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해석학에서 함수의 극한(영어: limit of a function)은 독립 변수가 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 함수의 값이 한없이 가까워지는 값이다. 함수의 극한은 존재할 수도(수렴), 존재하지 않을 수도(발산) 있다.

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Date Published: 7/15/2022

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극한 – 영어로 번역 – Translate100.com

한국어에서영어로 «극한» 의 번역: «Extreme»

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Source: ko.translate100.com

Date Published: 1/19/2022

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극한 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

극한은 다음과 같은 뜻들을 가진다. 수열의 극한 · 함수의 극한 · 필터의 극한 … 주 메뉴 열기. 대문 · 임의의 문서로 · 근처 … 그물의 극한; 범주론에서의 극한.

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Date Published: 2/24/2021

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주제에 대한 기사 평가 극한 영어 로

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위키백과, 우리 모두의 백과사전

해석학에서 함수의 극한(영어: limit of a function)은 독립 변수가 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 함수의 값이 한없이 가까워지는 값이다. 함수의 극한은 존재할 수도(수렴), 존재하지 않을 수도(발산) 있다. 실수를 비롯한 거리 공간의 경우, 함수의 극한 개념은 엡실론-델타 논법을 사용하여 엄밀히 정의된다. 임의의 위상 공간에서도 함수의 극한을 정의할 수 있다.

일변수 함수 [ 편집 ]

정의 [ 편집 ]

열린구간 I ∋ a {\displaystyle I

i a} 및 실수 함수 f : I ∖ { a } → R {\displaystyle f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} } 에 대하여, 점 a {\displaystyle a} 에서 함수 f {\displaystyle f} 의 극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } 이다.

임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } 또한, 이를 다음과 같이 표기한다. lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} f ( x ) → L ( x → a ) {\displaystyle f(x)\to L\quad (x\to a)} 정의에 따라, a {\displaystyle a} 에서 f {\displaystyle f} 의 극한은 a {\displaystyle a} 부근에서 f {\displaystyle f} 의 행위와 상관이 있으나, a {\displaystyle a} 에서의 함숫값과 상관 없으며, 심지어 a {\displaystyle a} 에서 정의되었는지와 상관 없다. 단측 극한 [ 편집 ] 단측 극한(單側極限, 영어: one-sided limit) 또는 한쪽 극한은 보다 더 약한 개념의 극한이며, 좌극한(左極限, 영어: left-handed limit)과 우극한(右極限, 영어: right-handed limit)으로 나뉜다. 이들은 다음과 같이 정의된다. 실수 함수 f : ( b , a ) → R {\displaystyle f\colon (b,a)\to \mathbb {R} } 에 대하여, 점 a {\displaystyle a} 에서 함수 f {\displaystyle f} 의 좌극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } 이다. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < a − x < δ {\displaystyle 0 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < x − a < δ {\displaystyle 0 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} x ∈ E {\displaystyle x\in E} 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } 좌극한과 우극한은 이런 극한의 특수한 경우이다. 물론 유리수 점에서의 값들만을 생각하는 등 더 다양한 경우가 존재한다. 만약 I ∖ { a } ⊆ E {\displaystyle I\setminus \{a\}\subseteq E} 인 열린구간 I ∋ a {\displaystyle I i a} 가 존재한다면, 이는 일반적인 극한과 동치이며, 이 경우 기호 E ∋ {\displaystyle E i } 를 생략할 수 있다. 무한대에서의 극한 [ 편집 ] 실수 점 대신 무한대 점에서의 극한을 정의할 수 있다. 즉, 실수 함수 f : ( b , ∞ ) → R {\displaystyle f\colon (b,\infty )\to \mathbb {R} } 에 대하여, 무한대에서 함수 f {\displaystyle f} 의 극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 L = lim x → ∞ f ( x ) ∈ R {\displaystyle L=\lim _{x\to \infty }f(x)\in \mathbb {R} } 이다. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} M > 0 {\displaystyle M>0} x > M {\displaystyle x>M} | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } 비슷하게, 실수 함수 f : ( − ∞ , b ) → R {\displaystyle f\colon (-\infty ,b)\to \mathbb {R} } 에 대하여, 음의 무한대에서 함수 f {\displaystyle f} 의 극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 L = lim x → − ∞ f ( x ) ∈ R {\displaystyle L=\lim _{x\to -\infty }f(x)\in \mathbb {R} } 이다. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} M > 0 {\displaystyle M>0} x < − M {\displaystyle x<-M} | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } 무한대 값 극한 [ 편집 ] 실수 극한 대신 무한대 극한을 정의할 수 있다. 다만, 무한대 극한은 더 넓은 의미의 극한이다. 다시 말해, 무한대 극한을 갖는 경우 극한이 존재한다고 보지 않는다. 열린구간 I ∋ a {\displaystyle I i a} 및 실수 함수 f : I ∖ { a } → R {\displaystyle f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} } 가 다음 조건을 만족시킨다면, 점 a {\displaystyle a} 에서 함수 f {\displaystyle f} 의 극한이 무한대라고 하며, lim x → a f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\infty } 라 표기한다. 임의의 M > 0 {\displaystyle M>0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } f ( x ) > M {\displaystyle f(x)>M}

비슷하게, f {\displaystyle f} 가 다음 조건을 만족시킨다면, 점 a {\displaystyle a} 에서 함수 f {\displaystyle f} 의 극한이 음의 무한대라고 하며, lim x → a f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=-\infty } 라 표기한다.

임의의 M > 0 {\displaystyle M>0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } f ( x ) < − M {\displaystyle f(x)<-M} 이와 마찬가지로, 무한대 좌극한 · 무한대 우극한 · 무한대에서의 무한대 극한 등을 정의할 수 있다. 성질 [ 편집 ] 극한의 종류가 많으므로 가장 일반적인 경우만을 생각하자. (좌극한 · 우극한 · 범위 안 극한 · 무한대에서의 극한 · 무한대 극한의 성질도 이와 비슷하다.) 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 이는 유일하다. 이는 함수의 극한에 표기 lim {\displaystyle \lim } 를 사용할 수 있는 이유이다. 열린구간 I ∋ a {\displaystyle I i a} 및 실수 함수 f : I ∖ { a } → R {\displaystyle f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. (극한 존재) lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} (좌극한과 우극한 존재 및 일치) lim x → a + 0 f ( x ) = lim x → a − 0 f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a+0}f(x)=\lim _{x\to a-0}f(x)=L} (상극한과 하극한 존재 및 일치) lim sup x → a f ( x ) = lim inf x → a f ( x ) = L {\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\liminf _{x\to a}f(x)=L} ('닿지 않는' 수열의 극한 보존) 모든 ( x n ) n ∈ N ⊆ I ∖ { a } {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I\setminus \{a\}} lim n → ∞ x n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a} lim n → ∞ f ( x n ) = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L} ('닿지 않는' 수열의 극한 보존) 다음 두 조건을 만족시킨다. 모든 ( x n ) n ∈ N ⊆ I ∖ { a } {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I\setminus \{a\}} lim n → ∞ x n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a} lim n → ∞ f ( x n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})} 어떤 ( x n ) n ∈ N ⊆ I ∖ { a } {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I\setminus \{a\}} lim n → ∞ x n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a} lim n → ∞ f ( x n ) = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L} 증명: 간단하게 절댓값을 풀고 묶는 과정이다. (충분조건) 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } 에 대해 0 < | x − a | < δ ⇒ | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-L\right|<\epsilon } 을 만족하는 어떤 양의 실수 δ {\displaystyle \delta } 가 존재한다. 이 때 x > a , x < a {\displaystyle x>a,~x a {\displaystyle x>a} 라면 0 < | x − a | < δ ⇒ 0 < x − a < δ ≤ δ 1 ⇒ | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow 0 0 {\displaystyle M>0} 이 존재한다.

임의의 x ∈ J ∖ { a } {\displaystyle x\in J\setminus \{a\}} | f ( x ) | < M {\displaystyle |f(x)| M {\displaystyle L>M} 이라 가정하자. 극한의 5번째 성질에 의하여 lim x → a { g ( x ) − f ( x ) } = M − L {\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{g(x)-f(x)\right\}=M-L} 이다. 가정에 의하여 L − M > 0 {\displaystyle L-M>0} 이므로 극한의 정의에 의하여 0 < | x − a | < δ ⇒ | { g ( x ) − f ( x ) } − ( M − L ) | < L − M {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|\left\{g(x)-f(x)\right\}-\left(M-L\right)\right| g ( x ) {\displaystyle f(x)>g(x)} 이므로 이는 전제에 대해 모순이다. 그러므로 L ≤ M {\displaystyle L\leq M} 이다.

함수의 극한은 사칙 연산을 보존한다. 즉, 열린구간 I ∋ a {\displaystyle I

i a} 및 a {\displaystyle a} 에서 극한이 존재하는 함수 f , g : I ∖ { a } → R {\displaystyle f,g\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

lim x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = lim x → a f ( x ) + lim x → a g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to a}f(x)+\lim _{x\to a}g(x)}

lim x → a ( f ( x ) − g ( x ) ) = lim x → a f ( x ) − lim x → a g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to a}f(x)-\lim _{x\to a}g(x)}

lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ( x ) lim x → a g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)g(x)=\lim _{x\to a}f(x)\lim _{x\to a}g(x)}

만약 추가로 어떤 빠진 근방 J ∖ { a } ⊆ I ∖ { a } {\displaystyle J\setminus \{a\}\subseteq I\setminus \{a\}} 에서 항상 g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)

eq 0} 이라면,

lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ( x ) lim x → a g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)}}}

증명: 함수의 극한의 엄밀한 정의인 엡실론-델타 논법을 이용하면 쉽게 보일 수 있다. lim x → a { f ( x ) + g ( x ) } = α + β {\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)+g(x)\right\}=\alpha +\beta } 삼각 부등식에 의하여 | f ( x ) + g ( x ) − ( α + β ) | = | ( f ( x ) − α ) + ( g ( x ) − β ) | ≤ | f ( x ) − α | + | g ( x ) − β | {\displaystyle |f(x)+g(x)-(\alpha +\beta )|=|(f(x)-\alpha )+(g(x)-\beta )|\leq |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |} 가 성립한다. 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } ϵ 2 > 0 {\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}>0} | x − a | < δ 1 ⇒ | f ( x ) − α | < ϵ 2 {\displaystyle |x-a|<\delta _{1}\Rightarrow |f(x)-\alpha |<{\frac {\epsilon }{2}}} | x − a | < δ 2 ⇒ | g ( x ) − β | < ϵ 2 {\displaystyle |x-a|<\delta _{2}\Rightarrow |g(x)-\beta |<{\frac {\epsilon }{2}}} δ 1 {\displaystyle \delta _{1}} δ 2 {\displaystyle \delta _{2}} δ {\displaystyle \delta } min ( δ 1 , δ 2 ) {\displaystyle \min(\delta _{1},\delta _{2})} 0 < δ ≤ δ 1 {\displaystyle 0<\delta \leq \delta _{1}} 0 < δ ≤ δ 2 {\displaystyle 0<\delta \leq \delta _{2}} | { f ( x ) + g ( x ) } − ( α + β ) | ≤ | f ( x ) − α | + | g ( x ) − β | < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ {\displaystyle |\left\{f(x)+g(x)\right\}-(\alpha +\beta )|\leq |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon } 다시 말해 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } δ {\displaystyle \delta } 0 < | x − a | < δ ⇒ | f ( x ) + g ( x ) − ( α + β ) | < ϵ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |{f(x)+g(x)}-(\alpha +\beta )|<\epsilon } 그러므로 극한에 정의에 의하여 lim x → a { f ( x ) + g ( x ) } = α + β {\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)+g(x)\right\}=\alpha +\beta } lim x → a f ( x ) g ( x ) = α β {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)g(x)=\alpha \beta } 증명하고자 하는 명제의 결론은 다음과 같다. 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } δ {\displaystyle \delta } 0 < | x − a | < δ ⇒ | f ( x ) g ( x ) − α β | < ϵ {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|<\epsilon } 여기서 α g ( x ) {\displaystyle \alpha g(x)} | f ( x ) g ( x ) − α β | = | f ( x ) g ( x ) − α g ( x ) + α g ( x ) − α β | = | { f ( x ) − α } g ( x ) + α { g ( x ) − β } | {\displaystyle \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|=\left|f(x)g(x)-\alpha g(x)+\alpha g(x)-\alpha \beta \right|=\left|\left\{f(x)-\alpha \right\}g(x)+\alpha \left\{g(x)-\beta \right\}\right|} 삼각 부등식을 사용한다면 | f ( x ) g ( x ) − α β | ≤ | { f ( x ) − α } g ( x ) | + | α { g ( x ) − β } | = | f ( x ) − α | | g ( x ) | + | α | | g ( x ) − β | {\displaystyle \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|\leq \left|\left\{f(x)-\alpha \right\}g(x)\right|+\left|\alpha \left\{g(x)-\beta \right\}\right|=\left|f(x)-\alpha \right|\left|g(x)\right|+\left|\alpha \right|\left|g(x)-\beta \right|} 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } ϵ 2 ( 1 + | α | ) > 0 , 1 > 0 , ϵ 2 ( 1 + | β | ) > 0 {\displaystyle {\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\alpha \right|\right)}}>0,~1>0,~{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\beta \right|\right)}}>0} 0 < | x − a | < δ 1 ⇒ | g ( x ) − β | < ϵ 2 ( 1 + | α | ) , 0 < | x − a | < δ 2 ⇒ | g ( x ) − β | < 1 , {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta _{1}\Rightarrow \left|g(x)-\beta \right|<{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\alpha \right|\right)}},~0<\left|x-a\right|<\delta _{2}\Rightarrow \left|g(x)-\beta \right|<1,} 0 < | x − a | < δ 3 ⇒ | f ( x ) − α | < ϵ 2 ( 1 + | β | ) {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta _{3}\Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\beta \right|\right)}}} δ 1 , δ 2 , δ 3 {\displaystyle \delta _{1},~\delta _{2},~\delta _{3}} 삼각 부등식에 의해 | g ( x ) | = | g ( x ) − β + β | ≤ | g ( x ) − β | + | β | < 1 + | β | {\displaystyle \left|g(x)\right|=\left|g(x)-\beta +\beta \right|\leq \left|g(x)-\beta \right|+\left|\beta \right|<1+\left|\beta \right|} δ {\displaystyle \delta } min ( δ 1 , δ 2 , δ 3 ) {\displaystyle \min(\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3})} 0 < δ ≤ δ 1 , 0 < δ ≤ δ 2 , 0 < δ ≤ δ 3 {\displaystyle 0<\delta \leq \delta _{1},~0<\delta \leq \delta _{2},~0<\delta \leq \delta _{3}} | f ( x ) g ( x ) − α β | ≤ | f ( x ) − α | | g ( x ) | + | α | | g ( x ) − β | < ϵ 2 ( 1 + | β | ) ( 1 + | β | ) + | α | ϵ 2 ( 1 + | α | ) < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|&\leq &\left|f(x)-\alpha \right|\left|g(x)\right|+\left|\alpha \right|\left|g(x)-\beta \right|\\&<&{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\beta \right|\right)}}\left(1+\left|\beta \right|\right)+\left|\alpha \right|{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\alpha \right|\right)}}\\&<&{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=&\epsilon \end{array}}} 다시 말해 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } δ {\displaystyle \delta } 0 < | x − a | < δ ⇒ | f ( x ) g ( x ) − α β | < ϵ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|<\epsilon } 그러므로 극한에 정의에 의하여 lim x → a f ( x ) g ( x ) = α β {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)g(x)=\alpha \beta } lim x → a k = k {\displaystyle \lim _{x\to a}k=k} k {\displaystyle k} 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } δ {\displaystyle \delta } | x − a | < 1 ⇒ | k − k | = 0 < ϵ {\displaystyle \left|x-a\right|<1\Rightarrow \left|k-k\right|=0<\epsilon } 그러므로 극한에 정의에 의하여 lim x → a k = k {\displaystyle \lim _{x\to a}k=k} lim x → a k f ( x ) = k α {\displaystyle \lim _{x\to a}kf(x)=k\alpha } k {\displaystyle k} 상수) g ( x ) = k {\displaystyle g(x)=k} lim x → a g ( x ) = lim x → a k = k {\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}k=k} lim x → a k f ( x ) = lim x → a g ( x ) f ( x ) = k α {\displaystyle \lim _{x\to a}kf(x)=\lim _{x\to a}g(x)f(x)=k\alpha } 이다. lim x → a { f ( x ) − g ( x ) } = α − β {\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)-g(x)\right\}=\alpha -\beta } c = − 1 {\displaystyle c=-1} lim x → a ( − 1 ) g ( x ) = ( − 1 ) ⋅ β = − β {\displaystyle \lim _{x\to a}(-1)g(x)=(-1)\cdot \beta =-\beta } lim x → a { f ( x ) − g ( x ) } = lim x → a { f ( x ) + ( − 1 ) g ( x ) } = α + ( − β ) = α − β {\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)-g(x)\right\}=\lim _{x\to a}\left\{f(x)+(-1)g(x)\right\}=\alpha +(-\beta )=\alpha -\beta } 그러므로 lim x → a { f ( x ) − g ( x ) } = α − β {\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)-g(x)\right\}=\alpha -\beta } lim x → a g ( x ) f ( x ) = β α {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {g(x)}{f(x)}}={\frac {\beta }{\alpha }}} f ( x ) ≠ 0 , α ≠ 0 {\displaystyle f(x) eq 0,\alpha eq 0} 증명하기에 앞서 다음과 같은 보조정리를 증명하자. lim x → a 1 f ( x ) = 1 α {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{\alpha }}} 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } | α | 2 > 0 , α 2 2 ϵ > 0 {\displaystyle {\frac {\left|\alpha \right|}{2}}>0,~{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\epsilon >0} | x − a | < δ 1 ⇒ | f ( x ) − α | < | α | 2 , | x − a | < δ 2 ⇒ | f ( x ) − α | < α 2 2 ϵ {\displaystyle \left|x-a\right|<\delta _{1}\Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\left|\alpha \right|}{2}},~\left|x-a\right|<\delta _{2}\Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\epsilon } δ 1 , δ 2 {\displaystyle \delta _{1},\delta _{2}} | f ( x ) − α | < | α | 2 {\displaystyle \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}} 삼각 부등식에 의하여 | α | = | α − f ( x ) + f ( x ) | ≤ | α − f ( x ) | + | f ( x ) | = | f ( x ) − α | + | f ( x ) | < | α | 2 + | f ( x ) | {\displaystyle \left|\alpha \right|=\left|\alpha -f(x)+f(x)\right|\leq \left|\alpha -f(x)\right|+\left|f(x)\right|=\left|f(x)-\alpha \right|+\left|f(x)\right|<{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}+\left|f(x)\right|} | f ( x ) | > | α | 2 {\displaystyle \left|f(x)\right|>{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}} 따라서 1 | α f ( x ) | = 1 | α | | f ( x ) | < 1 | α | ⋅ 2 | α | = 2 α 2 {\displaystyle {\frac {1}{\left|\alpha f(x)\right|}}={\frac {1}{\left|\alpha \right|\left|f(x)\right|}}<{\frac {1}{\left|\alpha \right|}}\cdot {\frac {2}{\left|\alpha \right|}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}} δ {\displaystyle \delta } min ( δ 1 , δ 2 ) {\displaystyle \min(\delta _{1},\delta _{2})} 0 < δ ≤ δ 1 , 0 < δ ≤ δ 2 {\displaystyle 0<\delta \leq \delta _{1},~0<\delta \leq \delta _{2}} | 1 f ( x ) − 1 α | = | α − f ( x ) | | α f ( x ) | < 2 α 2 ⋅ α 2 2 ϵ = ϵ {\displaystyle \left|{\frac {1}{f(x)}}-{\frac {1}{\alpha }}\right|={\frac {\left|\alpha -f(x)\right|}{\left|\alpha f(x)\right|}}<{\frac {2}{\alpha ^{2}}}\cdot {\frac {\alpha ^{2}}{2}}\epsilon =\epsilon } 다시 말해 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } δ {\displaystyle \delta } 0 < | x − a | < δ ⇒ | 1 f ( x ) − 1 α | < ϵ {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|{\frac {1}{f(x)}}-{\frac {1}{\alpha }}\right|<\epsilon } 그러므로 극한의 정의에 의하여 lim x → a 1 f ( x ) = 1 α {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{\alpha }}} 위에서 증명한 보조정리와 4번 성질을 적용시키자. lim x → a g ( x ) f ( x ) = lim x → a g ( x ) ( 1 f ( x ) ) = β ⋅ 1 α = β α {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {g(x)}{f(x)}}=\lim _{x\to a}g(x)\left({\frac {1}{f(x)}}\right)=\beta \cdot {\frac {1}{\alpha }}={\frac {\beta }{\alpha }}} 그러므로 lim x → a g ( x ) f ( x ) = β α {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {g(x)}{f(x)}}={\frac {\beta }{\alpha }}} 그 밖에, 함수의 극한에 대하여 로피탈의 정리가 성립한다. 예 [ 편집 ] 함수의 극한의 예는 다음과 같다. (상수 함수의 극한) lim x → a c = c {\displaystyle \lim _{x\to a}c=c} (유리 함수의 극한) lim x → ∞ a n x n + ⋯ + a 1 x + a 0 b m x m + ⋯ + b 1 x + b 0 = { ∞ n > m a n b m n = m 0 n < m ( n , m ∈ N ; a n , b m > 0 ) {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\begin{cases}\infty &n>m\\{\frac {a_{n}}{b_{m}}}&n=m\\0&n0)}

(오일러의 수) lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e}

(동위 무한소) lim x → 0 sin ⁡ x x = lim x → 0 e x − 1 x = lim x → 0 ln ⁡ ( 1 + x ) x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}

(고위 무한소) lim x → ∞ log a ⁡ x x p = lim x → ∞ x p b x = 0 ( a , b > 1 ; p > 0 ) {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{p}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{p}}{b^{x}}}=0\qquad (a,b>1;\;p>0)}

다음과 같은 등위 무한소 기호를 도입하자.

f ∼ g ( x → 0 ) ⟺ lim x → 0 f ( x ) = lim x → 0 g ( x ) = 0 ; lim x → 0 f ( x ) g ( x ) = 1 {\displaystyle f\sim g\quad (x\to 0)\iff \lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}g(x)=0;\;\lim _{x\to 0}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}

그렇다면, 다음과 같은 관계들이 성립한다.

x ∼ sin ⁡ x ∼ tan ⁡ x ∼ arcsin ⁡ x ∼ arctan ⁡ x ∼ e x − 1 ∼ ln ⁡ ( 1 + x ) ( x → 0 ) {\displaystyle x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim e^{x}-1\sim \ln(1+x)\quad (x\to 0)} a x − 1 ∼ x ln ⁡ a ( x → 0 ) ( a > 0 ) {\displaystyle a^{x}-1\sim x\ln a\quad (x\to 0)\qquad (a>0)} ( 1 + x ) a − 1 ∼ a x ( x → 0 ) ( a > 0 ) {\displaystyle (1+x)^{a}-1\sim ax\quad (x\to 0)\qquad (a>0)} 1 − cos ⁡ x ∼ 1 2 x 2 ( x → 0 ) {\displaystyle 1-\cos x\sim {\frac {1}{2}}x^{2}\quad (x\to 0)} tan ⁡ x − sin ⁡ x ∼ 1 2 x 3 ( x → 0 ) {\displaystyle \tan x-\sin x\sim {\frac {1}{2}}x^{3}\quad (x\to 0)}

다변수 함수 [ 편집 ]

정의 [ 편집 ]

유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 연결 열린집합 a ∈ D ⊆ R n {\displaystyle \mathbf {a} \in D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 함수 f : D ∖ { a } → R m {\displaystyle \mathbf {f} \colon D\setminus \{\mathbf {a} \}\to \mathbb {R} ^{m}} 에 대하여, 점 a {\displaystyle \mathbf {a} } 에서 함수 f {\displaystyle \mathbf {f} } 의 극한은 다음 조건을 만족시키는 점 L = lim x → a f ( x ) ∈ R m {\displaystyle \mathbf {L} =\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )\in \mathbb {R} ^{m}} 이다.

임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < ‖ x − a ‖ R n < δ {\displaystyle 0<\Vert \mathbf {x} -\mathbf {a} \Vert _{\mathbb {R} ^{n}}<\delta } ‖ f ( x ) − L ‖ R m < ϵ {\displaystyle \Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {L} \Vert _{\mathbb {R} ^{m}}<\epsilon } 또한, 점 a {\displaystyle \mathbf {a} } 에서 함수 f {\displaystyle \mathbf {f} } 의 다중 극한은 반복적으로 각각의 변수에 대하여 극한을 취한 것이다. 즉, 다음과 같다. (다중 극한과 극한은 서로 필요 조건도 아니고 충분 조건도 아니다.) lim x 1 → a 1 lim x 2 → a 2 ⋯ lim x n → a n f ( x ) {\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}\lim _{x_{2}\to a_{2}}\cdots \lim _{x_{n}\to a_{n}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )} 비슷하게 다른 종류의 극한을 정의할 수 있다. 즉, 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 연결 열린집합 D ⊆ R n {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 함수 f : D → R m {\displaystyle \mathbf {f} \colon D\to \mathbb {R} ^{m}} 및 D {\displaystyle D} 의 부분 집합 E ⊆ D {\displaystyle E\subseteq D} 및 그 극한점 a ∈ E ′ {\displaystyle \mathbf {a} \in E'} 에 대하여, 집합 E {\displaystyle E} 의 범위에서 점 a {\displaystyle \mathbf {a} } 에서 함수 f {\displaystyle \mathbf {f} } 의 극한은 다음 조건을 만족시키는 점 L = lim E ∋ x → a f ( x ) ∈ R m {\displaystyle L=\lim _{E i \mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )\in \mathbb {R} ^{m}} 이다. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} x ∈ E {\displaystyle \mathbf {x} \in E} 0 < ‖ x − a ‖ R n < δ {\displaystyle 0<\Vert \mathbf {x} -\mathbf {a} \Vert _{\mathbb {R} ^{n}}<\delta } ‖ f ( x ) − L ‖ R m < ϵ {\displaystyle \Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {L} \Vert _{\mathbb {R} ^{m}}<\epsilon } 성질 [ 편집 ] 두 유클리드 공간 사이의 함수의 극한에 대하여, 실수와 비슷한 성질들이 성립한다. 즉, 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 이는 유일하며, 그 점을 포함하는 어떤 열린 공에서 유계 함수이다. 어떤 점에서 두 함수의 극한이 존재한다면, 그 함수의 선형 결합의 극한은 함수의 극한의 선형 결합과 같다. 또한, 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다는 것은 극한과 닿지 않는 모든 수열의 극한을 보존한다는 것이다. 공역이 1차원 유클리드 공간(즉 실수 공간)인 경우, 극한은 순서를 보존하며, 샌드위치 정리가 성립한다. 연결 열린집합 a ∈ D ⊆ R n {\displaystyle \mathbf {a} \in D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 및 함수 f : D ∖ { a } → R m {\displaystyle \mathbf {f} \colon D\setminus \{\mathbf {a} \}\to \mathbb {R} ^{m}} 및 점 L ∈ R m {\displaystyle \mathbf {L} \in \mathbb {R} ^{m}} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {L} } lim x → a ‖ f ( x ) − L ‖ R m = 0 {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {L} \Vert _{\mathbb {R} ^{m}}=0} lim x → a f j ( x ) = L j j = 1 , 2 , … , m {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{j}(\mathbf {x} )=L_{j}\qquad j=1,2,\ldots ,m} 이에 따라, 다변수 함수의 극한의 개념은 공역이 실수 공간인 경우로 귀결된다. 함수가 극한을 갖는 점에서 다중 극한을 가질 필요는 없으며, 반대로 다중 극한을 가지는 점에서 극한을 가질 필요는 없다. 예를 들어, 함수 f ( x , y ) = { 0 x y = 0 1 x y ≠ 0 ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}0&xy=0\\1&xy eq 0\end{cases}}\qquad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} 는 검증 lim k → ∞ f ( 0 , 1 k ) = 0 ≠ 1 = lim k → ∞ f ( 1 k , 1 k ) {\displaystyle \lim _{k\to \infty }f\left(0,{\frac {1}{k}}\right)=0 eq 1=\lim _{k\to \infty }f\left({\frac {1}{k}},{\frac {1}{k}}\right)} 에 따라, ( 0 , 0 ) ∈ R 2 {\displaystyle (0,0)\in \mathbb {R} ^{2}} 에서 극한을 갖지 못하지만, 다중 극한 1을 갖는다. lim x → 0 lim y → 0 f ( x , y ) = lim y → 0 lim x → 0 f ( x , y ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=1} 또한, 함수 g ( x , y ) = { ( x + y ) sin ⁡ 1 x sin ⁡ 1 y x y ≠ 0 0 x y = 0 ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle g(x,y)={\begin{cases}(x+y)\sin {\frac {1}{x}}\sin {\frac {1}{y}}&xy eq 0\\0&xy=0\end{cases}}\qquad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} 는 검증 0 ≤ g ( x , y ) ≤ | x | + | y | ∀ ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle 0\leq g(x,y)\leq |x|+|y|\qquad \forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} 에 따라, ( 0 , 0 ) ∈ R 2 {\displaystyle (0,0)\in \mathbb {R} ^{2}} 에서 극한 0을 갖지만, 다중 극한을 갖지 못한다. lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) g ( x , y ) = 0 {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}g(x,y)=0} 그러나, 만약 일반 극한과 다중 극한이 모두 존재한다면, 둘은 서로 같다. 예 [ 편집 ] 거리 공간 [ 편집 ] 정의 [ 편집 ] 두 거리 공간 ( M , d M ) {\displaystyle (M,d_{M})} , ( N , d N ) {\displaystyle (N,d_{N})} 사이의 함수 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 에 대하여, 점 a ∈ M {\displaystyle a\in M} 에서 함수 f {\displaystyle f} 의 극한은 다음 조건을 만족시키는 점 L = lim x → a f ( x ) ∈ N {\displaystyle L=\lim _{x\to a}f(x)\in N} 이다. 임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < d M ( x , a ) < δ {\displaystyle 0

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