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단항식과 다항식의 곱셈 복습 (개념 이해하기) – 칸아카데미
단항식과 다항식의 곱셈 복습. 단항식과 다항식을 곱하기 위해서는 분배법칙을 사용해야 합니다. 2x(3x+7) = 6x^2+14x처럼요. 여기서는 주제를 간단히 복습하고 몇 …
Source: ko.khanacademy.org
Date Published: 11/12/2021
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다항식의 곱셈 과 인수분해
두 개 이상의 다항식의 곱을. 하나의 다항식으로 만드는 전개와 하나의 다항식을 몇 개의 다항식의 곱으로 나타내는 인수분해가 바. 로 그런 관계이다. 유클리드{Eucl, …
Source: www.douclass.com
Date Published: 7/21/2021
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1강 다항식의 연산
1강 다항식의 연산. 다항식. [1] 다항식에 대한 용어. (1) 단항식 : 수나 문자의 곱으로만 이루어진 식. (2) 다항식 : 단항식 또는 단항식의 합으로 이루어진 식.
Source: file.megastudy.net
Date Published: 8/16/2022
View: 9736
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주제에 대한 기사 평가 다항식 의 곱셈
- Author: EBS Learning
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- Date Published: 2019. 12. 6.
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2. 다항식의 곱셈, 곱셈공식, 식변형공식
교과서 속 차례(고1)
Ⅰ 다항식
1) 다항식의 연산
2. 다항식의 곱셈, 곱셈공식, 식변형공식
(1) 다항식의 곱셈
다항식끼리의 연산은 기본적으로 교환법칙과 결합법칙과 분배법칙이 성립합니다.
따라서 다항식끼리의 곱셈은 분배법칙으로 전개해주면 됩니다.
예를 들어, a(b+c) = ab+ac가 성립하고 (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd가 성립합니다.
전개의 방법을 모르신다면 아래의 그림을 참고하세요.
(2) 곱셈공식
기본적으로 다항식끼리의 곱셈은 전개하면 됩니다.
그런데 알아두면 너무나 빠르고 손쉽게 처리할 수 있는 공식 몇 가지가 있습니다.
한마디로 이 공식은 필수가 아니고 빠른 풀이를 위해 암기한다는 것이죠.
아래의 1번부터 3번까지는 중학교 때 이미 암기를 했을 겁니다.
그래도 아직 모르는 사람은 암기하시면 됩니다.
윗 줄에서 필수가 아니라고 했지만, 1번부터 7번까지는 반드시 외우시는 게 좋습니다.
물론 8번도 외우면 좋고요.(수능엔 안 나오지만 내신에 나올 수 있어요.)
참고로 4번 공식은 반대 과정(인수분해)이 더 중요합니다.
※ 1번, 5번, 6번처럼 전체를 제곱, 세제곱한 형태를 완전제곱식이라고 부른다.
(3) 곱셈공식의 변형(식변형공식)
말은 어려워 보이지만 곱셈공식에서 몇 개를 가져와서 순서를 바꾼 겁니다.
말하자면 거의 제곱의 합만 남기고 이항시킨거죠.
이것도 필수는 아니지만, 외우면 정말 유용하고 좋습니다.
물론 수학이 암기가 본질은 아닙니다. 하지만 기본적인 재료는 외우고 가셔야 하죠.
수학을 처음 배우기 위해 0,1,2,3…9라는 숫자를 암기했듯 말이죠.
그러니까 외웁시다.
[참고]※ 전개 공식에 대한 고찰
(a+b)² = (a+b)(a+b) = aa+ab+ba+bb = a²+2ab+b²
→ 모든 항이 전부 2차이며 항은 3개 입니다.
→ aa+ab+ba+bb는 a와 b가 중복을 허용하여 2개의 문자를 만드는 경우의 수(순열)를 의미합니다.
(a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b) = aaa+aab+aba+baa+abb+bab+bba+bbb = a³+3a²b+3ab²+b³
→ 모든 항이 전부 3차이며 항은 4개입니다.
→ aaa+aab+aba+baa+abb+bab+bba+bbb는 a와 b가 중복을 허용하여 3개의 문자를 만드는 경우의 수(순열)를 의미합니다
…
(a+b)ⁿ → 모든 항이 전부 n차이며 항은 n+1개가 만들어진다고 유추할 수 있습니다.
→ a와 b가 중복을 허용하여 n개의 문자를 만드는 경우의 수와 관련이 있습니다.
※ 파스칼의 삼각형
파스칼이 고안한 삼각형 모양의 숫자열로
기본적으로 1이 존재하며 위의 이웃한 두 숫자를 더해서 아래에 더한 숫자를 쓰는 방식입니다.
예를 들어, 1 7라는 숫자가 있다면 그것을 더한 8을 그 사이 아래에 쓰는 것이죠.
1 7
8
이런 식으로 말입니다.
그리고 숫자가 없는 부분은 0으로 생각해주면 삼각형 모양의 숫자열이 만들어집니다.
그런데 n번째 줄의 숫자는 임의의 문자 a, b에 관하여 (a+b)n-1의 전개식에서 각각의 계수를 의미합니다.
예를 들어, 5번째 줄의 1 4 6 4 1은 (a+b)⁴의 전개식에서의 각각의 계수를 의미합니다.
a⁴+4a³b +6a²b² +4ab³ +b⁴이런 식으로 말이죠.
만약 이항식에 부호가 -라면 짝수번째 항들만 -를 붙여주면 됩니다.
※ 직육면체
외울 필요는 없는데 재밌는 숫자열들이 보여서 적어봅니다. 한 번씩 보고 넘어가면 됩니다.
모서리의 합 = 4(a+b+c)
겉넓이 = 2(ab+bc+ca)
대각선 e의 길이 = √(c²+d²)= √(a²+b²+c²)
부피 = abc
다음 포스팅에서는 다항식의 나눗셈에 대해서 공부해보도록 하겠습니다.
다항식의 곱셈, (a+b)(c+d) 전개하기 (개념+수학문제)
| 같이 보면 좋은 글
📄 [중2-1] 다항식의 계산
📄 [중2-1] 이차식의 덧셈과 뺄셈
| 다항식의 곱셈 : (다항식)×(다항식)
다항식의 곱셈은 (다항식)×(다항식)꼴로,
분배법칙을 이용하여 전개할 수 있습니다.
예) (a+b)(c+d)를 전개해봅시다.
1. 첫 번째 방법
a+b를 X로 고치면,
X(c+d)
분배법칙을 적용하면,cX+dXX=a+b이므로,
c(a+b)+d(a+b)=ac+bc+ad+bd
2. 두 번째 방법
c+d를 Y로 고치면,
(a+b)Y
분배법칙을 적용하면,aY+bYY=c+d이므로,
a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd
따라서 (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
예) (3x-2y)(x+y)를 전개하면,
3x^2 + 3xy – 2xy – 2y^2
3xy와 -2xy는 동류항이므로,
3x^2 + xy – 2y^2
예) (2a+3)(b-1)을 전개하면,
2ab-2a+3b-3
[정리] 다항식의 곱셈1. (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
2. (ax+b)(cy+d) = acxy+adx+bcy+bd
3. (ax+b)(cx+d) = acx^2+(ad+bc)x+bd
단항식의 곱셈을 이용해 차례대로 계수와 문자를 곱한 후,동류항을 더하면 다항식의 곱셈을 전개할 수 있습니다.
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이번 학습지는 다항식의 곱셈으로, 항을 차례대로 곱해준 다음 동류항을 더해 간단히 나타낼 수 있습니다. 문제를 풀어보면서 연습해보시길 바랍니다.
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다항식의 곱셈과 나눗셈
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■ 다항식의 곱셈과 나눗셈
1. 다항식의 곱셈
다항식의 곱셈은 분배법칙과 지수법칙을 이용하여 동류항끼리 모아서 정리한다.
(1). 다항식의 곱셈에서 수의 곱셈에서와 같이 다음 성질이 성립한다.
세 다항식 A, B, C에 대하여
① 교환법칙 AB=BA
② 결합법칙 (AB)C=A(BC)
③ 분배법칙 A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC
(2) 지수법칙
a, b가 실수, m, n이 자연수일 때, 다음 법칙이 성립한다.
①
②
③
④
⑤
2. 다항식의 나눗셈
⇨ A=BQ+R
다항식 A를 다항식 로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R라고 하면
A=BQ+R (단, (R의 차수)< (B의 차수)) 특히 R=0이면 A는 B로 나누어떨어진다고 한다. (1) (다항식) ÷ (단항식)의 계산 A÷B에서 B가 단항식일 때는 나눗셈을 역수(B의 역수)의 곱셈으로 바꾸어 계산한다. (2) (다항식) ÷ (다항식)의 계산 직접 세로로 나눗셈을 한다. 예) 을 계산해보자. 를 x+1로 나누었을 때의 몫은 6x+2, 나머지는 3 의 꼴로 나타내면 728x90 반응형
단항식과 다항식의 곱셈 계산
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다항식의 덧셈과 뺄셈에 대해서 배웠으니 이제는 다항식의 곱셈에 대해 알아봐야겠죠?
[이전 글 보기] – 단항식의 곱셈과 나눗셈 (계산 자세히) [이전 글 보기] – 다항식의 덧셈과 뺄셈 (소괄호, 중괄호, 대괄호)다항식의 곱셈은 와 같이 여러 가지 식을 생각해볼 수 있지만
중학교 2학년 과정에서는
처럼 좀 더 간단한 단항식과 다항식의 곱셈에 대해서 배우게 됩니다.
단항식과 다항식의 곱셈
중학교 1학년 때 정수와 유리수 단원에서 분배법칙에 대해서 배웠어요.
또한 수와 일차식의 곱셈에서도
-3(x+2)=(-3)×x+(-3)×2= -3x-6 처럼 분배법칙을 적용해서 식을 계산 했었습니다.
마찬가지로 단항식과 다항식의 곱셈에서도 분배법칙을 적용해서 계산하면 됩니다.
예 1) 의 괄호를 풀면
입니다.
또한 위의 예처럼 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 하나의 다항식으로 나타내는 것을 전개한다고 하며 전개하여 나타낸 식을 전개식이라고 합니다.
예 2) 를 전개하면
입니다.
예 3) 를 전개하면
입니다.
예 4) 를 전개하면
위의 예와 마찬가지로 분배법칙을 적용한 후에 동류항끼리 계산해서 아래의 식처럼 나타낼 수 있습니다.
< 오개념 체크 >
특히 분배법칙을 할 때는 부호와 지수 계산을 주의해야 해요.
위의 예 1) 를 보면
분배법칙을 적용할 때 의 상수항에 음수를 곱하지 않고
처럼 전개해서 오류를 범하는 경우가 있거든요.
또한 위의 예 1)에서 핑크색으로 지수법칙을 강조한 이유는
같은 문자끼리 곱할 때는 지수를 더하는 건데 곱하는 것으로 착각하기 때문입니다.
식이 복잡해질수록 부호와 지수 계산을 실수하는 경우가 있기 때문에 처음에는 차근차근 계산 연습을 해보는 것이 좋습니다.
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