 있다. 미분형식으로 표현하면 다음과 같기 때문이다.
$$ M(x)dx + N(y)dy = 0 $$
이런 형태의 미분방정식을 변수분리형 미분방정식이라고 부른다.
예제 1
다음 미분방정식을 푸시오.
$$ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{1 – y^2} $$
더보기 먼저 푸는 방법을 보인 후 이러한 방법이 왜 가능한것인지 설명할 것이다. 우선 이 미분방정식은 변수분리형 미분방정식이다. 왜냐하면 다음과 같이 $M(x) + N(y) \dfrac{dy}{dx} = 0$ 꼴로 변형이 되기 때문이다. $$ -x^2 + (1 – y^2)\dfrac{dy}{dx} $$ 식을 변형하여 다음과 같이 만들자. $$ (1 – y^2) dy = x^2 dx $$ 양변을 부정적분한다. $$ y – \dfrac{1}{3}y^3 = \dfrac{1}{3} x^3 + C_1 $$ 양변에 $3$ 을 곱한 후 식을 정리하여 다음 결과를 얻는다. $$ x^3 – 3y + y^3 = C $$ 따라서 위 등식이 성립하게하는 모든 미분가능한 함수 $y = \phi(x)$ 가 이 미분방정식의 해이다.
이 문제를 푸는 과정에서 다음과 같은 과정을 거쳤다.
$$ \begin{align} &f(x) dx = g(y) dy \\ \Longrightarrow \int &f(x) dx = \int g(y) dy \end{align} $$
왜 양변을 적분해도 되는 것인지 이유를 알아보자면 다음과 같다.
일반적인 변수분리형 미분방정식의 꼴은 다음과 같다고 했었다.
$$ M(x) + N(y)\dfrac{dy}{dx} = 0 \tag{식 1}$$
이 때 $A'(x) = M(x), \; B'(y) = N(y)$ 라고 하면 다음과 같다.
$$ A'(x) + \textcolor{skyblue}{B'(y) \dfrac{dy}{dx}} = 0 \tag{식 2}$$
한편, $y$ 가 $x$ 에 대해 미분가능한 함수라면, 연쇄법칙에 의해 다음이 성립한다.
$$ \dfrac{d}{dx}B(y) = B'(y)y’ = \textcolor{skyblue}{B'(y)\dfrac{dy}{dx}} $$
이 결과를 $(\text{식 2})$ 에 반영하면
$$ \dfrac{d}{dx} \bigg[ A(x) + B(y) \bigg] = 0 $$
이제 미적분학의 기본정리에 의해 양변을 $x$ 에 대해 적분하면 다음의 해를 얻는다.
$$ A(x) + B(y) = C \tag{식 3}$$
이는 $(\text{식 1})$ 을 미분형식(Differential form)으로 표현한 다음 식의 양변을 적분한 결과와 같다.
$$ M(x)dx = -N(y)dy $$
따라서 변수분리형 미분방정식의 경우엔 각각의 변수에 대해 미분형식으로 표현한 후
양변을 각각의 변수에 대해 적분하여 푼 것과 결론이 같다.
만약 초기값으로 $y(x_0) = y_0$ 이 주어져 있다면
위에서 얻은 $(\text{식 3})$ 에 이 값을 대입하여 $C$ 를 결정해주기만 하면 된다.
예제 2
다음 초기값을 갖는 미분방정식을 풀고 해가 어떤 구간에서 존재하는지 찾아라.
$$ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3x^2 + 4x + 2}{2(y – 1)}, \quad y(0) = -1 $$
더보기 다음과 같이 식을 변형하자. $$ 2(y – 1) dy = (3x^2 + 4x + 2) dx $$ 변수분리형 미분방정식이므로 양변을 부정적분하여 풀자. 좌변을 $y$ 에 대해 부정적분하고 우변을 $x$ 에 대해 부정적분하면 다음과 같다. $$ y^2 – 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + C, \; \text{C 는 적분상수}$$ 초기조건을 만족하는 $C$ 를 찾기 위해 초기값 $y(0) = -1$ 을 대입하여 $C = 3$ 을 얻는다. 따라서 초기값을 만족하는 미분방정식의 음함수꼴 해는 다음과 같다. $$ y^2 – 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + 3 $$ 이 해의 좌변에 $1$ 을 더해 완전제곱꼴로 만들 수 있으므로 해를 양함수 꼴로 만들어주면 다음을 얻는다. $$ y = 1 \pm \sqrt{x^3 + 2x^2 + 2x + 4} $$ 플러스 마이너스의 두 가지 해 중 초기조건 $y(0) = -1$ 을 만족하는 해는 마이너스일 때이다. 따라서 초기조건을 만족하는 양함수 해는 다음과 같다. $$ y = \phi(x) = 1 – \sqrt{x^3 + 2x^2 + 2x + 4} $$ 이 함수가 유효한 $x$ 범위를 찾기 위해서는 루트안의 값이 양수가 되는 $x$ 를 찾아야 한다. 루트안의 식 $x^3 + 2x^2 + 2x + 4$ 는 $(x+2)(x^2 + 2)$ 로 인수분해되고 최고차항 계수가 양수이므로 $x > -2$ 에서 양의 값을 갖는다. 따라서 $x > -2$ 의 구간에 해가 존재한다. 위 그림의 곡선은 이 미분방정식이 가질 수 있는 방향장(Direction Field)을 이은것으로 초록색으로 표현된 곡선이 주어진 초기값의 해를 나타낸다. 해가 유효한 구간이 곡선이 수직이 되는 점 $( x = -2)$ 에서 결정이 된다는 사실을 주목하자.
[미분방정식] 1. 변수분리형 미분방정식
미분방정식 개요편에서 우리는 미분방정식을 보는 순간 n계 n차 (비)선형 (상or편)미분방정식 임을 알수있어야
그에 따른 풀이법을 적용할수 있다 했다. 하지만 오늘 처음 소개할 해법은 종류를 나눌 필요도 없이
x,dx 끼리, y,dy 끼리 분리할수 있는 특수한 경우에 무조건 사용할수 있는 강력한 방법인 변수분리형 미분방정식이다.
변수분리형 미분방정식이란?
HOW TO SOL?
( 미분방정식의 해는 독립변수와 종속변수 사이의 관계라는것을 미분방정식 개요편에서 다루었음 )
어케 푸는지 감 잡았으면 변수분리형 관련 예제를 한번 풀어보자.
미분방정식의 종류를 나누기 전에 h(y)dy=g(x)dx 꼴로 변수분리 할수 있다면
간단히 풀수 있으니 반드시 기억해둬야할 풀이법.
(PS/글 이해 잘되면 다음글로 넘길것)
추가적으로 미분방정식 관련된 글은 전부 고등학교 수학을 전제된 상황에서 글을 쓰고 있으니,
적분과정이나 미분과정에서 못알아 먹겠다면 현 교육과정 미적분2 교재를 얻어서 공식을 외우길 바란다.
수능수학에서 낮은 점수대를 받았어도 지금부터 열심히 하면 상관없다.
수능수학에서 좋은꼴을 못봤어도 대학수학과정이랑 물어보는 성격이 완전히 다르기 때문에
(수능수학은 문제를 위한 문제를 내고, 대학수학은 개념만 제대로 이해했으면 꼬아서는 안내기 때문)
열심히만 하면 대학수학에서 좋은 결과를 이끌어낼수 있을것!
또, 이번 변수분리형 편과 같이 글이 짧게 발행되었을때에는 사이사이 짤막한 지식을 적어보겠다.
미분방정식의 쓰임새 알아보기
1. 공대에 있는 거의 모든 공학내용에 미분방정식이 쓰임
2. 공대에서 수학 단일과목으로는 공업수학의 전반적인 내용 // 공식 활용 위주의 시험방식
3. 수학과에서는 여러과목으로 분할되서 출제 // 이 미분방정식의 해가 어떻게 나오는가? – 증명에 주안점을 두고 공부
4. 편입수학에서 쓰임
편입수학에서 미분방정식이 들어가 시험으로 나오는 형태는 대부분 객관식위주 //
따라서 공식 활용위주의 공부가 좀더 효율적이다.
편입수학에서 쓰이는경우 서성한 까지 // 연고대는 대학미적분학시험으로 나옴 –
서울대는 포함되지만 학사편입만 가능하므로 열외
5. 실무에서의 쓰임
의학,기계,전기,전자,건축 등 여러가지 산업현장에서 모델링 그대로 미분방정식을 활용하는 경우가 있다.
따라서 대학시절 공부할때 제대로 해둬서 까먹어도 바로 복구할수 있을정도로 공부하자!
날림공부하면 나중에 골치아파진다.
마지막 정리
dx쪽에는 x로 몰아넣기, dy쪽에는 y로 몰아넣기
이후 양변에 인테그랄을 첨부 -> 적분 ( 적분공식 미적분2 수준으로 전부 익힐것 )
이후 여러 공식을 활용하여 y=f(x) 꼴로 깔끔히 표현 ( y = 꼴로 표현이 안되면 f(x,y) 꼴로 표현해도 상관 x )
위키백과, 우리 모두의 백과사전
변수분리형 방정식(separable equation)은 상미분방정식의 일종이다.
g ( y ) y ′ = f ( x ) {\displaystyle g(y)y’=f\left(x\right)}
는 아래와 같이 대수적 조작을 통해 변환할 수 있다.
g ( y ) d y = f ( x ) d x {\displaystyle g\left(y\right)dy=f\left(x\right)dx}
위의 식을 변수분리형방정식이라 하고, 양변을 적분하면 값을 손쉽게 구할 수 있다.
∫ g ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x + c {\displaystyle \int _{}^{}{g\left(y\right)dy=\int _{}^{}{f\left(x\right)dx+c}}}
참고도서 [ 편집 ]
[미분방정식] 2. 변수 분리가 가능한 미분방정식 – Separable ODEs
변수분리
만약 어떤 미분방정식이
의 형태로 각각의 변수끼리 변수 분리가 가능하다면 미분방정식의 풀이가 한결 간결해지기 때문에, 미분방정식을 접하면 가장 먼저 변수 분리가 가능한지 살펴보는 것이 중요합니다.
변수 분리에 성공했다면, 이후에 아래와 같은 과정을 통해 쉽게 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.
의 결과를 (*)에 대입하면,
다음으로 몇가지 간단한 예제를 살펴보겠습니다.
예제 1. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.
적분하면,
예제 2. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.
적분하면,
예제 3. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.
적분하면,
$u=\frac{y}{x}$ 치환
적당히 치환하여 변수분리가 가능한 꼴로 방정식을 변환한 후, 미분방정식을 해결할 수도 있습니다.
그 중에서도 1차 ODE의 우변이 y/x로 표현된다면, 그 해답을 쉽게 구할 수 있습니다.
이 결과를 (**)에 대입하면,
로 정리되어 적분이 한결 쉬워집니다.
예제 4. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.
양변을$2xy$로 나누면
적분하면,
공돌이의 수학정리노트
※ 본 포스팅의 내용은 Thomas Judson의 The ordinary differential equations project에서 많은 부분을 차용하였음을 밝힙니다.
변수분리형 1계 미분방정식
가장 간단한 형태의 미분방정식 중 하나는 다음과 같은 변수분리형 1계 미분방정식이다.
\[\frac{dy}{dx}=M(x)N(y)\]
식 (1)을 보면 $x$에 대한 식 $M(x)$와 $y$에 대한 식 $N(y)$가 깔끔하게 분리되어 있는 것을 볼 수 있다.
간단한 예시
식 (1)은 조금 복잡할 수도 있는데, $M(x)$와 $N(y)$를 조금 바꿔서 구체적인 예시를 들어보면 다음과 같은 것이 변수분리형 1계 미분방정식이다.
\[\frac{dy}{dx}=y % 식 (2)\]
식 (2)는 자세히 보면, 어떤 함수 $y$를 $x$에 대해 미분을 했을 때 여전히 $y$가 나올 수 있게 되는 함수를 묻는 방정식이다.
잘 생각해보면 이런 방정식의 solution은
\[y=Ce^x% 식 (3)\]
임을 알 수 있다. (여기서 $C$는 적분상수이다.)
어떻게 이런 결과를 얻을 수 있을까?
방법은 $x$에 관한 식과 $y$에 관한 식들을 좌변과 우변에 각각 몰아넣고, 적분함으로써 가능하다.
좀 더 구체적으로 식 (2)를 풀어보면 다음과 같이 풀 수 있다.
식 (2)의 양변을 $y$로 나눠주면,
\[식(2)\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1\]
이고, 여기서 양변을 $dx$로 곱하면 좌변에는 $y$에 관한 식, 우변에는 $x$에 관한 식으로 몰아넣은 것과 같다.
\[\Rightarrow \frac{1}{y}dy=dx\]
따라서,
여기서 양변을 적분하면 다음과 같다.
\[\Rightarrow\int\frac{1}{y}dy=\int 1 dx\]
따라서,
\[\Rightarrow \ln |y| = x + C\]
여기서 $C$는 적분상수이다.
식을 조금만 수정하면
\[y = \exp(x+C)\] \[y = C\exp(x)\]
와 같은 결과를 얻을 수 있음을 알 수 있다.
변수분리형 1계 미분방정식의 solution
조금 더 이론적으로 변수분리형 1계 미분방정식의 solution을 어떻게 계산하게 된 것인지 알아보자.
일반적으로 식 (1)과 같은 변수분리형 1계 미분방정식의 solution은 아래와 같이 계산할 수 있다.
\[식(1) \Rightarrow M(x)dx = \frac{1}{N(y)}dy\]
식을 약간 수정해 $M(x)$를 $f(x)$라 두고 $1/N(y)$를 $-g(y)$라 두면,
\[f(x)dx+g(y)dy=0\]
과 같이 쓸 수 있다. 여기서 양변에 적분 상수를 취해주면,
\[\int f(x)dx + \int g(y) dy=C\]
이고, $f(x)$의 부정적분이 $F(x)$라고 하고, $g(y)$의 부정적분이 $G(y)$라고 하면,
\[\Rightarrow F(x) + G(y) = C\]
라고 할 수 있다.
여기서 $C$는 적분 상수이다.
여기서 초기값이 $y(x_0)=y_0$로 주어진다면 적분상수 $C$는 다음과 같이 계산할 수 있게 된다.
변수분리법을 이용해 풀 수 있는 미분방정식 모델
\[F(x_0)+G(y_0) = C\]
변수분리법은 간단하지만 의외로 이 방법을 이용해 풀 수 있는 미분방정식 모델들이 있다.
뉴턴의 냉각법칙
뉴턴의 냉각법칙은 주변 온도보다는 뜨거운 물체가 있을 때, 그 물체의 온도가 식는 속도가 주변의 온도와의 온도차에 비례한다는 법칙이다.
생각해보면 자연스러운 것이, 뜨거운 물체는 주변 온도와의 온도 차가 클 수록 더 빨리 식는다. (뜨거운 냄비에 미지근한 물을 끼얹는 것보다 차가운 물을 끼얹는게 더 빨리 냄비를 식히는 방법이다.)
수식으로 정리하면, 내가 관심을 갖고 있는 물체의 온도가 $T$라고 하고 주변 온도가 $T_m$이라고 하면 다음과 같은 관계를 갖는다는 말이다.
\[\frac{dT}{dt}=k(T-T_m)\]
여기서 $k$는 음수이다. 그래야 시간에 따라 관심 물체의 온도 $T$가 서서히 떨어지게 된다.
가령 주변 온도가 20도 이고 관심 물체의 온도가 처음에 100도 였고 1초 뒤에 98도 였다고 하면,
\[\frac{dT}{dt}=k(T-20)\]
이고, $T$에 관한 식을 모두 좌변에, $t$에 관한 식을 모두 우변에 넘겨주면,
\[\frac{1}{(T-20)}dT = kdt\]
이다.
양변을 적분해주면,
\[\ln(T-20)=kt+C\] \[\Rightarrow T-20 = Ce^{kt}\] \[\therefore T = 20 + Ce^{kt}\]
이다.
여기서 $T(0)=100$이었고 $T(1)=98$이라고 하므로,
\[T(0) = 20+C = 100\] \[T(1) = 20 + Ce^k=98\] \[\therefore C = 80, k = -0.0253\]
임을 알 수 있다.
따라서, 이 물체의 온도 변화를 그래프로 그려보면 다음과 같다.
그림 1. 뉴턴의 냉각법칙을 적용한 물체의 냉각 현상 curve
시간에 따른 소금 농도 변화
초등학교 수학 시간에는 소금물 농도 문제가 그렇게나 어려웠다.
초등학교 때 소금물 문제를 풀 때는 소금물을 합치고 잘 섞어서 섞여진 소금물의 농도를 맞추는 것이 문제였다.
그런데, 소금물 두 컵을 잘 섞어서 농도를 확인하는게 아니고, 맹물이 들어있던 물탱크에 특정 농도의 소금물을 꾸준히 붓는다면 시간에 따른 소금물의 농도를 확인할 수도 있지 않을까?
그림 2. 물탱크에 소금물을 서서히 섞어주는 타입의 문제가 상정하는 상황
그림 출처: Solution to the ODE-mixing tank problem using artificial neural networks, , Aaron U Aquino & Elmer Dadios, 2015
물만 들어있는 1000리터 짜리 물탱크에 0.5kg/L 농도의 소금물을 계속해서 넣어준다고 생각해보자.
우리의 목표는 물탱크에 0.5kg/L 농도의 물로 가득채우는 것인데, 이 때, 물탱크의 수위는 원래대로 유지해주고 싶다고 해보자.
이를 위해서 0.5kg/L 농도의 소금물을 1분에 10L 씩 넣어주고 물탱크에 들어있던 물도 1분에 10L씩 빼준다고 해보자.
여기서 우리는 물탱크에 소금이 균일하게 섞일 수 있도록 계속해서 물탱크의 물을 저어준다고 가정할 것이다.
이 문제는 미분방정식을 이용해 풀 수 있는데, 물탱크 안의 소금 양을 $x(t)$라고 해보자.
그러면, 물탱크 안의 소금의 시간에 따른 변화율은 $dx/dt$ 일 것이다.
또, 소금의 시간 당 변화율은 들어오는 소금의 비율과 나가는 소금의 비율의 차이이므로,
\[\frac{dx}{dt}=\text{rate in }-\text{ rate out}\]
이라고 쓸 수 있다.
들어오는 소금은 1분에 10L가 들어오는데 소금의 양은 0.5kg/L였으므로 1분 당 총 5kg의 소금이 들어온다.
나가는 물의 양은 매 분마다 10L인데, 수위는 그대로 유지해주고 있어 1000L를 유지하므로 현재 소금양의 $1/100$만큼 나가는 것으로 볼 수 있다. 따라서,
\[\frac{dx}{dt}=5-\frac{x}{100}\]
과 같이 식을 세워줄 수 있는 것이다. 물론 처음에는 물에 소금이 들어있지 않았으므로 $x(0)=0$이다.
이 식은 변수분리법으로 풀어줄 수 있다.
\[\frac{dx}{500-x}=\frac{dt}{100}\]
양변을 적분해주면,
\[\Rightarrow -\ln|500-x| = \frac{t}{100}+C\]
즉,
\[500-x = Ce^{-0.01t}\]
여기서 초기조건을 이용하면,
\[\Rightarrow x(t) = 500-500 e^{-0.01t}\]
이다.
그림 3. mixing problem의 solution curve
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