단위 계단 함수 라플라스 | 공학수학(1) [22강] 라플라스변환 5 – 단위계단함수, 제 2이동정리 [2021년] (1.25~1.5배속 추천) 상위 285개 베스트 답변

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2021년 공학수학(1) 강의 재생목록입니다.
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[2021년 공학수학 A+ 프로젝트]1) 겨울방학 자기주도적으로 선행학습을 하는 학생
2) 학기 중 교수님 수업을 들어도 이해가 되지 않는 학생
3) 학기 중 시험대비를 위해 열심히 공부하는 학생
4) 한번 배웠던 공학수학을 다시 복습하려고 공부하는 학생
[1.25 ~ 1.5배속을 추천합니다.]====================================================
00:00 – 복습
04:06 – 다른 형태의 ODE
07:14 – ODE 풀이 알고리즘
10:43 – 단위계단함수 u(t)
17:20 – 단위계단함수의 평행이동 u(t-a)
21:43 – 제 2이동정리

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#3.5 Unit Step Function(단위 계단 함수) – 공학이야기

Unit Step Function(단위계단함수) 말로 설명하는 것보다는 그래프를 직접 … 이 함수의 라플라스 변환은 정의 그대로를 따라 가면 됩니다. u(t-a)를 …

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라플라스 변환(Laplace Transform) – 4. 단위 계단 함수(Unit …

단위 계단 함수(unit step function) 또는 헤비사이드 계단 함수(Heavise step function)은 0 보다 작은 실수에 대해서 0 , 0 보다 큰 실수에 …

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단위 계단 함수 라플라스 | 공학수학(1) [22강] 라플라스변환 5

단위 계단 함수 라플라스 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요. #3.5 Unit Step Function(단위 계단 함수) – 공학이야기. Unit Step …

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단위 계단 함수의 푸리에 변환(Fourier Transform of Unit Step …

그런데 어떻게 단위 계단 함수가 라플라스 변환까지 연결될 수 있을까? 단위 계단 함수의 오묘함을 느끼기 위해 푸리에 변환을 이용해 식 (1)을 적분 …

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라플라스 변환의 각종 성질 – KOCW

이를 단위 계단. 함수 (unit step function) 혹은 헤비사이드 함수 (Heavise function) 라 한다. Page 4. – 15 -. Definition 4.3.1. Unit Step Function.

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주제에 대한 기사 평가 단위 계단 함수 라플라스

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• Date Published: 2021. 1. 20.
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#3.5 Unit Step Function(단위 계단 함수)

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#0. Unit Step Function(단위계단함수)

말로 설명하는 것보다는 그래프를 직접 보면서 어떤 특성을 가지는 지 알아보도록 하겠습니다.

이렇게 어느 지점 이후부터는 1, 이전에는 0 인 함수를 Unit Step Function이라고 합니다. 여기선 0 이 기준점이 되었지만 평행이동도 가능합니다 만약 a를 기점으로 했다면 u(t-a) 이런식으로 나타내서 a이전과 이후에 0 과 1이 되는 것을 볼 수 있습니다.

공학에서 이 함수는 on, off 에 이용됩니다. t가 시간으로 둔다면 0 초(혹은 a초) 이후부터는 켜짐, 0초이전에는 꺼짐 상태로 둘 수 있다는 것이지요. 이러한 특성을 이용해서 만약에 어떤 함수에 이 Unit Step Function을 곱해준다면, 원하는 시점에서만 그래프가 나타나도록 만들 수 있습니다. 즉, 신호처리에 이용되는 것이지요

#1. 단위계단 함수의 라플라스변환

이 함수의 라플라스 변환은 정의 그대로를 따라 가면 됩니다. u(t-a)를 변환해보면

범위가 a 이후부터 값이 존재하기 떄문에 적분범위가 0에서 무한대가 아닌 a부터 무한대로 수정됩니다. 변환 자체는 매우 간단합니다. 나중에 역변환을 할때 위 분수의 형태가 나타난다면 unit step function이 곱해져있다는 것을 눈치채는 것이 중요합니다.

#2. Time shifting(t-shifting)

이 함수에서는 u(t) -> u(t-a)처럼 t에 대해서 평행이동을 할 수도 있습니다. 앞 글에서 이미 언급했다시피, t대신 t-a가 들어가게 되면 변환했을때는 앞에 e^-as가 붙는 형태가 됩니다. 예제를 통해서 알아보도록 하겠습니다.

위함수의 역변환은 5sint 임을 쉽게 알 수 있죠. 자 여기서 앞에 e^(-2s)를 곱한다고 생각해봅시다.

이 함수는 t에서 2(2초)만큼 평행이동 한 함수가 됩니다. 그렇다면 unit step function을 이용해서 나타내게 되면, u(t-2)를 곱해주는 형태일겁니다. (2초 이후부터 작동한다고 생각하면 되겠죠?

그런데 여기서 주의할 점이 있습니다. e^(-as)를 곱해주면 함수의 전체가 이동한다는 것입니다. 그래서 라플라스변환공식을 보면

이렇게 됩니다. 그런데 간혹 문제에서 f(t-a)가 주어지지 않고, f(t)가 주어져있고 u(t-a)가 곱해져있는 경우가 있습니다. 이 경우 t-a에 대한 식으로 t를 나태나어서 위 식과 같은 형태로 고치고 난 후에 변환이 가능하다는 것이지요.

예를 들어보겠습니다

이렇게 식이 주어져있다면 이상태로는 변환하기가 쉽지 않습니다. 따라서 t-1을 이용해서 t제곱을 나타내어야합니다.

이렇게 나타내어서 선형성을 이용하여 3개의 항을 따로 따로 변환 한 뒤에 합치는 것입니다. 이렇게 고쳐주어야 e^(-as)가 곱해진 형태로 변환이 가능합니다. 이 과정이 생각보다 까다로울수 있기떄문에 어떤 식의형태를 봤을때 통일되어 있지 않다면, 미리 변환할 것을 염두에 두고 접근하는 것이 좋습니다.

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라플라스 변환(Laplace Transform) – 4. 단위 계단 함수(Unit Step Function)

단위 계단 함수(unit step function) 또는 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)은 $0$보다 작은 실수에 대해서 $0$, $0$보다 큰 실수에 대해서 $1$, $0$에 대해서 $1/2$의 값을 갖는 함수이다. 일반적으로, 다음과 같이 정의한다.

[정의 7 (Unit Step Function)] $a \geq 0$라 하자. 단위 계단 함수(unit step function)을 다음과 같이 정의한다.

$$ u(t-a) := \begin{cases} 0, & \qquad t < a \\ 1, & \qquad t > a \\ 1/2, & \qquad t = a \end{cases} $$

우선 간단히 다음을 확인할 수 있다.

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(u(t-a)) & = \int_{0}^{\infty} e^{-st} u(t-a) \, dt \\ & = \int_{a}^{\infty} e^{-st} \, dt \\ & = -\frac{1}{s} e^{-st} \bigg|_{a}^{\infty} \\ & = \frac{1}{s} a^{-as} \end{aligned} $$

[정리 8] 임의의 함수 $f$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(f(t-a)u(t-a)) & = e^{-as}F(s), \\ \mathcal{L}^{-1}(e^{-as}F(s)) & = f(t-a)u(t-a). \end{aligned} $$

[증명] 직접 계산을 통해 간단히 확인 가능하다.

$$ \begin{aligned} e^{-as}F(s) & = e^{-as} \int_{0}^{\infty} e^{-s \tau} f(\tau) \, d\tau & \\& = \int_{0}^{\infty} e^{-s (\tau+a)} f(\tau) \, d\tau \\ & = \int_{a}^{\infty} e^{-st} {f(t-a)} \, dt \qquad \qquad (\tau + a = t) \\ & = \int_{0}^{\infty} f(t-a)u(t-a) \, dt \\ & = \mathcal{L}(f(t-a)u(t-a)) \end{aligned} $$

[예제 14] 함수 $f$를 아래와 같이 정의하자.

$$ f(t) = \begin{cases} 2, & \qquad 0 \frac{\pi}{2} \end{cases} $$

그러면,

$$ \begin{aligned} f(t) & = 2[1-u(t-1)] + \tfrac{1}{2}t^2[u(t-1)-u(t-\tfrac{\pi}{2})] + \cos t u(t-\tfrac{\pi}{2}) \\ & = \underbrace{2[1-u(t-1)]}_{(1)} + \underbrace{\tfrac{1}{2}t^2 u(t-1)}_{(2)} – \underbrace{\tfrac{1}{2}t^2 u(t-\tfrac{\pi}{2})}_{(3)} + \underbrace{\cos t u(t-\tfrac{\pi}{2})}_{(4)} \end{aligned} $$

이제, 우변의 각 항을 각각 풀어주면,

$$ \begin{aligned} (1) \ 2 \left( \frac{1}{s} – \frac{1}{s}e^{-s} \right) \hspace{25em} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} (2) \ \frac{t^2}{2} u(t-1) & = \frac{(t-1+1)^2}{2} u(t-1) \hspace{17em} \\ & = \left[ \frac{(t-1)^2}{2} + (t-1) + \frac{1}{2} \right] u(t-1) \\ & \Rightarrow e^{-s}\left( \frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^2} + \frac{1}{2s} \right) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} (3) \ \frac{t^2}{2} u(t-\tfrac{\pi}{2}) & = \left[ \frac{(t-\tfrac{\pi}{2})^2}{2} + (t-\tfrac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{8} \right] u(t-\tfrac{\pi}{2}) \hspace{10em} \\ & \Rightarrow e^{-\tfrac{\pi}{2}s} \left( \frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^2} + \frac{\pi^2}{8}\frac{1}{s} \right) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} (4) \ \cos t u(t – \tfrac{\pi}{2}) & = -\sin(t – \tfrac{\pi}{2})u(t-\tfrac{\pi}{2}) \hspace{14em} \\ & \Rightarrow -e^{\tfrac{\pi}{2}s}\frac{1}{s^2 + 1} & \end{aligned} $$

따라서, $\mathcal{L}(f) = (1) + (2) – (3) + (4)$.

[예제 15] 함수 $F$를 다음과 같다고 하자.

$$ F(s) = \frac{e^{-s}}{s^2 + \pi^2} + \frac{e^{-2s}}{s^2 + \pi^2} + \frac{e^{-3s}}{(s+2)^2} $$

다음이 성립하므로,

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{s^2 + \pi^2} \right) & = \frac{1}{\pi} \sin \pi t \qquad \text{and} \\ \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{(s+2)^2} \right) & = e^{-2t} t, \end{aligned} $$

아래 식을 얻는다.

$$ \begin{aligned} f(t) & = \frac{1}{\pi} \sin \pi(t-1) u(t-1) + \frac{1}{\pi} \sin \pi(t-2) u(t-2) + e^{-2(t-3)} (t-3) u(t-3) \\ & = \begin{cases} 0, & \quad 0 < t < 1 \\ -\tfrac{1}{\pi} \sin \pi t, & \quad 1 < t < 2 \\ 0, & \quad 2 < t < 3 \\ e^{-2(t-3)} (t-3), & \quad t > 3 \end{cases} \end{aligned} $$

단위 계단 함수 라플라스 | 공학수학(1) [22강] 라플라스변환 5 – 단위계단함수, 제 2이동정리 [2021년] (1.25~1.5배속 추천) 6371 투표 이 답변

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00:00 – 복습

04:06 – 다른 형태의 ODE

07:14 – ODE 풀이 알고리즘

10:43 – 단위계단함수 u(t)

17:20 – 단위계단함수의 평행이동 u(t-a)

21:43 – 제 2이동정리

Unit Step Function(단위계단함수) 말로 설명하는 것보다는 그래프를 직접 … 이 함수의 라플라스 변환은 정의 그대로를 따라 가면 됩니다. u(t-a)를 …

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Heavise Step Function 영국의 전기공학자 올리버 헤비사이드가 연구한 함수라 하여 명명되었으며, 특수함수의 일종이다. 단위 계단함수(Unit Step …

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Date Published: 8/24/2021

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Date Published: 7/14/2021

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그러면 어떤 t = a 시간까지는 0 (off). 이며 그 시간 이후부터 1 (on) 인 값을 가지는 특별한 함수를 정의하면 편리하다. 이를 단위 계단. 함수 (unit step function) …

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Date Published: 9/9/2022

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#3.5 Unit Step Function(단위 계단 함수) – 공학이야기

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단위 계단 함수 라플라스

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미분방정식[20].라플라스 변환 3

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#0. Unit Step Function(단위계단함수) 말로 설명하는 것보다는 그래프를 직접 보면서 어떤 특성을 가지는 지 알아보도록 하겠습니다. 이렇게 어느 지점 이후부터는 1, 이전에는 0 인 함수를 Unit Step Function이라고 합니다. 여기선 0 이 기준점이 되었지만 평행이동도 가능합니다 만약 a를 기점으로 했다면 u(t-a) 이런식으로 나타내서 a이전과 이후에 0 과 1이 되는 것을 볼 수 있습니다. 공학에서 이 함수는 on, off 에 이용됩니다. t가 시간으로 둔다면 0 초(혹은 a초) 이후부터는 켜짐, 0초이전에는 꺼짐 상태로 둘 수 있다는 것이지요. 이러한 특성을 이용해서 만약에 어떤 함수에 이 Unit Step Function을 곱해준다면, 원하는 시점에서만 그래프가 나타나도록 만들 수 있습니다. 즉, 신호처리에 이용되는 것이지요 #1. 단위계단 함수의 라플라스변환 이 함수의 라플라스 변환은 정의 그대로를 따라 가면 됩니다. u(t-a)를 변환해보면 범위가 a 이후부터 값이 존재하기 떄문에 적분범위가 0에서 무한대가 아닌 a부터 무한대로 수정됩니다. 변환 자체는 매우 간단합니다. 나중에 역변환을 할때 위 분수의 형태가 나타난다면 unit step function이 곱해져있다는 것을 눈치채는 것이 중요합니다. #2. Time shifting(t-shifting) 이 함수에서는 u(t) -> u(t-a)처럼 t에 대해서 평행이동을 할 수도 있습니다. 앞 글에서 이미 언급했다시피, t대신 t-a가 들어가게 되면 변환했을때는 앞에 e^-as가 붙는 형태가 됩니다. 예제를 통해서 알아보도록 하겠습니다. 위함수의 역변환은 5sint 임을 쉽게 알 수 있죠. 자 여기서 앞에 e^(-2s)를 곱한다고 생각해봅시다. 이 함수는 t에서 2(2초)만큼 평행이동 한 함수가 됩니다. 그렇다면 unit step function을 이용해서 나타내게 되면, u(t-2)를 곱해주는 형태일겁니다. (2초 이후부터 작동한다고 생각하면 되겠죠? 그런데 여기서 주의할 점이 있습니다. e^(-as)를 곱해주면 함수의 전체가 이동한다는 것입니다. 그래서 라플라스변환공식을 보면 이렇게 됩니다. 그런데 간혹 문제에서 f(t-a)가 주어지지 않고, f(t)가 주어져있고 u(t-a)가 곱해져있는 경우가 있습니다. 이 경우 t-a에 대한 식으로 t를 나태나어서 위 식과 같은 형태로 고치고 난 후에 변환이 가능하다는 것이지요. 예를 들어보겠습니다 이렇게 식이 주어져있다면 이상태로는 변환하기가 쉽지 않습니다. 따라서 t-1을 이용해서 t제곱을 나타내어야합니다. 이렇게 나타내어서 선형성을 이용하여 3개의 항을 따로 따로 변환 한 뒤에 합치는 것입니다. 이렇게 고쳐주어야 e^(-as)가 곱해진 형태로 변환이 가능합니다. 이 과정이 생각보다 까다로울수 있기떄문에 어떤 식의형태를 봤을때 통일되어 있지 않다면, 미리 변환할 것을 염두에 두고 접근하는 것이 좋습니다.

라플라스 변환(Laplace Transform) – 4. 단위 계단 함수(Unit Step Function)

단위 계단 함수(unit step function) 또는 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)은 $0$보다 작은 실수에 대해서 $0$, $0$보다 큰 실수에 대해서 $1$, $0$에 대해서 $1/2$의 값을 갖는 함수이다. 일반적으로, 다음과 같이 정의한다. [정의 7 (Unit Step Function)] $a \geq 0$라 하자. 단위 계단 함수(unit step function)을 다음과 같이 정의한다. $$ u(t-a) := \begin{cases} 0, & \qquad t < a \\ 1, & \qquad t > a \\ 1/2, & \qquad t = a \end{cases} $$ 우선 간단히 다음을 확인할 수 있다. $$ \begin{aligned} \mathcal{L}(u(t-a)) & = \int_{0}^{\infty} e^{-st} u(t-a) \, dt \\ & = \int_{a}^{\infty} e^{-st} \, dt \\ & = -\frac{1}{s} e^{-st} \bigg|_{a}^{\infty} \\ & = \frac{1}{s} a^{-as} \end{aligned} $$ [정리 8] 임의의 함수 $f$에 대하여 다음이 성립한다. $$ \begin{aligned} \mathcal{L}(f(t-a)u(t-a)) & = e^{-as}F(s), \\ \mathcal{L}^{-1}(e^{-as}F(s)) & = f(t-a)u(t-a). \end{aligned} $$ [증명] 직접 계산을 통해 간단히 확인 가능하다. $$ \begin{aligned} e^{-as}F(s) & = e^{-as} \int_{0}^{\infty} e^{-s \tau} f(\tau) \, d\tau & \\& = \int_{0}^{\infty} e^{-s (\tau+a)} f(\tau) \, d\tau \\ & = \int_{a}^{\infty} e^{-st} {f(t-a)} \, dt \qquad \qquad (\tau + a = t) \\ & = \int_{0}^{\infty} f(t-a)u(t-a) \, dt \\ & = \mathcal{L}(f(t-a)u(t-a)) \end{aligned} $$ [예제 14] 함수 $f$를 아래와 같이 정의하자. $$ f(t) = \begin{cases} 2, & \qquad 0 \frac{\pi}{2} \end{cases} $$ 그러면, $$ \begin{aligned} f(t) & = 2[1-u(t-1)] + \tfrac{1}{2}t^2[u(t-1)-u(t-\tfrac{\pi}{2})] + \cos t u(t-\tfrac{\pi}{2}) \\ & = \underbrace{2[1-u(t-1)]}_{(1)} + \underbrace{\tfrac{1}{2}t^2 u(t-1)}_{(2)} – \underbrace{\tfrac{1}{2}t^2 u(t-\tfrac{\pi}{2})}_{(3)} + \underbrace{\cos t u(t-\tfrac{\pi}{2})}_{(4)} \end{aligned} $$ 이제, 우변의 각 항을 각각 풀어주면, $$ \begin{aligned} (1) \ 2 \left( \frac{1}{s} – \frac{1}{s}e^{-s} \right) \hspace{25em} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} (2) \ \frac{t^2}{2} u(t-1) & = \frac{(t-1+1)^2}{2} u(t-1) \hspace{17em} \\ & = \left[ \frac{(t-1)^2}{2} + (t-1) + \frac{1}{2} \right] u(t-1) \\ & \Rightarrow e^{-s}\left( \frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^2} + \frac{1}{2s} \right) \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} (3) \ \frac{t^2}{2} u(t-\tfrac{\pi}{2}) & = \left[ \frac{(t-\tfrac{\pi}{2})^2}{2} + (t-\tfrac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{8} \right] u(t-\tfrac{\pi}{2}) \hspace{10em} \\ & \Rightarrow e^{-\tfrac{\pi}{2}s} \left( \frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^2} + \frac{\pi^2}{8}\frac{1}{s} \right) \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} (4) \ \cos t u(t – \tfrac{\pi}{2}) & = -\sin(t – \tfrac{\pi}{2})u(t-\tfrac{\pi}{2}) \hspace{14em} \\ & \Rightarrow -e^{\tfrac{\pi}{2}s}\frac{1}{s^2 + 1} & \end{aligned} $$ 따라서, $\mathcal{L}(f) = (1) + (2) – (3) + (4)$. [예제 15] 함수 $F$를 다음과 같다고 하자. $$ F(s) = \frac{e^{-s}}{s^2 + \pi^2} + \frac{e^{-2s}}{s^2 + \pi^2} + \frac{e^{-3s}}{(s+2)^2} $$ 다음이 성립하므로, $$ \begin{aligned} \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{s^2 + \pi^2} \right) & = \frac{1}{\pi} \sin \pi t \qquad \text{and} \\ \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{(s+2)^2} \right) & = e^{-2t} t, \end{aligned} $$ 아래 식을 얻는다. $$ \begin{aligned} f(t) & = \frac{1}{\pi} \sin \pi(t-1) u(t-1) + \frac{1}{\pi} \sin \pi(t-2) u(t-2) + e^{-2(t-3)} (t-3) u(t-3) \\ & = \begin{cases} 0, & \quad 0 < t < 1 \\ -\tfrac{1}{\pi} \sin \pi t, & \quad 1 < t < 2 \\ 0, & \quad 2 < t < 3 \\ e^{-2(t-3)} (t-3), & \quad t > 3 \end{cases} \end{aligned} $$

미분방정식[20].라플라스 변환 3

728×90 반응형 안녕하세요. 지난 시간의 미분방정식[19].라플라스 변환 2에서 라플라스 변환에서 빈번하게 사용되는 정리와 따름정리를 알아보고 간단한 예제까지 해결해보았습니다. 오늘부터는 계단 함수(step function)에 대해서 알아보고 라플라스 변환에 어떻게 적용될 수 있는 지 알아보도록 하겠습니다. 먼저 단위 계단함수(unit step fucntion)입니다. 단위 계단함수는 위의 그래프와 같이 $t=c$를 기준으로 0 또는 1로 변화하는 함수입니다. 이 함수를 식으로 표현하면 아래와 같을 것입니다. $$ u_{c}(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \quad t \geq c \\ 0 & \quad t < c \end{array} \right. $$ 이번에는 단위 계단함수에 라플라스 변환을 적용해보겠습니다. $$L(u_{c}(t)) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}u_{c}(t) \; dt = \int_{0}^{c} e^{-st} \cdot 0 \; dt + \int_{c}^{\infty} e^{-st} \cdot 1 \; dt = \int_{c}^{\infty} e^{-st} \; dt = \frac{1}{s}e^{-cs} for\ s >0$$ 이와 같이 간단하게 계산해볼 수 있습니다. 이제는 계단함수를 이용하면 기존에 함수 $f(t)$를 많은 형태로 표현할 수 있습니다. 예를 들어서 확인해보겠습니다. $t < c$에서는 0이고 $t \geq c$에서는 $f(t-c)$인 함수를 어떤 식으로 표현할 수 있을 까요? 참고로 $f(t-c)$는 $f(t)$를 $x$축의 양의 방향으로 $c$만큼 평행이동 한 것입니다. 일단 식을 그대로 쓰면 아래와 같이 piecewise function 형태로 쓸 수 있습니다. $$ g(t) = \left\{ \begin{array}{ll} f(t - c) & \quad t \geq c \\ 0 & \quad t < c \end{array} \right. $$ 보기에 살짝 불편합니다. 여기에 단위 계단함수를 도입하면 더 간단하게 표현 할 수 있습니다. $$g(t) = u_{c}(t) \cdot f(t-c)$$ 단순히 단위 계단함수와 $f(t-c)$의 곱하기를 통해 간단하게 만들었습니다. 아래는 위 식에 라플라스 변환을 적용했을 때의 결과를 정리(Theorem)으로 알려주고 있습니다. 정리 1 $F(s)=L(f(t))$가 $s \geq a \geq 0$, $c > 0$에서 존재하면 $L(u_{c}(t) \cdot f(t-c))=e^{-cs}L(f(t))e^{-cs}F(s)$입니다. 그리고 역 라플라스 변환에 대해서도 확인해보면 $u_{c}(t)f(t-c) = L^{-1}(F(s-c))$입니다. 정리 2 $F(s)=L(f(t))$가 $s \geq a \geq 0$, $c > 0$에서 존재하면 $L(e^{ct} \cdot f(t-c))=F(s-c) for\ s > a > c$입니다. 그리고 역 라플라스 변환에 대해서도 확인해보면 $e^{ct}f(t) = L^{-1}(F(s-c))$입니다. 간단하게 예제를 확인하도록 하겠습니다. 예제1. $ f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \sin{(t)} & \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4} \\ \sin{(t)} + \cos{(t-\frac{\pi}{4})} & \quad t \geq \frac{\pi}{4} \end{array} \right. $일 때 $L(f(t))$를 계산하세요. 언듯보면 꽤나 복잡해보입니다. 시작하기 전에 함수 $g(t)$를 아래와 같이 정의합니다. $$ g(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4} \\ \cos{(t-\frac{\pi}{4})} & \quad t \geq \frac{\pi}{4} \end{array} \right. $$ 위 식은 아래와 같이 쓸 수 있겠죠? $$g(t) = u_{\frac{\pi}{4}}(t) \cdot \cos{(t-\frac{\pi}{4})}$$ 그러므로 $f(t) = \sin{(t)} + g(t)$입니다. 즉, $f(t)$의 공통 함수를 제외하고는 단위 계단함수로 표현한 뒤 그 식을 $f(t)$에 더해주면 됩니다. 이제 본격적으로 위 정리를 사용해서 라플라스 변환을 적용해보겠습니다. $$L(f(t))=L(\sin{(t)} + g(t)) = L(\sin(t)) + L(u_{\frac{\pi}{4}} \cdot \cos{(t – \frac{\pi}{4})}) = \frac{1}{s^{2} + 1} + e^{-\frac{\pi}{4}}L(\cos{(t)}) = \frac{1}{s^{2} + 1} + e^{-\frac{\pi}{4}}\frac{s}{s^{2} + 1} for\ s > 0$$ 그렇다면 최종적인 질문입니다. 왜 필요할까요?? 그 이유는 주어진 미분방정식의 우변인 $g(t)$가 조각 함수로 주어져있을 경우가 있기 때문입니다. 만약 저희가 $g(t)$를 단위 계단함수로 표현하고 라플라스 변환을 적용하는 방법을 모른다면 주어진 미분방정식은 풀 수 없을 것입니다. 728×90 반응형

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