공분산 상관 계수 | #통계학개론 12-1 #상관분석(1) #상관계수의개요 #공분산[자막] 196 개의 베스트 답변

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공분산, 상관계수의 유도, 피어슨 상관계수(표본상관계수)
04:50 공분산
10:48 상관계수
12:23 표본상관계수(피어슨 상관계수)
14:06 상관계수의 범위
18:27 상관계수의 한계
19:40 아이스크림이 살인을 조장하는가
21:59 총기소유와 총기살인의 관계
23:02 사회의 불평등과 행복의 관계

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공분산(Covariance)과 상관계수(Correlation) – Serious Archive

공분산(Covariance)과 상관계수(Correlation). 진지환 2017. 3. 6. 17:09. 확률변수X가 있을때 우리가 흔히 이 분포를 나타낼때 쓰는것이. 첫번째로 평균이고.

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Source: destrudo.tistory.com

Date Published: 12/3/2022

View: 7164

[기초통계학] 공분산과 상관계수 – 간토끼 DataMining Lab

지난 포스팅에서는 확률변수에 대해서 정의하고, 이를 이용하여 기댓값과 분산에 대해서 다뤄봤습니다. 이번 포스팅에서는 공분산과 상관계수라는 중요한 …

+ 자세한 내용은 여기를 클릭하십시오

Source: datalabbit.tistory.com

Date Published: 3/15/2021

View: 5288

공분산(Covariance, Cor)과 상관계수(Correalation coefficient …

즉, 공분산에 각 확률변수의 분산을 나누어 줬다고 생각하면 된다. 다시 말하면, 공분산을 정규화 시키면 상관관계를 알 수 있다. 상관계수의 …

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Source: supermemi.tistory.com

Date Published: 1/11/2022

View: 747

7.5 공분산과 상관계수 – 데이터 사이언스 스쿨

다변수 확률변수 간의 상관 관계를 숫자로 나타낸 것이 공분산(covariance)과 상관계수(correlation coefficient)다. 표본공분산¶. 표본공분산(sample covariance)은 다음 …

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Source: datascienceschool.net

Date Published: 6/26/2021

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공분산과 상관 관계의 차이

두 개의 임의 변수가 일렬로 변경되는 정도를 나타내는 데 사용되는 측정 값을 공분산이라고합니다. 상관 관계로 알려진 두 개의 확률 변수가 얼마나 강하게 관련되어 …

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Source: ko.gadget-info.com

Date Published: 3/24/2021

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공분산과 상관계수의 이해 by 코딩재개발 – bskyvision

오늘은 공분산(covariance)과 상관계수(correlation coefficient)에 대해서 알아보자. ▷ 공분산 공분산은 확률변수 X의 편차(평균으로부터 얼마나 …

+ 여기에 자세히 보기

Source: bskyvision.com

Date Published: 3/15/2021

View: 8849

공분산 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

상관분석에서는 상관관계의 정도를 나타내는 단위로 모상관계수로는 그리스 문자 ρ를, 표본상관계수로는 알파벳 s를 사용한다. 두 개의 확률 변수 X 와 Y 의 상관성과 …

+ 여기를 클릭

Source: ko.wikipedia.org

Date Published: 3/22/2021

View: 6598

주제와 관련된 이미지 공분산 상관 계수

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주제에 대한 기사 평가 공분산 상관 계수

• Author: 이기훈
• Views: 조회수 18,946회
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• Date Published: 2020. 6. 23.
• Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=RymrCV3K5J8

공분산(Covariance)과 상관계수(Correlation)

확률변수X가 있을때 우리가 흔히 이 분포를 나타낼때 쓰는것이

첫번째로 평균이고

두번째로 분산이다.

평균으로써 분포의 중간부분을 알아내고

분산으로써 분포가 얼마나 퍼져있는지 알아낸다.

더 알고싶으면 Skewness 혹은 직접 시각화 해보거나 방법이 있지만

우선 가장 쉽고 잘표현되는것이 평균과 분산이다.

그렇다면 확률변수가 2가지일때 이 확률분포들이 어떤모양으로 되어있는지를 알고싶을때

가장 먼저 X의 평균, 다음이 Y의 평균이다.

이렇게 되면 대충 분포가 어디에 주로 모여있는지 (m_x, m_y)가 나온다.

그다음으로 궁금한게 얼마나 퍼져있는지 인데 그것은 확률변수의 분산을 구하면 되지만

각 확률변수들이 어떻게 퍼져있는지를 나타내는 것이 공분산(Covariance)이다.,

두 확률변수 X와 Y가 어떤 모양으로 퍼져있는지

즉, X가 커지면 Y도 커지거나 혹은 작아지거나 아니면 별 상관 없거나 등을 나타내어 주는 것이다.

Cov(X, Y) > 0 X가 증가 할 때 Y도 증가한다. Cov(X, Y) < 0 X가 증가 할 때 Y는 감소한다. Cov(X, Y) = 0 공분산이 0이라면 두 변수간에는 아무런 선형관계가 없으며 두 변수는 서로 독립적인 관계에 있음을 알 수 있다. 그러나 두 변수가 독립적이라면 공분산은 0이 되지만, 공분산이 0이라고 해서 항상 독립적이라고 할 수 없다. 어떻게 하면 그것을 나타낼 수 있을까 고민한 결과 공분산은 아래와 같이 구하기로 하였다. 확률변수 X의 평균(기대값), Y의 평균을 각각 이라 했을 때, X,Y의 공분산은 아래와 같다. 즉, 공분산은 X의 편차와 Y의 편차를 곱한것의 평균이라는 뜻이다. 좀더 간편하게 정리하면 아래와 같다. 만약에 X와 Y가 독립이면 이므로 공분산은 0이 된다. 그런데 공분산에도 문제점이 하나 있다. X와 Y의 단위의 크기에 영향을 받는다는 것이다. 즉 다시말해 100점만점인 두과목의 점수 공분산은 별로 상관성이 부족하지만 100점만점이기 때문에 큰 값이 나오고 10점짜리 두과목의 점수 공분산은 상관성이 아주 높을지만 10점만점이기 때문에 작은값이 나온다. 이것을 보완하기 위해 상관계수(Correlation)가 나타난다. 상관계수라는 개념이 왜 나왔는지 생각하다 보면 의외로 간단하다. 확률변수의 절대적 크기에 영향을 받지 않도록 단위화 시켰다고 생각하면 된다. 즉, 분산의 크기만큼 나누었다고 생각하면 된다. 상관계수의 정의는 아래와 같다. 상관계수의 성질을 나열해 보자 1. 상관계수의 절대값은 1을 넘을 수 없다. 2. 확률변수 X, Y가 독립이라면 상관계수는 0이다. 3. X와 Y가 선형적 관계라면 상관계수는 1 혹은 -1이다. 양의 선형관계면 1, 음의 선형관계면 -1 지금까지 공분산과 상관계수에 대해 알아보았다. 고급수학이 아니라도 통계학에서 아주 기초중의 기초로 통하니 알아두면 좋을 것 같다.

간토끼 DataMining Lab

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Review

참고 포스팅 : 2020/05/18 – [Statistics/Basic Statistics] – [기초통계학] 확률변수와 기댓값, 분산

안녕하십니까, 간토끼입니다.

지난 포스팅에서는 확률변수에 대해서 정의하고, 이를 이용하여 기댓값과 분산에 대해서 다뤄봤습니다.

이번 포스팅에서는 공분산과 상관계수라는 중요한 개념에 대해서 다뤄보도록 하겠습니다.

실제로 데이터 분석을 하다 보면, 분석에 바탕이 되는 중요한 분석 기법 중 하나가 상관분석입니다.

내가 가진 데이터의 변수들 간의 서로 어떠한 관계가 있는지 살펴보는 것인데요.

예를 들어 특정 식료품 마트의 매출 데이터를 분석해보니,

X = 우유 판매량 , Y = 빵 판매량 이라는 데이터에서 서로 양의 관계가 있음을 확인하였다고 가정합시다.

빵을 사는 사람이 우유도 같이 산다, 또는 그 역의 관계는 우리의 직관과 부합하는 진술이기는 하죠?

다만 단순히 관계가 있다 와 얼마만큼의 관계가 있다는 누군가를 설득시키는 데 있어 큰 차이를 보일 것입니다.

왜냐하면 정성적인 진술보다도, 수치에 의거한 정량적인 진술이 누군가에게 신뢰를 줄 수 있기 때문이죠.

이번 포스팅에서는 이 수치에 의거한 얼마만큼의 관계가 있다~에 대해서 다뤄보도록 하겠습니다.

공분산 공식 마지막에 닫는 괄호 ) 가 빠졌네요 ^^;

1. 공분산(Covariance)

먼저 공분산입니다.

공분산은 임의의 두 확률변수 X, Y 사이의 선형관계에 대한 정보를 알려주는 sign이라고 생각하시면 됩니다.

즉 공분산이 양수라면, 두 확률변수는 서로 양의 선형(linear) 관계가 있음을 의미하고,

공분산이 음수라면, 두 확률변수는 서로 음의 선형(linear) 관계가 있음을 의미합니다.

단 공분산은 두 변수의 scale에 따라 값이 크게 달라지므로, 단순히 공분산이 더 크다고 해서 선형관계가 강한 것은 아닙니다.

예를 들어 X, Y의 공분산이 14 이고, W,V의 공분산이 100이라면

두 조합 모두 양의 상관관계가 있음은 자명하지만, (X,Y)의 관계보다 (W,V)의 관계가 더욱 상관 정도가 크다라는 진술은 틀렸다는 겁니다.

이러한 오판을 방지하기 위해, 이후 다룰 상관계수를 이용합니다.

공분산의 공식은 지난번 분산의 공식 유도과정처럼, 약간의 유도과정을 통해 쉽게 바꿀 수 있습니다.

중간에 보면 ‘상수는 기댓값(Expectation) 밖으로 나올 수 있다< E(aX) = aE(X)> 는 성질을 이용했습니다.

뭐 어려울 거 없이 쉽죠?

그럼 한번 위 공식을 이용하여 직접 공분산을 구하기 위해 예시를 들어보겠습니다.

음… 한번 5명의 학생의 키(X)와 몸무게(Y)의 자료가 있다고 가정해봅시다.

이름 A B C D E 키(X) 170 180 158 163 185 몸무게(Y) 60 70 52 59 92

먼저 우리의 직관과 부합하는 진술은 키가 클수록 몸무게도 클 것이다 or 몸이 많이 무거울수록 키도 클 것이다 겠죠?

부합하는지 한번 공분산을 이용해 검증해봅시다.

공분산이 128.68이 나오네요.

공분산이 양수니까 양의 상관관계가 있다고 이해해도 되겠죠? 우리의 직관과 부합하는 결과가 나왔습니다.

공분산도 기댓값과 분산과 마찬가지로, 몇가지 성질이 있는데요.

역시 네이버 백과사전의 힘을 빌렸습니다.

출처 : 네이버 백과사전 (공분산)

이때 분산과 공분산의 관계를 나타내는 중요한(?) 부등식이 있는데요.

출처 동일

이것도 간단한 증명을 통해 부등식을 유도해보겠습니다.

잘 풀었는진 모르겠는데 그냥 참고용으로… 만약 틀렸다면 댓글 남겨주세요.

이때 분산의 성질인

를 이용했습니다.

그리고 독립이라는 개념은 나중에 다루려고 했는데, 마침 나왔으니…

두 확률변수 X, Y가 독립이면 X,Y의 공분산 Cov(X, Y)는 0입니다.

공분산이 0이라는 의미는, 두 변수간 아무런 선형 상관관계가 없다 는 것이죠.

그러나 역의 진술인 X,Y의 공분산 Cov(X,Y) = 0이면 두 확률변수 X,Y는 독립이다는 참이 아닙니다.

간단한 증명과정입니다.

출처 동일

참고로 두 변수가 독립이면, P(A)P(B) = P(A, B) 가 성립합니다.

2. 상관계수(Coefficient of Correlation)

그럼 이번에는 상관계수에 대해서 다뤄보겠습니다.

위에서 공분산의 크기는 상관관계의 절대적인 크기 자체를 의미하는 것이 아니다라고 했죠.

이는 공분산이 두 확률변수의 scale에 크게 영향을 받기 때문입니다.

그렇기에 상관 정도의 절대적인 크기를 측정할 수 있도록 해주는 것이 바로 상관계수입니다.

공식은 위에 나온 것처럼 공분산에 두 변수의 표준편차로 나눠주면 됩니다.

즉, 각 변수의 표준편차로 나눠주므로 어떤 scale이든 같은 값을 얻게 됩니다.

상관계수는 위 분산과 공분산의 관계를 나타내는 부등식을 이용하여,

-1부터 1사이의 값을 가지는데요.

1에 가까울수록 두 확률변수가 양의 선형 상관관계를 갖는다고 하고,

-1에 가까울수록 두 확률변수가 음의 선형 상관관계를 갖는다고 합니다.

그리고 만약 상관계수가 0이면 두 확률변수는 아무런 선형 상관관계를 갖지 않는다고 합니다.

핵심은 선형(linear) 이라는 것에 있습니다.

위 키, 몸무게 예제를 통해 상관계수를 구해봅시다.

참고로 저 상관계수 기호는 로(rho)라고 발음합니다. 콩나물같죠?

이제 우리가 갖고 있는 데이터의 상관 정도는 0.73 이라고 자신있게 외칠 수 있습니다.

한번 plot으로 그려볼까요? 사실 관측치가 저렇게 적은 경우는 일반화하기 어렵지만..

선형의 의미가 갖는 모습을 한번 봅시다.

실제로 관측치 간 그래프를 그려보면 완벽히 선형이라고 보긴 어렵지만,

상관계수는 선형의 관계 정도만을 측정하므로, 대충 저런 빨간 직선을 긋는다고 생각하시면 됩니다.

(저 빨간 직선은 이후 회귀분석 파트를 다룰 때 다시 나올 예정입니다)

즉, 내가 가진 데이터가 비선형이라면 사실 상관계수는 적절한 지표가 아닐 수 있어요.

또한 이상치(Outliers)에 영향을 받으므로, 계수값이 왜곡될 수 있다는 단점이 있습니다.

오늘은 공분산과 상관계수에 대해서 다뤄봤습니다.

다음은 뭘 다뤄보지… 아 확률을 좀 더 다뤄봐야겠네요.

확률 중 조건부확률과 이를 이용한 베이즈정리에 대해서 다뤄보겠습니다.

감사합니다.

잘 읽으셨다면 게시글 하단에 ♡(좋아요) 눌러주시면 감사하겠습니다 🙂

(구독이면 더욱 좋습니다 ^_^)

– 간토끼(DataLabbit)

– University of Seoul

– Economics, Big Data Analytics

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공분산(Covariance, Cor)과 상관계수(Correalation coefficient) 이란 – 2

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앞선 글에서 기댓값과 분산에 대해서 다뤘다.

2021/01/28 – [확률과 통계/Probability] – [ 확률과 통계 ] 분산(variance, Var)과 공분산(Covariance, Cor) 이란 – 1

이어서 공분산에 대해서 알아보자.

2. 공분산 (C ovariance , Cov)

공분산 (Covariance, Cov)는 2개의 확률변수의 상관 정도를 나타내는 값이다.

출처 : https://destrudo.tistory.com/15

어떤 두 확률 변수 X, Y를 생각해보자.

X 변수의 값이 상승하는 경향을 보였을때, Y의 값은 어떤 형태를 보일까?

1) X, Y 는 독립사건

X,Y가 서로 관계없는 독립사건이라고 생각하면 (C) No relationship 같은 형태의 분포를 보일 것이다.

이때의 Cov(X,Y) = 0 이 된다. 공분산의 0 인 확률 변수를 비상관 확률변수 라고 한다.

하지만 주의할 점은 역은 성립하지 않는다. 즉 X, Y가 독립이 아니더라도 공분산의 값은 0이 될 수 있다.

2) X가 증가할때, Y도 증가한다

이때 X,Y는 서로 상관이 있는 변수이다. 인과가 아님을 주의하자.

즉, 서로 영향을 주는지 여부는 공분산으로 알 수 없다. 어떤 패턴의 관계를 보이는지만 알 수 있다.

위의 그림에서는 (a) Positive Relationship 같은 형태의 분포를 보인다.

Cov(X,Y) > 0 이 된다.

3) X가 증가할때, Y는 감소한다

위의 그림에서는 (b) Negative Relationship 같은 형태의 분포를 보이며,

Cov(X,Y) < 0 이다. 공분산 공식 실수값을 지니는 2개의 확률변수 X 와 Y에 대해서 공분산의 기댓값을 다음과 같이 정의 할때, 위의 식을 풀어서 정리하면 아래와 같은 식이 된다. 이때, 만약 X, Y가 독립이면 공분산은 0이 되고, 아래와 같이 나타낼 수 있다. 공분산의 성질 만약, X, Y가 실수값인 확률변수이고 a, b가 상수라면, 공분산에 대해서 아래와 같은 법칙이 성립한다. 공분산은 확률변수들의 벡터 공간상에서의 내적을 의미한다. 벡터에서 적용되는 벡터합 X + Y 및 aX와 같은 스칼라곱의 성질도 지닌다. 공분산 행렬 항상 컴퓨터 계산을 통해 연산하려면 행렬로써 나타내는게 용이하기 때문에 중요하다. 열벡터값을 가지는 확률변수 X , Y 에 각각의 기댓값을 빼주어 아래의 식처럼 계산하면 공분산을 구할 수 있다. 3. 공분산의 문제점 공분산은 단순한 상관관계의 방향만을 알려준다. 상관관계의 정도는 알 수 없다. 왜일까? 확률변수의 단위 크기에 영향을 많이 받기 때문이다. 두 확률 변수 X,Y 의 공분산 Cov(X,Y)의 단위는 X와 Y의 곱이다. 그렇다 보니 각 확률 변수의 단위크기가 크면 무조건 공분산의 크기가 크게 나오는 문제가 있다. 그래서 극복방법으로 상관계수(Correlation Coefficient)를 사용한다. 4. 상관계수(Correlation Coefficient) 상관계수는 확률 변수의 절대적 크기에 영향을 받지 않도록 공분산을 단위화 시킨 것이다. 즉, 공분산에 각 확률변수의 분산을 나누어 줬다고 생각하면 된다. 다시 말하면, 공분산을 정규화 시키면 상관관계를 알 수 있다. 상관계수의 성질 상관계수의 절댓값은 1을 넘지 않는다. 확률변수 X,Y가 독립이라면 상관계수는 0이다. 상관관계가 0<ρ≤+1 이면 양의 상관 -1≤ρ<0 이면 음의 상관 ρ=0이면 무상관이라고 한다. 여기서 더 나아가면 피어슨 상관계수 또는 스피어만 상관계수를 구할 수 있다. 참고 bskyvision.com/398 ko.wikipedia.org/wiki/%EC%83%81%EA%B4%80_%EB%B6%84%EC%84%9D destrudo.tistory.com/15 ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%B5%EB%B6%84%EC%82%B0 반응형

7.5 공분산과 상관계수 — 데이터 사이언스 스쿨

np . random . seed ( 1 ) slope = [ 1 , 0.7 , 0.3 , 0 , – 0.3 , – 0.7 , – 1 ] plt . figure ( figsize = ( len ( slope ), 2 )) for i , s in enumerate ( slope ): plt . subplot ( 1 , len ( slope ), i + 1 ) x , y = np . random . multivariate_normal ([ 0 , 0 ], [[ 1 , 1 ], [ 1 , 1 ]], 100 ) . T y2 = s * y plt . plot ( x , y2 , ‘ro’ , ms = 1 ) plt . axis ( ‘equal’ ) plt . xticks ([]) plt . yticks ([]) if s > 0 : plt . title ( r “$\rho$=1” ) if s < 0 : plt . title ( r "$\rho$=-1" ) plt . suptitle ( "상관계수와 스케터플롯의 기울기" , y = 1.1 ) plt . tight_layout () plt . show ()

공분산과 상관 관계의 차이

는 비즈니스 통계에서 상당히 일반적으로 사용되는 두 가지 수학적 개념입니다. 이 두 가지 모두 관계를 결정하고 두 개의 임의 변수 간의 종속성을 측정합니다. 이 두 수학 용어 사이의 유사점에도 불구하고 서로 다르다. 상관 관계 란 한 항목의 변경으로 인해 다른 항목이 변경 될 수있는 경우입니다.

상호 관계는 수식에서 두 변수 간의 양적 관계를 측정하고 표현하기위한 최상의 도구로 간주됩니다. 다른 한편, 공분산은 두 항목이 함께 변하는 경우입니다. 주어진 기사를 읽고 공분산과 상관 관계의 차이점을 알아보십시오.

비교 차트

비교의 근거 공분산 상관 관계 의미 공분산은 두 개의 무작위 변수가 짝으로 변화하는 정도를 나타내는 척도입니다. 상관 관계는 두 변수가 얼마나 강하게 관련되어 있는지를 나타내는 통계적 척도입니다. 이게 뭐야? 상관 관계 측정 확장 된 공분산 버전 가치 -∞와 + ∞ 사이에 놓여 있음 -1과 +1 사이의 거짓말 규모의 변화 공분산에 영향을 미침 상관 관계에 영향을주지 않습니다. 단위 무료 측정 아니 예

공분산의 정의

공분산은 한 변수의 변화가 다른 변수의 동등한 변화에 의해 왕복되는 한 쌍의 확률 변수 사이의 체계적인 관계로 정의되는 통계 용어입니다.

공분산은 -∞에서 + ∞ 사이의 값을 취할 수 있습니다. 여기서 음수 값은 음수 관계의 표시 자이고 양수 값은 양수 관계를 나타냅니다. 또한 변수 간의 선형 관계를 확인합니다. 따라서 값이 0이면 관계가 없음을 나타냅니다. 이 외에도 두 변수의 모든 관측치가 같을 때 공분산은 0이됩니다.

공분산에서, 우리가 두 변수 중 하나 또는 둘 모두에 대한 관찰 단위를 변경할 때, 두 변수 사이의 관계의 강도에는 변화가 없지만 공분산의 값은 변경됩니다.

상관 관계 정의

상관 관계는 두 개 이상의 임의 변수가 나란히 움직이는 정도를 결정하는 통계의 척도로 설명됩니다. 두 변수를 연구하는 동안 한 변수의 이동이 동등한 이동에 의해 다른 변수, 어떤 식 으로든 다른 변수에 의해 왕복된다는 사실이 관찰되면 변수가 서로 관련되어 있다고합니다.

상관 관계는 양의 상관 관계 또는 음의 상관 관계의 두 가지 유형입니다. 두 변수가 같은 방향으로 움직일 때, 변수는 양수 또는 직접 상관 관계가 있다고합니다. 반대로, 두 변수가 반대 방향으로 움직일 때 상관 관계는 음수 또는 역수입니다.

상관 값은 -1에서 +1 사이에 있으며 +1에 가까운 값은 강한 양의 상관 관계를 나타내고 -1에 가까운 값은 강한 음의 상관 관계를 나타내는 지표입니다. 상관 관계 측정에는 네 가지가 있습니다.

산포도

제품 – 순간 상관 계수

순위 상관 계수

동시 편차 계수

공분산과 상관 관계의 주요 차이점

공분산과 상관의 차이에 관한 한 다음과 같은 점이 주목할 만하다.

두 개의 임의 변수가 일렬로 변경되는 정도를 나타내는 데 사용되는 측정 값을 공분산이라고합니다. 상관 관계로 알려진 두 개의 확률 변수가 얼마나 강하게 관련되어 있는지 나타내는 척도입니다. 공분산은 상관 관계의 측정 일뿐입니다. 반대로, 상관 관계는 확장 된 공분산 형태를 나타냅니다. 상관 값은 -1과 +1 사이에서 발생합니다. 반대로, 공분산 값은 -∞와 + ∞ 사이에 있습니다. 공분산은 규모의 변화에 ​​영향을받습니다. 즉, 한 변수의 모든 값에 상수를 곱하고 다른 변수의 모든 값에 유사하거나 다른 상수를 곱하면 공분산이 변경됩니다. 이와 반대로 상관 관계는 규모의 변화에 ​​영향을받지 않습니다. 상관 관계는 무 차원이며, 즉 변수 간의 관계를 단위없이 측정 한 것입니다. 공분산과 달리 값은 두 변수의 단위의 곱으로 구합니다.

유사점

두 변수는 두 변수 사이의 선형 관계만을 측정합니다. 즉, 상관 계수가 0 일 때 공분산 또한 0입니다. 또한 두 조치는 위치 변경으로 영향을받지 않습니다.

결론

상관 관계는 데이터가 표준화 될 때 얻을 수있는 공분산의 특별한 경우입니다. 이제는 두 변수 간의 관계를 더 잘 측정 할 수있는 선택을 할 때, 상관 관계가 위치 및 규모의 변경에 영향을받지 않기 때문에 공분산보다 선호되며, 두 쌍의 변수.

위키백과, 우리 모두의 백과사전

X 와 Y 의 상관성과 공분산의 부호. 두 개의 확률 변수의 상관성과 공분산의 부호.

공분산(共分散, 영어: covariance)은 2개의 확률변수의 선형 관계를 나타내는 값이다.[1] 만약 2개의 변수중 하나의 값이 상승하는 경향을 보일 때 다른 값도 상승하는 선형 상관성이 있다면 양수의 공분산을 가진다.[2] 반대로 2개의 변수중 하나의 값이 상승하는 경향을 보일 때 다른 값이 하강하는 선형 상관성을 보인다면 공분산의 값은 음수가 된다. 이렇게 공분산은 상관관계의 상승 혹은 하강하는 경향을 이해할 수 있으나 2개 변수의 측정 단위의 크기에 따라 값이 달라지므로 상관분석을 통해 정도를 파악하기에는 부적절하다. 상관분석에서는 상관관계의 정도를 나타내는 단위로 모상관계수로는 그리스 문자 ρ를, 표본상관계수로는 알파벳 s를 사용한다.

정의와 공식 [ 편집 ]

공분산의 정의는 다음과 같다.

정의 — Cov ⁡ ( X , Y ) ≡ E ⁡ [ ( X − E ⁡ [ X ] ) ( Y − E ⁡ [ Y ] ) ] {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)\equiv \operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])\,(Y-\operatorname {E} [Y])]}

여기서 실수값을 지니는 2개의 확률변수 X와 Y에 대해서 공분산의 기댓값

E ( X ) = μ , E ( Y ) = ν {\displaystyle E(X)=\mu ,\quad E(Y)=

u }

을 사용하고, 기댓값 연산자 E를 정리하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

Cov ⁡ ( X , Y ) = E ⁡ ( X ⋅ Y ) − μ ν {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (X\cdot Y)-\mu

u \,}

만약 X와 Y가 독립이라면 공분산은 0이 될 것이고 이 경우 아래와 같이 나타낼 수 있다.

E ( X ⋅ Y ) = E ( X ) ⋅ E ( Y ) = μ ν {\displaystyle E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)=\mu

u }

2번째 식을 3번째식에 대입하면 아래과 같은 결과를 얻을 수 있다.

Cov ⁡ ( X , Y ) = μ ν − μ ν = 0 {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\mu

u -\mu

u =0}

일반적으로 역은 성립하지 않는다. 즉 X와 Y가 독립이 아니라하더라도 공분산의 값은 0이 될 수 있다.

Cov( X, Y)의 단위는 X와 Y의 곱이다. 상관관계는 공분산값을 필요로하며, 선형독립의 무차원수로 볼 수 있다.

공분산이 0인 확률변수를 비상관 확률변수라고 한다.

성질 [ 편집 ]

만약 X, Y가 실수값인 확률변수이고 a, b상수라면, 공분산에 대해서 아래와 같은 법칙이 성립한다.

Cov ⁡ ( X , X ) = Var ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,X)=\operatorname {Var} (X)\,} Cov ⁡ ( X , Y ) = Cov ⁡ ( Y , X ) {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {Cov} (Y,X)\,} Cov ⁡ ( a X , b Y ) = a b Cov ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Cov} (aX,bY)=ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\,}

확률변수인 X 1 , …, X n 과 Y 1 , …, Y m 에 대해서 아래와 같은 법칙이 성립한다.

Cov ⁡ ( ∑ i = 1 n X i , ∑ j = 1 m Y j ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m Cov ⁡ ( X i , Y j ) {\displaystyle \operatorname {Cov} \left(\sum _{i=1}^{n}{X_{i}},\sum _{j=1}^{m}{Y_{j}}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{m}{\operatorname {Cov} \left(X_{i},Y_{j}\right)}}}

확률변수인 X 1 , …, X n 에 대해서 아래와 같은 법칙이 성립한다.

Var ⁡ ( ∑ i = 1 n X i ) = ∑ i = 1 n Var ⁡ ( X i ) + 2 ∑ i , j : i < j Cov ⁡ ( X i , X j ) {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{i,j\,:\,i

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