다층 퍼셉트론 예제 | Ch07_05.신경망(퍼셉트론 계산 예제)05 답을 믿으세요

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다층 퍼셉트론 모델 만들어보기 – 김태영의 케라스 블로그

본 예제에서는 비교적 쉬운 이진 분류 문제를 적용해보고자 합니다. 이진 분류 예제에 적합한 데이터셋은 8개 변수와 당뇨병 발병 유무가 기록된 ‘피마족 …

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Date Published: 4/27/2022

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3.8. 다층 퍼셉트론 (Multilayer Perceptron)

This example contains a hden layer with 5 hden units. 위 다층 … 아래 예제에서는 2개의 은닉층과 1개의 출력층을 갖는 다층 퍼셉트론을 구현해보겠습니다.

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Date Published: 9/23/2022

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다층 퍼셉트론 예제 | Ch09_01.다층신경망과 … – 1111.com.vn

3.8. 다층 퍼셉트론 (Multilayer Perceptron). This example contains a hden layer with 5 hden units. 위 다층 퍼셉트론(multilayer perceptron)에서는 …

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Date Published: 5/15/2021

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퍼셉트론의 개념 (단층 퍼셉트론 / 다층 퍼셉트론)

우리는 실제 값을 가지는 예제 데이터에 기초해 분류자 함수의 기울기를 구하게 된다. 이 때 예제 데이터를 학습 데이터(training data)라고 부른다. 학습 …

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[ML] 퍼셉트론(Perceptron)의 개념과 구조, 동작, 학습 – velog

퍼셉트론(Perceptron) … [예제 3-1]에서 x를 100% 정확하게 분류하는 퍼셉트론은 무수히 많다. 예를 들어, x_2노드에 연결된 가중치를 0.9로 …

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Date Published: 2/19/2022

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Top 18 다층 퍼셉트론 예제 The 125 Top Answers

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주제에 대한 기사 평가 다층 퍼셉트론 예제

• Author: 강서대학교 빅데이터경영학과 이상철 교수
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• Date Published: 2019. 11. 10.
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다층 퍼셉트론 모델 만들어보기

import numpy as np from keras.models import Sequential from keras.layers import Dense # 랜덤시드 고정시키기 np . random . seed ( 5 )

3.8. 다층 퍼셉트론 (Multilayer Perceptron) — Dive into Deep Learning documentation

3.8. 다층 퍼셉트론 (Multilayer Perceptron)¶

이전 절들에서 옷 이미지를 10개의 카테고리 중에 어디에 속하는지를 예측하는 멀티 클래스 로지스틱 리그레션(multiclass logistic regression) (또는 softmax regression)을 구현해봤습니다. 여기서부터 재미있는 것들이 시작됩니다. 데이터를 다루고, 출력값을 유효한 확률 분포로 바꾸고, 적합한 loss 함수를 적용하고, 파라미터를 최적화하는 방법에 대해서 알아봤습니다. 기본적인 것들을 익혔으니, 이제 딥 뉴럴 네트워크를 포함하도록 우리의 도구 상자를 확장해보겠습니다.

3.8.1. 은닉층(hidden layer)¶ 이전의 것을 기억해보면, 단일 선형 변환 (single linear transformation)을 통해서 입력들을 바로 출력으로 매핑을 했고, 이는 아래과 같이 표현할 수 있습니다. \[\hat{\mathbf{o}} = \mathrm{softmax}(\mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b})\] 만약 레이블(label)들이 대략적인 선형 함수로 입력 데이터와 연관을 지을 수 있다면, 이 방법은 적절할 수 있습니다. 하지만, 이 선형성은 너무 강한 가정입니다. 선형성은 각 입력에 대해서, 입력값이 증가하면 다른 입력값과는 상관없이 결과값이 커지거나 작아지는 것을 의미합니다.

3.8.2. 하나에서 여러개로¶ 검정색이나 희색 이미지을 이용해서 강아지나 고양이를 분류하는 케이스를 생각해봅시다. 각 픽셀의 값을 증가시키면 강아지라고 판별할 확률값을 높이거나 내려가는 경우를 생각해봅시다. 이는 합당하지 않습니다. 왜냐하면, 이렇게 된다면 결국 강아지는 모두 검정색이고 고양이는 모두 흰색이거나 그 반대라는 것을 의미하기 때문입니다. 이미지에 무엇이 있는지 알아내기 위해서는 입력과 출력 간의 매우 복잡한 관계와 이를 위해서는 패턴이 많은 특성(feature)들 사이의 관계를 통해서 특정 지어지는 가능성을 고려해야합니다. 이런 경우에는, 선형 모델의 정확도는 낮을 것입니다. 우리는 한 개 이상의 은닉층(hidden layer)을 함께 사용해서 더 일반적인 함수들을 이용한 모델을 만들 수 있습니다. 이를 구현하는 가장 쉬운 방법은 각 층 위에 다른 층들을 쌓는 것입니다. 각 층의 결과는 그 위의 층의 입력으로 연결되는데, 이는 마지막 출력층까지 반복됩니다. 이런 아키텍쳐는 일반적으로 “다층 퍼셉트론(multilayer perceptron)”이라고 불립니다. 즉, MLP는 여러 층를 연속해서 쌓아올립니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 위 다층 퍼셉트론(multilayer perceptron)에서는 입력이 4개, 출력이 3개, 중간의 은닉층(hidden layer)은 5개의 은닉 유닛(hidden unit)이 있습니다. 입력층은 어떤 연산을 수행하지 않기 때문에, 이 다층 퍼셉트론(multilayer perceptron)은 총 2개의 층(layer)을 갖습니다. 은닉층(hidden layer)의 뉴런(neuron)들은 입력층의 입력들과 모두 연결되어 있습니다. 출력층(output layer)의 뉴런과 은닉층의 뉴런들도 모두 연결되어 있습니다. 따라서, 이 다층 퍼셉트론의 은닉층과 출력층은 모두 완전 연결층(fully connected layer)입니다.

3.8.3. 선형에서 비선형으로¶ 다중 클래스 분류의 경우 위 그림이 수학적으로 어떻게 정의되는지 보겠습니다. \[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{h} & = \mathbf{W}_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{o} & = \mathbf{W}_2 \mathbf{h} + \mathbf{b}_2 \\ \hat{\mathbf{y}} & = \mathrm{softmax}(\mathbf{o}) \end{aligned}\end{split}\] 위 방법의 문제점은 은닉층을 \(\mathbf{W} = \mathbf{W}_2 \mathbf{W}_1\) 과 \(\mathbf{b} = \mathbf{W}_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2\)를 사용해서 단일층 퍼셉트론(single layer perceptron) 식으로 재구성할 수 있기 때문에, 다층(mutilayer)이 아닌 단순한 단일층 퍼셉트론(single layer perceptron)이라는 점입니다. \[\mathbf{o} = \mathbf{W}_2 \mathbf{h} + \mathbf{b}_2 = \mathbf{W}_2 (\mathbf{W}_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1) + \mathbf{b}_2 = (\mathbf{W}_2 \mathbf{W}_1) \mathbf{x} + (\mathbf{W}_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2) = \mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b}\] 이를 해결하는 방법은 모든 층의 다음에 \(\mathrm{max}(x,0)\) 와 같은 비선형 함수 \(\sigma\) 를 추가하는 것입니다. 이렇게 하면, 층들을 합치는 것이 더 이상 불가능해집니다. 즉, \[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{h} & = \sigma(\mathbf{W}_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1) \\ \mathbf{o} & = \mathbf{W}_2 \mathbf{h} + \mathbf{b}_2 \\ \hat{\mathbf{y}} & = \mathrm{softmax}(\mathbf{o}) \end{aligned}\end{split}\] 이렇게 하면, 여러 개의 은닉층들을 쌓는 것도 가능합니다. 즉, \(\mathbf{h}_1 = \sigma(\mathbf{W}_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1)\) 과 \(\mathbf{h}_2 = \sigma(\mathbf{W}_2 \mathbf{h}_1 + \mathbf{b}_2)\) 를 각각 연결해서 진짜 다층 퍼셉트론을 만들 수 있습니다. 은닉 뉴런들이 각 입력의 값에 의존하고 있기 때문에 다층 퍼셉트론은 입력들 사이의 복잡한 상호 작용을 설명할 수 있습니다. 예를 들면, 입력들에 대한 논리 연산과 같이 임의의 연산을 수행하는 은닉 노드(hidden node)를 만드는 것도 쉽습니다. 다층 퍼셉트론이 보편적인 approximator라는 것이 잘 알려져 있습니다. 이것의 의미는 다음과 같습니다. 한 개의 은닉층을 갖는 다층 퍼셉트론이라도, 충분히 많은 노드와, 정확한 가중치를 설정할 수 있다면 모든 함수에 대한 모델을 만들 수 있다는 것입니다. 사실 그 함수를 학습하는 것은 매우 어려운 부분입니다. 그리고, 더 깊은 (또는 더 넓은) 뉴럴 네트워크를 이용한다면 함수를 더욱 더 간결하게 추정할 수도 있습니다. 수학적인 부분은 이어질 장들에서 다루겠고, 이 장에서는 MLP를 실제로 만들어 보겠습니다. 아래 예제에서는 2개의 은닉층과 1개의 출력층을 갖는 다층 퍼셉트론을 구현해보겠습니다.

3.8.4. 벡터화와 미니 배치¶ 샘플들이 미니 배치로 주어지는 경우에는 벡터화를 통해서 구현의 효율성을 높일 수 있습니다. 요약하면, 벡터를 행렬로 바꿀 것입니다. \(\mathbf{X}\) 는 미니 배치의 입력 행렬에 대한 표기입니다. 2개의 은닉층(hidden layer)를 갖는 MLP는 다음과 같이 표현됩니다. \[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{H}_1 & = \sigma(\mathbf{W}_1 \mathbf{X} + \mathbf{b}_1) \\ \mathbf{H}_2 & = \sigma(\mathbf{W}_2 \mathbf{H}_1 + \mathbf{b}_2) \\ \mathbf{O} & = \mathrm{softmax}(\mathbf{W}_3 \mathbf{H}_2 + \mathbf{b}_3) \end{aligned}\end{split}\] 위 MLP는 구현을 쉽게 할 수 있고, 최적화도 쉽게 할 수 있습니다. 표기법을 조금 남용해서, 비선형(nonlinearity) \(\sigma\) 를 정의하고, 이를 행 단위로 입력에 적용하겠습니다. 즉, 한번에 하나의 관찰 또는 한번에 한 좌표씩 적용합니다. 실제 대부분 활성화 함수는 이렇게 적용합니다. (batch normalization 은 이 규칙에 대한 예외 중에 하나입니다.)

3.8.5. 활성화 함수(activation function)¶ 활성화 함수(activation function)의 예를 더 알아보겠습니다. 결국 딥 네트워트를 동작시키는 것은 선형(linear) 항목과 비선형(nonlinear) 항목들을 서로 교차시키는 것입니다. 구현하기 간단하고 좋은 효과로 유명한 ReLU 함수가 있습니다.

3.8.6. ReLU 함수¶ ReLU (rectified linear unit) 함수는 아주 간단한 비선형 변환입니다. 주어진 \(x\) 에 대해서, ReLU 함수는 다음과 같이 정의됩니다. \[\mathrm{ReLU}(x) = \max(x, 0).​\] ReLU 함수는 양수만 그대로 두고, 음수는 버리고 0으로 바꿔주는 역할을 합니다. 이해를 돕기 위해서 도표로 그려보겠습니다. 간단한 방법으로, 도표를 그리는 함수 xyplot 를 정의하겠습니다. [1]: import sys sys . path . insert ( 0 , ‘..’ ) % matplotlib inline import d2l from mxnet import autograd , nd def xyplot ( x_vals , y_vals , name ): d2l . set_figsize ( figsize = ( 5 , 2.5 )) d2l . plt . plot ( x_vals . asnumpy (), y_vals . asnumpy ()) d2l . plt . xlabel ( ‘x’ ) d2l . plt . ylabel ( name + ‘(x)’ ) 그리고, 이를 사용해서 ReLU 함수를 NDArray에서 제공하는 relu 함수를 이용해서 도식화합니다. 보이는 것처럼 활성화 함수(activation function)은 두 개의 선형 함수로 보입니다. [2]: x = nd . arange ( – 8.0 , 8.0 , 0.1 ) x . attach_grad () with autograd . record (): y = x . relu () xyplot ( x , y , ‘relu’ ) 당연히 입력이 음수일 경우 ReLU 함수의 미분 값은 0이고, 입력이 양수면 ReLU 함수의 미분 값이 1이됩니다. 하지만, 입력이 0일 경우에는 ReLU 함수는 미분이 불가능하기 때문에, 입력이 0일 때는 left-hand-side (LHS) 미분인 0으로 선택합니다. ReLU 함수의 미분은 다음과 같습니다. [3]: y . backward () xyplot ( x , x . grad , ‘grad of relu’ ) ReLU 함수는 다양한 변형이 있는데, 예를 들면 He et al., 2015. parameterized ReLU (pReLU)가 있습니다. 이는 ReLU 선형 항목을 추가해서, 입력이 음수일 경우에도 정보가 전달될 수 있도록 만들고 있습니다. \[\mathrm{pReLU}(x) = \max(0, x) – \alpha x​\] ReLU를 사용하는 이유는 값이 사라지거나 그대로 전달하게 하는 식으로 미분이 아주 잘 작동하기 때문입니다. 이러한 특징으로 인해 최적화가 더 잘 되고, (나중에 설명할) vanishing gradient 문제를 줄여줍니다.

3.8.7. Sigmoid 함수¶ sigmoid 함수는 실수 값을 (0,1) 사이의 값으로 변환해줍니다. \[\mathrm{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}.​\] sigmoid 함수는 이전의 뉴럴 네트워크에서 일반적으로 사용되었으나, 현재는 더 간단한 ReLU 함수로 대체되었습니다. “Recurrent Neural Network”장에서는 이 함수가 0과 1사이의 값으로 변환해주는 특징을 이용해서 뉴럴 네트워크에서 정보의 전달을 제어하는데 어떻게 사용하는지 보겠습니다. Sigmoid 함수의 미분은 아래 그림과 같습니다. 입력이 0에 가까워지면, Sigmoid 함수는 선형 변환에 가까워집니다. [4]: with autograd . record (): y = x . sigmoid () xyplot ( x , y , ‘sigmoid’ ) Sigmoid 함수의 미분은 아래와 같습니다. \[\frac{d}{dx} \mathrm{sigmoid}(x) = \frac{\exp(-x)}{(1 + \exp(-x))^2} = \mathrm{sigmoid}(x)\left(1-\mathrm{sigmoid}(x)\right).\] Sigmoid 함수의 미분은 아래와 같이 생겼습니다. 입력이 0이면, Sigmoid 함수의 미분의 최대값인 0.25가 됩니다. 입력값이 0에서 멀어지면, Sigmoid 함수의 미분값은 0으로 접근합니다. [5]: y . backward () xyplot ( x , x . grad , ‘grad of sigmoid’ )

3.8.8. Tanh 함수¶ Tanh (Hyperbolic Tangent) 함수는 값을 -1와 1사이 값으로 변환합니다. \[\text{tanh}(x) = \frac{1 – \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}.\] Tanh 함수를 도식화를 아래와 같이 할 수 있습니다. 입력이 0에 가까워지면, Tanh 함수는 선형 변환에 가까워 집니다. 생긴 모양이 Sigmoid 함수와 비슷하지만, Tanh 함수는 좌표의 원점을 기준으로 대칭인 형태를 띕니다. [6]: with autograd . record (): y = x . tanh () xyplot ( x , y , ‘tanh’ ) Tanh 함수의 미분은 다음과 같습니다. \[\frac{d}{dx} \mathrm{tanh}(x) = 1 – \mathrm{tanh}^2(x).​\] Tanh 함수의 미분은 아래와 같이 그려지는데, 입력이 0과 가까우면 Tanh 함수의 미분은 최대값이 1에 근접하게 됩니다. 입력값이 0에서 멀어지면, Tanh 함수의 미분은 0에 접근합니다. [7]: y . backward () xyplot ( x , x . grad , ‘grad of tanh’ ) 요약하면, 여러 종류의 비선형을 살펴봤고, 아주 강력한 네트워크 아키텍처를 만들기 위해서 어떻게 사용해야하는지도 알아봤습니다. 부수적으로 말하자면, 여기까지의 소개한 기법을 사용하면 1990년대의 최첨단의 딥러닝을 만들 수 있습니다. 이전과 다른 점은 예전에는 C 또는 Fortran 언어를 이용해서 수천 줄의 코드로 만들어야 했던 모델을 지금은 강력한 딥러닝 프레임워크가 있어서 몇 줄의 코드로 만들 수 있다는 점입니다.

3.8.9. 요약¶ 다층 퍼셉트론은 입력과 출력층에 한 개 이상의 완전 연결 은닉층(hidden layer)를 추가하고, 각 은닉층(hidden layer)의 결과에 활성화 함수(activation function)를 적용하는 것입니다.

일반적으로 사용되는 활성화 함수(activation function)는 ReLU 함수, Sigmoid 함수, Tanh 함수가 있습니다.

3.8.10. 문제¶ Tanh, pReLU 활성화 함수(activation function)의 미분을 구하시오. ReLU (또는 pReLU) 만을 사용해서 만든 multlayer perceptron은 연속된 piecewise linear function임을 증명하세요. \(\mathrm{tanh}(x) + 1 = 2 \mathrm{sigmoid}(2x)\) 임을 증명하세요. 층들 사이에 비선형없이 만든 다층 퍼셉트론이 있다고 가정합니다. \(d\) 입력 차원, \(d\) 출력 차원, 그리고 다른 layer는 \(d/2\) 차원을 찾는다고 했을 때, 이 네트워크는 단층 퍼셉트론(single layer perceptron) 보다 강하지 않다는 것을 증명하세요. 한번에 하나의 미니배치에 적용하는 비선형이 있다고 가정합니다. 이렇게 해서 발생하는 문제가 무엇이 있을까요?

다층 퍼셉트론 예제 | Ch09_01.다층신경망과 텐서플로(다층신경망이란)01 6371 투표 이 답변

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본강의는 KC대학교 재학생의 Blended Learning을 위해 제작되고 오픈되었습니다.

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Date Published: 6/1/2022

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Date Published: 1/8/2022

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: 퍼셉트론은 다수의 신호를 받아(input) 하나의 신호(0 또는 1)로 출력(output). Perceptron Example. x1, x2라는 신호 입력이 y라는 신호로 …

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Date Published: 3/14/2021

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다층 퍼셉트론 예시. 은닉층을 여러 개 쌓아 올린 인공 신경망을 심층 신경망(deep neural network, DNN)이라고 합니다. 딥러닝은 심층 신경망을 연구 …

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Date Published: 9/2/2022

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Date Published: 7/12/2022

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이번 포스팅에서는 [34편]~[36편] 내용에서 다룬 다층 퍼셉트론을 파이썬으로 구현한 코드를 소개하고, MNIST의 손글씨 숫자 60,000개의 샘플을 딥러닝 …

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Date Published: 6/22/2021

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간단한 예제로 살펴 볼 수 있다. [그림1] 다층 퍼셉트론 모델. 하나의 퍼셉트론 은 네개의 샘플 …

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Date Published: 9/19/2021

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퍼셉트론(Perceptron) … [예제 3-1]에서 x를 100% 정확하게 분류하는 퍼셉트론은 무수히 많다. 예를 들어, x_2노드에 연결된 가중치를 0.9로 …

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Date Published: 2/25/2021

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import numpy as np from keras.models import Sequential from keras.layers import Dense # 랜덤시드 고정시키기 np . random . seed ( 5 )

3.8. 다층 퍼셉트론 (Multilayer Perceptron)¶

이전 절들에서 옷 이미지를 10개의 카테고리 중에 어디에 속하는지를 예측하는 멀티 클래스 로지스틱 리그레션(multiclass logistic regression) (또는 softmax regression)을 구현해봤습니다. 여기서부터 재미있는 것들이 시작됩니다. 데이터를 다루고, 출력값을 유효한 확률 분포로 바꾸고, 적합한 loss 함수를 적용하고, 파라미터를 최적화하는 방법에 대해서 알아봤습니다. 기본적인 것들을 익혔으니, 이제 딥 뉴럴 네트워크를 포함하도록 우리의 도구 상자를 확장해보겠습니다.

3.8.1. 은닉층(hidden layer)¶ 이전의 것을 기억해보면, 단일 선형 변환 (single linear transformation)을 통해서 입력들을 바로 출력으로 매핑을 했고, 이는 아래과 같이 표현할 수 있습니다. \[\hat{\mathbf{o}} = \mathrm{softmax}(\mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b})\] 만약 레이블(label)들이 대략적인 선형 함수로 입력 데이터와 연관을 지을 수 있다면, 이 방법은 적절할 수 있습니다. 하지만, 이 선형성은 너무 강한 가정입니다. 선형성은 각 입력에 대해서, 입력값이 증가하면 다른 입력값과는 상관없이 결과값이 커지거나 작아지는 것을 의미합니다.

3.8.2. 하나에서 여러개로¶ 검정색이나 희색 이미지을 이용해서 강아지나 고양이를 분류하는 케이스를 생각해봅시다. 각 픽셀의 값을 증가시키면 강아지라고 판별할 확률값을 높이거나 내려가는 경우를 생각해봅시다. 이는 합당하지 않습니다. 왜냐하면, 이렇게 된다면 결국 강아지는 모두 검정색이고 고양이는 모두 흰색이거나 그 반대라는 것을 의미하기 때문입니다. 이미지에 무엇이 있는지 알아내기 위해서는 입력과 출력 간의 매우 복잡한 관계와 이를 위해서는 패턴이 많은 특성(feature)들 사이의 관계를 통해서 특정 지어지는 가능성을 고려해야합니다. 이런 경우에는, 선형 모델의 정확도는 낮을 것입니다. 우리는 한 개 이상의 은닉층(hidden layer)을 함께 사용해서 더 일반적인 함수들을 이용한 모델을 만들 수 있습니다. 이를 구현하는 가장 쉬운 방법은 각 층 위에 다른 층들을 쌓는 것입니다. 각 층의 결과는 그 위의 층의 입력으로 연결되는데, 이는 마지막 출력층까지 반복됩니다. 이런 아키텍쳐는 일반적으로 “다층 퍼셉트론(multilayer perceptron)”이라고 불립니다. 즉, MLP는 여러 층를 연속해서 쌓아올립니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 위 다층 퍼셉트론(multilayer perceptron)에서는 입력이 4개, 출력이 3개, 중간의 은닉층(hidden layer)은 5개의 은닉 유닛(hidden unit)이 있습니다. 입력층은 어떤 연산을 수행하지 않기 때문에, 이 다층 퍼셉트론(multilayer perceptron)은 총 2개의 층(layer)을 갖습니다. 은닉층(hidden layer)의 뉴런(neuron)들은 입력층의 입력들과 모두 연결되어 있습니다. 출력층(output layer)의 뉴런과 은닉층의 뉴런들도 모두 연결되어 있습니다. 따라서, 이 다층 퍼셉트론의 은닉층과 출력층은 모두 완전 연결층(fully connected layer)입니다.

3.8.3. 선형에서 비선형으로¶ 다중 클래스 분류의 경우 위 그림이 수학적으로 어떻게 정의되는지 보겠습니다. \[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{h} & = \mathbf{W}_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{o} & = \mathbf{W}_2 \mathbf{h} + \mathbf{b}_2 \\ \hat{\mathbf{y}} & = \mathrm{softmax}(\mathbf{o}) \end{aligned}\end{split}\] 위 방법의 문제점은 은닉층을 \(\mathbf{W} = \mathbf{W}_2 \mathbf{W}_1\) 과 \(\mathbf{b} = \mathbf{W}_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2\)를 사용해서 단일층 퍼셉트론(single layer perceptron) 식으로 재구성할 수 있기 때문에, 다층(mutilayer)이 아닌 단순한 단일층 퍼셉트론(single layer perceptron)이라는 점입니다. \[\mathbf{o} = \mathbf{W}_2 \mathbf{h} + \mathbf{b}_2 = \mathbf{W}_2 (\mathbf{W}_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1) + \mathbf{b}_2 = (\mathbf{W}_2 \mathbf{W}_1) \mathbf{x} + (\mathbf{W}_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2) = \mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b}\] 이를 해결하는 방법은 모든 층의 다음에 \(\mathrm{max}(x,0)\) 와 같은 비선형 함수 \(\sigma\) 를 추가하는 것입니다. 이렇게 하면, 층들을 합치는 것이 더 이상 불가능해집니다. 즉, \[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{h} & = \sigma(\mathbf{W}_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1) \\ \mathbf{o} & = \mathbf{W}_2 \mathbf{h} + \mathbf{b}_2 \\ \hat{\mathbf{y}} & = \mathrm{softmax}(\mathbf{o}) \end{aligned}\end{split}\] 이렇게 하면, 여러 개의 은닉층들을 쌓는 것도 가능합니다. 즉, \(\mathbf{h}_1 = \sigma(\mathbf{W}_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1)\) 과 \(\mathbf{h}_2 = \sigma(\mathbf{W}_2 \mathbf{h}_1 + \mathbf{b}_2)\) 를 각각 연결해서 진짜 다층 퍼셉트론을 만들 수 있습니다. 은닉 뉴런들이 각 입력의 값에 의존하고 있기 때문에 다층 퍼셉트론은 입력들 사이의 복잡한 상호 작용을 설명할 수 있습니다. 예를 들면, 입력들에 대한 논리 연산과 같이 임의의 연산을 수행하는 은닉 노드(hidden node)를 만드는 것도 쉽습니다. 다층 퍼셉트론이 보편적인 approximator라는 것이 잘 알려져 있습니다. 이것의 의미는 다음과 같습니다. 한 개의 은닉층을 갖는 다층 퍼셉트론이라도, 충분히 많은 노드와, 정확한 가중치를 설정할 수 있다면 모든 함수에 대한 모델을 만들 수 있다는 것입니다. 사실 그 함수를 학습하는 것은 매우 어려운 부분입니다. 그리고, 더 깊은 (또는 더 넓은) 뉴럴 네트워크를 이용한다면 함수를 더욱 더 간결하게 추정할 수도 있습니다. 수학적인 부분은 이어질 장들에서 다루겠고, 이 장에서는 MLP를 실제로 만들어 보겠습니다. 아래 예제에서는 2개의 은닉층과 1개의 출력층을 갖는 다층 퍼셉트론을 구현해보겠습니다.

3.8.4. 벡터화와 미니 배치¶ 샘플들이 미니 배치로 주어지는 경우에는 벡터화를 통해서 구현의 효율성을 높일 수 있습니다. 요약하면, 벡터를 행렬로 바꿀 것입니다. \(\mathbf{X}\) 는 미니 배치의 입력 행렬에 대한 표기입니다. 2개의 은닉층(hidden layer)를 갖는 MLP는 다음과 같이 표현됩니다. \[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{H}_1 & = \sigma(\mathbf{W}_1 \mathbf{X} + \mathbf{b}_1) \\ \mathbf{H}_2 & = \sigma(\mathbf{W}_2 \mathbf{H}_1 + \mathbf{b}_2) \\ \mathbf{O} & = \mathrm{softmax}(\mathbf{W}_3 \mathbf{H}_2 + \mathbf{b}_3) \end{aligned}\end{split}\] 위 MLP는 구현을 쉽게 할 수 있고, 최적화도 쉽게 할 수 있습니다. 표기법을 조금 남용해서, 비선형(nonlinearity) \(\sigma\) 를 정의하고, 이를 행 단위로 입력에 적용하겠습니다. 즉, 한번에 하나의 관찰 또는 한번에 한 좌표씩 적용합니다. 실제 대부분 활성화 함수는 이렇게 적용합니다. (batch normalization 은 이 규칙에 대한 예외 중에 하나입니다.)

3.8.5. 활성화 함수(activation function)¶ 활성화 함수(activation function)의 예를 더 알아보겠습니다. 결국 딥 네트워트를 동작시키는 것은 선형(linear) 항목과 비선형(nonlinear) 항목들을 서로 교차시키는 것입니다. 구현하기 간단하고 좋은 효과로 유명한 ReLU 함수가 있습니다.

3.8.6. ReLU 함수¶ ReLU (rectified linear unit) 함수는 아주 간단한 비선형 변환입니다. 주어진 \(x\) 에 대해서, ReLU 함수는 다음과 같이 정의됩니다. \[\mathrm{ReLU}(x) = \max(x, 0).​\] ReLU 함수는 양수만 그대로 두고, 음수는 버리고 0으로 바꿔주는 역할을 합니다. 이해를 돕기 위해서 도표로 그려보겠습니다. 간단한 방법으로, 도표를 그리는 함수 xyplot 를 정의하겠습니다. [1]: import sys sys . path . insert ( 0 , ‘..’ ) % matplotlib inline import d2l from mxnet import autograd , nd def xyplot ( x_vals , y_vals , name ): d2l . set_figsize ( figsize = ( 5 , 2.5 )) d2l . plt . plot ( x_vals . asnumpy (), y_vals . asnumpy ()) d2l . plt . xlabel ( ‘x’ ) d2l . plt . ylabel ( name + ‘(x)’ ) 그리고, 이를 사용해서 ReLU 함수를 NDArray에서 제공하는 relu 함수를 이용해서 도식화합니다. 보이는 것처럼 활성화 함수(activation function)은 두 개의 선형 함수로 보입니다. [2]: x = nd . arange ( – 8.0 , 8.0 , 0.1 ) x . attach_grad () with autograd . record (): y = x . relu () xyplot ( x , y , ‘relu’ ) 당연히 입력이 음수일 경우 ReLU 함수의 미분 값은 0이고, 입력이 양수면 ReLU 함수의 미분 값이 1이됩니다. 하지만, 입력이 0일 경우에는 ReLU 함수는 미분이 불가능하기 때문에, 입력이 0일 때는 left-hand-side (LHS) 미분인 0으로 선택합니다. ReLU 함수의 미분은 다음과 같습니다. [3]: y . backward () xyplot ( x , x . grad , ‘grad of relu’ ) ReLU 함수는 다양한 변형이 있는데, 예를 들면 He et al., 2015. parameterized ReLU (pReLU)가 있습니다. 이는 ReLU 선형 항목을 추가해서, 입력이 음수일 경우에도 정보가 전달될 수 있도록 만들고 있습니다. \[\mathrm{pReLU}(x) = \max(0, x) – \alpha x​\] ReLU를 사용하는 이유는 값이 사라지거나 그대로 전달하게 하는 식으로 미분이 아주 잘 작동하기 때문입니다. 이러한 특징으로 인해 최적화가 더 잘 되고, (나중에 설명할) vanishing gradient 문제를 줄여줍니다.

3.8.7. Sigmoid 함수¶ sigmoid 함수는 실수 값을 (0,1) 사이의 값으로 변환해줍니다. \[\mathrm{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}.​\] sigmoid 함수는 이전의 뉴럴 네트워크에서 일반적으로 사용되었으나, 현재는 더 간단한 ReLU 함수로 대체되었습니다. “Recurrent Neural Network”장에서는 이 함수가 0과 1사이의 값으로 변환해주는 특징을 이용해서 뉴럴 네트워크에서 정보의 전달을 제어하는데 어떻게 사용하는지 보겠습니다. Sigmoid 함수의 미분은 아래 그림과 같습니다. 입력이 0에 가까워지면, Sigmoid 함수는 선형 변환에 가까워집니다. [4]: with autograd . record (): y = x . sigmoid () xyplot ( x , y , ‘sigmoid’ ) Sigmoid 함수의 미분은 아래와 같습니다. \[\frac{d}{dx} \mathrm{sigmoid}(x) = \frac{\exp(-x)}{(1 + \exp(-x))^2} = \mathrm{sigmoid}(x)\left(1-\mathrm{sigmoid}(x)\right).\] Sigmoid 함수의 미분은 아래와 같이 생겼습니다. 입력이 0이면, Sigmoid 함수의 미분의 최대값인 0.25가 됩니다. 입력값이 0에서 멀어지면, Sigmoid 함수의 미분값은 0으로 접근합니다. [5]: y . backward () xyplot ( x , x . grad , ‘grad of sigmoid’ )

3.8.8. Tanh 함수¶ Tanh (Hyperbolic Tangent) 함수는 값을 -1와 1사이 값으로 변환합니다. \[\text{tanh}(x) = \frac{1 – \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}.\] Tanh 함수를 도식화를 아래와 같이 할 수 있습니다. 입력이 0에 가까워지면, Tanh 함수는 선형 변환에 가까워 집니다. 생긴 모양이 Sigmoid 함수와 비슷하지만, Tanh 함수는 좌표의 원점을 기준으로 대칭인 형태를 띕니다. [6]: with autograd . record (): y = x . tanh () xyplot ( x , y , ‘tanh’ ) Tanh 함수의 미분은 다음과 같습니다. \[\frac{d}{dx} \mathrm{tanh}(x) = 1 – \mathrm{tanh}^2(x).​\] Tanh 함수의 미분은 아래와 같이 그려지는데, 입력이 0과 가까우면 Tanh 함수의 미분은 최대값이 1에 근접하게 됩니다. 입력값이 0에서 멀어지면, Tanh 함수의 미분은 0에 접근합니다. [7]: y . backward () xyplot ( x , x . grad , ‘grad of tanh’ ) 요약하면, 여러 종류의 비선형을 살펴봤고, 아주 강력한 네트워크 아키텍처를 만들기 위해서 어떻게 사용해야하는지도 알아봤습니다. 부수적으로 말하자면, 여기까지의 소개한 기법을 사용하면 1990년대의 최첨단의 딥러닝을 만들 수 있습니다. 이전과 다른 점은 예전에는 C 또는 Fortran 언어를 이용해서 수천 줄의 코드로 만들어야 했던 모델을 지금은 강력한 딥러닝 프레임워크가 있어서 몇 줄의 코드로 만들 수 있다는 점입니다.

3.8.9. 요약¶ 다층 퍼셉트론은 입력과 출력층에 한 개 이상의 완전 연결 은닉층(hidden layer)를 추가하고, 각 은닉층(hidden layer)의 결과에 활성화 함수(activation function)를 적용하는 것입니다.

일반적으로 사용되는 활성화 함수(activation function)는 ReLU 함수, Sigmoid 함수, Tanh 함수가 있습니다.

3.8.10. 문제¶ Tanh, pReLU 활성화 함수(activation function)의 미분을 구하시오. ReLU (또는 pReLU) 만을 사용해서 만든 multlayer perceptron은 연속된 piecewise linear function임을 증명하세요. \(\mathrm{tanh}(x) + 1 = 2 \mathrm{sigmoid}(2x)\) 임을 증명하세요. 층들 사이에 비선형없이 만든 다층 퍼셉트론이 있다고 가정합니다. \(d\) 입력 차원, \(d\) 출력 차원, 그리고 다른 layer는 \(d/2\) 차원을 찾는다고 했을 때, 이 네트워크는 단층 퍼셉트론(single layer perceptron) 보다 강하지 않다는 것을 증명하세요. 한번에 하나의 미니배치에 적용하는 비선형이 있다고 가정합니다. 이렇게 해서 발생하는 문제가 무엇이 있을까요?

퍼셉트론의 개념 (단층 퍼셉트론

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퍼셉트론이란 ?

퍼셉트론은 다수의 신호를 입력으로 받아 하나의 신호를 출력한다. 쉽게 말하면 입출력을 갖춘 알고리즘이며 입력을 주면 정해진 규칙에 따른 값을 출력하는 것이다. 다시 말하면, 입력 값에 대해 출력 값이 어떻게 나올지 예측하는 기계이다. 입력->연산->출력 시스템이다.

이렇게 어떠한 것의 동작 원리를 정확히 파악할 수 없을 때 취할 수 있는 방식 중 하나는 우리가 조정할 수 있는 매개변수 값을 포함하는 모델을 만드는 것이다. 가중치와 편향을 매개변수로 설정한다. 매개변수를 포함하는 선형함수 모델을 만들어보자. 이후, 예측 값과 실제 값을 비교해 오차를 도출하고 이를 기준으로 조정한다.

퍼셉트론은 사람 뇌의 단일 뉴런이 작동하는 방법을 흉내내기 위해 환원 접근법 (reductionist approach)을 이용한다.초기 가중치를 임의의 값으로 정의하고 예측값의 활성 함수 리턴값과 실제 결과값의 활성 함수 리턴값이 동일하게 나올 때까지 가중치의 값을 계속 수정하는 방법이다.

인공신경망의 처리 방식

기본적인 퍼셉트론의 경우, 초평면으로 n차원 공간을 두 개의 결정 영역으로 나뉜다. 초평면을 선형 분리 함수로 정의하며 식은 아래와 같다. 임계값 세타는 결정 경계를 옮기는 데 쓰인다.

선형 분리 함수 수식

단층 퍼셉트론이란 ?

아래 그림에서 원을 뉴런 혹은 노드라고 부르며, 입력 신호가 뉴런에 보내질 때는 각각 고유한 가중치가 곱해진다. (w1,w2) 가중치는 각 신호가 결과에 주는 영향력을 조절하는 요소로 작용한다. 즉, 가중치가 클 수록 해당 신호가 그만큼 더 중요함을 뜻한다. 그 신호를 받은 다음 뉴런은 이전 뉴런에서 보내온 신호의 총합이 정해진 한계를 넘어설 때만 1을 출력한다. 그 한계를 보통 임계 값 (theta)이라 한다. 가중치를 갖는 층이 한 층이기 때문에 단층 퍼셉트론이라고 부른다. (문헌에 따라 층을 세는 기준은 다르다.)

단층 퍼셉트론 도식

이를 수식으로 나타내면 왼쪽과 같은 식이 된다. 오른쪽은 세타를 -b로 치환한 것이다. 여기에서 b를 편향(bias)이라 하며 w1과 w2는 그대로 가중치이다.

단층 퍼셉트론 수식

더 간결한 형태로 다시 작성해보자. 이를 위해서 조건 분기의 동작을 하나의 함수로 나타낸다. 이 함수를 h(x)라 하면 다음과 같이 표현할 수 있다. 이는 계단 함수(step function)의 형태를 띄고 있다.

단층 퍼셉트론 수식2

선형적 분류 (classifier) ?

선형함수(y=ax+c)는 말 그대로 입력 값을 받아 출력 값을 출력했을 때 그 형태가 직선으로 나오게 된다. 우리는 선형함수에서 매개변수 값인 a값과 c값을 조정함으로써 직선의 기울기와 위치를 변화 시킬 수 있다. 원래의 데이터를 통해 적절한 매개변수 값을 조정하여 직선의 기울기를 변화시키고, 이 직선(분류자)을 기준으로 미지의 데이터를 분류자를 기준으로 분류해낸다. 여기서 학습이 필요하다!

그렇다면 선형 분류자를 학습시켜서 잘 분류하게 하려면 어떻게 해야 할까? 임의의 선에서 시작해서 최적의 기울기를 찾는 과정이 학습이다. 우리는 실제 값을 가지는 예제 데이터에 기초해 분류자 함수의 기울기를 구하게 된다. 이 때 예제 데이터를 학습 데이터(training data)라고 부른다.

학습의 과정은 임의의 수로 시작하여 ‘오차’를 통해 기울기를 변화시킨다. 오차는 목표 값과 실제 출력 값 간의 차이이다. 그러나 직선이 오차만을 기준으로 업데이트한다면 최종적으로는 그저 마지막 학습 데이터에 맞춰진 업데이트 결과만을 얻게 된다. 이를 해결하기 위해 업데이트의 정도를 조금씩 조정할 수 있게 해주는 학습률(learning rate)에 대한 개념이 나오게 된다. 각각의 새로운 a로 바로 점프하는 것이 아니라 일부씩만 업데이트 하는 것이다. 즉 기존 여러 번의 학습에 기초해 업데이트된 값을 유지하면서, 학습 데이터가 제시하는 방향으로 조금씩만 움직이는 것이다. 이는 좋은 의미의 부작용도 수반한다. 실제 현업에서는 학습 데이터 자체에 문제가 있는 경우가 많고, 학습 데이터 자체가 오차 또는 잡음을 가지므로 완벽하게 정확하지도 않으며 심지어 신뢰할 수 없는 경우가 많이 있는데, 업데이트의 정도를 조정해가는 방법은 이러한 학습 데이터의 오차나 잡음의 영향을 약화시켜 준다.

선형적 분류 – 신경망 첫걸음 책

이제 위에서 말로 설명한 것을 수식으로 봐보도록 하자.

우선, y=Ax에 적정한 값을 넣고 시작하여 오차를 통해 매개변수 A를 조정한다.

이후 A를 정교화 하기 위해서는 여기서 오차 E와 기울기 A의 관계를 알아야한다. 아래의 수식을 살펴보자.

오차 E가 양수면 퍼셉트론의 출력을 증가하고, 음수면 퍼셉트론의 출력을 감소한다.

오차에 기초해 매개변수 A 업데이트

하지만 위와 같은 업데이트 방식은 마지막 학습 데이터에 맞춰진 결과만을 얻게 된다.

따라서 업데이트의 정도를 조금씩 조정하기 위해 학습률을 도입해보자. 그럼 아래와 같은 수식을 얻게 된다.

이때 학습률은 1보다 작은 양의 상수이다. 예를 들어 L=0.5이면, 조정이 없을 때에 비해 1/2만큼만 업데이트 하겠다는 의미이다.

L은 학습률

선형 분류자의 한계점

1. 직선형 영역만 표현할 수 있다. 데이터들의 차이가 확연히 두드러지지 않는다면 두 가지의 종류조차도 분류하지 못할 수도 있다는 말과 같다.

2. 단층 퍼셉트론에서 논리함수를 예로 들어보면, AND, NAND, OR 논리회로를 계산할 수 있지만 XOR(배타적 논리합)의 경우 단일 선형 프로세스로 데이터를 분류해낼 수 없다. 여러 개의 선형 분류자를 이용해서 데이터를 나누거나 한 선으로는 곡선으로 나눌 수 있기 때문에 비선형 분류이다.

논리 함수 (Boolean logic)

python 단층 퍼셉트론 구현

다층 퍼셉트론?

그래서 다층 퍼셉트론이 나왔다. (Multi-layer Perceptron, MLP)

단층 퍼셉트론은 입력층과 출력층만 존재하지만, 다층 퍼셉트론은 중간에 은닉층(hidden layer)이라 불리는 층을 더 추가하였다. XOR 게이트는 기존의 AND, NAND, OR 게이트를 조합하여 만들 수 있기 때문에 퍼셉트론에서 층을 계속 추가하면서 만들 수 있다. 이렇게 층을 여러겹으로 쌓아가면서 선형 분류만으로 풀기 못했던 문제를 비선형적으로 풀 수 있게 된다. 각 층에서 오차는 역전파 알고리즘을 통해 업데이트해나간다.

다층 퍼셉트론은 은닉층이 1개 이상인 퍼셉트론을 의미한다. 은닉층이 2개일 수도 있고 수십, 수백개일 수도 있다. 은닉층이 2개 이상인 신경망을 심층 신경망 (Deep Neural Network, DNN) 이라고 한다. 복잡한 문제를 해결하기 위해서는 신경망의 층수를 여러층 쌓은 모델을 이용해야 하는데, 깊은 층수를 쌓을 경우 역전파(Backpropagtion) 학습과정에서 데이터가 사라져 학습이 잘 되지 않는 현상인 Vanishing Gradient 문제가 있다. 또한, 학습한 내용은 잘 처리하나 새로운 사실을 추론하는 것, 새로운 데이터를 처리하는 것을 잘하지 못하는 한계도 있었다. 이러한 신경망을 ‘인공 신경망’이라고 부른다.

(학습과정과 현상에 대해서는 다음 포스팅에서 알아보도록 한다)

이러한 한계를 극복한 인공신경망을 딥러닝 (Deep Learning)이라고 한다. 캐나다 토론토 대학 제프리 힌튼(Geoffrey Hinton) 교수는 2006년에 깊은 층수의 신경망 학습시 사전 학습(Pretraining)을 통해서 학습함으로써 Vanishing Gradient 문제를 해결할 수 있음을 밝혔다. 또한 새로운 데이터를 잘 처리하지 못하는 문제는 학습 도중에 고의로 데이터를 누락시키는 방법(dropout)을 사용하여 해결할 수 있음을 2012년에 밝혔다.

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Top 18 다층 퍼셉트론 예제 The 125 Top Answers

Ch09_01.다층신경망과 텐서플로(다층신경망이란)01

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다층 퍼셉트론 모델 만들어보기

Article author: tykimos.github.io

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다층 퍼셉트론 모델 만들어보기

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3.8. 다층 í¼ì ‰íŠ¸ë¡ (Multilayer Perceptron) — Dive into Deep Learning documentation

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381 은닉층(hidden layer)¶

382 하나에서 여러개로¶

383 ì„ í˜•ì—ì„œ ë¹„ì„ í˜•ìœ¼ë¡œÂ¶

384 벡터화와 미니 배치¶

385 활성화 함수(activation function)¶

386 ReLU 함수¶

387 Sigmoid 함수¶

388 Tanh 함수¶

389 요약¶

3810 ë¬¸ì œÂ¶

3811 Scan the QR Code to Discuss¶

3.8. 다층 í¼ì ‰íŠ¸ë¡ (Multilayer Perceptron) — Dive into Deep Learning documentation

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퍼셉트론의 개념 (단층 퍼셉트론 / 다층 퍼셉트론)

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웅웅 영넌이 말이 다 맞아요!!

퍼셉트론의 개념 (단층 퍼셉트론 다층 퍼셉트론) 본문

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퍼셉트론의 개념 (단층 퍼셉트론 / 다층 퍼셉트론)

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카이제곱 :: 다층 퍼셉트론

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카이제곱 :: 다층 퍼셉트론

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퍼셉트론(Perceptron)과 다층 퍼셉트론(MLP)

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퍼셉트론(Perceptron)과 다층 퍼셉트론(MLP)

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[37편] 다층 퍼셉트론 구현하기 : 네이버 블로그

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[ML] 퍼셉트론(Perceptron)의 개념과 구조, 동작, 학습

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퍼셉트론(Perceptron)

1 구조

2 동작

3 학습

[ML] 퍼셉트론(Perceptron)의 개념과 구조, 동작, 학습

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[머신 러닝] 다층 퍼셉트론 — Justweon

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파이썬 날코딩으로 알고 짜는 딥러닝: 프레임워크 없이 단층 퍼셉트론에서 GAN까지 – 윤덕호 – Google Sách

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파이썬 날코딩으로 알고 짜는 딥러닝: 프레임워크 없이 단층 퍼셉트론에서 GAN까지 – 윤덕호 – Google Sách

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3.8. 다층 퍼셉트론 (Multilayer Perceptron) — Dive into Deep Learning documentation

3.8. 다층 퍼셉트론 (Multilayer Perceptron)¶ 이전 절들에서 옷 이미지를 10개의 카테고리 중에 어디에 속하는지를 예측하는 멀티 클래스 로지스틱 리그레션(multiclass logistic regression) (또는 softmax regression)을 구현해봤습니다. 여기서부터 재미있는 것들이 시작됩니다. 데이터를 다루고, 출력값을 유효한 확률 분포로 바꾸고, 적합한 loss 함수를 적용하고, 파라미터를 최적화하는 방법에 대해서 알아봤습니다. 기본적인 것들을 익혔으니, 이제 딥 뉴럴 네트워크를 포함하도록 우리의 도구 상자를 확장해보겠습니다. 3.8.1. 은닉층(hidden layer)¶ 이전의 것을 기억해보면, 단일 선형 변환 (single linear transformation)을 통해서 입력들을 바로 출력으로 매핑을 했고, 이는 아래과 같이 표현할 수 있습니다. \[\hat{\mathbf{o}} = \mathrm{softmax}(\mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b})\] 만약 레이블(label)들이 대략적인 선형 함수로 입력 데이터와 연관을 지을 수 있다면, 이 방법은 적절할 수 있습니다. 하지만, 이 선형성은 너무 강한 가정입니다. 선형성은 각 입력에 대해서, 입력값이 증가하면 다른 입력값과는 상관없이 결과값이 커지거나 작아지는 것을 의미합니다. 3.8.2. 하나에서 여러개로¶ 검정색이나 희색 이미지을 이용해서 강아지나 고양이를 분류하는 케이스를 생각해봅시다. 각 픽셀의 값을 증가시키면 강아지라고 판별할 확률값을 높이거나 내려가는 경우를 생각해봅시다. 이는 합당하지 않습니다. 왜냐하면, 이렇게 된다면 결국 강아지는 모두 검정색이고 고양이는 모두 흰색이거나 그 반대라는 것을 의미하기 때문입니다. 이미지에 무엇이 있는지 알아내기 위해서는 입력과 출력 간의 매우 복잡한 관계와 이를 위해서는 패턴이 많은 특성(feature)들 사이의 관계를 통해서 특정 지어지는 가능성을 고려해야합니다. 이런 경우에는, 선형 모델의 정확도는 낮을 것입니다. 우리는 한 개 이상의 은닉층(hidden layer)을 함께 사용해서 더 일반적인 함수들을 이용한 모델을 만들 수 있습니다. 이를 구현하는 가장 쉬운 방법은 각 층 위에 다른 층들을 쌓는 것입니다. 각 층의 결과는 그 위의 층의 입력으로 연결되는데, 이는 마지막 출력층까지 반복됩니다. 이런 아키텍쳐는 일반적으로 “다층 퍼셉트론(multilayer perceptron)”이라고 불립니다. 즉, MLP는 여러 층를 연속해서 쌓아올립니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 위 다층 퍼셉트론(multilayer perceptron)에서는 입력이 4개, 출력이 3개, 중간의 은닉층(hidden layer)은 5개의 은닉 유닛(hidden unit)이 있습니다. 입력층은 어떤 연산을 수행하지 않기 때문에, 이 다층 퍼셉트론(multilayer perceptron)은 총 2개의 층(layer)을 갖습니다. 은닉층(hidden layer)의 뉴런(neuron)들은 입력층의 입력들과 모두 연결되어 있습니다. 출력층(output layer)의 뉴런과 은닉층의 뉴런들도 모두 연결되어 있습니다. 따라서, 이 다층 퍼셉트론의 은닉층과 출력층은 모두 완전 연결층(fully connected layer)입니다. 3.8.3. 선형에서 비선형으로¶ 다중 클래스 분류의 경우 위 그림이 수학적으로 어떻게 정의되는지 보겠습니다. \[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{h} & = \mathbf{W}_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{o} & = \mathbf{W}_2 \mathbf{h} + \mathbf{b}_2 \\ \hat{\mathbf{y}} & = \mathrm{softmax}(\mathbf{o}) \end{aligned}\end{split}\] 위 방법의 문제점은 은닉층을 \(\mathbf{W} = \mathbf{W}_2 \mathbf{W}_1\) 과 \(\mathbf{b} = \mathbf{W}_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2\)를 사용해서 단일층 퍼셉트론(single layer perceptron) 식으로 재구성할 수 있기 때문에, 다층(mutilayer)이 아닌 단순한 단일층 퍼셉트론(single layer perceptron)이라는 점입니다. \[\mathbf{o} = \mathbf{W}_2 \mathbf{h} + \mathbf{b}_2 = \mathbf{W}_2 (\mathbf{W}_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1) + \mathbf{b}_2 = (\mathbf{W}_2 \mathbf{W}_1) \mathbf{x} + (\mathbf{W}_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2) = \mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b}\] 이를 해결하는 방법은 모든 층의 다음에 \(\mathrm{max}(x,0)\) 와 같은 비선형 함수 \(\sigma\) 를 추가하는 것입니다. 이렇게 하면, 층들을 합치는 것이 더 이상 불가능해집니다. 즉, \[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{h} & = \sigma(\mathbf{W}_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1) \\ \mathbf{o} & = \mathbf{W}_2 \mathbf{h} + \mathbf{b}_2 \\ \hat{\mathbf{y}} & = \mathrm{softmax}(\mathbf{o}) \end{aligned}\end{split}\] 이렇게 하면, 여러 개의 은닉층들을 쌓는 것도 가능합니다. 즉, \(\mathbf{h}_1 = \sigma(\mathbf{W}_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1)\) 과 \(\mathbf{h}_2 = \sigma(\mathbf{W}_2 \mathbf{h}_1 + \mathbf{b}_2)\) 를 각각 연결해서 진짜 다층 퍼셉트론을 만들 수 있습니다. 은닉 뉴런들이 각 입력의 값에 의존하고 있기 때문에 다층 퍼셉트론은 입력들 사이의 복잡한 상호 작용을 설명할 수 있습니다. 예를 들면, 입력들에 대한 논리 연산과 같이 임의의 연산을 수행하는 은닉 노드(hidden node)를 만드는 것도 쉽습니다. 다층 퍼셉트론이 보편적인 approximator라는 것이 잘 알려져 있습니다. 이것의 의미는 다음과 같습니다. 한 개의 은닉층을 갖는 다층 퍼셉트론이라도, 충분히 많은 노드와, 정확한 가중치를 설정할 수 있다면 모든 함수에 대한 모델을 만들 수 있다는 것입니다. 사실 그 함수를 학습하는 것은 매우 어려운 부분입니다. 그리고, 더 깊은 (또는 더 넓은) 뉴럴 네트워크를 이용한다면 함수를 더욱 더 간결하게 추정할 수도 있습니다. 수학적인 부분은 이어질 장들에서 다루겠고, 이 장에서는 MLP를 실제로 만들어 보겠습니다. 아래 예제에서는 2개의 은닉층과 1개의 출력층을 갖는 다층 퍼셉트론을 구현해보겠습니다. 3.8.4. 벡터화와 미니 배치¶ 샘플들이 미니 배치로 주어지는 경우에는 벡터화를 통해서 구현의 효율성을 높일 수 있습니다. 요약하면, 벡터를 행렬로 바꿀 것입니다. \(\mathbf{X}\) 는 미니 배치의 입력 행렬에 대한 표기입니다. 2개의 은닉층(hidden layer)를 갖는 MLP는 다음과 같이 표현됩니다. \[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{H}_1 & = \sigma(\mathbf{W}_1 \mathbf{X} + \mathbf{b}_1) \\ \mathbf{H}_2 & = \sigma(\mathbf{W}_2 \mathbf{H}_1 + \mathbf{b}_2) \\ \mathbf{O} & = \mathrm{softmax}(\mathbf{W}_3 \mathbf{H}_2 + \mathbf{b}_3) \end{aligned}\end{split}\] 위 MLP는 구현을 쉽게 할 수 있고, 최적화도 쉽게 할 수 있습니다. 표기법을 조금 남용해서, 비선형(nonlinearity) \(\sigma\) 를 정의하고, 이를 행 단위로 입력에 적용하겠습니다. 즉, 한번에 하나의 관찰 또는 한번에 한 좌표씩 적용합니다. 실제 대부분 활성화 함수는 이렇게 적용합니다. (batch normalization 은 이 규칙에 대한 예외 중에 하나입니다.) 3.8.5. 활성화 함수(activation function)¶ 활성화 함수(activation function)의 예를 더 알아보겠습니다. 결국 딥 네트워트를 동작시키는 것은 선형(linear) 항목과 비선형(nonlinear) 항목들을 서로 교차시키는 것입니다. 구현하기 간단하고 좋은 효과로 유명한 ReLU 함수가 있습니다. 3.8.6. ReLU 함수¶ ReLU (rectified linear unit) 함수는 아주 간단한 비선형 변환입니다. 주어진 \(x\) 에 대해서, ReLU 함수는 다음과 같이 정의됩니다. \[\mathrm{ReLU}(x) = \max(x, 0).​\] ReLU 함수는 양수만 그대로 두고, 음수는 버리고 0으로 바꿔주는 역할을 합니다. 이해를 돕기 위해서 도표로 그려보겠습니다. 간단한 방법으로, 도표를 그리는 함수 xyplot 를 정의하겠습니다. [1]: import sys sys . path . insert ( 0 , ‘..’ ) % matplotlib inline import d2l from mxnet import autograd , nd def xyplot ( x_vals , y_vals , name ): d2l . set_figsize ( figsize = ( 5 , 2.5 )) d2l . plt . plot ( x_vals . asnumpy (), y_vals . asnumpy ()) d2l . plt . xlabel ( ‘x’ ) d2l . plt . ylabel ( name + ‘(x)’ ) 그리고, 이를 사용해서 ReLU 함수를 NDArray에서 제공하는 relu 함수를 이용해서 도식화합니다. 보이는 것처럼 활성화 함수(activation function)은 두 개의 선형 함수로 보입니다. [2]: x = nd . arange ( – 8.0 , 8.0 , 0.1 ) x . attach_grad () with autograd . record (): y = x . relu () xyplot ( x , y , ‘relu’ ) 당연히 입력이 음수일 경우 ReLU 함수의 미분 값은 0이고, 입력이 양수면 ReLU 함수의 미분 값이 1이됩니다. 하지만, 입력이 0일 경우에는 ReLU 함수는 미분이 불가능하기 때문에, 입력이 0일 때는 left-hand-side (LHS) 미분인 0으로 선택합니다. ReLU 함수의 미분은 다음과 같습니다. [3]: y . backward () xyplot ( x , x . grad , ‘grad of relu’ ) ReLU 함수는 다양한 변형이 있는데, 예를 들면 He et al., 2015. parameterized ReLU (pReLU)가 있습니다. 이는 ReLU 선형 항목을 추가해서, 입력이 음수일 경우에도 정보가 전달될 수 있도록 만들고 있습니다. \[\mathrm{pReLU}(x) = \max(0, x) – \alpha x​\] ReLU를 사용하는 이유는 값이 사라지거나 그대로 전달하게 하는 식으로 미분이 아주 잘 작동하기 때문입니다. 이러한 특징으로 인해 최적화가 더 잘 되고, (나중에 설명할) vanishing gradient 문제를 줄여줍니다. 3.8.7. Sigmoid 함수¶ sigmoid 함수는 실수 값을 (0,1) 사이의 값으로 변환해줍니다. \[\mathrm{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}.​\] sigmoid 함수는 이전의 뉴럴 네트워크에서 일반적으로 사용되었으나, 현재는 더 간단한 ReLU 함수로 대체되었습니다. “Recurrent Neural Network”장에서는 이 함수가 0과 1사이의 값으로 변환해주는 특징을 이용해서 뉴럴 네트워크에서 정보의 전달을 제어하는데 어떻게 사용하는지 보겠습니다. Sigmoid 함수의 미분은 아래 그림과 같습니다. 입력이 0에 가까워지면, Sigmoid 함수는 선형 변환에 가까워집니다. [4]: with autograd . record (): y = x . sigmoid () xyplot ( x , y , ‘sigmoid’ ) Sigmoid 함수의 미분은 아래와 같습니다. \[\frac{d}{dx} \mathrm{sigmoid}(x) = \frac{\exp(-x)}{(1 + \exp(-x))^2} = \mathrm{sigmoid}(x)\left(1-\mathrm{sigmoid}(x)\right).\] Sigmoid 함수의 미분은 아래와 같이 생겼습니다. 입력이 0이면, Sigmoid 함수의 미분의 최대값인 0.25가 됩니다. 입력값이 0에서 멀어지면, Sigmoid 함수의 미분값은 0으로 접근합니다. [5]: y . backward () xyplot ( x , x . grad , ‘grad of sigmoid’ ) 3.8.8. Tanh 함수¶ Tanh (Hyperbolic Tangent) 함수는 값을 -1와 1사이 값으로 변환합니다. \[\text{tanh}(x) = \frac{1 – \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}.\] Tanh 함수를 도식화를 아래와 같이 할 수 있습니다. 입력이 0에 가까워지면, Tanh 함수는 선형 변환에 가까워 집니다. 생긴 모양이 Sigmoid 함수와 비슷하지만, Tanh 함수는 좌표의 원점을 기준으로 대칭인 형태를 띕니다. [6]: with autograd . record (): y = x . tanh () xyplot ( x , y , ‘tanh’ ) Tanh 함수의 미분은 다음과 같습니다. \[\frac{d}{dx} \mathrm{tanh}(x) = 1 – \mathrm{tanh}^2(x).​\] Tanh 함수의 미분은 아래와 같이 그려지는데, 입력이 0과 가까우면 Tanh 함수의 미분은 최대값이 1에 근접하게 됩니다. 입력값이 0에서 멀어지면, Tanh 함수의 미분은 0에 접근합니다. [7]: y . backward () xyplot ( x , x . grad , ‘grad of tanh’ ) 요약하면, 여러 종류의 비선형을 살펴봤고, 아주 강력한 네트워크 아키텍처를 만들기 위해서 어떻게 사용해야하는지도 알아봤습니다. 부수적으로 말하자면, 여기까지의 소개한 기법을 사용하면 1990년대의 최첨단의 딥러닝을 만들 수 있습니다. 이전과 다른 점은 예전에는 C 또는 Fortran 언어를 이용해서 수천 줄의 코드로 만들어야 했던 모델을 지금은 강력한 딥러닝 프레임워크가 있어서 몇 줄의 코드로 만들 수 있다는 점입니다. 3.8.9. 요약¶ 다층 퍼셉트론은 입력과 출력층에 한 개 이상의 완전 연결 은닉층(hidden layer)를 추가하고, 각 은닉층(hidden layer)의 결과에 활성화 함수(activation function)를 적용하는 것입니다. 일반적으로 사용되는 활성화 함수(activation function)는 ReLU 함수, Sigmoid 함수, Tanh 함수가 있습니다. 3.8.10. 문제¶ Tanh, pReLU 활성화 함수(activation function)의 미분을 구하시오. ReLU (또는 pReLU) 만을 사용해서 만든 multlayer perceptron은 연속된 piecewise linear function임을 증명하세요. \(\mathrm{tanh}(x) + 1 = 2 \mathrm{sigmoid}(2x)\) 임을 증명하세요. 층들 사이에 비선형없이 만든 다층 퍼셉트론이 있다고 가정합니다. \(d\) 입력 차원, \(d\) 출력 차원, 그리고 다른 layer는 \(d/2\) 차원을 찾는다고 했을 때, 이 네트워크는 단층 퍼셉트론(single layer perceptron) 보다 강하지 않다는 것을 증명하세요. 한번에 하나의 미니배치에 적용하는 비선형이 있다고 가정합니다. 이렇게 해서 발생하는 문제가 무엇이 있을까요?

퍼셉트론의 개념 (단층 퍼셉트론

728×90 퍼셉트론이란 ? 퍼셉트론은 다수의 신호를 입력으로 받아 하나의 신호를 출력한다. 쉽게 말하면 입출력을 갖춘 알고리즘이며 입력을 주면 정해진 규칙에 따른 값을 출력하는 것이다. 다시 말하면, 입력 값에 대해 출력 값이 어떻게 나올지 예측하는 기계이다. 입력->연산->출력 시스템이다. 이렇게 어떠한 것의 동작 원리를 정확히 파악할 수 없을 때 취할 수 있는 방식 중 하나는 우리가 조정할 수 있는 매개변수 값을 포함하는 모델을 만드는 것이다. 가중치와 편향을 매개변수로 설정한다. 매개변수를 포함하는 선형함수 모델을 만들어보자. 이후, 예측 값과 실제 값을 비교해 오차를 도출하고 이를 기준으로 조정한다. 퍼셉트론은 사람 뇌의 단일 뉴런이 작동하는 방법을 흉내내기 위해 환원 접근법 (reductionist approach)을 이용한다.초기 가중치를 임의의 값으로 정의하고 예측값의 활성 함수 리턴값과 실제 결과값의 활성 함수 리턴값이 동일하게 나올 때까지 가중치의 값을 계속 수정하는 방법이다. 인공신경망의 처리 방식 기본적인 퍼셉트론의 경우, 초평면으로 n차원 공간을 두 개의 결정 영역으로 나뉜다. 초평면을 선형 분리 함수로 정의하며 식은 아래와 같다. 임계값 세타는 결정 경계를 옮기는 데 쓰인다. 선형 분리 함수 수식 단층 퍼셉트론이란 ? 아래 그림에서 원을 뉴런 혹은 노드라고 부르며, 입력 신호가 뉴런에 보내질 때는 각각 고유한 가중치가 곱해진다. (w1,w2) 가중치는 각 신호가 결과에 주는 영향력을 조절하는 요소로 작용한다. 즉, 가중치가 클 수록 해당 신호가 그만큼 더 중요함을 뜻한다. 그 신호를 받은 다음 뉴런은 이전 뉴런에서 보내온 신호의 총합이 정해진 한계를 넘어설 때만 1을 출력한다. 그 한계를 보통 임계 값 (theta)이라 한다. 가중치를 갖는 층이 한 층이기 때문에 단층 퍼셉트론이라고 부른다. (문헌에 따라 층을 세는 기준은 다르다.) 단층 퍼셉트론 도식 이를 수식으로 나타내면 왼쪽과 같은 식이 된다. 오른쪽은 세타를 -b로 치환한 것이다. 여기에서 b를 편향(bias)이라 하며 w1과 w2는 그대로 가중치이다. 단층 퍼셉트론 수식 더 간결한 형태로 다시 작성해보자. 이를 위해서 조건 분기의 동작을 하나의 함수로 나타낸다. 이 함수를 h(x)라 하면 다음과 같이 표현할 수 있다. 이는 계단 함수(step function)의 형태를 띄고 있다. 단층 퍼셉트론 수식2 선형적 분류 (classifier) ? 선형함수(y=ax+c)는 말 그대로 입력 값을 받아 출력 값을 출력했을 때 그 형태가 직선으로 나오게 된다. 우리는 선형함수에서 매개변수 값인 a값과 c값을 조정함으로써 직선의 기울기와 위치를 변화 시킬 수 있다. 원래의 데이터를 통해 적절한 매개변수 값을 조정하여 직선의 기울기를 변화시키고, 이 직선(분류자)을 기준으로 미지의 데이터를 분류자를 기준으로 분류해낸다. 여기서 학습이 필요하다! 그렇다면 선형 분류자를 학습시켜서 잘 분류하게 하려면 어떻게 해야 할까? 임의의 선에서 시작해서 최적의 기울기를 찾는 과정이 학습이다. 우리는 실제 값을 가지는 예제 데이터에 기초해 분류자 함수의 기울기를 구하게 된다. 이 때 예제 데이터를 학습 데이터(training data)라고 부른다. 학습의 과정은 임의의 수로 시작하여 ‘오차’를 통해 기울기를 변화시킨다. 오차는 목표 값과 실제 출력 값 간의 차이이다. 그러나 직선이 오차만을 기준으로 업데이트한다면 최종적으로는 그저 마지막 학습 데이터에 맞춰진 업데이트 결과만을 얻게 된다. 이를 해결하기 위해 업데이트의 정도를 조금씩 조정할 수 있게 해주는 학습률(learning rate)에 대한 개념이 나오게 된다. 각각의 새로운 a로 바로 점프하는 것이 아니라 일부씩만 업데이트 하는 것이다. 즉 기존 여러 번의 학습에 기초해 업데이트된 값을 유지하면서, 학습 데이터가 제시하는 방향으로 조금씩만 움직이는 것이다. 이는 좋은 의미의 부작용도 수반한다. 실제 현업에서는 학습 데이터 자체에 문제가 있는 경우가 많고, 학습 데이터 자체가 오차 또는 잡음을 가지므로 완벽하게 정확하지도 않으며 심지어 신뢰할 수 없는 경우가 많이 있는데, 업데이트의 정도를 조정해가는 방법은 이러한 학습 데이터의 오차나 잡음의 영향을 약화시켜 준다. 선형적 분류 – 신경망 첫걸음 책 이제 위에서 말로 설명한 것을 수식으로 봐보도록 하자. 우선, y=Ax에 적정한 값을 넣고 시작하여 오차를 통해 매개변수 A를 조정한다. 이후 A를 정교화 하기 위해서는 여기서 오차 E와 기울기 A의 관계를 알아야한다. 아래의 수식을 살펴보자. 오차 E가 양수면 퍼셉트론의 출력을 증가하고, 음수면 퍼셉트론의 출력을 감소한다. 오차에 기초해 매개변수 A 업데이트 하지만 위와 같은 업데이트 방식은 마지막 학습 데이터에 맞춰진 결과만을 얻게 된다. 따라서 업데이트의 정도를 조금씩 조정하기 위해 학습률을 도입해보자. 그럼 아래와 같은 수식을 얻게 된다. 이때 학습률은 1보다 작은 양의 상수이다. 예를 들어 L=0.5이면, 조정이 없을 때에 비해 1/2만큼만 업데이트 하겠다는 의미이다. L은 학습률 선형 분류자의 한계점 1. 직선형 영역만 표현할 수 있다. 데이터들의 차이가 확연히 두드러지지 않는다면 두 가지의 종류조차도 분류하지 못할 수도 있다는 말과 같다. 2. 단층 퍼셉트론에서 논리함수를 예로 들어보면, AND, NAND, OR 논리회로를 계산할 수 있지만 XOR(배타적 논리합)의 경우 단일 선형 프로세스로 데이터를 분류해낼 수 없다. 여러 개의 선형 분류자를 이용해서 데이터를 나누거나 한 선으로는 곡선으로 나눌 수 있기 때문에 비선형 분류이다. 논리 함수 (Boolean logic) python 단층 퍼셉트론 구현 다층 퍼셉트론? 그래서 다층 퍼셉트론이 나왔다. (Multi-layer Perceptron, MLP) 단층 퍼셉트론은 입력층과 출력층만 존재하지만, 다층 퍼셉트론은 중간에 은닉층(hidden layer)이라 불리는 층을 더 추가하였다. XOR 게이트는 기존의 AND, NAND, OR 게이트를 조합하여 만들 수 있기 때문에 퍼셉트론에서 층을 계속 추가하면서 만들 수 있다. 이렇게 층을 여러겹으로 쌓아가면서 선형 분류만으로 풀기 못했던 문제를 비선형적으로 풀 수 있게 된다. 각 층에서 오차는 역전파 알고리즘을 통해 업데이트해나간다. 다층 퍼셉트론은 은닉층이 1개 이상인 퍼셉트론을 의미한다. 은닉층이 2개일 수도 있고 수십, 수백개일 수도 있다. 은닉층이 2개 이상인 신경망을 심층 신경망 (Deep Neural Network, DNN) 이라고 한다. 복잡한 문제를 해결하기 위해서는 신경망의 층수를 여러층 쌓은 모델을 이용해야 하는데, 깊은 층수를 쌓을 경우 역전파(Backpropagtion) 학습과정에서 데이터가 사라져 학습이 잘 되지 않는 현상인 Vanishing Gradient 문제가 있다. 또한, 학습한 내용은 잘 처리하나 새로운 사실을 추론하는 것, 새로운 데이터를 처리하는 것을 잘하지 못하는 한계도 있었다. 이러한 신경망을 ‘인공 신경망’이라고 부른다. (학습과정과 현상에 대해서는 다음 포스팅에서 알아보도록 한다) 이러한 한계를 극복한 인공신경망을 딥러닝 (Deep Learning)이라고 한다. 캐나다 토론토 대학 제프리 힌튼(Geoffrey Hinton) 교수는 2006년에 깊은 층수의 신경망 학습시 사전 학습(Pretraining)을 통해서 학습함으로써 Vanishing Gradient 문제를 해결할 수 있음을 밝혔다. 또한 새로운 데이터를 잘 처리하지 못하는 문제는 학습 도중에 고의로 데이터를 누락시키는 방법(dropout)을 사용하여 해결할 수 있음을 2012년에 밝혔다. 728×90

퍼셉트론(Perceptron)과 다층 퍼셉트론(MLP)

1. 퍼셉트론(Perceptron)이란? : 프랑크 로젠블라트가 1957년에 고안한 알고리즘으로 Neural-Network(신경망)의 기원이 되는 알고리즘. : 가장 오래되고 단순한 형태의 판별 함수 기반 예측 모형(discriminant function based predition model) 중 하나 : 퍼셉트론은 다수의 신호를 받아(input) 하나의 신호(0 또는 1)로 출력(output). Perceptron Example x1, x2라는 신호 입력이 y라는 신호로 출력이 되는 과정 자체가 퍼셉트론입니다. 이때 각 입력신호(x1,x2)는 weight(w1,w2)가 곱해지게 됩니다. ** 동그라미를 뉴런 혹은 노드라고 말한다. 1) Weight(가중치), Bias(편향치), Theta(임계점) : 입력 신호는 각 weight와 곱해져 w1*x1 + w2*x2가 되고, 이 값에 bias(b)가 더해져 w1*x1 + w2*x2 + b가 된다. : 여러 입력신호가 하나의 신호로 출력되어야 하기 때문에 bias는 뉴런(위 그림에서 동그라미를 의미)당 1개씩 더해진다. : 또한 출력값이 0 또는 1로 출력되어야 하기때문에 w1*x1 + w2*x2 + b를 0 또는 1로 만들어줘야한다. : 이때 사용하는 개념이 임계점(Theta)이고, w1*x1 + w2*x2 + b이 설정해놓은 임계점을 기준으로 0 또는 1로 바뀐다. : 예를 들어, ‘w1*x1 + w2*x2 + b < theta이면 0, w1*x1 + w2*x2 + b > theta이면 1′ 이런식으로!! 2. 단순 논리회로(AND, OR, NAND) x1 x2 y : AND y : OR y : NAND 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 AND : 입력이 모두 1인 경우에만, 1을 출력(나머지 경우엔 0을 출력) def AND(x1, x2): x = np.array([x1, x2]) w = np.array([0.5, 0.5]) b = -0.7 tmp = np.sum(w*x) + b if tmp <= 0: return 0 else: return 1 OR : 입력중 하나 이상이 1인 경우, 1을 출력(모두 0이면 0을 출력) # OR 구현 def OR ( x1 , x2 ): """ AND와 weights와 bias만 다르다 """ x = np . array ([ x1 , x2 ]) w = np . array ([ 0.5 , 0.5 ]) b = - 0.2 tmp = np . sum ( w * x ) + b if tmp <= 0 : return 0 else : return 1 NAND : AND와 반대, 모두 1인 경우 0출력 출력(나머지 경우엔 1을 출력) # NAND 구현 def NAND ( x1 , x2 ): """ AND와 weights와 bias만 다르다 """ x = np . array ([ x1 , x2 ]) w = np . array ([ - 0.5 , - 0.5 ]) b = 0.7 tmp = np . sum ( w * x ) + b if tmp <= 0 : return 0 else : return 1 (위 그림의 직선 : w1*x1 + w2*x2 + b) AND/NAND, OR은 해당 직선(판별함수라도도 할 수 있음)으로 두 영역(black, white)을 구분할 수 있다 3. 한계점 : XOR 문제 x1 x2 y : XOR 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 XOR : OR의 반대가 아니다!!! 입력값 모두 1인 경우만 1을 출력(나머지 경우엔 0을 출력) 직선(w1*x1 + w2*x2 + b)으로 black/white 두 영역으로 나눌 수가 없다.... Python코드를 예를 들어보면, np . random . seed ( 0 ) X_xor = np . random . randn ( 200 , 2 ) y_xor = np . logical_xor ( X_xor [:, 0 ] > 0 , X_xor [:, 1 ] > 0 ) y_xor = np . where ( y_xor , 1 , – 1 ) plt . scatter ( X_xor [ y_xor == 1 , 0 ], X_xor [ y_xor == 1 , 1 ], c = ‘b’ , marker = ‘o’ , label = ‘1’ , s = 100 ) plt . scatter ( X_xor [ y_xor ==- 1 , 0 ], X_xor [ y_xor ==- 1 , 1 ], c = ‘r’ , marker = ‘s’ , label = ‘-1’ , s = 100 ) plt . ylim ( – 3.0 ) plt . legend () plt . title ( “XOR problem” ) plt . show () 3.1 해결책 : 다층 퍼셉트론(Multi-Layer Perceptron) 이 XOR 문제를 해결하기 위해 퍼셉트론 두 개를 이어 붙여 해결할 수 있다. 이것을 ‘층을 쌓는다’라 하며, 이렇게 만들어진 퍼셉트론을 다층 퍼셉트론(Multi-Layer Perceptron)이라 한다.. # XOR 구현 # AND, NAND, OR 조합하여 구현하기 def XOR ( x1 , x2 ): “”” 다층 구조를 가진 다층 퍼셉트론 “”” s1 = NAND ( x1 , x2 ) # 1층 s2 = OR ( x1 , x2 ) # 1층 y = AND ( s1 , s2 ) # 2층 return y Tensorflow로 다층 퍼셉트론(MLP)를 만들어보자. : Tensorflow로 MNIST데이터를 분류하는 MLP를 만들어보자! : 코드 위주로 설명 진행. 0. Data Load import tensorflow as tf from tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data mnist = input_data . read_data_sets ( ‘data/’ , one_hot = True ) 1. Parameter Setting 이미지 데이터 1개가 28×28(흑백)으로 구성되어있는데, 위처럼 데이터를 불러오면 28×28=784로 한줄로 펴진 vector로 온다. 그래서 n_input이 784인 것이다. n_input = 784 n_hidden_1 = 256 n_hidden_2 = 128 n_classes = 10 # set input and output x = tf . placeholder ( dtype = ‘float’ , shape = [ None , n_input ]) y = tf . placeholder ( dtype = ‘float’ , shape = [ None , n_classes ]) # set network parameters(weights, biases) stddev = 0.1 weights = { # 가중치의 초기값은 # 평균 : 0(default), 표준편차 : 0.1 인 정규분포에서 random으로 뽑는다 # hidden layer1의 노드 수는 256개, hidden layer2의 노드 수는 128개 # out layer의 노드 수 = label 갯수 = 10개(0~9, 숫자 10개) ‘h1’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_input , n_hidden_1 ], stddev = stddev )), # 784 x 256 matrix ‘h2’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_hidden_1 , n_hidden_2 ], stddev = stddev )), # 256 x 128 matrix ‘out’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_hidden_2 , n_classes ], stddev = stddev )), # 128 x 10 matrix } biases = { ‘b1’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_hidden_1 ])), # 256개 ‘b2’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_hidden_2 ])), ‘out’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_classes ])), } print ( “Network Ready!!!” ) 2. Define Graph multilayer_perceptron 함수에서 최종 출력값을 logit(Wx+b 형태)으로 뽑고, 이를 Cross Entropy에 적용 → tf.reduce_mean(tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits_v2(labels=y, logits=pred)) # model def multilayer_perceptron ( _x , _weights , _biases ): layer_1 = tf . nn . sigmoid ( tf . add ( tf . matmul ( _x , _weights [ ‘h1’ ]), _biases [ ‘b1’ ])) # 1번째 layer 통과 layer_2 = tf . nn . sigmoid ( tf . add ( tf . matmul ( layer_1 , _weights [ ‘h2’ ]), _biases [ ‘b2’ ])) # 2번째 layer 통과 # return은 logit을 뽑아야 한다.(softmax 취하기 전 형태) # softmax취해서 return하면 성능 떨어짐… return ( tf . matmul ( layer_2 , _weights [ ‘out’ ]) + _biases [ ‘out’ ]) # prediction pred = multilayer_perceptron ( x , weights , biases ) # Loss and Optimizer cost = tf . reduce_mean ( tf . nn . softmax_cross_entropy_with_logits_v2 ( labels = y , logits = pred )) optimizer = tf . train . AdamOptimizer ( learning_rate = 0.001 ) . minimize ( cost ) correct = tf . equal ( tf . argmax ( pred , 1 ), tf . argmax ( y , 1 )) accuracy = tf . reduce_mean ( tf . cast ( correct , ‘float’ )) # Initialize init = tf . global_variables_initializer () print ( “Function Ready!!!” ) 3. Run training_epochs = 20 batch_size = 100 display_step = 4 # Launch the Graph sess = tf . Session () sess . run ( init ) # Optimize for epoch in range ( training_epochs ): avg_cost = 0 total_batch = int ( mnist . train . num_examples / batch_size ) # Iteration for i in range ( total_batch ): batch_xs , batch_ys = mnist . train . next_batch ( batch_size = batch_size ) feeds = { x : batch_xs , y : batch_ys } sess . run ( optimizer , feed_dict = feeds ) avg_cost += sess . run ( cost , feed_dict = feeds ) avg_cost = avg_cost / total_batch # Display if ( epoch + 1 ) % display_step == 0 : print ( “Epoch: %03d / %03d cost: %.9f ” % ( epoch , training_epochs , avg_cost )) feeds = { x : batch_xs , y : batch_ys } train_acc = sess . run ( accuracy , feed_dict = feeds ) print ( “Train Accuracy: %.3f ” % ( train_acc )) feeds = { x : mnist . test . images , y : mnist . test . labels } test_acc = sess . run ( accuracy , feed_dict = feeds ) print ( “Test Accuracy: %.3f ” % ( test_acc )) print ( “Optimization Finished!!” ) 출력: Epoch: 003/020 cost: 0.119634462 Train Accuracy: 0.980 Test Accuracy: 0.964 Epoch: 007/020 cost: 0.047141746 Train Accuracy: 0.990 Test Accuracy: 0.975 Epoch: 011/020 cost: 0.018645706 Train Accuracy: 1.000 Test Accuracy: 0.977 Epoch: 015/020 cost: 0.006685954 Train Accuracy: 1.000 Test Accuracy: 0.981 Epoch: 019/020 cost: 0.002408720 Train Accuracy: 1.000 Test Accuracy: 0.979 Optimization Finished!! Activation Function을 ReLU로 바꿔보자 1. Parameter Setting n_input = 784 n_hidden_1 = 256 n_hidden_2 = 128 n_hidden_3 = 64 n_classes = 10 # set input and output x = tf . placeholder ( dtype = ‘float’ , shape = [ None , n_input ]) y = tf . placeholder ( dtype = ‘float’ , shape = [ None , n_classes ]) # set network parameters(weights, biases) stddev = 0.1 weights = { ‘h1’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_input , n_hidden_1 ], stddev = stddev )), ‘h2’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_hidden_1 , n_hidden_2 ], stddev = stddev )), ‘h3’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_hidden_2 , n_hidden_3 ], stddev = stddev )), ‘out’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_hidden_3 , n_classes ], stddev = stddev )), } biases = { ‘b1’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_hidden_1 ])), ‘b2’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_hidden_2 ])), ‘b3’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_hidden_3 ])), ‘out’ : tf . Variable ( initial_value = tf . random_normal ( shape = [ n_classes ])), } print ( “Network Ready!!!” ) 2. Define Graph # model def multilayer_perceptron ( _x , _weights , _biases ): layer_1 = tf . nn . relu ( tf . add ( tf . matmul ( _x , _weights [ ‘h1’ ]), _biases [ ‘b1’ ])) layer_2 = tf . nn . relu ( tf . add ( tf . matmul ( layer_1 , _weights [ ‘h2’ ]), _biases [ ‘b2’ ])) layer_3 = tf . nn . relu ( tf . add ( tf . matmul ( layer_2 , _weights [ ‘h3’ ]), _biases [ ‘b3’ ])) # return은 logit을 뽑아야 한다.(softmax 취하기 전 형태) # softmax취해서 return하면 성능 떨어짐… return ( tf . matmul ( layer_3 , _weights [ ‘out’ ]) + _biases [ ‘out’ ]) # prediction pred = multilayer_perceptron ( x , weights , biases ) # Loss and Optimizer cost = tf . reduce_mean ( tf . nn . softmax_cross_entropy_with_logits_v2 ( labels = y , logits = pred )) optimizer = tf . train . AdamOptimizer ( learning_rate = 0.001 ) . minimize ( cost ) correct = tf . equal ( tf . argmax ( pred , 1 ), tf . argmax ( y , 1 )) accuracy = tf . reduce_mean ( tf . cast ( correct , ‘float’ )) # Initialize init = tf . global_variables_initializer () print ( “Function Ready!!!” ) 3. Run training_epochs = 20 batch_size = 100 display_step = 4 # Launch the Graph sess = tf . Session () sess . run ( init ) # Optimize for epoch in range ( training_epochs ): avg_cost = 0 total_batch = int ( mnist . train . num_examples / batch_size ) # Iteration for i in range ( total_batch ): batch_xs , batch_ys = mnist . train . next_batch ( batch_size = batch_size ) feeds = { x : batch_xs , y : batch_ys } sess . run ( optimizer , feed_dict = feeds ) avg_cost += sess . run ( cost , feed_dict = feeds ) avg_cost = avg_cost / total_batch # Display if ( epoch + 1 ) % display_step == 0 : print ( “Epoch: %03d / %03d cost: %.9f ” % ( epoch , training_epochs , avg_cost )) feeds = { x : batch_xs , y : batch_ys } train_acc = sess . run ( accuracy , feed_dict = feeds ) print ( “Train Accuracy: %.3f ” % ( train_acc )) feeds = { x : mnist . test . images , y : mnist . test . labels } test_acc = sess . run ( accuracy , feed_dict = feeds ) print ( “Test Accuracy: %.3f ” % ( test_acc )) print ( “Optimization Finished!!” ) 출력: Epoch: 003/020 cost: 0.040441343 Train Accuracy: 1.000 Test Accuracy: 0.974 Epoch: 007/020 cost: 0.011998331 Train Accuracy: 0.990 Test Accuracy: 0.978 Epoch: 011/020 cost: 0.004996898 Train Accuracy: 1.000 Test Accuracy: 0.979 Epoch: 015/020 cost: 0.004258974 Train Accuracy: 0.990 Test Accuracy: 0.979 Epoch: 019/020 cost: 0.002940170 Train Accuracy: 1.000 Test Accuracy: 0.978 Optimization Finished!! 다른거 손대지 않고 Graph만 바꿔주면 된다는 것이 TensorFlow의 장점! 참고 “데이터사이언스 스쿨” https://datascienceschool.net/view-notebook/342b8e2ecf7a4911a727e6fe97f4ab6b/ “밑바닥으로 시작하는 딥러닝” http://www.hanbit.co.kr/store/books/look.php?p_code=B8475831198 소스코드 https://github.com/Junhojuno/DeepLearning-Beginning/blob/master/DeepLearning_from_the_bottom/1.Perceptron.ipynb https://github.com/Junhojuno/DeepLearning-Beginning/blob/master/5.MLP_NumberClassifier.ipynb

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