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다항식의 나눗셈 – 수학방
다항식의 나눗셈 · 나눠지는 식의 최고차항은 2차고 나누는 식이 최고차항이 1차니까 나누는 식에 x를 곱하면 차수가 같아지죠? · (나눠지는 식) – (나누는 식 × x) = x2 + …
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Date Published: 12/20/2021
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[기본개념] 다항식의 나눗셈 – 부형식 수학 – 티스토리
강의 내용 다항식의 나눗셈에 대한 강의입니다. 다항식의 나눗셈은 단항식으로 나누느냐, 다항식을 다항식으로 나누느냐에 따라 약간 달라집니다.
Source: bhsmath.tistory.com
Date Published: 4/12/2022
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다항식의 나눗셈 – winner – 티스토리
01. 다항식의 나눗셈을 시작하며… 다항식의 나눗셈에서는 다항식/ 단항식 and 다항식/다항식에 대해서 알아보고자 합니다.
Source: j1w2k3.tistory.com
Date Published: 12/9/2022
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다항식의 나눗셈, 이렇게 풀어보세요. [고1 수준] – 상식체온
고등학교 1학년 학생이 배우는 수학에 다항식의 나눗셈이 있습니다. 오늘은 초등학교에서 배운 나눗셈 방식을 이용해서 다항식의 나눗셈에 관해 …
Source: nous-temperature.tistory.com
Date Published: 9/5/2022
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[수학 상] (1-10) 다항식의 나눗셈
[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (10) 다항식의 나눗셈 다항식의 나눗셈은 아래와 같이 두가지로 나뉩니다. – 다항식을 단항식으로 나눔 – 다항식을 …Source: hsm-edu-math.tistory.com
Date Published: 6/2/2022
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- Date Published: 2018. 4. 28.
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다항식의 나눗셈
중학교에서 했던 다항식의 나눗셈은 나누는 항이 하나였어요. 다항식 중에서도 단항식으로 나누었던 거죠. 숫자끼리 약분하고, 지수는 뺄셈을 통해서 계산할 수 있었죠.
고등학교 과정에서 공부하는 다항식의 나눗셈은 나누는 항이 두 개이상인 다항식이에요. 항이 여러 개 있다보니까 약분을 하거나 지수법칙을 적용할 수 없는 경우가 생기죠.
이럴 때 어떻게 나눗셈을 하는지 알아보죠. 차수와 계수에 주목해서 보세요.
글로 설명하기가 참 어려운 내용이라서 그림을 잘 보고 이해해보세요.
다항식의 나눗셈
숫자의 나눗셈을 먼저 해볼까요? 55 ÷ 3을 해보죠. 세로로 나누기를 할 때, 아래 그림처럼 해요.
십의 자리 숫자 5에서 3을 나누고, 나머지 2를 내려서 일의 자리 숫자 5를 붙이고, 25에서 3을 나누고, 24를 뺀 나머지 1을 쓰죠?
다항식의 나눗셈도 이렇게 해요. 차이가 있다면 숫자의 자리가 아니라 차수를 이용한다는 거예요. 나누는 식의 최고차항과 계수와 차수가 같아지도록 하는 것이 핵심이에요.
숫자는 나눗셈을 할 때, 나눠지는 수의 뒷자리에 맞게 뒤에서부터 몫을 쓰는데, 다항식의 나눗셈에서는 앞에서부터 써요.
(x2 + 3x – 4) ÷ (x – 1)을 해보죠.
다항식의 나눗셈
나눠지는 식의 최고차항은 2차고 나누는 식이 최고차항이 1차니까 나누는 식에 x를 곱하면 차수가 같아지죠?
(x – 1) × x = x2 – x (나눠지는 식) – (나누는 식 × x) = x2 + 3x – (x – 1)x = 4x, -4는 그대로 아래로 x – 1은 최고차항이 1차, 4x – 4도 최고차 항이 1차로 같지만 계수가 다르니까 계수를 똑같이 만들어 주려면 (x – 1) × 4 = 4x – 4 두 식을 빼줍니다. (4x – 4) – (x – 1) × 4 = 0
55 ÷ 3의 결과를 55 = 3 × 18 + 1로 쓰잖아요. 이 때 55를 나눠지는 수, 3을 나누는 수, 18을 몫, 1을 나머지라고 하죠? (나눠지는 수) = (나누는 수) × (몫) + (나머지)
다항식 A를 0아닌 다항식 B로 나누었을 때 몫을 Q, 나머지를 R이라고 해서 A = BQ + R (B ≠ 0)라고 써요.
위 나눗셈의 결과는 x2 + 3x – 4 = (x – 1)(x + 4) + 0으로 쓰는 거죠. + 0은 생략해도 돼요.
30 ÷ 3을 해보면 30 = 3 × 10이라고 써요. 나머지가 0이니까 30은 3으로 나눠어 떨어진다고 하죠? 다항식에서도 나머지 R = 0이면 나누어 떨어진다고 해요. 위 보기에서 x2 + 3x – 4는 (x – 1)로 나누어 떨어진다고 해요.
숫자의 나눗셈에서 나머지는 항상 나누는 수보다 작아요. 같거나 크면 안되죠? 다항식의 나눗셈에서는 나머지는 나누는 수보다 차수가 작아요. 위 예제에서는 나누는 식은 1차식, 나머지는 상수항이니까 0차죠? 이거 주의하세요.
다음 다항식의 나눗셈을 하고, 몫과 나머지를 구하여라.
(1) (2×3 + 3×2 – x – 2) ÷ (x + 1)
(2) (2×3 – 5×2 + 5x – 4) ÷ (2x – 3)
나눠지는 식의 최고차항을 찾아서 나눠지는 식의 최고차항과 비교해야 해요. 이 때, 계수와 차수가 같아지도록 숫자나 문자를 곱하는 거죠.
(1)을 계산해 볼까요?
몫은 2×2 + x – 2, 나머지는 0이네요. 2×3 + 3×2 – x – 2는 x + 1로 나누어 떨어지는 군요.
(2)번을 해보죠.
몫은 x2 – x + 1, 나머지는 -1이네요.
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최고차항의 차수와 계수를 일치시키면서 계속 뺌
다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나눈 몫을 Q, 나머지를 R, A = BQ + R
R = 0이면 다항식 A는 B로 나누어 떨어진다
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다항식의 나눗셈
다항식의 나눗셈에서는 다항식/ 단항식 and 다항식/다항식에 대해서 알아보고자 합니다. 고1때 배우는 내용중에 기본에 해당하는 것이라 쉽게 이해할 수 있을 것입니다. 열심히 수학을 공부하는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 합니다.
02. 다항식 나눗셈 MAP
다항식의 나눗셈, 이렇게 풀어보세요. [고1 수준]
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고등학교 1학년 학생이 배우는 수학에 다항식의 나눗셈이 있습니다. 오늘은 초등학교에서 배운 나눗셈 방식을 이용해서 다항식의 나눗셈에 관해 이야기해 볼까 합니다. 아이가 다항식의 나눗셈을 하면서 끙끙거리는 모습을 보니, 이전에 저의 모습이 떠올라 조금이라도 제가 학창 시절에 풀었던 방식을 적어보겠습니다.
위 식의 나머지를 구하는 문제를 초등학교 나눗셈을 이용해서 해결해 보겠습니다.
먼저 1242 ÷ 123의 나눗셈을 해 봅시다.
1. 나눗셈은 세로로 계산하는 게 저는 가장 편합니다. 아래처럼 식을 써주죠.
2. 아래와 같이 1을 써 줍니다.
3. 123과 1을 곱해서 아래처럼 써 줍니다.
4. 이제 위의 숫자 124에서 123을 빼주면 12가 됩니다.
5. 12는 123으로 나누려고 보니 자릿수가 하나 작아서 더 이상 자연수 수준에서 나누어지지 않으니 위에 있는 숫자 1 옆에 0을 써 주고 나눗셈을 마무리합니다.
6. 위 식에서 10은 몫, 12는 나머지라고 합니다. 지금까지 초등학교 3학년 수학에서 나온 나눗셈을 풀어보았습니다.
■ 위 식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
1242 = (123 × 10) + 12
■ 1242는 다음과 같이 써 주어도 성립합니다.
1242 = (1 × 1000) + (2 × 100) + (4 × 10) + 2
■ (1 × 1000) + (2 × 100) + (4 × 10) + 2는 다음과 같이 써도 됩니다.
■ 위 식의 오른쪽 내용에서 10을 x라고 가정해 보고 식을 다시 작성해 보겠습니다. (문자 앞에 1은 흔히 생략하고 씁니다.) x 앞에 있는 숫자만 쓰면 1242가 되는군요.
■ 123은 (1 × 100) + (2 × 10) + 3이므로 위와 같이 x를 10으로 가정하고 식을 쓰면 다음과 같습니다.
■ 나눗셈에서 구한 몫은 10이므로 이 수도 x로 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
■ 나눗셈에서 구한 나머지는 12이므로 이 수도 x로 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
■ 따라서 다음과 같은 방법으로도 식을 표현할 수도 있겠습니다.
■ 이제 포스팅 제일 위에서 제시한 다항식 나눗셈을 다시 한번 보겠습니다.
몫: x, 나머지: x+2
■ 위 식은 이 글부터 거꾸로 위로 올라가면 어떻게 식을 쓸 수 있을까요? 바로 (1242 ÷ 123)를 x로 표현할 수 있는 것입니다. 따라서 아래와 같은 다항식의 나눗셈은 x 앞에 있는 계수만 써 주고 초등학교 때 배운 나눗셈으로 풀면 되겠습니다. 요지는 대부분 교과서, 참고서에 나온 것처럼 x를 써주고 나눌 필요가 없다는 것입니다.
■ 다음 문제를 한번 풀어볼까요?
를
으로 나눈 나머지가 0일 때
의 값을 구하시오.
■ 풀이 과정은 다음과 같이 x 앞에 있는 계수만 써 줘도 됩니다. 만약에 3제곱, 2제곱, 1제곱, 상수항이 없을 때는 그 자리에 0을 써주면 됩니다.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 다 구했습니다. 나머지는 다음과 같습니다.
9. 나머지가 0이라고 했으므로
이 되어야 합니다.
10. 따라서 a – 6 = 0, b+3 = 0이 되어야 하므로 a = 6, b = -3이 됩니다.
* 이상으로 다항식 나눗셈을 할 때, x를 써주지 않고 계수만 써서 나눗셈을 해도 괜찮은 이유를 알아보았습니다. 저는 사실 학창시절 위와 같은 식으로 풀었습니다. 때론 이렇게 푸는 것이 강력한 문제 해결의 도구가 될 수도 있을 것입니다. 도움이 되셨길 바랍니다. 게으른 아빠가 아이에게 보내는 또 하나의 편지글을 보내며 글을 마칩니다.
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[수학 상] (1-10) 다항식의 나눗셈
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[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (10) 다항식의 나눗셈다항식의 나눗셈은 아래와 같이 두가지로 나뉩니다.
– 다항식을 단항식으로 나눔
– 다항식을 다항식으로 나눔
1. 다항식을 단항식을 나눔
A,B,C 를 각각 어떤 단항식이라고 가정합시다. 따라서 A+B 는 다항식이 됩니다. 다항식 A+B 를 단항식 C로 나누는 방법은 아래와 같습니다.
$(A+B)\div C=\frac{A}{C}+\frac{B}{C}$
단항식을 단항식으로 나누면 나머지는 항상 상수입니다.
2. 다항식을 다항식으로 나눔
A,B,C,D 를 각각 어떤 단항식이라고 가정합시다. 따라서 A+B 와 C+D는 다항식입니다. 다항식 A+B를 다항식 C+D로 나누는 방법은 아래와 같습니다.
$(A+B)\div (C+D)=\frac{A+B}{C+D}$
지금부터 배울 3번은 2번의 특수한 경우입니다.
3. 다항식을 다항식으로 나눔 (문자가 한가지인 경우)
문자가 한 가지인 경우는 숫자끼리 나눌 때 처럼 나눗셈을 할 수 있습니다. 1,2번도 불가능한 것은 아닌데 너무 복잡해서 고등학교 범위에서는 다루지 않습니다.
문자가 한가지인 경우에서 다항식을 다항식으로 나누는 예를 한가지 들어보겠습니다.
$(2x^2+3x+1)\div (x+1)$
나눗셈을 하는 방법은 아래 그림과 같습니다. 차수를 ‘자릿수’라고 생각하고 숫자를 나누듯 나누면 됩니다.
문자가 한가지인 경우에 다항식을 다항식으로 나누면 나머지는 나누는 식(위 경우 $x-2$) 보다 차수가 작습니다. 나머지가 나누는 식과 차수가 같다면 한번 더 나눠줄 수 있고 결국 차수가 나누는 식보다 작아집니다.
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