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단위벡터 (unit vector) – 네이버 블로그
단위벡터 (unit vector) … 길이가 1 인 벡터를 단위벡터라 한다. … v 와 같은 방향을 가지는 단위벡터 u 는 다음과 같다. … v 와 같은 방향의 단위벡터는 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 2/8/2022
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단위벡터 의미와 벡터 정규화 – ilovemyage
단위벡터(unit vector)는 크기가 1이고 방향을 갖는 벡터입니다. 이 단위벡터에 어떤 크기만큼의 배수를 취하면 벡터가 만들어집니다.
Source: ballpen.blog
Date Published: 9/12/2021
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단위벡터 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
선형대수학에서 단위 벡터 (單位 vector, 영어: unit vector)는 길이가 ‘1’인 벡터를 뜻한다. 벡터 v {\display v} v 와 방향이 같은 단위 벡터는 종종 알파벳 …
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 5/28/2021
View: 6505
[math]: 단위 벡터(Unit Vector)
단위 벡터 (unit vector)는 한 direction으로 향하는 magnitude 가 1인 벡터를 말한다. (정규화 – normalization은 무언가를 표준화 시키거나 다른 …
Source: lee-soohyun.tistory.com
Date Published: 1/2/2022
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단위 벡터 란 | 벡터 6강 단위벡터 인기 답변 업데이트
단위 벡터 란 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요. 단위벡터 (unit vector) – 네이버 블로그. 단위벡터 (unit vector) …
Source: you.1111.com.vn
Date Published: 3/6/2022
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[Khan Academy] Unit vectors (단위벡터) – 파란만장 쬬롱
이번시간에는 단위벡터에 대해 알아본다. 단위벡터란? 길이가 1인 벡터. 이번에는 단위벡터 만드는 법을 알아보자; 벡터 v가 주어졌을 때 이 벡터와 …
Source: zzozzomin08.tistory.com
Date Published: 9/19/2021
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[선형대수] 벡터 Vector – NineTwo meet you – 티스토리
다양한 방향과 크기를 가진 벡터 중 크기가 1인 벡터를 모두 단위 벡터라고 칭한다. 크기가 1이 아닌 벡터를 크기가 1인 단위 벡터로 만드는 것을 …
Source: settembre.tistory.com
Date Published: 11/17/2022
View: 3173
벡터 – 나무위키:대문
[2] 수학에서 벡터 공간의 종류는 이보다 다양하므로 물리적 직관만을 함부로 … 크기가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 하며 정의는 다음과 …Source: namu.wiki
Date Published: 7/11/2021
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Vector란. – BBAGWANG
Vector란. … 벡터(Vector)는 크기(magnitude)와 방향(direction)을 모두 가진 … 그럴 때 방향 전용 벡터로 길이를 정확히 1로(단위 벡터로) 만들 수 있는 방법이 …
Source: bbagwang.com
Date Published: 3/3/2022
View: 3867
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주제에 대한 기사 평가 단위 벡터 란
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- Date Published: 2021. 1. 27.
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단위벡터 (unit vector)
길이가 1 인 벡터를 단위벡터라 한다.
만약 v 가 의 영이 아닌 벡터 이면
v 와 같은 방향을 가지는 단위벡터 u 는 다음과 같다.
1. 벡터의 정규화
v와 같은 방향을 가지는 단위벡터 u를 생성하는 것을
벡터 v 의 정규화라고 하는 것으로
v 와 같은 방향의 단위벡터는 v 에 v 의 길이의 역수를 곱함으로써 구할수 있다.
벡터 u 는 벡터 v 와 같은 방향인데
그 이유는
가 양의 스칼라 이기 때문이다.
2. 표준 단위 벡터
의 직교좌표계에서 양의 좌표축 방향의 단위벡터들을
표준단위벡터(standard unit vector)라 부른다.
에서는 이 벡터들이
i = (1 , 0 ) j = ( 0 , 1 ) 로 표기되고
에서는 이 벡터들이
i = ( 1, 0, 0) j = ( 0, 1, 0 ) k = ( 0, 0 ,1 ) 로 표기된다.
의 모든 벡터 는 다음과 같이
표준단위벡터들로 표현될수 있다.
의 모든 벡터 도 표준단위벡터들로 표현될수 있다.
보다 일반적으로 에서의 표준단위벡터는
따라서
단위벡터 의미와 벡터 정규화
Last Updated on 2021-11-12 by BallPen
단위벡터 개념을 이해해야 벡터를 제대로 표기할 수 있습니다. 또한 벡터를 정규화하여 단위벡터를 만드는 방법을 설명드립니다.
단위벡터 (unit vector)는 크기가 1인 벡터를 말합니다. 과연 이러한 단위벡터는 왜 필요할까요? 또 벡터를 정규화한다고 하는데요. 정규화하는 방법과 공식을 알아보겠습니다.
우선 이전 글에서 다루었던 벡터의 작도, 벡터의 크기, 벡터의 성분에 대한 개괄적 내용이 궁금한 분은 여기를 누르세요.
이번 글의 목차입니다.
1. 단위벡터 의미
단위라고 하면 물리량을 표시할 때 크기를 나타내는 숫자 뒤에 어느 물리량인지를 알려주는 알파벳 기호가 우선 생각나실 것 같애요. 예를 들어 20 kg이라고 하면 kg이 단위이고 20은 질량의 크기라는 것을 알게 되죠.
그런데 단위벡터(unit vector)에서 단위는 그 계량 단위를 뜻하는 것이 아닙니다. 바로 상품의 한 개, 특정 임무를 하는 단체, 병원의 부서(과), 물질의 덩어리라는 측면에서의 단위로 보아야 합니다.
1-1. 단위길이와 단위질량
한가지 예를 들어 보겠습니다. 어느 물체의 길이가 10 m라고 해봐요. 그러면 10 m구나 하고 전체 길이를 하나로 생각하지 마시구요. 이렇게 생각해보세요.
10 m는 1 m의 길이가 10배되는 길이라고 생각해보세요. 이때 최소 덩어리가 되는 1 m를 단위길이라고 부르게 됩니다. 이것을 식으로 표현하면 아래와 같습니다.
\tag{1} l = 10~\mathrm{m} = 10 \times1~\mathrm{m}
이와 같은 방식으로 질량 3 kg은 단위질량 1 kg을 3배한 크기인 것이죠. 바로 아래 식과 같이 표현할 수 있습니다.
\tag{2} m=3~\mathrm{kg} = 3 \times 1~\mathrm{kg}
1-2. 단위벡터
이번에는 \vec{A} = 3 \hat{x} 라고 하는 벡터가 있다고 생각해 보세요. 이것도 위의 (1)과 (2)식처럼 생각하면 1\hat{x}을 3배한 크기가 \vec{A}가 되는 것으로 생각할 수 있습니다. 아래 식처럼요.
\tag{3} \vec{A} = 3 \hat{x} = 3 \times 1\hat{x}
이때 숫자 3은 지난 글에서 설명한 것처럼 벡터 \vec{A}의 방향이 없는 크기이고, 1\hat{x}는 크기가 1이고 x방향을 향하는 벡터, 즉 단위벡터를 나타냅니다.
결국 단위벡터를 알면 크기 만큼의 배수를 해줌으로써 벡터를 표기할 수 있게 되는 것이죠.
참고로 단위벡터 표기는 \hat{x}, ~\hat{y}, ~\hat{z} 또는 i, ~j, ~k의 단위벡터 기호를 사용하여 표기하는 것이 일반적입니다.
2. 단위벡터의 기하학적 의미
(3)식에서와 같이 벡터는 단위벡터를 어느 크기만큼 배수를 한 것으로 볼 수 있습니다.
그렇다면 x방향을 향하는 벡터, y방향을 향하는 벡터, 비스듬한 방향을 향하는 벡터에서 단위벡터는 기하학적으로 어떤 의미를 갖는지 각각 살펴보겠습니다.
2-1. 좌표축에 평행한 벡터의 단위벡터
아래 그림 상단에는 x방향으로 크기가 1인 단위벡터 1\hat{x}의 화살표가 그려져 있습니다. 이 단위벡터에 방향이 없는 크기를 곱하면 벡터가 된다고 말씀드렸는데요.
아래 그림에서 크기를 벡터 \vec{A_x}에 절대값 기호를 취한 |\vec{A_x}|로 나타내었습니다. 이것은 벡터 \vec{A_x}의 크기를 상징하는 기호로 보시면 됩니다.
그래서 단위벡터 1\hat{x}에 벡터의 크기 |\vec{A_x}|를 곱하여 얻어진 결과는 \vec{A_x} = |\vec{A_x}|\hat{x}로 쓸 수 있습니다.
\tag{4} \begin{align} \vec{A_x} &= 크기\times단위벡터\\ &=|\vec{A_x}|~\hat{x} \end{align}
x 축에 평행한 단위벡터 1\hat{x} 에 벡터의 크기 |\vec{A_x}| 를 곱한 벡터 \vec{A_x}
기하학적으로 벡터 \vec{A_x}의 화살표는 위 그림과 같이 단위벡터의 화살표 방향을 x방향으로 그대로 유지하면서 벡터의 크기 |\vec{A_x}|만큼 화살표의 길이를 배수 한 것으로 보시면 됩니다.
이와는 반대로 만일 \vec{A_x}가 주어질 때 단위벡터는 어떻게 구할 수 있을까요? 바로 (4)식의 양변을 |\vec{A_x}|로 나누어주면 됩니다. 아래 (5)식 처럼요.
\tag{5} \hat{x} = {{\vec{A_x}}\over{|\vec{A_x}|}}
기하학적으로는 \vec{A_x}의 방향은 그대로 유지하되 화살표의 길이를 크기 값 |\vec{A_x}|로 나누는 것으로 이해하시면 됩니다.
– 연습문제 1번, 2번
(문제1) 단위벡터가 x 방향을 향한다고 했을 때 크기가 15인 벡터 \vec{A_x}를 표기하여라.
(solution)
벡터는 단위벡터에 벡터의 크기를 곱하면 되므로 아래와 같이 표기한다.
\tag{6} \begin{align} \vec{A_x} &= |\vec{A_x}|\hat{x}\\ &=15\hat{x} \end{align}
(문제2) 어느 벡터가 \vec{v_x} = 8~\hat{x}로 주어졌을 때 이 벡터의 단위벡터를 구하여라.
(solution)
벡터의 단위벡터를 구하기 위해서는 (5)식을 적용한다. 즉 벡터를 벡터의 크기로 나누면 된다.
\tag{7} \begin{align} \hat{x} &= {{\vec{v_x}}\over{|\vec{v_x}|}} \\ &= {{8~\hat{x}}\over{8}}\\ &=1\hat{x} \end{align}
이번에는 아래 그림처럼 y축 방향을 향하는 단위벡터 1\hat{y}가 왼쪽 하단에 화살표로 그려져 있습니다.
이 단위벡터에 벡터의 크기 |\vec{A_y}|를 곱하면 벡터 \vec{A_y}가 얻어집니다. 방향만 y축으로 달라졌을 뿐 (4)식과 동일한 개념입니다.
\tag{8} \begin{align} \vec{A_y} &= 크기\times단위벡터\\ &=|\vec{A_y}|~\hat{y} \end{align}
y 축에 평행한 단위벡터 1\hat{y} 에 벡터의 크기 |\vec{A_y}| 를 곱한 벡터 \vec{A_y}
기하학적으로 \vec{A_y}는 위 그림과 같이 단위벡터 1\hat{y}에서 화살표의 방향은 그대로 유지하되 길이만 |\vec{A_y}|배로 화살표가 길어진 것입니다.
이와는 반대로 만일 \vec{A_y}가 주어질 때 단위벡터는 어떻게 구할 수 있을까요? 바로 (8)식의 양변을 |\vec{A_y}|로 나누어주면 됩니다. 아래 (9)식 처럼요.
\tag{9} \hat{y} = {{\vec{A_y}}\over{|\vec{A_y}|}}
기하학적으로 \vec{A_y}의 화살표 방향은 그대로 유지하되 화살표 길이를 크기 값 |\vec{A_y}|로 나누는 것으로 이해하시면 됩니다.
– 연습문제 3번, 4번
(문제3) 단위벡터가 y 방향을 향한다고 했을 때 크기가 15\sqrt{3}인 벡터 \vec{A_y}를 표기하여라.
(solution)
벡터는 단위벡터에 벡터의 크기를 곱하여 구한다. 그러므로 아래와 같이 표기한다.
\tag{10} \begin{align} \vec{A_y} &= |\vec{A_y}|~\hat{y}\\ &=15\sqrt{3}\hat{y} \end{align}
(문제4) 어느 벡터가 \vec{v_y} = 10~\hat{y}로 주어졌을 때 이 벡터의 단위벡터를 구하여라.
(solution)
벡터의 단위벡터를 구하기 위해서는 (9)식을 적용하면 된다. 즉 벡터를 벡터의 크기로 나누어 준다.
\tag{11} \begin{align} \hat{y} &= {{\vec{v_y}}\over{|\vec{v_y}|}} \\ &= {{10~\hat{y}}\over{10}}\\ &=1\hat{y} \end{align}
2-2. 비스듬한 벡터의 단위벡터
이전 글에서 비스듬한 벡터는 x성분 벡터와 y성분 벡터로 분해할 수 있고, 각성분의 합으로 벡터를 표기한다고 설명드렸습니다. 이를 식으로 표현하면 아래와 같습니다.
\tag{12} \begin{align} \vec{A} &= x성분 벡터+y성분 벡터\\ &=\vec{A_x} + \vec{A_y}\\ &= |A_x|\hat{x} + |A_y|\hat{y} \end{align}
또한 벡터는 단위벡터를 이용해서도 표현할 수 있습니다. 아래 (13)식과 같이요. 다만 x와 y축에 평행하지 않고 비스듬하게 주어져 있는 벡터의 단위벡터를 어떻게 구하는지 아직 모르므로 그냥 ‘단위벡터’라고 표기하겠습니다.
\tag{13} \begin{align} \vec{A} &= 벡터의 크기\times단위벡터\\ &=|\vec{A}|\times 단위벡터 \end{align}
기하학적으로는 아래 그림과 같이 이해할 수 있습니다. 그림에 가로축으로 부터 55.0^\circ 방향으로 그려진 파랑색 벡터 \vec{A}가 있습니다.
벡터 \vec{A}인 파랑색 벡터는 갈색으로 주어진 x성분의 벡터 \vec{A_x}와 y성분의 벡터 \vec{A_y}로 분해되어 표기될 수 있습니다.
또한 \vec{A}의 단위벡터를 알고 있다면 이 단위벡터를 |\vec{A}|배하여 벡터를 표현할 수도 있습니다.
비스듬한 방향을 갖는 단위벡터에 벡터의 크기 |\vec{A}| 를 곱한 벡터 \vec{A_x}
문제는 비스듬한 벡터의 단위벡터를 어떻게 구하느냐 인데요. 이를 구하기 위해서는 벡터 정규화를 알아야 합니다. 이에 대해서는 아래에서 별도로 다루겠습니다.
일단 (12)식을 적용하는 연습문제 하나만 풀어보고 계속 이어가겠습니다.
– 연습문제 5번
(문제5) 위 그림과 같이 가속도 벡터 \vec{A}가 55.0^\circ 위쪽 방향을 향하고 있다. 이 벡터의 크기는 8.70 m/s2이다. 이 벡터를 (12)식과 같은 형태로 표기하여라.
(solution)
(12)식의 형태로 벡터를 표기하기 위해서는 x와 y성분의 벡터 크기를 아래와 같이 각각 구해야 합니다.
\tag{14} \begin{align} |\vec{A_x}| &= 8.70\cos(55.0^\circ)\\ &=4.99 ~\mathrm{m/s^2}\\ |\vec{A_y}| &= 8.70 \sin(55^\circ)\\ &=7.13~\mathrm{m/s^2} \end{align}
결국 가속도 벡터 \vec{A}는 아래와 같이 표현할 수 있습니다.
\tag{15} \begin{align} \vec{A} &= |A_x|\hat{x} + |A_y|\hat{y}\\ &=(4.99\hat{x} + 7.13\hat{y})~\mathrm{m/s^2} \end{align}
3. 벡터 정규화로 구하는 단위벡터
벡터 정규화(vector normalize)를 한다는 것은 벡터의 단위벡터를 구한다는 말입니다. 그렇다면 주어진 벡터에서 단위벡터를 어떻게 구할 수 있을까요? 이미 앞에서 x과 y에 평행한 벡터의 단위벡터를 구하는 방법을 설명 드렸습니다.
바로 (5)식과 (9)식이 그것이죠. 벡터를 그 벡터의 크기로 나누면 크기가 1이고 방향을 가진 단위벡터가 구해지는데요. 이 과정을 정규화한다고 말하는 것입니다.
그렇다면 아래 그림처럼 비스듬한 벡터의 단위벡터를 어떻게 구할 수 있을까요? 이 단위벡터도 크기가 1이고 방향은 아래 그림에서와 같이 \vec{A}와 동일한 방향을 가져야 합니다. 구하는 방법은 벡터를 크기로 나누는 방법을 그대로 사용합니다.
벡터 정규화를 위해 벡터 \vec{A} 를 벡터의 크기 |\vec{A}| 로 나누면 그림에서 한글로 표기한 비스듬한 방향의 ‘단위벡터’를 구할 수 있습니다.
예를 들어 (12)식과 (13)식은 모두 벡터 \vec{A}를 나타내는 표현식입니다. 그러므로 두 표현식을 활용하여 단위벡터를 구하면 다음과 같은 벡터 정규화 공식을 얻을 수 있습니다.
\tag{16} \begin{align} |\vec{A}|\times 단위벡터 &=\vec{A} = |A_x|\hat{x} + |A_y|\hat{y}\\ 단위벡터 &= {{\vec{A}}\over{|\vec{A}|}}\\ &={{|A_x|\hat{x} + |A_y|\hat{y}}\over{|\vec{A}|}} \end{align}
– 연습문제 6번
(문제6) 위 그림에 대한 벡터는 (15)식과 같이 주어진다고 가정하자. (a) 이 벡터의 크기를 구하여라. (b)벡터 정규화를 통해 벡터의 단위벡터를 구하여라. (c) 단위벡터를 활용하여 벡터를 (13)식의 형태로 표기하여라. (d) 단위벡터의 크기가 1이 되는지를 보여라.
(solution)
(a) 문제에서 주어진 벡터는 다음과 같다.
\tag{17} \begin{align} \vec{A} &=4.99\hat{x} + 7.13\hat{y} \end{align}
벡터의 크기는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 활용한다. (17)식에서 x방향의 크기가 4.99이고, y방향의 크기가 7.13이므로 빗변의 길이에 해당하는 벡터의 크기는 다음과 같이 8.70이 나온다.
\tag{18} \begin{align} |\vec{A}| &= \sqrt{4.99^2 + 7.13^2}\\ &=8.70 \end{align}
(b) 벡터 정규화는 (16)식과 같이 벡터를 벡터의 크기로 나눔으로써 단위벡터를 구하는 절차를 말한다. 그러므로 다음과 같이 단위벡터를 구할 수 있다.
\tag{19} \begin{align} 단위벡터 &= {{\vec{A}}\over{|\vec{A}|}}\\ &={{|A_x|\hat{x} + |A_y|\hat{y}}\over{|\vec{A}|}}\\ &={{4.99\hat{x}+7.13\hat{y}}\over{8.70}}\\ &=0.574\hat{x} + 0.820\hat{y} \end{align}
(c) 벡터 표기를 (13)식과 같이 표현하면 다음과 같다.
\tag{20} \begin{align} \vec{A} &= 벡터의 크기\times단위벡터\\ &=|\vec{A}|\times 단위벡터\\ &=8.70\times (0.574\hat{x} + 0.820\hat{y})\\ &=8.70(0.574\hat{x} + 0.820\hat{y})\\ \end{align}
(d) (19)식에서 구한 단위벡터의 크기가 정말 1이 나오는지를 확인하기 위해서는 다음과 같이 피타고라스 정리를 활용한다.
\tag{21} \begin{align} |단위벡터| &= \sqrt{0.574^2 + 0.820^2}\\ &= 1.00 \end{align}
벡터 정규화를 통해 구한 단위벡터의 크기가 1이 나왔다.
4. 단위벡터와 벡터 정규화 요약
단위벡터는 크기가 1이고 방향을 갖는 벡터를 말한다.
벡터란 단위벡터를 벡터의 크기만큼 배수한 것으로 볼 수 있다.
단위벡터는 벡터를 벡터의 크기로 나누는 벡터 정규화 공식을 통해 구할 수 있다.
5. 벡터 관련 추천 글
위키백과, 우리 모두의 백과사전
선형대수학에서 단위 벡터 (單位 vector, 영어: unit vector)는 길이가 ‘1’인 벡터를 뜻한다. 벡터 v {\displaystyle v} 와 방향이 같은 단위 벡터는 종종 알파벳 위에 곡절 부호 (circumflex)를 쓰고, ‘햇’이라고 읽는다. v ^ {\displaystyle {\hat {v}}} 로 표기되며, ‘브이 햇'(영어: v hat)으로 읽는다.
정의 [ 편집 ]
노름 공간 ( V , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V,\|\cdot \|)} 의 단위 벡터는 노름이 1 {\displaystyle 1} 인 원소이다. 즉, ‖ v ‖ = 1 {\displaystyle \|v\|=1} 인 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 이다.
노름 공간의, 영벡터가 아닌 벡터 v ∈ V ∖ { 0 } {\displaystyle v\in V\setminus \{0\}} 의 정규화(正規化, 영어: normalization)는 v / ‖ v ‖ {\displaystyle v/\|v\|} 이다. 이는 항상 단위 벡터이며, 원래의 벡터와 방향이 같다.[1]
역사 [ 편집 ]
정규화 연산은 윌리엄 로언 해밀턴이 사원수를 연구하면서 도입하였다. 해밀턴은 3차원 단위 벡터를 “버서”(영어: versor)라고 불렀는데, 이는 라틴어: vertere 베르테레[*] 에서 왔다. 이는 3차원 단위 벡터로는 (사원수로 간주한) 곱은 사원수의 회전을 정의하기 때문이다.
각주 [ 편집 ]
↑ Lay, David C. (2012). 《Linear Algebra and Its Applications》 4판. Pearson Education. ISBN 978-0-321-38517-8 .
[math]: 단위 벡터(Unit Vector)
벡터 (Vector)
칸 아카데미 벡터 : https://www.khanacademy.org/math/precalculus/vectors-precalc/vector-basic/v/introduction-to-vectors-and-scalars
일반적으로 유클리디안 벡터, Euclidean vector (geometric vector 라고도 한다)를 말한다고 한다.
magnitude와 direction을 갖는 vector.
scalar 값, 단일값 : direction 이 없는 distance 는 scalar 이다.
5 meters
———— = 2.5 m/s <= direction이 없으니 scalar quantity (스칼라 양)이다. 2 seconds 5 meters to the right ------------------------- = 2.5 m/s (속력, velocity) to the right <= direction이 있으니 vector quantity 이다. 2 seconds 단위 벡터 (Unit vector) 칸 아카데미의 unit vector 단원 : https://www.khanacademy.org/math/precalculus/vectors-precalc/unit-vectors/v/intro-unit-vector-notation 단위 벡터 (unit vector)는 한 direction으로 향하는 magnitude 가 1인 벡터를 말한다. (정규화 - normalization은 무언가를 표준화 시키거나 다른 것과 비교하기 쉽도록 바꿔주는 것인데, 벡터를 계산할때 unit vector를 만드는게 이 작업이다. unit vector는 방향은 그대로 두고, 크기만 1로 바꿔준다. 칸 아카데미의 심화 JS 부분 : https://ko.khanacademy.org/computing/computer-programming/programming-natural-simulations/programming-vectors/a/vector-magnitude-normalization) 위를 아래와 같이 나타낼 수 있다. 이렇게 세로 형태로 나타내면 column vector 라고 하는 듯 하다 (?) i 햇은 세로 값 (vertical direction) 만 갖는 unit vector j 햇은 가로 값 (horizontal direction) 만 갖는 unit vector 그럼 v 를 나타내는 notation (표현식) 은? 두 벡터를 더해보면.. 엄청 쉽당 벡터 a가 있어요 벡터 a는 이렇게 생겼지용 피타고라스의 정리를 이용해서 a를 구해볼까요 여기에서 각 요소들을 ||a|| 이놈으로 나누면 단위 벡터가 나옵니다 <- 요 녀석이 단위 벡터 위엣것이 단위 벡터라는 증명은 아래에서.. 그래서 얘는 unit vector 입니당 o('ㅡ')o 그런데 같은 방향으로 가는데 크기가 11인 v 벡터를 만나고 싶어요~~~ v 벡터 🙂
단위 벡터 란 | 벡터 6강 단위벡터 인기 답변 업데이트
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[Khan Academy] Unit vectors (단위벡터)
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이번시간에는 단위벡터에 대해 알아본다.
단위벡터란?
길이가 1인 벡터
이번에는 단위벡터 만드는 법을 알아보자
벡터 v가 주어졌을 때 이 벡터와 방향이 같고 길이가 1인 벡터를 구하는 것이다.
단위벡터는 다음과 같이 구한다
$$\vec{u}=\frac{1}{||\vec{v}||}\vec{v}$$
벡터 v가 위와 같이 주어졌을 때 단위벡터를 구하는 과정이다.
본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.
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[선형대수] 벡터 Vector
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벡터란?
유클리드 공간에서 방향과 크기를 포함하는 기하학적인 대상으로 보통 화살표로 표시한다.
벡터 표현
벡터의 표현
벡터를 표현할 때 점과 헷갈릴 수 있지만 점과 벡터는 엄현이 다른 것임을 알아야 한다.
단위 벡터
다양한 방향과 크기를 가진 벡터 중 크기가 1인 벡터를 모두 단위 벡터라고 칭한다.
크기가 1이 아닌 벡터를 크기가 1인 단위 벡터로 만드는 것을 정규화라고 칭한다.
벡터의 정규화
표준 단위 벡터 / 기본 단위 벡터
크기가 1인 단위 벡터 중 i 번째 성분만 1이고 나머지는 0인 벡터를 표준 단위 벡터 또는 기본 단위 벡터라 칭한다.
모든 벡터는 표준 단위 벡터로 표현할 수 있다.
2차원의 표준 단위 벡터는 (1,0)과 (0,1)이고
3차원의 표준 단위 벡터는 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)이다.
(2, 3) = 2*(1,0) + 3*(0,1)
(2,3,5) = 2*(1,0,0) + 3(0,1,0) + 5(0,0,1)
벡터의 상등/동치
기하학적으로 동일한 방향과 크기를 가지는 벡터는 같은 것으로 간주한다.
아래 보이는 파란색 벡터들은 위치는 서로 다르지만 모두 방향과 크기가 같은 벡터이다.
이들을 상등 또는 동치라 한다.
벡터의 상등
벡터의 스칼라 배
벡터에 실수 배를 할 수 있다.
실수 k가 양수일 경우 동일한 방향의 크기만 k배만큼 변화한다.
실수 k가 음수일 경우 반대 방향의 크기가 k배한 화살표가 된다.
벡터의 스칼라 배
벡터의 덧셈
두 벡터를 더할 수 있다.
이때 한 벡터의 종점과 다른 벡터의 시점이 같은 경우는 벡터 합 삼각형 법칙을 적용한다.
두 벡터의 시점이 같은 경우는 벡터 합 평행사변형 법칙을 적용한다.
벡터의 덧셈 벡터의 덧셈
벡터 덧셈에 대해 성립되는 법칙
교환 법칙 : A + B = B + A
결합 법칙 : ( A + B ) + C = A + ( B + C )
벡터 덧셈의 항등원 존재 : A + 0 = A
벡터 덧셈의 역원 존재 : A + (-A) = 0
벡터의 뺄셈
벡터의 뺄셈 벡터의 뺄셈
벡터의 내적
내적의 정의 벡터의 내적 특수각의 삼각비
특수각의 삼각비에 따라 두 벡터를 내적 한 값이 0이면 두 벡터 사이의 각이 90도이라는 것을 알 수 있다.
다른 말로 두 벡터 사이의 각이 90도 라면 두 벡터를 내적 하면 0이 나온다.
이루는 각이 90도인 두 벡터의 내적
벡터의 성질
벡터의 사영
정사영이란 특정 도형이나 선분에 빛을 쪼였을 때 생기는 그 빛과 수직인 평면에 생기는 그림자를 의미한다.
이에 벡터의 사영도 마찬가지로 한 벡터에 다른 벡터를 수직으로 내렸을 때 생기는 그림자 벡터라고 생각하면 쉽다.
proj이란 사영이란 뜻의 projection의 약자이다.
벡터의 사영 사영 벡터 식
사영 벡터와 벡터의 뺄셈을 이용해 이용해 벡터 b에 수직인 벡터도 구할 수 있다.
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Vector란. – BBAGWANG
벡터의 정의
벡터(Vector)는 크기(magnitude)와 방향(direction)을 모두 가진 수량(quantity)을 가르키는 말이다.
크기와 방향을 모두 가진 수량을 벡터값 수량(Vector-Valued Quantity) 이라고 한다.
이라고 한다. 벡터값 수량의 예로는 크기와 방향을 가진 힘, 변위 그리고 속도 등이 있다.
기하학적 의미의 벡터
시각적으로 벡터는 아래의 그림처럼 나타낼 수 있다.
지향선분(Directed Line Segment)으로 표시한 벡터
벡터를 그릴때 위치는 중요하지 않다. 왜냐하면 위치를 바꾸어도 벡터의 크기와 방향은 변하지 않기 때문이다. 또 다른 말로는 벡터를 다른곳으로 이동(Translation)해도 그 벡터의 의미는 변하지 않는다.
두 벡터가 길이가 같고 같은 방향을 가르킬 때 그 두 벡터를 서로 상등(Equal)하다 라고 할 수있다.
유클리드 공간상의 벡터 (Euclidian Space Vector)
유클리드 기하학의 5개 공리가 성립되는 공간이라고 설명하면 에바쎄바 참치이고…..
유클리드 공간이란 인간에게 실용적인 공간으로, 평면과 공간에 대한 것을 일반화 한 것이다. 3차원으로 이루어진 우리가 3D 게임 엔진에서 자주 보는 직교 좌표계로 표현하는 그 공간이라고 생각하면 편하다.
좌표계상의 벡터
3차원 좌표계를 하나 두고 벡터를 모두 원점에서 시작하게 하면 벡터를 공간에 맞게 X, Y, Z 좌표로 수치적인 표현이 가능해진다.
벡터는 기준으로 하는 좌표계에 따라 좌표 표현이 달라진다. 월드좌표와 로컬좌표를 생각하면 이해가 쉽다.
왼손 좌표계와 오른손 좌표계
짱 쉬운 이해법
DirectX의 경우 왼손 좌표계, OpenGL의 경우 오른손 좌표계를 사용한다.
벡터 연산들
벡터의 좌표 표현을 이용해서 벡터의 상등, 덧셈, 스칼라 곱셈, 뺄셈을 정의하면 아래와 같이 정의할 수 있다.
예로 벡터 A(Ax, Ay, Az), B(Bx, By, Bz)가 있다고 가정해보자
벡터는 대응되는 좌표성분들이 같을 때 상등한다고 한다. (Ax=Bx, Ay=By, Az=Bz 일 때 A=B)
벡터의 덧셈 은 성분별로 이루어진다. 예를들어 A+B로 나오는 C 벡터는 C(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)이다. 벡터의 덧샘은 같은 차원에서만 가능하다.
은 성분별로 이루어진다. 예를들어 A+B로 나오는 C 벡터는 C(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)이다. 벡터의 덧샘은 같은 차원에서만 가능하다. 벡터에는 스칼라(Scalar) 를 곱할 수 있으며 그에 대한 결과는 벡터이다. t가 하나의 스칼라라고 할 때, tA=(tAx, tAy, tAz)이다. 이를 스칼라 곱셈이라 한다.
를 곱할 수 있으며 그에 대한 결과는 벡터이다. t가 하나의 스칼라라고 할 때, tA=(tAx, tAy, tAz)이다. 이를 스칼라 곱셈이라 한다. 벡터의 뺄셈 은 벡터의 덧샘과 스칼라 곱셈을 같이 응용해 정의한다. 구체적으로 서술하면 A-B 일 경우 A+(-1*B)가 되며 A+(-1*B)=(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz) 이다.
은 벡터의 덧샘과 스칼라 곱셈을 같이 응용해 정의한다. 구체적으로 서술하면 A-B 일 경우 A+(-1*B)가 되며 A+(-1*B)=(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz) 이다.
벡터에 음의 스칼라를 곱할 경우 기하학적으로 한 벡터를 부정(Negation, 부호를 반대로 만든 것)하는 것은 그 벡터의 방향을 뒤집는 것이다.
기하학적으로 한 벡터를 부정(Negation, 부호를 반대로 만든 것)하는 것은 그 스칼라 곱셈은 벡터의 길이(크기)를 비례(확대, 축소)하는 것에 해당한다.
Bonus. 모든 벡터의 성분이 0일 경우 그 벡터를 영벡터(Zero Vector) 라고 한다.
Bonus. 벡터의 뺄셈이 A-B 로 이루어진다고 할 때, 그 벡터는 결국 B의 머리에서 A의 머리로 가는 벡터와 같다.
그림이 최고야.
알짜힘
물리학적인 이야기지만 두 벡터를 더하고 빼어 나오는 벡터들이 힘의 단위로 계산된다면 결과값은 힘들의 합인 알짜힘(Netforce, 합력)을 구하는 것과 같은 맥락이다.
길이와 단위벡터
기하학적으로 한 벡터의 크기는 해당 지향 선분의 길이이다.
3차원에서 벡터의 크기를 구하는 방법은 피타고라스의 정리를 두 번 이용하는 것이다.
벡터의 길이를 구하는 공식은 모든 성분에 제곱을 한 뒤 루트를 씌우는 방법이다.
벡터를 방향만 나타낼 경우 벡터의 길이는 중요하지 않아진다. 그럴 때 방향 전용 벡터로 길이를 정확히 1로(단위 벡터로) 만들 수 있는 방법이 있다. 그 방법을 정규화(Normalize)라고 한다.
벡터 정규화(Vector Normalize)는 벡터의 각 성분을 벡터의 크기로 나누면 벡터가 정규화 된다.
벡터 정규화 공식
벡터의 내적
내일 써야징~
참조 :
키워드에 대한 정보 단위 벡터 란
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