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굽힘 응력을 계산하는 방법: 포괄적인 사용 사례 및 예
굽힘 응력은 공작물을 굽히고 피로하게 만드는 공작물의 단위 단면적에 가해지는 수직력입니다. 굽힘 응력 관성 모멘트와 공작물이 경험하는 굽힘 모멘트에 따라 다릅니다.
Source: ko.lambdageeks.com
Date Published: 12/13/2021
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고체역학-굽힘응력 – 금오공과대학교 | KOCW 공개 강의
차시별 강의 · 1. 굽힘응력 계산 · 2. 평행축 이론 · 3. 전단하중과 굽힘모멘트, URL.
Source: www.kocw.net
Date Published: 5/15/2021
View: 3435
7. 보의 종류와 최대굽힘모멘트 – Bird’s Life Hacks
그래서 일단은 아주 자세한 설명은 생략하고, 문제푸는데 필요한 공식 위주로 … 그동안 응력은 P/A라고 알고 있었지만, 보에 굽힘모멘트 M으로 인해 …
Source: alliebird.tistory.com
Date Published: 8/30/2021
View: 5413
주요 굽힘 응력. 보의 굽힘 응력 및 강도 계산. 굽힘 변형
따라서 횡방향 굽힘의 수직응력은 순수 굽힘과 동일한 공식을 사용하여 계산됩니다. 따라서 평평한 단면의 가설은 횡방향 굽힘으로 확장됩니다. 이제 가로 …
Source: bibliotekasemiluki.ru
Date Published: 11/5/2022
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- Author: 대충 공부하는 TV
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- Date Published: 2020. 7. 12.
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굽힘 응력 전단 응력 최대 공식 유도 계산
– 굽힘 응력 전단 응력
순수굽힘이 아닌 경우 보에 전단력이 발생하므로 전단응력이 생김. 그림 516 보 속의 전단응력 사각형단면의 예. 58 굽힘보 내의 전단응력 58 굽힘보 내의 전단응력
응력은 몇 가지 이름으로 구분하여 불리는데, 첫째는 응력이 작용하는 물체의 면에 응력이 수직인가 아닌가에 따라 수직응력normal stress과 전단응력shear stress 굽힘 응력
응력 + 전단응력 예 수직 응력 + 수직응력 예 전단 응력 + 수직응력 예 전단 응력받는 물체의 횡단면에 발생되는 응력 2. Strain변형률 변형도strain 또는 Normal and Shear Stress and Strain수직응력, 전단응력 그리고 변형률
있어서 매우 중요한 과정이다. 우리는 먼저 하중을 받는 빔에 대해 굽힘 응력과 수평 전단 응력을 정의 하는 것을 계속하기에 앞서 우리는 굽힘과 전단 응력의 변형에 빔의 굽힘응력
– 굽힘 응력 최대
그리고 나무막대 단면에서의 굽힘응력의 크기는 중립면으로부터 수직한 거리에 비례하여 증가한다. 다시 말해 나무막대가 구부러지는 안쪽 면에서 최대 압축 굽힘 굽힘 응력
순수굽힘이 아닌 경우 보에 전단력이 발생하므로 전단응력이 생김. 그림 516 보 예제 514 그림 13의 사각형단면의 최대 전단응력을 구하라. ❖풀이 b X h의 58 굽힘보 내의 전단응력
수직한 거리에 비례하여 증가한다. 다시 말해 나무막대가 구부러지는 안쪽 면에서 최대 압축 굽힘응력이 그리고 바깥 면에서 최대 인장 굽힘응력이 발생한다 굽힘 응력 bending stress
단면2차모멘트 M Bending moment ㉣Maximum Bending Stress최대 굽힘응력 공식 c 중립축으로부터 최대 거리 I 도심축기준 단면2차모멘트 Mmax Bending moment ㉤ Stress 4장 σ 휨 응력Bending Stress 굽힘 응력 과 곡률의
– 굽힘 응력 공식 유도
굽힘변형률과 굽힘응력. 1. 굽힘변형률의 정의 2. 굽힘응력의 정의 3. 단면이차모멘트. 2. 비디오 굽힘공식 유도. 1. 굽힘공식 유도 2. 굽힘공식의 적용. 3. 비디오 고체역학굽힘응력
굽힘변형률과 굽힘응력, 1. 굽힘변형률의 정의 2. 굽힘응력의 정의 3. 단면이차모멘트, URL. 2. 굽힘공식 유도, 1. 굽힘공식 유도 2. 굽힘공식의 적용, URL. 3. 굽힘응력 고체역학굽힘응력
작용하는 굽힘모멘트 과 Stress를 구해보면, 이때, 실험에서 측정한 Beam의 기하학적 형상은 다음과 같다. 표 2 실험 data의 strain–stress 무게추 질량 g 측정 스트레인 게이지 부착 실험 및 원리, 공식유도
대해서, Deflection of Beam부터는 굽힘응력이 영향을 미치는 부재Beam의 처짐에등지에서 처짐공식에 대해서는 표기를 하지만 어떻게 그 공식이 유도됐는지 보의 처짐/Deflection of Beam 1장 단순보에서 집중하중일 때 처짐각
– 굽힘 응력 계산
지난 시간 외팔보에 대한 전단력과 굽힘 모멘트를 설명한데 이어 오늘은 단순보 ㅁ 최대 굽힘 모멘트는 x=a에서 발생하며 아래와 같이 계산된다. 다시 보는 재료역학 10 전단력과 굽힘 모멘트
가급적 하중밀도함수, 전단력선도, 굽힘모멘트선도를 일렬로 세운다. ○ 전단력과 굽힘모멘트의 . 분포하중 직접 적분을 통한 와. 의 계산. ○ 합력 이용. 0. 0. 0. 0. . 보의 전단력과 굽힘모멘트
도심축 기준 단면2차모멘트moment of inertia Ixx= 868x109mm4 계산과정 생략 굽힘응력bending stress 하중P는 위와 같이 단면의 전체에 압축력을 준다. 굽힘 Axial Loading일 때의 굽힘응력Bending Stress, 편심거리 구하기 1
굽힘 응력을 계산하는 방법: 포괄적인 사용 사례 및 예 – Lambda Geeks
이 문서에서는 굽힘 응력을 계산하는 방법에 대해 설명합니다. 굽힘은 표면에 수직력이 가해질 때 세로축에서 공작물이 휘는 것을 말합니다.
과도한 굽힘은 가공물의 파손으로 이어질 수 있으므로 특정 가공물이 처리할 수 있는 굽힘 응력의 양을 계산하는 것이 중요합니다. 이 기사에서는 가변 응력과 굽힘 응력의 개념에 대해 자세히 설명합니다.
굽힘 응력이란 무엇입니까?
굽힘 응력은 공작물을 굽히고 피로하게 만드는 공작물의 단위 단면적에 가해지는 수직력입니다.
굽힘 응력 관성 모멘트와 공작물이 경험하는 굽힘 모멘트에 따라 다릅니다.
수학적으로 굽힘 응력은 다음과 같이 주어질 수 있습니다.
S b = 엠 b /I
여기서, Sb는 빔의 굽힘 강도입니다.
Mb는 굽힘 모멘트입니다.
나는 빔 단면의 관성 모멘트입니다.
빔의 굽힘 응력을 계산하는 방법은 무엇입니까?
빔은 빔의 축에 측면으로 작용하는 XNUMX차 하중을 전달하도록 설계된 구조 요소입니다. 보에 하중이 가해지면 내부 응력을 유발하는 전단 및 굽힘 응력이 발생합니다.
굽힘 계산용 스트레스 빔에서 빔에 사용된 재료의 영률(영률은 재료마다 다름), 굽힘 후 곡률 반경 및 하중이 가해지는 중립 축으로부터의 거리를 알아야 합니다.
수학적으로
σ b = E/R x y
어디에,
E는 재료의 영률입니다.
R은 굽힘 또는 곡률 반경입니다.
y는 중립 축으로부터의 거리입니다.
파이프의 굽힘 응력을 계산하는 방법은 무엇입니까?
파이프(반드시 원형 단면이어야 하는 것은 아님)는 유체가 전달되거나 통과되는 관형 섹션입니다.
관의 굽힘응력을 계산하는 공식은 보의 공식과 동일합니다. 위 섹션에서 논의한 바와 같이 파이프의 굽힘 응력을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.
σ b = E/R x y
어디에,
E는 재료의 영률입니다.
R은 굽힘 또는 곡률 반경입니다.
y는 중립 축으로부터의 거리입니다.
판의 굽힘 응력을 계산하는 방법은 무엇입니까?
하중을 받았을 때 판의 단면 평면에 수직인 판의 만곡 또는 처짐을 판의 굽힘이라고 합니다. 처짐 값을 사용하여 굽힘 응력을 계산할 수 있습니다.
계산 후 굽힘 응력, 우리는 작업 조각이 작동하는지 여부를 확인하기 위해 실패 이론을 적용할 수 있습니다. 파손 이론은 다양한 하중에서 재료의 안전성을 결정하는 데 사용할 수 있는 XNUMX가지 이론입니다.
이미지: 플레이트 굽힘
이미지 크레딧 : 바네르예, 굽힘원형판, CC BY-SA 3.0
Kirchhoff-Love 판에서 굽힘 응력을 찾는 공식은 다음과 같습니다.
y 방향에 대해,
샤프트의 굽힘 응력을 계산하는 방법은 무엇입니까?
샤프트는 기계 또는 그 구성 요소의 회전 요소입니다. 이러한 회전 샤프트는 샤프트가 계속 회전함에 따라 인장, 압축 및 다시 인장인 가변 응력을 경험합니다.
굽힘 응력은 회전 중인 샤프트에 하중이 가해질 때 인장에서 압축으로 부호를 계속 변경합니다.
수학적으로 중공 샤프트의 굽힘 응력 공식은 다음과 같습니다.
어디에,
M은 굽힘 모멘트
D0는 샤프트의 외경입니다.
Di는 샤프트의 내경입니다.
실패 이론은 무엇입니까?
기계 요소에 하중이 가해질 때 요소의 고장 모드를 아는 것이 중요합니다. 고장 이론은 고장 모드와 그 고장을 방지하기 위한 가장 안전한 허용 하중을 알려주므로 설계 절차를 쉽게 하기 위해 만들어졌습니다.
우리는 이러한 이론에 대해 간략하게 논의할 것입니다. XNUMX가지 실패 이론은 다음과 같다.
최대 주 응력 이론 또는 Rankine 이론 – 주요 응력 중 하나가 재료의 최대 항복 강도를 초과하면 재료가 파손되거나 항복이 발생합니다.
– 주요 응력 중 하나가 재료의 최대 항복 강도를 초과하면 재료가 파손되거나 항복이 발생합니다. 최대 주 변형률 이론 또는 St. Venant의 이론 – 최대 주 변형률이 인장 항복점에서의 변형률을 초과할 때 항복이 발생합니다.
– 최대 주 변형률이 인장 항복점에서의 변형률을 초과할 때 항복이 발생합니다. 최대 전단 응력 이론 또는 Tresca의 이론 – 최대 전단 응력이 인장 항복점에서 전단 응력을 초과할 때 항복이 발생합니다.
– 최대 전단 응력이 인장 항복점에서 전단 응력을 초과할 때 항복이 발생합니다. 최대 변형 에너지 이론 – 단위 체적당 흡수된 최대 변형 에너지가 항복점에서의 변형 에너지를 초과할 때 파손이 발생합니다.
– 단위 체적당 흡수된 최대 변형 에너지가 항복점에서의 변형 에너지를 초과할 때 파손이 발생합니다. 왜곡 에너지 이론 – 인장항복점에서 발생하는 변형보다 하중을 가하여 발생하는 변형이 크면 파손이 발생한다.
– 인장항복점에서 발생하는 변형보다 하중을 가하여 발생하는 변형이 크면 파손이 발생한다.
최대 굽힘 응력을 계산하는 방법은 무엇입니까?
회전축에 하중이 가해지면 하부섬유에 인장응력이 발생하여 압축 스트레스 상단 섬유에서 발생합니다. 최상층과 최하층 사이에 굽힘 응력이 최대인 지점이 있습니다.
중립 축에서 가장 먼 지점에서 최대 응력이 발생하고 이 최대 굽힘 응력을 계산하려면 굽힘 모멘트, 관성 모멘트 및 하중이 가해지는 중립 축으로부터의 거리 값을 알아야 합니다.
수학적으로, 최대 굽힘 응력은 아래 주어진 방정식을 사용하여 찾을 수 있습니다.
σ b = MR/나
어디에,
M은 관성 모멘트입니다.
R은 굽힘 또는 곡률 반경입니다.
나는 단면의 관성 모멘트입니다.
안전계수란?
안전 계수는 재료가 실제로 필요한 것보다 더 강한 한계입니다. 이 여백은 보다 안전한 설계를 위한 중요한 설계 고려 사항입니다.
허용 응력에 대한 최대 응력의 비율입니다. 일반적으로 보다 안전한 설계를 위해 안전계수를 2로 유지합니다. 이 요소는 설계 실패로 이어질 수 있는 재료에 몇 가지 부정확성이 있을 수 있기 때문에 중요한 설계 고려 사항입니다. 따라서 안전 여유가 바람직합니다.
SN 곡선은 무엇을 보여줍니까?
SN 곡선은 재료가 응력 범위를 반복적으로 순환할 때 실패가 발생하는 데 걸리는 주기를 보여줍니다.
교번 응력 하에서 재료의 내구성 한계를 보여줍니다. 샤프트가 회전할 때 교번 응력이 발생합니다. 회전축은 각 회전이 완료된 후 가변 하중을 받습니다.
허용 굽힘 응력을 계산하는 방법은 무엇입니까?
이름에서 알 수 있듯 가공물이 파단되지 않고 유지할 수 있는 최대 응력을 허용 굽힘 응력이라고 합니다. 허용 가능이라는 용어는 응력이 이 허용점을 넘어서는 안 된다는 것을 나타냅니다.
적용할 수 있는 응력의 안전한 값입니다.
허용 굽힘 응력 아래 주어진 관계에 의해 주어질 수 있습니다 –
σ 허용 = σ b /F s
어디에,
F는 안전 계수입니다.
고체역학-굽힘응력 – 금오공과대학교
1. 굽힘변형률과 굽힘응력 1. 굽힘변형률의 정의
2. 굽힘응력의 정의
3. 단면이차모멘트
2. 굽힘공식 유도 1. 굽힘공식 유도
2. 굽힘공식의 적용
3. 굽힘응력, 전단하중과 굽힘모멘트 1. 굽힘응력 계산
2. 평행축 이론
3. 전단하중과 굽힘모멘트
4. 하중, 전단하중과 굽힘모멘트 관계 1. 굽힘응력 계산
2. 하중,전단하중, 굽힘모멘트 관계
3. 전단하중 선도와 굽힘모멘트 선도
5. 보에서의 전단응력 1. 전단응력의 유도
2. 사각단면에서의 전단응력 분포
3. T-단면에서의 전단응력 분포
6. 원형 단면에서의 전단응력 1. 원형단면에서의 전단응력
2. 전단응력 계산의 적용
7. 굽힘부재에서의 주응력 1. 굽힘하중을 받는 부재에서의 주응력 및 최대전단응력
2. 주응력과 최대전단응력의 계산
7. 보의 종류와 최대굽힘모멘트
기사시험, 전공시험에서 보 문제는 정말 많이 나오는데… 보 포스팅을 어떻게 시작해야 하나 많은 고민이 있었습니다. (게을러져서 상세하게 설명하기가 막막하네요 ㅠ )
그래서 일단은 아주 자세한 설명은 생략하고, 문제푸는데 필요한 공식 위주로 정리를 해보고자 합니다.
※ 컴퓨터 or 패드로 봐야 표가 깨지지 않고 제대로 보입니다.
■ 보의 종류와 하중의 종류
문제에서 간혹 그림이 없이 글로만 보와 하중을 설명하는 경우가 있습니다. (ex, 고정지지보 전체에 등분포하중 w가 작용하고 있다. 등)
그럼 고정지지보가 뭔지 알아야 문제를 풀 수 있겠죠.
1. 보의 종류
a. 외팔보 b. 단순보 c. 돌출보 d. 양단고정보 e. 고정지지보 (=일단고정 타단지지보) f. 연속보
참고로 f와 같이 연속보는 세 개 이상의 지지점을 갖는 보를 말합니다.
2. 하중의 종류
a. 집중하중 b. 분포하중 (등분포) c. 분포하중 (삼각분포)
하중의 종류에도 여러가지가 있지만, 주로 기사시험에 나오는 하중만 다뤄보자면 집중하중과 분포하중이 있습니다.
집중하중은 보통 P로 표시하며, 등분포하중은 ω 로 표시합니다.
■ 보의 부호규약
보에 작용하는 하중에 의해, 보의 내부 요소에는 굽혀지려는 모멘트(M)와 비틀리려는 전단(V)이 발생하게 됩니다. 하중에 어디에 작용하느냐에 따라 방향을 +, -로 나눠볼 수 있습니다.
부호 방향 상세 (미소요소를 확대했을 때) + –
■ 보 속의 굽힘응력과 전단응력
그동안 응력은 P/A라고 알고 있었지만, 보에 굽힘모멘트 M으로 인해 발생하는 응력은 아래와 같이 표현합니다. 아래에서 b는 bending 을 의미합니다.
굽힘모멘트에 의한 전단응력은 주로 사각형, 원형단면에 대해서 나옵니다. 도형별로 반드시 암기해둬야 문제를 풀 수 있습니다. (아래에서 A : 도형의 면적 , V : 전단력)
사각형 – 원형 순서대로 앞에 계수만 주의해주면 됩니다.
분모-분자 순서대로 해서 저는 2,3 – 3,4 로 외웠습니다.
■ 주요 보에서의 최대굽힘모멘트 Mmax
사실 아래의 내용은 평형방정식 등을 이용해서 계산해낼 수 있는 값들입니다. 그런데 하나하나 다 계산과정을 쓰자니 포스팅을 할 엄두가 안나서.. 결과값만 정리해봤습니다.
저의 경우는… 주로 아래의 내용은 암기를 하고 들어갔었습니다. (그럼 문제 보자마자 바로 풀 수 있음) 기억이 잘 안나는거나 안외워서 모르는 경우만 그 자리에서 구했습니다.
자신만의 정리노트를 만들어서, 필요한 경우 제가 다루지 않은 보도 추가해보면 도움이 많이 될 것 같습니다.
참고로 Mmax 외에 각 지점에서의 반력 or 모멘트값을 알아야 풀 수 있는 문제가 많습니다.
민트색으로 그림에 표시해놨으니 같이 참고해주시면 되겠습니다.
보의 종류 최대굽힘모멘트 (Mmax) * 각 지점에서의 반력은 길이 a ,b가 교차해서 들어감. (X자 형태)
* 길이 a=b가 같은 경우는 a=b=ℓ/2 가 되므로 Pℓ/4가 됨 * 하중 P가 보의 중앙에 작용하고 있을 때임 (보 길이 ℓ ) * 보에서 Mmax인 지점도 반드시 외울 것 (고정단으로부터 5ℓ/8 지점)
* 보 길이 ℓ * 주로 각 지점에서의 반력만 물어봄 * 양 끝단은 3/8, 가운데는 5/4 * 보의 길이는 2ℓ * 보 길이 ℓ
* 양 고정단에서 Mmax (최대 굽힘모멘트)가 발생
* 중앙에서의 M은 Mmax의 1/2 임 (분모가 1/24) * 보 길이 ℓ * 보 길이 ℓ
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보의 굽힘 이론 (Bending Theory of Beam)
1. 두께에 따른 보의 종류
보는 두께에 따라 얇은 보와 두꺼운 보로 나눈다. 보통 세장비(aspect ratio)가 10대 1보다 작으면 얇다고 한다. 길이가 $l$ 두께가 $h$라고 하면 세장비는 아래와 같다.
$$ \frac{h}{l} < \frac{1}{10} $$ 두꺼운 보는 Timoshenko's beam이라고 하며 전단보라고 부른다. 우리가 두꺼운 전공 책을 구부릴 때 층층이 발생하는 전단 응력을 떠올렸듯이 이런 두꺼운 보는 전단 효과를 무시할 수 없다. 얇은 보는 Bernoulli/Euler's beam이라고 하며 너무 얇아서 구부릴 때 단면의 변형이 거의 없다고 볼 수 있다. 따라서 Euler beam에서는 전단 효과를 무시한다. 우리가 보통 구조재로 쓰는 보는 날씬한 보(slender beam)이기 때문에 이 Euler beam 이론을 관심 있게 살펴볼 것이다. 2. 오일러 빔 이론(Euler beam theory) 2.1. 기본 가정 (Basic Assumption) 2.1.1. 순수 굽힘 (Pure Bending) (1) 순수 굽힘의 정의 보에 전단력 $V$이 작용하지 않고 내력 모멘트 $M$이 상수(constant)인 굽힘을 순수 굽힘이라고 한다. \begin{align} V &= 0 \\\\ M &= \text{constant} \end{align} (2) 순수 굽힘의 성질 굽힘 곡선(bending curve)의 곡률(curvature)이 일정(constant)한 원호(circular arc)가 된다. \begin{align} \kappa &= \frac{1}{\rho} = \text{constant} \\\\ M &= M_o = \text{constant} \end{align} 그림 1. 순수 굽힘 그림 2. 외팔보의 순수 굽힘 2.1.2. 중립 축에 대한 가정 뒤에서 다루겠지만 한 방향으로 굽힘이 발생하면 단면에 인장과 압축이 발생한다. 이 인장과 압축의 중간쯤에는 인장도 아니고 압축도 아닌 중립 지대가 있을 것인데 이 위치가 중립 면(neutral plane)이 이다. 중립면은 굽힘 방향에 따라 여러 개가 있을 수 있으며 이 중립 면끼리 만나는 직선이 중립 축(neutral axis)이 된다. Euler's beam 이론은 중립 축에 대해 다음과 같은 가정을 한다. 1) 중립 축(neutral axis)에 수직인 단면은 변형 후에도 중립과 수직을 이루고 평면을 유지한다. 2) 중립 축은 늘어나지 않는다. (인장도 아니고 압축도 아니므로) 2.2. 굽힘 이론 (Bendig Theory) 아래 그림 3에 보의 일부분이 순수 굽힘 상태로 굽혀졌을 때의 형상을 나타냈다. 순수 굽힘이므로 모멘트 $M_o$는 상수이고 곡률 반경 $\rho$ 역시 상수이다. 이때 중립 축과 수직 한 단면은 변형 후에도 중립 축과 수직을 이루고 평면을 유지하므로 변형 후의 $\overline{a'b'}$과 $\overline{c'd'}$은 직선이며 축과 수직이다. 그림 3. 보의 굽힘 2.2.1. 굽힘 변형률 (Bending Strain) 보의 깊이 y에서의 축방향 변형률은 정의에 의해서 다음과 같다. $$ \varepsilon_x = \frac{\overline{e'f'}-\overline{ef}}{\overline{ef}} $$ 여기에서 선분 $\overline{ef}$는 굽힘 전의 중립 축 길이와 같다. $\overline{e'f'}$의 길이는 중립 축에서 $-y$만큼 떨어진 거리에 대해서 계산하므로 다음과 같다. \begin{align} \overline{ef} &= dx = dx' = \rho d\theta \\\\ \overline{e'f'} &= (\rho-y)d\theta \end{align} 따라서 변형률은 다음과 같다. $$ \varepsilon_x = \frac{(\rho-y)d\theta - \rho d\theta}{\rho d\theta} $$ $$ \therefore \epsilon_x = -\frac{y}{\rho} $$ 변형률 식을 잘 보면 중립 축에서 위로 올라가면 압축이 되고 아래로 내려가면 인장이 된다는 것을 알 수 있다. 그림 3의 변형 후 모습을 보면서 생각해보면 쉽게 이해할 수 있다. 즉 $\overline{b'd'}$은 원래 길이보다 줄어들어 압축이 되었고 $\overline{a'c'}$은 원래 길이보다 늘어나 인장이 되었다. 2.2.2. 굽힘 응력 (Bending Stress) 굽힘 응력은 후크의 법칙에 따라 앞서 구한 변형률에 영률을 곱하면 얻을 수 있다. 보를 굽히면 내부에는 수직 응력이 발생한다는 것을 알 수 있다. $$ \sigma_x = E\varepsilon_x $$ $$ \therefore \sigma_x = -\left(\frac{E}{\rho}\right)y $$ 우리는 곡률 반경 $\rho$를 상수로 취급하기로 했고 영률 $E$가 보의 깊이에 따라 변하지 않는 상수라고 하면 위 식은 선형 방정식이 된다. 따라서 보가 굽어졌을 때 깊이에 따른 응력 분포는 아래 그림 4와 같다. 중립 축은 늘어나지 않으니 응력도 발생하지 않는다. 그림 4. 보의 굽힘에 따른 응력 분포 2.2.3. 굽힘 응력 공식 (Bending Stress Formula) (1) 중립 축의 위치 우리는 보를 굽힐 때 순수하게 모멘트만을 이용했다. 따라서 보의 단면에 수직 내력 $F$는 존재하지 않는다. $$ F = 0 $$ 이 것은 단면의 수직 응력을 모두 더하면 0이 된다는 뜻이므로 단면에 발생하는 인장력과 압축력의 크기는 동일하다는 의미가 된다. $$ F = \int_A\sigma_x dA = 0 $$ 앞서 구한 굽힘 응력식을 위 식에 대입해보면, \begin{align} F &= \int_A -\left(\frac{E}{\rho}\right)y dA \\\\ &= -\frac{E}{\rho} \int_A y dA \\\\ &= 0 \end{align} 여기에서 적분식은 단면의 도심 위치 $\bar{y}$와 관련이 있다. $$ A\bar{y} = \int_A y dA $$ 따라서 수직 내력 $F$는 다음과 같이 정리된다. $$ F = -\left(\frac{EA}{\rho}\right)\bar{y} = 0 $$ $$ \text{since, } \frac{EA}{\rho} eq 0 \\\\ \therefore \bar{y} = 0 $$ 중립 축은 단면의 도심을 지난다는 것을 알 수 있다. (2) 굽힘 모멘트와의 관계 굽힘 모멘트는 다음과 같다. $$ M = \int_A \sigma_x(-y) dA $$ 위 식에 앞서 구한 굽힘 응력을 대입해보면, \begin{align} M &= \int_A -\left(\frac{E}{\rho}y\right)(-y) dA \\\\ &= -\left(\frac{E}{\rho}\right) \int_A y^2 dA \end{align} 위 식에서 적분식을 다음과 같이 따로 $I$로 써본다. 이것은 이후에 다룰 단면의 2차 관성 모멘트(2nd moment of inertia of area)라고 하며 굽힘에 대한 단면의 성질이 된다. 비틀림에서 단면의 극관성 모멘트(polar moment of iniertia or area) $I_p$와 유사하다고 생각하면 된다. 나중에 단면의 2차 관성 모멘트가 극관성 모멘트와 관련이 있다는 것을 보일 것이다. 지금은 일단 그러려니 하고 넘어가자. $$ I = \int_A y^2 dA $$ 정리하면 굽힙 모멘트는 다음과 같다. $$ M = \frac{EI}{\rho} $$ 따라서 굽힘의 결과인 곡률은 다음과 같이 원인에 해당하는 모멘트로 표현할 수 있다. $$ \therefore \kappa = \frac{1}{\rho} = \frac{M}{EI} $$ 실제 실험 역학에서는 굽힙 응력을 측정하는 방법으로 재료의 곡률을 측정하여 위 식을 이용해 계산하기도 한다. (3) 탄성 굽힘 공식(Elastic Bending Stress Formula) 앞서 굽힘 응력을 다음과 같이 구했다. $$ \sigma_x = -\left(\frac{E}{\rho}\right)y $$ 이 굽힘 응력에 대한 식에 위에서 구한 곡률 $1/\rho$을 대입한다. $$ \sigma_x = -\left(E\cdot\frac{M}{EI}\right)y $$ $$ \therefore \sigma_x = -\left(\frac{M}{I}\right)y $$ 굽힙 응력은 가해진 굽힘 모멘트에 비례하고 단면의 형상에 의해 결정되는 상수 $I$에 반비례한다. 단면의 형상이 같고 같은 하중이 가해지면 재료($E$)에 상관없이 같은 크기의 응력이 발생하는 것을 알 수 있다. (4) 최대 굽힘 응력 (Maximum Bending Stress) 굽힘 응력은 깊이에 대해 선형적이므로 그림 4에서 처럼 보의 가장 윗면과 아랫면에 가장 큰 굽힘 응력이 발생하게 된다. 인장 방향 최대 굽힘 응력은 중립 축에서 인장이 걸리는 표면까지의 거리 $c$를 위 식에 대입해서 구한다. \begin{align} \sigma_{\text{max}} &= -\left(\frac{M}{I}\right)(-c) \\\\ &= \frac{M}{I/c} \\\\ &= \frac{M}{Z} \end{align} $$ \therefore \sigma_{\text{max}} = \frac{M}{Z} \\\\ \text{where, } Z = \frac{I}{c} $$ 여기에서 $Z$를 단면 계수(section modulus)라고 한다. 부재 설계를 할 때는 어떤 부재에 걸리는 하중 모멘트 $M$과 부재의 허용 응력 $\sigma_{\text{all}}$을 알 때 다음과 같은 조건을 만족하도록 단면 계수를 결정한다. $$ Z \leq \frac{M}{\sigma_{\text{all}}} $$
SHAFT : 축설계 1 ( 굽힘모멘트 )
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# 축 설계
* 분류
– AXIE ( 차축 ) : 회전하지 않고 동력 또한 전달하지 않는 축 ( 굽힘 모멘트만 받음. ) ex) 차량용 차축
– Transmission Shaft ( 전동축 ) : 회전을 하며, 동력전달을 목적으로 하는 축이며, 비틀림 모멘트 & 굽힘 모멘트
가 작용함. ex) 일반 산업용 축
– Spindle ( 스핀들 ) : 비틀림 모멘트와 굽힘 모멘트를 받으며, 축방향의 하중도 작용. ex) 공작기계 축, 정밀함
# 축의 강도 설계
1) 굽힘 모멘트만 받는 축
굽힘모멘트 M = Wl
σ = 허용굽힘응력 ( 하중에 대한 허용응력표 )
Z = 단면의 성질표 – 카테고리 기계적 물성치 참고
★ 허용응력표 바로가기
ex) 차축의 지름을 구하기
W = 2,000 kgf, L = 1,500 mm, L1 = 300 mm, σ = 3 kgf/㎟
회전하지 않는 차축 그림
1) 굽힘 모멘트 M = WL1 = 2,000 × 300 = 600,000 kgf·㎜
2) 차축의 지름 d =
3) 계산 해보니 126.78 mm 나옵니다.. 대략 d 130 ~ 140 mm 선정하면 되겠네요.
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주요 굽힘 응력. 보의 굽힘 응력 및 강도 계산. 굽힘 변형
이전 섹션에서 우리는 순수한 굽힘에서 수직 응력만 발생하는 것을 보았습니다. 따라서 내력은 단면에서 굽힘 모멘트로 감소됩니다.
보의 단면에서 횡방향 굽힘으로 굽힘 모멘트뿐만 아니라 전단력도 발생합니다. 이 힘은 단면 평면에 있는 기본 힘의 결과입니다(그림 5.8).
따라서 횡방향 굽힘 중에는 수직 응력뿐만 아니라 접선 응력도 발생합니다. 접선 응력의 발생은 각 변형의 출현을 동반합니다. 따라서 평평한 단면의 가설은 위반됩니다. 그림 5.9는 단면 곡률의 일반적인 패턴을 보여줍니다.
단면 평면의 왜곡이 수직 응력의 크기에 눈에 띄게 영향을 미치지 않는다는 것이 이론적으로 그리고 실험적으로 입증되었습니다. 따라서 횡방향 굽힘의 수직응력은 순수 굽힘과 동일한 공식을 사용하여 계산됩니다.
따라서 평평한 단면의 가설은 횡방향 굽힘으로 확장됩니다.
이제 가로 굽힘 중 전단 응력의 대략적인 크기를 결정해 보겠습니다. 빔에서 길이의 요소를 선택합시다(그림 5.10).
가로 굽힘의 경우 요소의 왼쪽과 오른쪽 부분에서 발생하는 모멘트는 동일하지 않고 에 따라 다릅니다.
중립층에서 거리를 두고 그려진 세로 수평 단면(그림 5.10, b)을 사용하여 이 요소를 두 부분으로 나누고 상부의 평형 상태를 고려합니다. 오른쪽에서 각 지점의 전압은 왼쪽보다 더 큽니다. 오른쪽의 굽힘 모멘트가 왼쪽보다 큽니다(그림 5.10, b).
음영 영역 내의 왼쪽 섹션에서 수직 힘의 결과는 다음과 같습니다.
또는 식 (5.8)에 따라
,
사이트의 현재 세로 좌표는 어디에 있습니까 (그림 5.10, b),
종단면 위에 위치한 부분의 축에 대한 정적 모멘트.
오른쪽 섹션에서는 법선력이 다릅니다.
.
오른쪽과 왼쪽 섹션에서 이러한 힘의 차이는 다음과 같습니다.
.
이 차이는 요소의 세로 단면에서 발생하는 접선력에 의해 균형을 이루어야 합니다(그림 5.10, b 및 c).
근사치로 전단 응력이 단면 폭에 걸쳐 균일하게 분포된다고 가정합니다.
그 다음에 .
(5.11)부터
이 공식을 사용하면 빔의 세로 단면에서 응력을 계산할 수 있습니다. 단면의 응력은 쌍의 법칙에 따라 동일합니다.
따라서 이 공식을 통해 단면 높이를 따라 모든 지점에서 전단 응력을 계산할 수 있습니다.
일부 유형의 단면에 대한 전단 응력 분포를 고려하십시오.
직사각형 단면(그림 5.11).
중립 축에서 거리를 두고 떨어져 있는 임의의 점을 가정해 보겠습니다. 이 점을 통해 축에 평행한 단면을 그립니다. 이 섹션의 너비는 입니다.
잘린 부분의 정적 모멘트는 다음과 같습니다.
; ,
따라서,
.
알려진 바와 같이,
얻은 값을 공식 (5.11)에 대입하면
(5.12)
식 (5.12)는 단면 높이에 따른 전단응력이 사각포물선의 법칙에 따라 변화함을 보여준다. 우리가 얻기 위해, 그리고 우리가 가지고 있기 때문에 .
I-섹션(그림 5.12). 이 섹션의 특징은 I-빔 벽에서 플랜지로 전환할 때 섹션 너비의 급격한 변화입니다. 기본적으로 횡력은 벽에 의해 감지되고 소량은 선반의 몫에 떨어집니다.
임의의 지점을 고려하십시오(그림 5.12). 이 점을 지나는 축에 평행한 선을 그립니다. 상부 절단 부분 영역의 정적 모멘트(그림 5.12에서 음영 처리됨)는 영역의 정적 모멘트와 다음의 합으로 찾을 수 있습니다.
.
이 공식은 점이 수직 벽 내에 있을 때 유효합니다. 값이 이내에 있는 한 . 수직벽에 대한 전단응력 도표는 그림 1과 같은 형태를 갖는다. 5.12.
.
.
순수 경사 굽힘
작용하는 힘의 평면이 보의 축을 통과하지만 단면의 주축과 일치하지 않는 경우 굽힘을 경사라고 합니다.
두 개의 주요 평면과 (그림 5.13)에서 빔의 동시 굽힘으로 간주하는 것이 가장 편리합니다.
이를 위해 굽힘 모멘트는 축을 기준으로 하는 구성요소로 분해되며 다음과 같습니다.
, .
따라서 비스듬한 굽힘은 축에 대한 두 개의 평평한 굽힘으로 축소되고 . 굽힘 모멘트는 첫 번째 사분면에서 장력을 유발하는 경우 양수로 간주됩니다.
좌표가 있는 점의 수직 응력은 , 즉 , 의 응력 합계와 같습니다. ,
중립선의 기울기는
.
왜냐하면 일반적으로 해석 기하학에서 알려진 선의 직각도 조건은 관찰되지 않습니다.
따라서 중립선은 모멘트 평면에 수직이 아니라 최소 관성 모멘트 쪽으로 약간 회전합니다. 빔은 굽힘 모멘트의 평면이 아니라 굽힘 평면이 더 작은 다른 평면에서 굽힘을 “선호합니다”.
왜냐하면 자의 횡단면에서 수직 응력의 다이어그램에서 최대 응력은 중성선에서 가장 먼 지점에서 발생합니다. 이 점의 좌표를 다음과 같이 둡니다.
. (5.15)
강도 조건은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
. (5.16)
단면의 모양이 단순하면 가장 먼 점을 즉시 찾고, 복잡하면 단면을 눈금으로 그리면(그림 5.14) 중립선의 위치가 그려지고 가장 먼 점 그래픽으로 표시됩니다(그림 5.14).
보 구조의 굽힘 이론의 기초
굽힘의 개념입니다. 중립선
굽히다 보의 축이 구부러지는 변형 유형이라고합니다. 다음에서 우리는 평면의 변형을 고려할 것입니다. 직선 굽힘, 힘 평면이 단면의 주요 중심 축 중 하나를 통과하는 지점(그림 1.1).
직접 굽힘 외에도 다음이 있을 수 있습니다. 비스듬한 굽힘, 힘 평면이 하나의 중심 축과만 일치하는 경우, 즉 주 중심축에 대해 일정 각도로 통과합니다(그림 1.2).
빔에서 발생하는 내부 힘 계수(IFF)에 따라 순수 굽힘과 가로 굽힘이 구분됩니다(그림 1.3).
퓨어 벤드굽힘 모멘트만 보의 단면에 작용하는 굽힘이라고 하며, 횡축전화-
굽힘 모멘트와 전단력이 모두 작용하는 굽힘.
일반적으로 구부릴 때 빔의 층(섬유)의 일부는 길어지고 다른 부분은 짧아집니다. 이 섬유에서는 인장 또는 압축 변형이 각각 발생합니다. 이라는 레이어가 있습니다. 중립적, 레이어가 구부러져도 길이가 변하지 않습니다. 빔의 단면에서 이 레이어는 다음과 같은 특징이 있습니다. 중립선(그림 1.4).
계산에서 알 수 있듯이 중립선은 힘의 선에 수직으로 위치한 단면의 주 중심축을 통과합니다.
중립선은 때로 제로선이라고 불리기도 합니다. 그 지점에서 수직 응력과 길이 방향 변형이 없습니다. σ = 0 및 ε = 0.
굽힘 이론에는 다음과 같은 가정이 있습니다.
1 평평한 단면의 가설은 유효합니다.
2 빔 섹션의 높이에 따라 섬유에는 무게가 없습니다. 서로 밀지 마세요. 단순화된 응력 상태 체계가 채택되었습니다(그림 1.5).
3 응력은 빔 섹션의 너비에 걸쳐 일정합니다(그림 1.6).
순수한 굽힘에서는 다음 관계가 사용되는 계산을 위해 수직 응력만 발생합니다.
여기서 σ y는 중립선에서 거리 y에 위치한 보 단면의 점에서 수직 응력, MPa입니다.
중주어진 단면의 굽힘 모멘트, Nm;
나 x – x 축에 대한 단면의 축 방향 관성 모멘트, m 4;
y는 연구 중인 점의 세로좌표, m입니다(그림 1.7).
종속성(1.1)을 분석하면 수직 응력이 단면의 중심에서 가장자리로 증가하면서 선형적으로 변한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 또한 극단 섬유에서 발생하는 최대 응력은 다음과 같습니다.
공식으로 결정
여기서 은 축 방향 단면 계수, m 3 입니다.
종속성 (1.1) 및 (1.2)는 다음 응력 다이어그램(그림 1.8)으로 그래픽으로 나타낼 수 있습니다.
보 구조를 설계할 때 결과 응력 다이어그램 측면에서 합리적인 모양을 갖는 프로파일을 사용하는 것이 좋습니다. 대부분의 재료가 극단 섬유에 위치한 프로파일 (또는 섹션)이 합리적이라고 믿어집니다. (예: I-빔, 채널, 중공 직사각형, 이중 모서리).
순수 굽힘에서 수직 응력 강도 계산 s는 다음 조건에 따라 수행됩니다.
조건 (1.3)은 굽힘 강도의 주요 조건입니다. 이 조건에서 다음 유형의 계산을 수행할 수 있습니다.
– 시험은 조건(1.3)에 따라 수행된다.
– 조건에 따라 디자인 진행
– 최대 부하 용량 계산
다른 재료로 만들어진 빔의 강도를 계산할 때 인장 및 압축 응력에 저항하는 서로 다른 능력을 고려해야 합니다. 그렇게 하려면 다음 권장 사항을 따라야 합니다.
1 빔이 다음으로 구성된 경우 플라스틱 재료, 인장 및 압축에 동등하게 내성, 즉 [σ p ] = [σ c ]인 경우 중성선에 대해 대칭인 단면을 사용하는 것이 좋습니다. 이 경우 보 단면의 극단점의 강도를 확인하고,
여기서 σ 최대 = |σ 최소 | (그림 1.9).
2 빔 재료의 경우 부서지기 쉬운, 인장 응력보다 압축 응력을 더 잘 감지합니다. [σp]< [σ c ], то целесообразно выбирать сечения несимметричные относительно нейтральной линии. Их необходимо располагать так, чтобы в растянутых волокнах напряжения были меньше по абсолютному значению, чем в сжатых волокнах, т.е. σ max < |σ min | (рисунок 1.10). 횡방향 굽힘 동안 발생하는 응력을 고려합시다. 이 경우 평평한 단면에 대한 이전에 수용된 가설이 위반됩니다. 가로 굽힘으로 빔 섹션이 평평하지 않아 빔 섬유의 길이 방향 변위가 발생합니다(그림 1.11). 보의 세로 섬유의 지정된 변위는 보의 가로 및 세로 섹션 모두에서 발생하는 전단 응력에 의해 발생합니다(전단 응력 쌍의 법칙에 따라). 가로 굽힘에서 빔 지점의 수직 응력은 잘 알려진 순수 굽힘 공식에 의해 결정될 수 있습니다. 보 단면의 임의 지점(그림 1.12)에서의 전단 응력은 Zhuravsky D.I의 공식에 따라 발견됩니다. (1855) 여기서 τ y는 축으로부터 거리 y에 위치한 점에서의 전단 응력입니다. 엑스단면(중성선에서), MPa; 큐 y는 주어진 단면에 작용하는 횡력입니다(기호에 따라 큐전단 응력 τ)의 부호, N이 결정됩니다. – 축에 대한 정적 모멘트 엑스주어진 레벨에 의해 잘려진 단면의 부분과 단면의 가장 가까운 극단 섬유 m 3 은 잘 알려진 의존성에서 구합니다. ; 나 x는 축에 대한 전체 단면의 축 관성 모멘트입니다. 엑스(중성층), m 4; 비(y)는 고려 된 점 수준에서 단면의 너비입니다 (기존 보이드 고려), m. 공식 (1.7)에 의해 결정된 전단 응력은 단면 높이가 큰 짧은 보에만 중요한 값을 갖습니다. 시간>>엘, 그렇지 않으면 실제 계산에서 이러한 응력을 무시할 수 있습니다. 의존성 분석(1.7)은 횡방향 굽힘 동안 최대 전단 응력이 보 단면의 중성층 수준에 위치한 지점에서 발생함을 보여줍니다(그림 1.13).
주요 굽힘 응력. 보의 굽힘 강도의 완전한 검증
일반적으로 굽힘 동안 빔의 모든 지점은 수직 응력과 전단 응력이 모두 작용하는 가장자리를 따라 단순화된 평면 응력 상태(그림 1.14)에 있습니다.
이러한 응력 상태에 대한 역 문제를 풀면 다음 종속성에 따라 주 영역 a o의 위치와 주 응력 σ 1, σ 3의 값을 찾을 수 있습니다.
빔의 위험 지점의 응력 상태를 분석해 보겠습니다. 이를 위해 횡력 Q와 굽힘 모멘트 M의 다이어그램이 있는 간단한 빔의 계산 방식을 고려하십시오(그림 1.15). 이 빔 섹션의 높이를 기반으로 종속성(1.8) – (1.10)을 고려하여 수직, 접선 및 주요 응력의 다이어그램을 구성합니다.
일반적으로 보의 굽힘강도에 대한 완전한 점검은 다음과 같이 수행된다. 세 가지 유형의 위험 지점 .
유형 I 위험 지점: 빔의 길이를 따라 굽힘 모멘트의 최대 절대값이 작용하는 섹션(섹션 I-I)과 빔의 높이를 따라 – 최대 수직 응력이 발생하는 섹션의 극단 섬유에서(포인트 1 및 5). 이 지점에서 선형 응력 상태가 발생합니다. 유형 I 포인트의 강도 조건은 다음과 같습니다( 주요 강도 조건)
위험 지점 유형 II최대 횡력이있는 섹션 (섹션 II-II 왼쪽 및 오른쪽)에서 보의 길이를 따라 위치하며 보의 높이를 따라 – 최대 전단력이있는 중립선 수준 (좌우 포인트 3) 스트레스 작용. 이 지점에서 평면 응력 상태의 특별한 경우인 순수 전단력이 발생합니다. 강도 조건의 형식은 다음과 같습니다.
위험 지점 유형 III큰 굽힘 모멘트와 횡력의 바람직하지 않은 조합이 발생하는 빔 섹션(섹션 III-III 왼쪽 및 오른쪽)과 빔 높이를 따라 – 극단 섬유와 중성선 사이, 수직 및 전단 응력은 동시에 큽니다(점 2 및 4 왼쪽, 오른쪽). 이 지점에서 단순화된 평면 응력 상태가 발생합니다. 유형 III 점에 대한 강도 조건은 강도 이론에 따라 작성됩니다(예: 플라스틱 재료의 경우 이론 III 또는 IV에 따름).
계산을 수행할 때 조건 중 하나에 따른 강도가 충족되지 않으면 보 단면의 치수를 늘리거나 분류표에 따라 프로파일 번호를 늘려야 합니다.
굽힘에서 보의 응력 상태에 대한 위의 분석을 통해 하중의 특성을 고려하여 보 구조의 요소를 합리적으로 설계할 수 있습니다. 따라서 예를 들어 철근 콘크리트 구조물의 경우 철근을 사용하고 주요 인장 응력의 궤적과 일치하는 선을 따라 배치하는 것이 좋습니다.
굽힘 변형
일반 개념
굽힘 이론에서 보의 강도 계산은 강성 계산으로 보완됩니다. 이 경우 빔의 탄성 컴플라이언스가 추정되고 결과 변형이 허용 한계를 초과하지 않는 치수가 결정됩니다. 그러면 강성 조건은 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있습니다.
어디 에프 max는 최대 설계 변형(선형 또는 각도)입니다.
[에프]는 허용 변형입니다.하중을 받는 빔의 변형된 상태의 주요 매개변수를 고려하십시오(그림 2.1).
탄력있는 라인(c.l.) – 하중 작용에 따른 빔의 곡선 축.
편향 (와이)- 빔의 초기 축에 수직으로 측정된 단면 무게 중심의 선형 변위, m.
수평 오프셋(u) 빔, 일반적으로 0과 같은 극소값을 취합니다.
회전 각도(θ)- 초기 위치에 대한 단면의 각도 변위(때로는 탄성선에 대한 접선과 초기 축 사이의 각도로 정의될 수 있음), deg, rad.
선형 및 각 변위(y 및 θ)에 대해 빔을 구부릴 때 다음 기호 규칙이 적용됩니다(그림 2.2).
점이 위로 이동하면 편향은 양수로 간주됩니다. y축 방향으로;
단면이 시계 반대 방향으로 회전할 때 회전 각도 θ는 양수로 간주됩니다(오른쪽 좌표계의 경우 해당, 왼쪽 좌표계의 경우 반대).
편향과 회전 각도 사이에는 미분 관계가 있으며, 이는 평평한 곡선의 극소 좌표를 고려하여 얻을 수 있습니다(그림 2.3).
(2.2)
(2.3)에 기초하여, 주어진 단면의 회전 각도는 단면의 가로좌표에 대한 처짐의 미분과 같습니다.
따라서 실제 빔에서 선형 또는 각도 변형을 찾으려면 일반적으로 단면의 가로 좌표의 함수로 나타낼 수 있는 탄성 선 방정식(EEL)을 알아야 합니다.
보의 탄성선 방정식의 공식과 해를 기반으로 굽힘 변형을 찾는 방법을 고려합시다.
종방향 힘
수직 응력을 결정하기 위한 계산 공식을 유도할 때 다음과 같은 가정이 이루어집니다. 길이 방향 축은 구부러질 때 길이가 변경되지 않고 길이 방향 선은 반경을 따라 구부러집니다. 단면의 윤곽은 하중을 가하기 전에는 평평하고 하중 후에는 평평하게 유지됩니다. 단면의 등고선은 모든 곳에서 세로 축에 수직입니다.
구부려도 길이가 변하지 않는 층이 있는데 이를 중성층이라고 합니다.
횡단면이 있는 중성층을 가로지르면 중성선이 생깁니다.
평평한 굽힘으로 중립 층이 힘 평면에 수직인 것으로 판명되므로 중립 선은 단면의 힘 선에 수직입니다.
이제 두 개의 횡단면을 가진 길이가 dx인 보 요소를 선택하겠습니다.
섬유의 상대 변형은 섬유 길이의 차이와 같습니다.
일반 레이어에 속하는 섬유 a 0 b 0, 길이는 세그먼트 dx와 같으며 변형 후 세그먼트는 호로 바뀝니다. a 0 ‘b 0 ‘=
중성층의 섬유는 변형 중에 길이를 변경하지 않음 => dx=, 이 식을 상대 변형 공식에 대입합니다.
Hooke의 법칙에 따라 이러한 식 =>을 비교하면 여기서 y는 중성선에서 이 전압이 결정되는 지점까지의 거리이며 이 식을 잠시 동안의 식으로 대체합니다.
가로 굽힘의 경우 결과의 차이가 거의 0이고 결과적인 전단 응력이 큰 값에 도달할 수 있고 Zhuravsky 공식.
횡방향 굽힘 시 전단 응력 결정
횡단면의 경우 수직력 Q와 굽힘 모멘트뿐만 아니라 전단 응력도 발생합니다.
단면이 있는 빔의 전단 응력을 결정하는 공식의 유도를 고려하십시오.
이러한 가정은 단면 너비 b가 h보다 훨씬 작은 경우에 유효합니다.
중립선에서 거리 y에 수평면 mm를 그려 빔 요소의 일부를 표시합니다.
A 1 A 2 m 2 m 1, C 1 C 2 n 2 n 1 및 A 1 A 2 C 2 C 1 면에는 응력이 없습니다. 이 면은 보의 외부 표면의 일부입니다.
z 축에 평행하게 그려진 기본 영역 dF=bd에서 A 1 C 1 m 1 n 1 면을 따라 분포된 수직 응력의 결과를 계산할 필요가 있습니다. 거리에서 수직 축 방향 힘이 작용합니다
레벨 Y와 보의 외부 모서리 사이에 둘러싸인 영역의 스탯 모멘트
마찬가지로 A 2 C 2 n 2 m 2 면에서 수직 응력의 결과는 다음과 같습니다.
클리핑된 평면의 정적 모멘트 값은 이전 식과 동일합니다.
면 n 1 n 2 m 1 m 2에서는 섬유가 횡방향 굽힘 동안 서로에 대해 압력을 가하기 때문에 수직 응력이 작용하지만 이러한 응력은 강도 계산에서 중요하지 않은 것으로 무시됩니다.
또한 전단응력 쌍의 법칙에 따라 ZPKN을 따라 수직방향으로 전단응력이 발생한다.
왜냐하면 면의 길이 n 1 n 2 m 1 m 2 는 작습니다. dx와 같으면 이 면에 균일하게 분포되어 있다고 가정할 수 있습니다.
평행 육면체 평형 조건: a 1 a 2 c 2 c 1 n 1 n 2 m 2 m 1
결과 평등을 bdx로 나누면 다음과 같습니다. – Zhuravsky의 공식,
이를 통해 횡단면의 모든 수준에서 횡방향 굽힘 동안 전단 응력의 양을 결정할 수 있습니다.
수직 응력 계산 공식을 유도할 때 보 단면의 내부 힘이 굽힘 모멘트, ㅏ 횡력은 0. 이 굽힘의 경우라고합니다. 순수한 굽힘. 순수한 굽힘을 받는 빔의 중간 부분을 고려하십시오.
하중이 가해지면 빔이 구부러져 아래쪽 섬유는 길어지고 위쪽 섬유는 짧아집니다.
빔의 섬유의 일부가 늘어나고 일부가 압축되어 인장에서 압축으로의 전이가 일어나기 때문에 매끄럽게, 점프 없이, 안에 가운데빔의 일부는 섬유가 구부러지기만 하고 인장이나 압축을 겪지 않는 층.이러한 레이어를 중립적층. 중성층이 빔의 단면과 교차하는 선을 호출합니다. 중립선또는 중립 축섹션. 중성선은 보의 축에 묶여 있습니다. 중립선는 라인 정상 응력은 0입니다.
축에 수직인 빔의 측면에 그려진 선은 그대로 유지됩니다. 평평한구부릴 때. 이러한 실험 데이터는 공식의 파생을 기반으로 할 수 있습니다. 평평한 단면의 가설(가설). 이 가설에 따르면, 보의 단면은 평평하고 구부러지기 전에 축에 수직이며, 평평하게 유지되고 구부러질 때 보의 구부러진 축에 수직이 됩니다.
수직 응력 공식의 유도에 대한 가정: 1) 평평한 단면의 가설이 충족됩니다. 2) 종방향 섬유는 서로를 누르지 않으므로(비압력 가설), 각 섬유는 일축 인장 또는 압축 상태에 있다. 3) 섬유의 변형은 단면 폭에 따른 위치에 의존하지 않습니다. 결과적으로 단면의 높이를 따라 변하는 수직 응력은 폭 전체에서 동일하게 유지됩니다. 4) 빔은 적어도 하나의 대칭 평면을 가지며 모든 외부 힘은 이 평면에 있습니다. 5) 보의 재질은 Hooke의 법칙을 따르며 인장과 압축에서의 탄성계수는 같다. 6) 보의 치수 비율은 뒤틀림이나 비틀림 없이 평평한 굽힘 조건에서 작동하도록 합니다.
임의 단면의 빔을 고려하지만 대칭 축이 있습니다. 굽힘 모멘트대표하다 내부 수직력의 결과 모멘트무한히 작은 영역에서 발생하며 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 완전한형태: (1), 여기서 y는 x축에 대한 기본 힘의 팔입니다.
공식 (1) 표현하다 공전직선 막대를 구부리는 문제의 측면이지만 알려진 굽힘 모멘트에 따라 분포 법칙이 확립될 때까지 정상 응력을 결정하는 것은 불가능합니다.
중간 섹션에서 빔을 선택하고 고려하십시오. 길이 dz의 단면,구부러지기 쉽습니다. 확대해 보겠습니다.
섹션 dz를 경계로 하는 섹션, 변형 전에 서로 평행, 그리고 하중을 가한 후 중립선을 비스듬히 돌다 . 중성층의 섬유 부분의 길이는 변경되지 않습니다.다음과 같을 것입니다: , 어디야 곡률 반경빔의 곡선 축. 그러나 거짓말하는 다른 섬유 아래 또는 위중성층, 길이가 변경됩니다. 계산 중성층으로부터 거리 y에 위치한 섬유의 상대적 신장.상대 연신율은 원래 길이에 대한 절대 변형의 비율입니다. 그러면 다음과 같습니다.
우리는 같은 항만큼 줄이고 줄이면 다음을 얻습니다. (2) 이 공식은 기하학적순수한 굽힘 문제의 측면: 섬유 변형은 중성층으로부터의 거리에 정비례합니다.
이제 다음으로 넘어갑시다. 스트레스, 즉. 우리는 고려할 것입니다 물리적 인작업의 측면. 에 따라 무압력 가정섬유는 축 방향 인장 압축에 사용됩니다. 그런 다음 공식을 고려합니다. (2) 우리는 (3), 저것들. 정상적인 스트레스단면의 높이를 따라 구부릴 때 선형 법칙에 따라 분포. 극단 섬유에서 수직 응력은 최대 값에 도달하고 무게 중심에서 단면적은 0과 같습니다. 대리자 (3) 방정식에 (1) 정수 기호에서 분수를 상수 값으로 취하면 . 하지만 표현은 x축에 대한 단면의 축방향 관성모멘트 – 나는 x. 그것의 차원 cm 4, m 4
그 다음에 ,어디 (4) , 어디에 보의 구부러진 축의 곡률, a는 굽힘 중 보 단면의 강성입니다.
결과 표현식 대체 곡률 (4)표현으로 (3) 그리고 얻다 단면의 모든 지점에서 수직 응력을 계산하는 공식: (5)
저것. 최고스트레스가 발생하다 중립선에서 가장 먼 지점.태도 (6) ~라고 불리는 축 단면 계수. 그것의 차원 cm3,m3. 저항 모멘트는 단면의 모양과 치수가 응력의 크기에 미치는 영향을 나타냅니다.
그 다음에 최대 전압: (7)
굽힘 강도 조건: (8)
가로 굽힘 중 정상뿐만 아니라 전단응력, 왜냐하면 사용 가능 전단력. 전단 응력 변형의 그림을 복잡하게, 그들은 곡률빔의 단면, 그 결과 평평한 단면의 가설이 위반됨. 그러나 연구에 따르면 전단 응력으로 인한 왜곡 약간공식에 의해 계산된 수직 응력에 영향을 미칩니다. (5) . 따라서 횡방향 굽힘의 경우 수직응력을 결정할 때 순수 굽힘 이론은 상당히 적용 가능합니다.
중립 라인. 중립선의 위치에 대한 질문입니다.
구부릴 때 세로 방향의 힘이 없으므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 여기에 수직 응력에 대한 공식을 대입하십시오. (3) 그리고 얻다 보 재료의 탄성 계수가 0이 아니고 보의 굽은 축이 유한 곡률 반경을 갖기 때문에 이 적분은 다음과 같다고 가정해야 합니다. 정적 면적 모멘트중립선 축에 대한 빔의 단면 x , 이후 0과 같으면 중립선이 단면의 무게 중심을 통과합니다.
횡방향 굽힘 중 보의 주요 영역의 주요 응력 값과 경사각은 이축 응력 상태의 공식 (4.27) 및 (4.28)에 의해 결정될 수 있습니다.
이미 설정한 바와 같이 보 단면의 횡방향 굽힘 동안 수직응력 o ^ o ^ 및 접선 응력이 작용합니다. xyx = x.그러나 정상적인 스트레스 y에서에 비해 오본질적으로 작고 일반적으로 0과 동일하게 취합니다. 따라서 우리는 가로 굽힘 중에 빔에 응력이 발생한다는 사실에서 진행할 것입니다.
결과적으로 이축 응력 상태의 특별한 경우가 있습니다(그림 7.43).
그런 다음 공식 (7.38)과 (7.39)는 다음과 같은 형식을 취합니다.
조건에 엠즈 > 0과 질문 > 0, 빔 단면의 세 가지 특징 점을 고려하십시오 (그림 7.44) : 상부 압축 섬유 (점 엘),중성층(포인트 에)그리고 아래쪽의 늘어진 섬유(점 C)에서.
그 시점에 엘그림의 y와 t에 대한 다이어그램에 따르면 7.30 및 7.34 이후
이 경우 Gj = 0이면 공식 (7.42) 중 첫 번째가 불확실성으로 바뀌고 두 번째 공식은 다음을 제공합니다. 2 = 0.
유사하게, 점 C에서 공식 (7.42)의 첫 번째
0Cj = 0을 제공합니다.
그 시점에 에우리는 가지고 있습니다: . 이 경우 식 (7.41)에서
우리는 얻는다
공식 (7.42)는
따라서 횡방향 굽힘시에는 중성층의 점에서 순수한 전단응력상태가 발생하고, 상하섬유에는 단축응력상태가 발생한다. 주응력의 방향이 다른 지점에서 알려지면 다음을 구성할 수 있습니다. 주요 응력의 궤적,즉, 접선이 해당 지점의 주응력 방향과 일치하는 각 지점의 선입니다.
무화과에. 7.45 한쪽 끝이 끝나고 힘이 가해지는 빔의 경우 아르 자형,실선은 주요 인장 응력 o 의 궤적을 나타내고 점선은 주요 압축 응력 o 2 의 궤적을 나타냅니다. 주응력 및 o2의 궤적은 45° 각도로 빔 축을 교차하는 상호 직교 곡선입니다.
궤적 o에서 취성 재료로 만들어진 빔의 가능한 위치와 균열 방향을 판단할 수 있습니다. 철근 콘크리트 보를 보강할 때 보강재는 인장 영역에 배치해야 하며 가능한 경우 주응력 방향으로 배치해야 합니다. 이 문제는 주응력의 궤적을 사용하여 해결됩니다.
폭이 급격히 변하는 단면(예: I-빔)의 경우 큰 주응력이 발생할 수 있습니다. 수치적인 예를 생각해보자.
예 7.8.그림에 표시된 빔의 경우 7.21 및 130a의 단면을 가지고 주요 응력을 결정합니다.
구색 표에 따르면 저항의 순간을 찾습니다. 여=\u003d 518 cm 3, 관성 모멘트 / \u003d 7780 cm 4 및 단면의 정적 모멘트 S^2 = 292cm3. 섹션의 주요 치수는 그림 1에 나와 있습니다. 7.46센티미터입니다.
중립 축에 대한 선반의 정적 모멘트를 결정합시다.
주응력을 결정해야 하는 지점은 다음과 같은 순서로 찾을 수 있습니다. 먼저 굽힘모멘트와 전단력이 동시에 큰 단면을 주목하고 이 단면에 대한 응력선도를 구성합니다. 그런 다음 이러한 각 섹션에 대해 수직 및 전단 응력 다이어그램을 사용하여 이러한 응력이 동시에 커지는 지점을 표시합니다. 이 방법으로 찾은 점에 대해 주응력을 결정합니다.
플롯 큐그리고 므즈그림에 나와 있습니다. 7.21. 위험한 부분은 에, 여기서 전단력과 굽힘 모멘트는 다음 값을 갖습니다. 퀴–70kN; Mg = -100kNm.
위험한 부분에 대한 수직 및 전단 응력의 다이어그램을 작성해 보겠습니다. 상부 섬유의 정상적인 응력은 다음과 같습니다.
선반과 벽의 교차점 수준에서 (에= -13.93cm)
중립 축 수준의 전단 응력
플랜지와의 인터페이스 수준에서 벽의 접선 응력
및 m의 발견된 값을 기반으로 수직 및 전단 응력의 플롯이 그려졌습니다(그림 7.46 참조). 이 다이어그램에서 보의 플랜지와 인터페이스 지점의 웹에서 응력 a와 m이 동시에 크다는 것을 알 수 있습니다. 이 장소에서 우리는 주요 응력을 결정합니다. 섹션의 상단 부분에 대해 우리는
따라서 고려 중인 예에서 위험한 지점의 주 응력은 가장 바깥쪽 섬유의 수직 응력을 초과하지 않습니다.
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