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일원 분산분석(one-way Anova)과 마찬가지로 독립성, 정규성, 등분산성을 모두 만족하여야 이원 분산분석(two-way Anova)을 실시할 수 있습니다.
[이원 분산분석] 표 양식 및 해석 다운로드
https://blog.naver.com/sub_om/222050083018
[논쓰남] 블로그
https://blog.naver.com/sub_om
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[SPSS 22] 이원분산분석(Two-Way ANOVA) – 블로그 – 네이버
그리고 오늘은 이원분산분석이다. 영어로는 Two-Way ANOVA로서 일원분산분석에서 1개였던 독립변수가 여기서는 2개의 독립처치변수로 변하게 된다.
Source: blog.naver.com
Date Published: 2/19/2021
View: 7545
[SPSS 분석] 이원배치 분산분석 – NurseDongs
이원배치 분산분석(Two-way ANOVA)은 두 개의 독립변수에 따라 종속변수의 평균 차이를 검증하고, 2개의 독립변수 간 상호작용 효과를 검증하는 방법 …
Source: thduddl2486.tistory.com
Date Published: 11/17/2022
View: 6359
② 이원배치 분산분석(Two-way ANOVA) – 권 코치의 일상다반사
일원배치 분산분석을 통해 한국, 중국, 일본 3표본에 대한 인구밀도(종속변수)의 평균차이를 비교. 국가와 연령에 따른 인구밀도 차이를 분석한다고 가정 …
Source: kwon-coach.tistory.com
Date Published: 9/1/2022
View: 3266
이원분산분석(two-way ANOVA) 예시 모음
분산분석은 셋 이상 집단의 평균을 비교할 때 사용하는 분석방법입니다. 종속변수와 독립변수의 개수에 따라 여러 방법으로 나뉩니다. 이원분산 …
Source: hsm-edu.tistory.com
Date Published: 11/30/2022
View: 2522
SPSS로 배우는 통계 – 10.이원 분산분석 – 브런치
SPSS에서 일원 분산분석(ANOVA) 검정하기 · 1) 메뉴바에서 “분석 >> 일반선형모형 >> 일변량”을 선택합니다. · 2) 일변량 분석창에서 종속변수(Dependent …
Source: brunch.co.kr
Date Published: 12/27/2021
View: 9088
5. 독립인 k , l 표본 – 이원배치 분산분석 – SPSS 사용법
이원배치 분산분석(two-way ANalysis Of VAriance) 은 일반선형모형 메뉴에서 분석한다. 그리고 일원배치 분산분석과 분석 방법 차이가 많기에 자료분석 전에 이론을 …
Source: wikidocs.net
Date Published: 10/26/2022
View: 4086
R (2) 이원분산분석(two-way ANOVA) – 관측값이 두개 이상일 …
2개의 모집단에 대한 평균을 비교, 분석하는 통계적 기법으로 t-Test를 활용하였다면, 비교하고자 하는 집단이 3개 이상일 경우에는 분산분석 (ANOVA …
Source: rfriend.tistory.com
Date Published: 3/20/2021
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주제에 대한 기사 평가 이원배 치 분산 분석
- Author: 논문쓰는남자 [논쓰남]
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- Date Published: 2020. 7. 21.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=i4NHIGvTB-g
[SPSS 분석] 이원배치 분산분석
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1. 이원배치 분산분석
1) 정의
이원배치 분산분석(Two-way ANOVA)은 두 개의 독립변수에 따라 종속변수의 평균 차이를 검증하고, 2개의 독립변수 간 상호작용 효과를 검증하는 방법입니다. 집단을 나타내는 변수인 요인의 수, 즉 독립변수가 1개인 경우 일원배치 분산분석이라고 하며, 독립변수가 2개인 경우 이원배치 분산분석, 독립변수가 3개 이상인 경우 다원배치 분산분석이라고 합니다.
2) 가설 설정
성적과 전공만족도에 따라 대학생활 적응 정도에 차이가 있는지 검정하고자 한다면, 성적(4개의 하위그룹으로 분류)과 전공만족도(5개의 하위그룹으로 분류)는 범주형 자료이고, 대학생활 적응 정도는 연속형 자료입니다. 성적과 전공만족도에 따른 대학생활 적응 정도에 차이가 있는지 알아보기 위해 이원배치 분산분석을 실시합니다.
① 가설 : 독립변수(범주형)에 따라 종속변수(연속형)는 유의한 차이가 있다.
② 귀무가설 : 성적과 전공만족도에 따라 대학생활 적응 정도는 유의한 차이가 없다.
③ 대립가설 : 성적과 전공만족도에 따라 대학생활 적응 정도는 유의한 차이가 있다.
– 가설 1 : 성적에 따라 대학생활 적응 정도는 유의한 차이가 있다.
– 가설 2 : 전공만족도에 따라 대학생활 적응 정도는 유의한 차이가 있다.
– 가설 3 : 성적과 전공만족도에 따라 대학생활 적응 정도는 유의한 차이가 있다.
3) 독립표본 t-test
① 메뉴를 선택합니다.
② ‘고정요인’ 입력칸에 독립변수인 ‘성적’과 ‘전공만족도’를 지정하고, ‘종속변수’ 입력칸에 종속변수인 ‘대학생활 적응’을 지정합니다.
③ ‘도표’를 클릭합니다. ‘성적’을 ‘수평축 변수’ 입력칸에, ‘전공만족도’을 ‘선구분 변수’ 입력칸에 지정하고, 활성화된 ‘추가’ 버튼을 클릭합니다. 상호작용 변수가 활성화된 것을 확인하고, ‘계속’을 클릭합니다(정해진 방법은 없습니다. 단순히 그래프 상의 X축과 Y축의 변수를 지정하는 것이므로 사용자가 원하는 변수를 원하는 위치에 지정하면 됩니다.).
④ ‘사후분석’을 클릭하고, ‘요인’ 입력칸에 있는 독립변수들을 ‘사후검정변수’ 입력칸에 지정합니다. ‘등분산을 가정함’의 항목들이 활성화 되는데 ‘Duncan’을 지정하고, ‘계속’을 클릭합니다.
⑤ ‘EM 평균’을 클릭하고, ‘요인 및 요인 상호작용’ 입력칸에 있는 독립변수 및 상호작용 변수를 ‘평균 표시 기준’ 입력칸에 지정합니다. 그러면 ‘주효과 비교’가 활성화되는데 지정하고, ‘신뢰구간 수정’에서는 ‘Bonferroni’를 지정하고, ‘계속’을 클릭합니다.
⑥ ‘붙여넣기’를 클릭하면, ‘명령문1’ 창이 활성화됩니다.
⑦ ‘/EMMEANS=TABLES(성적2*전공만족도2)’ 뒤에 ‘COMPARE(성적2) ADJ(BONFERRONI)’를 입력합니다. 입력 후 전체를 선택하고 실행 버튼(▶)을 클릭합니다.
(상호작용 변수에 대한 유의성 검정이 자동으로 되지 않기 때문에 위와 같이 입력을 해줘야 합니다. 현재 분석에서는 독립변수가 학년이기 때문에 위와 같이 입력하였지만, 자신의 연구변수에 맞게 수정해서 사용하면 됩니다.)
⑧ 실행 버튼(▶) 대신 ‘실행’에서 ‘선택영역’을 클릭해도 됩니다.
⑨ ‘개체-간 효과 검정’을 보겠습니다. 성적2의 유의확률은 .05보다 높으므로 성적에 따라 대학생활 적응의 유의한 차이가 없는 것을 알 수 있습니다. 하지만 전공만족도2와 성적2 * 전공만족도2의 유의확률이 .05보다 낮으므로 전공 만족도, 성적과 전공 만족도의 상호작용 변수에 따라 대학생활 적응의 유의한 차이가 있는 것을 알 수 있습니다.
⑩ 전공 만족도가 매우 만족, 만족, 보통, 불만족 순으로 대학생활 적응에 유의한 차이를 보였습니다. 성적과 전공 만족도의 상호작용 변수도 동일하게 해석하면 됩니다.
⑪ 사후분석을 해석할 때는 같은 세로 칸에 있는지, 세로 칸에 같이 있지 않은지를 확인하면 됩니다. 아래의 경우 전공 만족도의 항목들이 각각 다른 세로 칸에 있는 것을 확인할 수 있습니다. 같은 세로 칸에 있지 않으므로 4개 항목은 모두 유의한 차이가 있다고 해석할 수 있으며, 불만족(2.1364)부터 매우 만족(3.7333) 순으로 평균값이 높은 것을 알 수 있습니다. 즉, 매우 만족, 만족, 보통, 불만족 순으로 유의한 차이를 나타내는 것을 알 수 있습니다.
⑫ 기울기를 통해 각 항목들 사이의 관계에서 유의한 차이가 있는지, 없는지 파악할 수 있습니다.
위의 그래프는 성적을 가로축, 전공만족도를 세로축 위의 그래프틑 전공만족도를 가로축, 성적을 세로축
SPSS 통계분석 #9. 분산분석(ANOVA): ② 이원배치 분산분석(Two-way ANOVA)
안녕하세요^^ 권 코치 입니다.
지난 시간 일원배치 분산분석에 이어 오늘은 이원배치 분산분석에 대하여 포스팅 해 보도록 하겠습니다.
사실 저희 쪽 필드에서는 잘 사용하지 않는 통계방법인데요
다양한 연구 디자인을 위해서는 알아두면 좋겠죠??
“Two-way ANOVA”
이원배치 분산분석은 독립변수가 2개일 때 집단 간 종속변수의 평균차이를 비교하는 분석이다.
예를 들어 국가에 대한 인구밀도에 차이를 분석한다고 가정했다면
일원배치 분산분석을 통해 한국, 중국, 일본 3표본에 대한 인구밀도(종속변수)의 평균차이를 비교.
국가와 연령에 따른 인구밀도 차이를 분석한다고 가정했다면
이원배치 분산분석을 통해 한국, 중국, 일본 3표본과, 10대, 20대, 30대 3표본의
2개의 독립변수가 인구밀도(종속변수)의 평균차이 및 상호작용 검정
일원배치 분산분석이 하나의 독립변인의 주효과 검중이라면,
이원배치 분산분석은 두개의 독립변인의 각각의 주효과 및 두 독립변인의 상호작용효과에 따른 종속변인의 결과를 확인
<예제> 축구 국가대표의 대표팀 경력과 활동리그에 따른 국가대표 A매치 공격포인트 차이비교
◈ SPSS 분석과정
1) 정규성 검증
분석→ 기술통계→ 탐색
정규성 검증의 내용은 이전 포스팅 참고.
2) 이원배치분산분석
① 데이터 입력 및 변수 값 설정
② 분석→ 일반선형모형→일변량 순으로 클릭
③ 종속변수(공격포인트), 모수요인(리그,경력) 변수 삽입
④ 모형을 클릭한다. “사용자 정의를 체크하여 가운데 유형에 주효과와 상호작용 효과를 각각 선택할 수 있다”.
편리성을 위해 완전요인모형(주효과 상호작용효과 포함)을 체크 후 계속을 클릭→계속
⑤ 사후분석을 클릭→ 사후검정변수 삽입 후 Tukey, Scheffe등의 사후분석을 체크→계속
사후분석을 하는 이유는 분산분석을 실시하여 차이가 확인되었을 때 표본간 의 차이를 확인하기 위함이다.
⑥ 옵션을 클릭→ 기술통계량 체크( 효과크기 확인 시 효과크기 추정 값 체크)→계속
⑦ 결과확인
리그(F=134.767, p=.000)와 경력(F=103.240, p=.000)에 따라 유의하게 나타남.
리그와 경력에 따른 상호작용효과 또한 F=31.183, p=.000으로 통계적으로 유의한 결과가 나타남.
사후분석 결과확인
논문 및 보고서 표기 양식
이원분산분석(two-way ANOVA) 예시 모음
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분산분석은 셋 이상 집단의 평균을 비교할 때 사용하는 분석방법입니다. 종속변수와 독립변수의 개수에 따라 여러 방법으로 나뉩니다.
이원분산분석(One-way ANOVA)은 종속변수는 하나지만, 독립변수가 두개인 경우에 사용하는 분산분석입니다.
각 독립변수에 대해 일원분산분석을 수행하면 되는게 아니냐는 의문이 들 수 있습니다. 일원분산을 각각 수행하는 것과 이원분산분석의 차이는, 이원분산분석에서 ‘상호작용효과’를 확인할 수 있다는 것입니다. 이원분산분석에서는 ‘상호작용효과’가 핵심입니다.
상호작용효과는 한 독립변수가 다른 독립변수가 종속변수에 미치는 영향에 영향을 미치는 것을 말합니다.
예시 1) 반, 성별에 따른 수학점수 비교
A,B,C반 학생 90명의 수학점수가 반별로 차이가 있는가? 성별에 따른 차이가 있는가? 반과 성별이 점수에 미치는 영향에 상호작용 효과가 있는가?
독립변수1 : 반
독립변수2 : 성별
종속변수 : 수학점수
귀무가설
– 반별 수학점수가 같다
– 남녀 수학점수가 같다
– 상호작용효과가 없다
예시2) 유산균 종류, 복용 시각에 따른 장내 유익균 수 비교
제약회사에서 세 종류의 유산균을 개발했다. 세 유산균 효과를 비교하려고 한다. 복용 시각에 따른 효과도 있을 것이므로 복용 시간은 아침,점심,저녁으로 나누었다. 30일 복용 후 장의 유익균 수를 측정하였다. 유산균 별로 유익균 수에 미치는 차이가 있는가? 복용 시간에 따른 차이가 있는가? 유산균 종류와 복용시간 사이에 상호작용 효과가 있는가?
독립변수1 : 유산균 종류(A,B,C)
독립변수2 : 복용시각(아침,점심,저녁)
종속변수 : 장내 유익균 수
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SPSS로 배우는 통계 – 10.이원 분산분석
변수의 척도가 범주형인지 연속형인지에 따라 데이터를 분석하는 방법이 다릅니다. 가설의 독립변수가 범주형이고 종속변수가 연속형일 때 가설 검정은 분산분석을 사용합니다.
일원 분산분석은 1개의 독립변수와 1개의 종속변수를 다루지만, 이원 분산분석은 2 개의 독립변수와 1개의 종속변수를 다룹니다.
SPSS에서 일원 분산분석(ANOVA) 검정하기
1. 가설의 설정
“한 기업은 신제품 광고를 이성적 광고, 감성적 광고, 유머 광고의 3 가지로 유형으로 만들었습니다. 신제품 광고의 3 가지 유형을 피시험자들에게 보여주고 광고 태도를 측정하여 소비자들이 더 좋아하는 광고를 선택하려고 합니다. 또한, 마케터는 광고에 대한 태도가 남자와 여자가 다르다고 판단하였습니다. 남녀 그룹에 따라 어떤 광고를 더 좋아하는 지를 측정합니다.”
연구가설을 설정하고, 가설 검증을 위한 귀무가설과 대립가설을 설정합니다.
연구가설
세 가지 광고 유형에 대한 광고 태도는 성별에 따라 다를 것이다.
(광고 유형과 성별 간에는 상호 작용 효과가 있을 것이다.)
귀무가설
광고 유형과 성별 간에는 상호 작용 효과가 없다
대립가설
광고 유형과 성별 간에는 상호 작용 효과가 있다
연구 결과가 귀무가설을 채택할지 또는 기각할지 확인하기 위해 이원 분산 분석을 사용합니다.
2. SPSS에서 이원 분산분석 설정하기
1) 메뉴바에서 “분석 >> 일반선형모형 >> 일변량”을 선택합니다.
2) 일변량 분석창에서 종속변수(Dependent Variable)에 태도점수를 배치하고, 고정요인(Fixed Factor)에 성별과 광고 유형을 배치합니다.
독립변수는 광고유형과 성별이고, 종속 변수는 광고 태도입니다.
3)일변량 분석 창에서 ‘모형(Model)’ 버튼을 선택하고 일변량: 모형창은 기본 설정값을 그대로 유지합니다.
4) 일변량 분석 창에서 ‘도표(Plots)’버튼을 선택하고, 일변량:프로파일 도표창에서 수평축 변수(Horizontal Axis)에 광고유형을 넣고, 선구분 변수 (Separate Lines)에 성별을 넣고 ‘추가(Add)’ 버튼을 선택합니다.
5) 일변량 분석 창에서 ‘사후분석(Post Hoc)” 버튼을 선택하고, ‘일변량:관측평균의 사후 분석 다중비교’창에서 ‘광고유형’을 ‘요인(Factor)’목록에서 ‘사후 검정 변수 (Post Hoc Tests for)’로 옮기고, 등분산을 가정한 상황에서 Scheffe를 선택합니다.
6) 일변량 분석창에서 ‘옵션’버튼을 선택하고, ‘일변량:옵션’창에서 기술통계량(Descriptive Statistics)과 동질성 검정(Homogenelty tests) 을 선택합니다.
3. SPSS에서 이원분산검정 분석하기
1) Levenue 등분산 가정 검정
Levenue 등분산 가정 검정 결과에서 귀무가설과 대립가설은 다음과 같습니다.
귀무가설(영가설)
광고에 대한 태도점수와 ‘성별 + 태도점수 + 광고유형 + 태도점수와 성별*광고유형’은 등분산이다
대립가설
광고에 대한 태도점수와 ‘성별 + 태도점수 + 광고유형 + 태도점수와 성별*광고유형’은 등분산이 아니다
오차 분산의 동질성 검정 (Test of Homogeneity of Error Variances) 표에서 종속변수 태도점수는 ‘평균을 기준 (Based on Mean)’ 부분만 참조합니다. 레베네 통계(Levenue Statistics )는 0.182이고, 유의확률(Sig.)은 0.964입니다. 유의확률은 0.05보다 크기 때문에 Levenue 등분산의 귀무가설 “집단의 분산은 동일하다” 를 기각할 수 없습니다. 따라서, 귀무가설을 채택하고 등분산입니다.
2) 개체간 효과 검증
개체 간 효과 검증에서 성별과 광고유형은 상호작용 효과가 있었지만, 성별*광고유형의 상호 작용 효과는 없었습니다. 이것을 논문에서 다음과 같이 표현합니다.
“광고유형(유머소구, 이성소구, 감성소구)과 성별에 따른 광고태도의 이원분산분석 결과, 성별(F = 100.278, p <.001)과 광고유형 (F=21.811, p<.001)의 유의미한 주효과가 있는 것으로 나타났다. 그러나 성별과 광고유형에 따른 상호작용 효과는 유의미하지 않은 것으로 나타났다 (F=1.344, p=.297)" 3) 사후 분석 : 샤페(Scheffe) 사후 분석은 Scheffe로 하였습니다. 이것을 논문에서 다음과 같이 표현합니다. "Scheffe 사후검정 결과, 세 가지 광고 유형 모두에서 태도점수에서 유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다. 유머소구 광고는 이성소구 광고에 비해 태도 점수가 .850 높은 것으로 나타났으며 (p <.001), 감성소구 광고에 비해서는 .483이 높은 것으로 나타났다. (p <0.1) 한편 이성소구 광고는 감성소구 광고에 비해 태도점수가 .367 낮은 것으로 나타났다 (p <.05)" 4) 상호 작용의 해석 보통, 도표 제시와 도표 해석은 상호작용 결과가 유의미한 경우에 한 해 실시합니다. 이번 사례에서 개체간 효과 검증에서 "성별과 광고유형에 따른 상호작용 효과는 유의미하지 않은 것으로 나타났다 (F=1.344, p=.297)"라고 이야기했습니다. 즉, 상호 작용 결과가 유의미하지 않으므로 도표를 해석할 필요는 없습니다. 여기서, 간단하게 검증합니다. "광고 유형에 상관없이 남성은 여성에 비해 광고에 대한 태도 점수가 높은 것으로 나타났다. 개별 광고 유형별로 보면, 남성과 여성 모두 유머소구 광고의 태도점수가 가장 높은 것으로 나타났으며, 이성 소구 광고에 대한 태도 점수가 가장 낮은 것으로 나타났다." 4. 테스트 파일 SPSS 결과 이원 분산 분석 - 과제 파일 1. 가설의 설정 "성별과 여행빈도가 해외 여행 선호도에 대한 영향 여부를 조사하였습니다. 성별과 여행 빈도에 따른 해외 여행 선호도의 차이와 성별과 여행빈도 간에 상호 작용 효과가 있을 지를 검증합니다." 연구가설을 설정하고, 가설 검증을 위한 귀무가설과 대립가설을 설정합니다. 연구가설 여행빈도에 따른 해외 여행선호도는 성별에 따라 다를 것이다. (성별과 여행빈도 간에 상효 작용 효과가 있을 것이다.) 귀무가설 성별과 여행빈도 간에 상호 작용 효과가 없다. 대립가설 성별과 여행빈도 간에 상호 작용 효과가 있다. 연구 결과가 귀무가설을 채택할지 또는 기각할 지 확인하기 위해 이원 분산 분석을 사용합니다. 3. SPSS에서 일원분산검정 분석하기 1) Levenue 등분산 가정 검정 Levenue 등분산 가정 검정 결과에서 귀무가설과 대립가설은 다음과 같습니다. 귀무가설(영가설) 해외 여행 선호도와 '성별+여행빈도+성별*여행빈도'는 등분산이다 대립가설 해외 여행 선호도와 '성별+여행빈도+성별*여행빈도'는 등분산이 아니다 오차 분산의 동질성 검정 (Test of Homogeneity of Error Variances) 표에서 종속변수 해외여행선호도는 '평균을 기준 (Based on Mean)' 부분만 참조합니다. 레베네 통계(Levenue Statistics )는 0.483이고, 유의확률(Sig.)은 0.785입니다. 유의확률은 0.05보다 크기 때문에 Levenue 등분산의 귀무가설 "집단의 분산은 동일하다" 를 기각할 수 없습니다. 따라서, 귀무가설을 채택하고 등분산입니다." 2) 개체간 효과 검증 개체간 효과 검증에서 성별과 여행빈도 그리고 성별 *여행빈도는 상호작용 효과가 있습니다. 이것을 논문에서 다음과 같이 표현합니다. "여행빈도(적음, 중간, 많음)와 성별에 따른 해외여행선호도의 이원분산분석 결과, 성별(F = 8.711, p <.01), 여행빈도 (F=31.511, p<.001), 성별과 여행빈도 (F=21.111, p <.001)의 유의미한 주효과가 있는 것으로 나타났다. " 3) 사후분석 : 샤페(Scheffe) 사후 분석은 Scheffe로 하였습니다. 이것을 논문에서 다음과 같이 표현합니다. "Scheffe 사후검정 결과, 세 가지 여행빈도 모두에서 해외여행선호도에서 유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다. 적음 여행빈도는 많음 여행빈도에 비해 해외여행선호도가 2.50 낮은 것으로 나타났으며(p < .001), 중간 여행빈도는 많음 여행빈도에 비해 해외여행선호도가 2.80 낮은 것으로 나타났습니다. (p < .001)" 4) 상호작용의 해석 "여행 빈도에 따른 해외여행선호도가 성별에 따라 차이가 있는 것으로 나타났다. 개별 여행빈도별로 보면, 여행빈도가 적은 경우 여성이 남성보다 해외여행선호가 매우 높은 것으로 나타났으며, 여행빈도가 많은 경우 남성이 여성보다 해외 여행 선호도가 조금 더 높은 것으로 나타났다. "
5. 독립인 k , l 표본 – 이원배치 분산분석
이원배치 분산분석
이원배치 분산분석(two-way ANalysis Of VAriance) 은 일반선형모형 메뉴에서 분석한다. 그리고 일원배치 분산분석과 분석 방법 차이가 많기에 자료분석 전에 이론을 소개한다.
먼저 이원배치 분산분석의 자료 구조를 살펴보면 다음과 같다.
$B$ $A$ $1$ $2$ $\cdots$ $j$ $\cdots$ $b$ 평균 합계 $1$ $Y_{111},Y_{112},\cdots,Y_{11n}$ $$Y_{121},Y_{122},\cdots,Y_{12n}$$ $\cdots$ $$Y_{1j1},Y_{1j2},\cdots,Y_{1jn}$$ $\cdots$ $$Y_{1b1},Y_{1b2},\cdots,Y_{1bn}$$ $\bar Y_{1..}$ $\displaystyle\sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^n Y_{1jk}$ $2$ $Y_{211},Y_{212},\cdots,Y_{21n}$ $$Y_{221},Y_{222},\cdots,Y_{22n}$$ $\cdots$ $$Y_{2j1},Y_{2j2},\cdots,Y_{2jn}$$ $\cdots$ $$Y_{2b1},Y_{2b2},\cdots,Y_{2bn}$$ $\bar Y_{2..}$ $\displaystyle\sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^n Y_{2jk}$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $i$ $Y_{i11},Y_{i12},\cdots,Y_{i1n}$ $$Y_{i21},Y_{i22},\cdots,Y_{i2n}$$ $\cdots$ $$Y_{ij1},Y_{ij2},\cdots,Y_{ijn}$$ $\cdots$ $$Y_{ib1},Y_{ib2},\cdots,Y_{ibn}$$ $\bar Y_{i..}$ $\displaystyle\sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^n Y_{ijk}$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $a$ $Y_{a11},Y_{a12},\cdots,Y_{a1n}$ $$Y_{a21},Y_{a22},\cdots,Y_{a2n}$$ $\cdots$ $$Y_{aj1},Y_{aj2},\cdots,Y_{ajn}$$ $\cdots$ $$Y_{ab1},Y_{ab2},\cdots,Y_{abn}$$ $\bar Y_{a..}$ $\displaystyle\sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^n Y_{ajk}$ 평균 $\bar Y_{.1.}$ $\bar Y_{.2.}$ $\cdots$ $\bar Y_{.j.}$ $\cdots$ $\bar Y_{.b.}$ $\bar Y_{…}$ 합 계 $\displaystyle\sum_{i=1}^a \sum_{k=1}^n Y_{i1k}$ $\displaystyle\sum_{i=1}^a \sum_{k=1}^n Y_{i2k}$ $\cdots$ $\displaystyle\sum_{i=1}^a \sum_{k=1}^n Y_{ijk}$ $\cdots$ $\displaystyle\sum_{i=1}^a \sum_{k=1}^n Y_{ibk}$ $\displaystyle\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^n Y_{ijk}$ 이원배치 자료구조
상호작용이 있는 이원배치 분산분석
이원배치 분산분석 모형은
\begin{equation} Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij} + \epsilon_{ijk}, ~ \epsilon_{ijk}\sim N(0,1^2) \tag{1} \label{eq:2way} \end{equation} 이다.
식 (1)에서 $\mu$는 상수항, $\alpha, \beta$는 요인 변수, $\gamma$는 교호작용, $\epsilon$은 오차이다. 식 (1)을 자세히 나타내면
$$ Y_{ijk} = \mu + (\bar Y_{i..} – \bar Y_{…}) + (\bar Y_{.j.} – \bar Y_{…}) + (\bar Y_{ij.} – \bar Y_{i..} – \bar Y_{.j.} + \bar Y_{…}) + (Y_{ijk} – \bar Y_{ij.})\tag{2} $$ 이다.
식 (2)에서 양변을 제곱하고 합을 구하면
$$\overbrace{\sum_{i,j,k}Y_{ijk}^2}^{\mbox{총제곱합}} = \overbrace{\sum_{i,j,k} \bar Y_{…}^2}^{\mbox{상수}} +\overbrace{\sum_{i,j,k}(\bar Y_{i..} – \bar Y_{…})^2}^{SSA} + \overbrace{\sum_{i,j,k}(\bar Y_{.j.} – \bar Y_{…})^2}^{SSB} + \overbrace{\sum_{i,j,k}(\bar Y_{ij.} – \bar Y_{i..} – \bar Y_{.j.} + \bar Y_{…})^2}^{SSAB} + \overbrace{\sum_{i,j,k}(Y_{ijk} – \bar Y_{ij.})^2}^{SSE} \tag{3}$$
이며 전체제곱합이다. SPSS 출력에서는 합계이다. 식(2)에서 전체 평균인 상수항 $\mu$를 왼쪽으로 보내고 양변의 제곱합(sum of squares)을 구하면
$$\overbrace{\sum_{i,j,k}(Y_{ijk}-\bar Y_{…})^2}^{SST} = \overbrace{\sum_{i,j,k}(\bar Y_{i..} – \bar Y_{…})^2}^{SSA} + \overbrace{\sum_{i,j,k}(\bar Y_{.j.} – \bar Y_{…})^2}^{SSB} + \overbrace{\sum_{i,j,k}(\bar Y_{ij.} – \bar Y_{i..} – \bar Y_{.j.} + \bar Y_{…})^2}^{SSAB} + \overbrace{\sum_{i,j,k}(Y_{ijk} – \bar Y_{ij.})^2}^{SSE} \tag{4}$$
이며 각 제곱합은 다음과 같다.
$SST$(sum of squares total)는 수정된 전체제곱합
$SSA$(sum of squares factor A)는 A 요인 제곱합
$SSB$(sum of squares factor B)는 B 요인 제곱합
$SSAB$(sum of squares interaction of A $\times$ B)는 요인 A와 B의 상호작용 제곱합
$SSE$(sum of squares error)는 오차 제곱합
다음은 두 요인 A, B에 대한 분산분석표이다.
요인 제곱합 자유도 평균제곱합 F 값 $A$ $SSA$ $a-1$ $MSA = SSA/(a-1)$ $MSA/MSE$ $B$ $SSB$ $b-1$ $MSB = SSB/(b-1)$ $MSB/MSE$ $A\times B$ $SSAB$ $(a-1 )(b-1)$ $MSAB = SSAB/((a-1)(b-1))$ $MSAB/MSE$ $Error$ $SSE$ $ab(n-1)$ $MSE = SSE/(ab(n-1))$ $Total$ $SST$ $abn-1$ 이원배치 분산분석표
상호작용이 없는 이원배치 분산분석
상호작용이 유의하지 않으면 분산분석표에서 상호작용 제곱합을 오차 제곱합에 합한다. 이것을 상호작용의 풀링(pooling)이라고 부른다.
상호작용이 없을 때 이원배치 분산분석 모형은
$$ Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ijk}, ~ \epsilon_{ijk}\sim N(0,1^2) \tag{5} $$
이다.
식 (5)에서 $\mu$는 상수항, $\alpha, \beta$는 요인 변수, $\epsilon$은 오차이다. 식 (5)를 자세히 나타내면
$$ Y_{ijk} = \mu + (\bar Y_{i..} – \bar Y_{…}) + (\bar Y_{.j.} – \bar Y_{…}) + (\bar Y_{ijk} – \bar Y_{i..} – \bar Y_{.j.} + \bar Y_{…}) \tag{6}$$ 이다.
식 (6)의 양변을 제곱하고 합을 구하면
$$\overbrace{\sum_{i,j,k}Y_{ijk}^2}^{\mbox{총제곱합}} = \overbrace{\sum_{i,j,k} \bar Y_{…}^2}^{\mbox{상수}} +\overbrace{\sum_{i,j,k}(\bar Y_{i..} – \bar Y_{…})^2}^{SSA} + \overbrace{\sum_{i,j,k}(\bar Y_{.j.} – \bar Y_{…})^2}^{SSB} + \overbrace{\sum_{i,j,k}(\bar Y_{ijk} – \bar Y_{i..} – \bar Y_{.j.} + \bar Y_{…})^2}^{SSE} \tag{7}$$
이며 전체제곱합이다. 이 값은 SPSS 출력에서 합계이다. 식 (6)에서 전체 평균인 상수항 $\mu$를 왼쪽으로 보내고 양변의 제곱합(sum of squares)을 구하면
$$\overbrace{\sum_{i,j,k}(Y_{ijk}-\bar Y_{…})^2}^{SST} = \overbrace{\sum_{i,j,k}(\bar Y_{i..} – \bar Y_{…})^2}^{SSA} + \overbrace{\sum_{i,j,k}(\bar Y_{.j.} – \bar Y_{…})^2}^{SSB} + \overbrace{\sum_{i,j,k}(\bar Y_{ijk} – \bar Y_{i..} – \bar Y_{.j.} + \bar Y_{…})^2}^{SSE} \tag{8}$$
이며 각 제곱합은 다음과 같다.
$SST$(sum of squares total)는 수정된 전체제곱합
$SSA$(sum of squares factor A)는 A 요인 제곱합
$SSB$(sum of squares factor B)는 B 요인 제곱합
$SSE$(sum of squares error)는 오차 제곱합
다음은 두 요인 A, B에 대한 분산분석표이다.
요인 제곱합 자유도 평균제곱합 F 값 $A$ $SSA$ $a-1$ $MSA = SSA/(a-1)$ $MSA/MSE$ $B$ $SSB$ $b-1$ $MSB = SSB/(b-1)$ $MSB/MSE$ $Error$ $SSE$ $abn-a-b+1$ $MSE = SSE/(abn-a-b+1)$ $Total$ $SST$ $abn-1$ 이원배치 분산분석표(상호작용 제외)
Type I, II, III sum of squares
이원배치 분산분석은 여러 가지 제곱합을 사용하며 일원배치 분산분석에 사용하는 제곱합과 비교해 보자.
이원배치 분산분석은 일반선형모형에서 Type I, II, III, III Sum of Squares 4 개 제곱합으로 분석한다. 이 제곱합은 위계적 회귀분석을 바로 구할 수 있다.
위계적 회귀분석은 일부 변수를 통제하고 어떤 한 변수가 추가될 때 설명력이 의미있는지 판단하는 분석방법이다.
따라서 여러 개 회귀식을 구하여 위계적 회귀분석에 적용할 필요가 없다.
Type I Type II Type III ANOVA $A$ $SS(\alpha|\mu)$ $SS(\alpha|\mu,\beta)$ $SS(\alpha|\mu,\beta,\gamma)$ $SS(\alpha|\mu)$ $B$ $SS(\beta|\mu)$ $SS(\beta|\mu,\alpha)$ $SS(\beta|\mu,\alpha,\gamma)$ $SS(\beta|\mu)$ $A \times B$ $SS(\gamma|\mu,\alpha,\beta)$ $SS(\gamma|\mu,\alpha,\beta)$ $SS(\gamma|\mu,\alpha,\beta)$ $SS(\alpha,\beta,\gamma|\mu) – SS(\alpha|\mu) – SS(\beta|\mu$) 여러 가지 제곱합
사용한 제곱합에 대한 설명이다.
$SS(\mu, \alpha, \beta, \gamma)=SS(\mu)+SS(\alpha|\mu)+SS(\beta|\mu,\alpha)+SS(\gamma|\mu,\alpha,\beta)$; $SS(A,B,AB)=\sum_{i,j,k}Y_{ijk}^2$ : 전체모형에서 총제곱합이다. SPSS 출력에서 전체 이다.
이다. $SS(\alpha,\beta,\gamma|\mu)$; $SST=\sum_{i,j,k}(Y_{ijk}-\bar Y_{…})^2$ : 수정제곱합으로 전체모형 제곱합에서 절편을 뺀 값이다. SPSS 출력에서 수정된 합계 이다.
이다. $SS(\alpha |\mu)$; $SS(A)=SSA=\sum_{i,j,k}(\bar Y_{i..} – \bar Y_{…})^2$ : $\mu$가 있는 모형에서 $\alpha$가 추가될 때 제곱합의 증가량
$SS(\beta |\mu)$; $SS(B)=SSB=\sum_{i,j,k}(\bar Y_{.j.} – \bar Y_{…})^2$ : $\mu$가 있는 모형에서 $\beta$가 추가될 때 제곱합의 증가량
$SS(\beta |\mu, \alpha)$; $SS(B|A) = SS(A,B) – SS(A)$ : $\mu, \alpha$가 있는 모형에서 $\beta$가 추가될 때 제곱합의 증가량
$SS(\gamma | \mu, \alpha, \beta)$; $SS(AB|A,B) = SS(A,B,AB) – SS(A,B)$ : $\mu, \alpha, \beta$가 있는 모형에서 $\gamma$가 추가될 때 제곱합의 증가량
Type I SS
Type I 제곱합은 순차 제곱합(sequential sum of squares)으로도 부르고 속성은 다음과 같다.
축소모형에 주인자 A, B와 교호작용 AB가 차례로 추가될 때 발생하는 증가량으로 순차제곱합이라고 부른다.
인자가 모형에 추가되는 순서가 중요하며 순서가 바뀌면 각 인자의 제곱합이 변한다.
각 제곱합은 모두 합하면 전체 제곱합 $SS(\mu,\alpha,\beta,\gamma)$
Type II SS
Type II 제곱합은 모든 주인자가 포함된 모형에서 한 개의 인자가 제거될 때 발생하는 제곱합의 감소량이다.
인자가 추가되는 순서에 제곱합이 영향받지 않는다.
각 제곱합은 모두 합하면 전체 제곱합 $SS(\mu,\alpha,\beta,\gamma)$와 같지 않다.
Type III SS
Type III 제곱합은 모든 주인자와 교호작용이 포함된 완전 모형에서 한 개의 인자가 제거될 때 발생하는 제곱합의 감소량이다.
인자가 추가되는 순서에 제곱합이 영향받지 않는다.
각 제곱합은 모두 합하면 전체 제곱합 $SS(\mu,\alpha,\beta,\gamma)$와 같지 않다.
부분제곱합(partial sum of squares)라고 부른다.
이원배치 분산분석 실습 자료
이원배치 분산분석에 사용할 자료는 일원배치 분산분석에서 사용한 자료를 한 요인으로 더 세분한 것이다.
$B$ 요인 $B_1$ $B_2$ $B_3$ $A$ 요인 $A_1$ $41~ 43~ 50$ $51~ 43~ 53~ 54~ 46$ $45~ 55~ 56~ 60~ 58~ 62~ 62$ $A_2$ $56~ 47~ 45~ 46~ 49$ $58~ 54~ 49~ 61~ 52~ 62$ $59~ 55~ 68~ 63$ $A_3$ $43~ 56~ 48~ 46~ 47$ $59~ 46~ 58~ 54$ $55~ 69~ 63~ 56~ 62~ 67$ Maxwell & Delaney 2004 p339
SPSS 분석과정
이원배치분산분석 실습자료는 여기에서 구할 수 있다.
SPSS 데이터 시트에서 2열, 3열에 있는 grpA, grpB 변수는 분산분석에서 사용할 독립변수이고
4열 ~ 11열은 회귀분석에서 사용할 독립변수로 더미변수이다.
일반선형모형 분석
이원배치 분산분석은 분석 -> 일반선형모형 -> 일변량 메뉴를 선택한다.
2개 요인과 종속변수 설정
종속변수에 값을 추가하고 고정요인에 grpA, grpB 순서로 변수를 추가한다.
Type I SS (변수 추가 순서가 grpA, grpB인 경우)
모형설정에서
완전요인모형 은 모든 요인과 교호작용이 추가된다.
은 모든 요인과 교호작용이 추가된다. 항 설정 은 사용자가 추가할 요인을 선택할 수 있다.
은 사용자가 추가할 요인을 선택할 수 있다. 사용자 정의 항 설정은 사용자가 입력한 요인 중에서 특정요인을 모형에 추가한다.
제곱합은 제 I유형을 선택한다. 모형을 절편에 추가한다.
그림 1. Type I SS 설정 – 변수 추가 순서가 grpA, grpB
출력 및 결과 분석
출력결과 통계량에 대한 분석은 다음과 같다.
다음 사용한 숫자 기호 ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥, ⑦, ⑧은 SPSS 출력결과 통계량에 표시한 것이다.
① 전제 $SS(\alpha, A, B, AB)$ = ② + ③
② 수정된 합계 $SS(A,B,AB|\alpha)$ = ④ + ⑤ + ⑥ + ⑦ = ⑦ + ⑧
③ 절편 제곱합 $SS(\alpha)$
④ $SS(A|\alpha)=SS(A)=101.111$, 표1에서 $SSR(A)=101.111$
⑤ $SS(B|\alpha,A)=SS(A,B)-SS(A)=1253.189$, 표3 회귀제곱합 $SSR(A,B)$에서 표1 $SSR(A)$을 뺀 $SSR(A,B)-SSR(A)=1354.300-101.111=1253.189$
⑥ $SS(AB|\alpha,A,B)=14.184$, 표6 $SSR(A,B,AB)$에서 표3 $SSR(A,B)$를 뺀 $SSR(A,B,AB)-SSR(A,B)=1368.487-1354.300=14.187$이다.
⑦ 오차제곱합; SSE = ② – ⑧
⑧ 수정된 모형; $SS(A,B,AB|\alpha)-SSE$ = ④ + ⑤ + ⑥ = ② – ⑦
출력결과 분석은
귀무가설 $H_0:\alpha = 0$에 대하여 유의확률 이 0.178 로 유의하지 않다 . grpA 변수에서 집단간 평균차이는 없다 고 통계적으로 주장할 수 있다.
$H_0:\alpha = 0$에 대하여 이 로 . grpA 변수에서 고 통계적으로 주장할 수 있다. 귀무가설 $H_0:\beta = 0$에 대하여 유의확률 이 0.000 으로 매우유의 하다. grpB 변수에서 집단간 평균차이는 적어도 한 쌍 이상 존재 한다고 통계적으로 주장할 수 있다.
$H_0:\beta = 0$에 대하여 이 으로 하다. grpB 변수에서 한다고 통계적으로 주장할 수 있다. 귀무가설 $H_0:\gamma = 0$에 대하여 유의확률이 0.972로 유의하지 않다. 두 변수 grpA, grpB 의 교호작용은 없다고 통계적으로 주장할 수 있다. 그림 2. Type I SS 출력결과 – 변수 추가 순서가 grpA, grpB
Type I SS (변수 추가 순서가 grpB, grpA인 경우)
종속변수에 값을 추가하고 고정요인에 grpB, grpA 순서로 변수를 추가한다.
그림 3. Type I SS 설정 – 변수 추가 순서가 grpB, grpA
출력 및 결과 분석
모형설정에서
완전요인모형 은 모든 요인과 교호작용이 추가된다.
은 모든 요인과 교호작용이 추가된다. 항 설정 은 사용자가 추가할 요인을 선택할 수 있다.
은 사용자가 추가할 요인을 선택할 수 있다. 사용자 정의 항 설정은 사용자가 입력한 요인 중에서 특정요인을 모형에 추가한다.
제곱합은 제 I유형을 선택한다. 모형을 절편에 추가한다.
그림 4. Type I SS 설정 – 변수 추가 순서가 grpB, grpA
출력결과 통계량에 대한 분석은 다음과 같다.
다음 사용한 숫자 기호 ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥, ⑦, ⑧은 SPSS 출력결과 통계량에 표시한 것이다.
① 전제 $SS(\alpha, A, B, AB)$ = ② + ③
② 수정된 합계 $SS(A,B,AB|\alpha)$ = ④ + ⑤ + ⑥ + ⑦ = ⑦ + ⑧
③ 절편 제곱합 $SS(\alpha)$
④ $SS(B|\alpha)=1115.818$ 표2에서 $SSR(B)=1115.818$
⑤ $SS(A|\alpha,B)=SS(A,B)-SS(B)=238.483$은 표3의 회귀제곱합 $SSR(A,B)$에서 표2의 $SSR(B)$를 뺀 $SSR(A,B)-SSR(B)=1354.300-1115.818=238.483$이다.
⑥ $SS(AB|\alpha,A,B)=SS(AB,A,B)=14.187$은 표6 $SSR(A,B,AB)$에서 표3 $SSR(A,B)$를 뺀 $SSR(A,B,AB)-SSR(A,B)=1368.487-1354.300=14.187$이다.
⑦ 오차제곱합; SSE = ② – ⑧
⑧ 수정된 모형; $SS(A,B,AB|\alpha)-SSE$ = ④ + ⑤ + ⑥ = ② – ⑦
Type I SS는 변수 추가 순서에 따라 값이 다른 것을 두 결과를 보고 확인할 수 있다.
출력결과 분석은
귀무가설 $H_0:\beta = 0$에 대하여 유의확률 이 0.000 으로 매우유의 하다. grpB 변수에서 집단간 평균차이는 적어도 한 쌍 이상 존재 한다고 통계적으로 주장할 수 있다.
$H_0:\beta = 0$에 대하여 이 으로 하다. grpB 변수에서 한다고 통계적으로 주장할 수 있다. 귀무가설 $H_0:\alpha = 0$에 대하여 유의확률 이 0.022 로 유의하다 . grpA 변수에서 집단간 평균차이는 적어도 한 쌍 이상 존재 고 통계적으로 주장할 수 있다.
$H_0:\alpha = 0$에 대하여 이 로 . grpA 변수에서 고 통계적으로 주장할 수 있다. 귀무가설 $H_0:\gamma = 0$에 대하여 유의확률이 0.972로 유의하지 않다. 두 변수 grpA, grpB 의 교호작용은 없다고 통계적으로 주장할 수 있다. 그림 5. Type I SS 출력 결과 – 변수 추가 순서가 grpB, grpA
Type II SS
모형설정에서
완전요인모형 은 모든 요인과 교호작용이 추가된다.
은 모든 요인과 교호작용이 추가된다. 항 설정 은 사용자가 추가할 요인을 선택할 수 있다.
은 사용자가 추가할 요인을 선택할 수 있다. 사용자 정의 항 설정은 사용자가 입력한 요인 중에서 특정요인을 모형에 추가한다.
제곱합은 제 II유형을 선택한다. 모형을 절편에 추가한다.
그림 6. Type II SS 설정 – 상호작용을 수동으로 추가
출력결과 통계량에 대한 분석은 다음과 같다.
다음 사용한 숫자 기호 ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥, ⑦, ⑧은 SPSS 출력결과 통계량에 표시한 것이다.
① 전제 $SS(\alpha, A, B, AB)$ = ② + ③
② 수정된 합계 $SS(A,B,AB|\alpha)$ = ⑦ + ⑧
③ 절편 제곱합 $SS(\alpha)$
④ $SS(A|\alpha,B)=SS(A,B)-SS(B)=238.483$은 표3 회귀제곱합 $SSR(A,B)$에서 표2 $SSR(B)$를 뺀 $SSR(A,B)-SSR(B) = 1354.300-1115.818=238.483$
⑤ $SS(B|\alpha,A)=SS(A,B)-SS(A)=1253.189$는 표3 회귀제곱합 $SSR(A,B)$에서 표1 $SSR(A)$를 뺀 $SSR(A,B)-SSR(A) = 1354.300-101.111=1253.189$
⑥ $SS(AB|\alpha,A,B)=SS(AB,A,B)=14.187$은 표6 $SSR(A,B,AB)$에서 표3 $SSR(A,B)$를 뺀 $SSR(A,B,AB)-SSR(A,B)=1368.487-1354.300=14.187$이다.
⑦ 오차제곱합; SSE = ② – ⑧
⑧ 수정된 모형; $SS(A,B,AB|\alpha)-SSE$ = ② – ⑦
출력결과 분석은
귀무가설 $H_0:\alpha = 0$에 대하여 유의확률 이 0.022 로 유의하다 . grpA 변수에서 집단간 평균차이는 적어도 한 쌍 이상 존재 한다고 통계적으로 주장할 수 있다.
$H_0:\alpha = 0$에 대하여 이 로 . grpA 변수에서 한다고 통계적으로 주장할 수 있다. 귀무가설 $H_0:\beta = 0$에 대하여 유의확률 이 0.000 으로 매우유의 하다. grpB 변수에서 집단간 평균차이는 적어도 한 쌍 이상 존재 한다고 통계적으로 주장할 수 있다.
$H_0:\beta = 0$에 대하여 이 으로 하다. grpB 변수에서 한다고 통계적으로 주장할 수 있다. 귀무가설 $H_0:\gamma = 0$에 대하여 유의확률이 0.972로 유의하지 않다. 두 변수 grpA, grpB 의 교호작용은 없다고 통계적으로 주장할 수 있다. 그림 7. Type II SS 출력 결과
Type III SS
모형설정에서
완전요인모형 은 모든 요인과 교호작용이 추가된다.
은 모든 요인과 교호작용이 추가된다. 항 설정 은 사용자가 추가할 요인을 선택할 수 있다.
은 사용자가 추가할 요인을 선택할 수 있다. 사용자 정의 항 설정은 사용자가 입력한 요인 중에서 특정요인을 모형에 추가한다.
제곱합은 제 III유형을 선택한다. 모형을 절편에 추가한다.
그림 8. Type III SS 설정 – 상호작용을 수동으로 추가
출력결과 통계량에 대한 분석은 다음과 같다.
① 전제 $SS(\alpha, A, B, AB)$ = ② + ③
② 수정된 합계 $SS(A,B,AB|\alpha)$ = ⑦ + ⑧
③ 절편 제곱합 $SS(\alpha)$
④ $SS(A|\alpha,B,AB)=SS(A|B,AB)=204.762$는 표6 $SSR(A,B,AB)$에서 표5 $SSR(B,AB)$를 뺀 $SSR(A,B,AB)-SSR(B,AB)=1368.487-1163.728=204.762$이다.
⑤ $SS(B|\alpha,A,AB)=SS(B|A,AB)=1181.105$는 표6 $SSR(A,B,AB)$에서 표4 $SSR(A,AB)$를 뺀 $SSR(A,B,AB)-SSR(A,AB)=1368.487-187.382=1181.105$이다.
⑥ $SS(AB|\alpha,A,B)=SS(AB|A,B)=14.187$은 표6 $SSR(A,B,AB)$에서 표3 $SSR(A,B)$를 뺀 $SSR(A,B,AB)-SSR(A,B)=1368.487-1354.300=14.187$이다.
⑦ 오차제곱합; SSE = ② – ⑧
⑧ 수정된 모형; $SS(A,B,AB|\alpha)-SSE$ = ② – ⑦
출력결과 분석은
귀무가설 $H_0:\alpha = 0$에 대하여 유의확률 이 0.036 으로 유의하다 . grpA 변수에서 집단간 평균차이는 적어도 한 쌍 이상 존재 한고 통계적으로 주장할 수 있다.
$H_0:\alpha = 0$에 대하여 이 으로 . grpA 변수에서 한고 통계적으로 주장할 수 있다. 귀무가설 $H_0:\beta = 0$에 대하여 유의확률 이 0.000 으로 매우유의 하다. grpB 변수에서 집단간 평균차이는 적어도 한 쌍 이상 존재 한다고 통계적으로 주장할 수 있다.
$H_0:\beta = 0$에 대하여 이 으로 하다. grpB 변수에서 한다고 통계적으로 주장할 수 있다. 귀무가설 $H_0:\gamma = 0$에 대하여 유의확률이 0.972로 유의하지 않다. 두 변수 grpA, grpB 의 교호작용은 없다고 통계적으로 주장할 수 있다. 그림 9. Type III SS 출력결과
회귀식에 대한 분산분석표
다음은 Type I SS, Type II SS, Type III SS를 계산하기 위하여 회귀식에 대한 분산분석표를 구하였다.
회귀식에 대한 분산분석표는 데이터 파일을 열고 SPSS 명령어 파일에서 REGRESSION PROCEDURE 부분을 선택하여 실행하면 출력을 바로 구할 수 있다. 또한 일반선형모형을 구하는 명령어도 포함되어 있다.
R, Python 분석과 프로그래밍의 친구 (by R Friend) :: R (2) 이원분산분석(two-way ANOVA)
>
# (2) two-way ANOVA when there are more than one observation per cell (different treatment groups)
>
# (the number of observations in each cell must be equal)
>
>
gender.fac <- as.factor(c(rep("M", 9), rep("F", 9))) >
gender.fac
>
>
class <- c("class_1", "class_1", "class_1", "class_2", "class_2", "class_2", "class_3", "class_3", "class_3") >
class.fac <- as.factor(c(rep(class, 2))) >
class.fac
>
>
score_stats <- c(71, 77, 78, 76, 77, 78, 71, 70, 69, 80, 76, 80, 79, 78, 77, 73, 71, 70) >
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