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an+1 = an + d (d는 상수) 이 등비수열의ff,상수 r 이 공비(공통적인 비율)이다. 이 점화식을 풀면 an = rn–1 · a1 이란 일반항을 얻을 수 있다.
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수열의 점화식의 기초 해법과 특성방정식 이해하기
우리는 어떤 복잡한 수열이 주어졌다면, 그것을 점화식으로 나타내어서, 그리고 그러한 점화식을 푸는 방법을 깨우쳐서 그 수열의 일반항을 구해내는 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 11/24/2022
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수열의 여러가지 점화식의 일반항 – peeton – Tistory
고등학교 과정의 수열의 점화식들의 일반항 구하는 방법. (5번을 제외하고) 5번은 교육과정에는 포함되지 않지만, 모의고사의 빈칸문제나 4점 문제로 …
Source: peeton.tistory.com
Date Published: 4/21/2022
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일반항과 점화식 – 예지
등비수열과 등차수열 수열에는 일반항과 점화식이라는 개념이 있다. 이전 글을 보았으면 알겠지만 일반항은 수열의 항의 값을 항의 번호로 구하는 …
Source: miho273.tistory.com
Date Published: 1/3/2022
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등차수열의 점화식과 일반항 변환하기 – 칸아카데미
수업을 시작하기 전에, 등차수열의 점화식과 일반항을 구하는 방법을 확실하게 알아두어야 합니다. 점화식을 일반항으로 변환하기. 다음은 등차수열의 점화식입니다.
Source: ko.khanacademy.org
Date Published: 11/13/2022
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점화식 – 나무위키
비동차 선형 점화식을 동차 선형 점화식으로 바꾸면 일반항을 구하기가 쉬워지는데, 그렇게 만드는 방법은 특수해를 구하는 것이다.
Source: namu.wiki
Date Published: 4/24/2022
View: 7372
점화식 , 의 일반항에 대하여
의 점화식은 피보나치 수열의 점화식과 형태는 비슷해 보이지만 일반항을 구하는 과정은 결코 비슷하지 만은 않았. 다. 각고의 노력 끝에 우리는 같지만 서로 다르게 표현 …
Source: www.koreascience.kr
Date Published: 2/12/2021
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고등학교 수준일지도 모르는 점화식의 일반항 – 수학 채널
대충 이 두 식을 등비수열 일반항 구하듯이 구해보면 각각 … 선형점화식 일반항 구하는 과정은 마침 제 교육과정에서는 빠졌던 때라 어떨지는 …
Source: arca.live
Date Published: 12/28/2021
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수학에서 점화식(漸化式)은 수열에서 이웃하는 두개의 항 사이에 성립하는 관계를 나타낸 관계식이다. 즉, 수열 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 의 각 항 a n {\displaystyle a_{n}} 이 함수 f를 이용해서
a n + 1 = f ( a n ) {\displaystyle a_{n+1}=f(a_{n})}
처럼 귀납적으로 정해져 있을 때, 함수 f를 수열 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 의 점화식이라고 하며, 또한, 수열 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 은 점화식 f 로 정의된다고 한다.
점화식을 푼다는 것은 귀납적으로 주어진 수열 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 의 일반항 a n {\displaystyle a_{n}} 을 n 의 명시적인 식으로 나타내는 것을 말한다.
인접 2항간 점화식 [ 편집 ]
수열{a n } 이 점화식에 의해서 정의되고 점화식이 변수가 하나인 함수 f에 의해서
a n+1 = f(a n )
로 나타내지고 있을 때, 이 점화식은 인접 2항간의 점화식이라고 한다.
인접 2항간 선형 점화식 [ 편집 ]
인접 2항간 점화식중 f 가 일차식
a n+1 = p(n) · a n + q(n) (p, q는 n 의 함수)
일 때, 선형이라고 한다.
계수가 모두 상수인 경우 [ 편집 ]
계수 p, q가 상수인 2항간 점화식, 즉,
a n+1 = p · a n + q (p, q는 n 에 관계하지 않는 상수)
라면, 이 점화식은 다음과 같이 해서 등차수열 혹은 등비수열에 귀착되어 일반항 n 의 식으로 명시적으로 기술할 수 있다.：
p = 1 일 때, 점화식은 a n+1 = a n + q 이며, 이것은 등차수열을 나타낸다.
p ≠ 1 일 때, 점화식 a n+1 = p · a n + q 의 특성방정식이라 불리는 x = px + q 의 근을 α 라고 하면, 점화식은
a n+1 – α = p (a n – α)
으로 변형할 수 있다. 이것은 일반항이 b n = a n – α 로 정의되는 수열{b n } 이 공비가 p 인 등비수열이 된다는 뜻이 되며, b n 을 n 의 식으로 쓸 수 있다. 다시, a n = b n + α 이므로, 이것도 n 의 식으로 표현이 가능하다.
예 : 하노이의 탑 [ 편집 ]
유명한 하노이의 탑(Tower of Hanoi) 문제가 있다. n {\displaystyle n} 개의 원판을 이동하는 회수를 수열 a n {\displaystyle a_{n}} 으로 정의하자. n {\displaystyle n} 개의 원판을 이동시키기 위해서는 그 위쪽 n − 1 {\displaystyle n-1} 개의 원판을 다른 막대로 이동한 후, 맨 아래쪽 원판을 이동하고 다시 n − 1 {\displaystyle n-1} 개의 원판을 이동해야 하므로 다음과 같은 점화식이 성립함을 알 수 있다.
a n = 2 a n − 1 + 1 {\displaystyle a_{n}=2a_{n-1}+1}
선형 점화식이므로 간단하게 일반항이 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 임을 알 수 있다.
등차수열·등비수열의 점화식 [ 편집 ]
등차수열이나 등비수열은 인접 2항간 점화식의 매우 특수한 형태이며, 그 정의에 의해 매우 단순한 점화식을 가진다. 즉,
a n+1 = a n + d (d는 상수)
와 같이 된다. 이 등차수열의 점화식에서 상수 d가 공차(공통적인 차이)이다. 이 점화식을 풀면 일반항의 식은 a n = a 1 + (n – 1)d 이 된다. 마찬가지로
a n+1 = r · a n (r는 상수)
이 등비수열의ff,상수 r 이 공비(공통적인 비율)이다. 이 점화식을 풀면 a n = rn-1 · a 1 이란 일반항을 얻을 수 있다.
계수가 상수가 아닌 경우 [ 편집 ]
이러한 경우 적절한 변형을 통해 해결이 가능한 형태로 변형해주는 작업이 필요하다. 몇몇 특수한 경우에 풀이법이 잘 알려져 있다.
p(n) = 1 인 경우 [ 편집 ]
이 경우 계차수열(인접한 두 항의 차로 이루어진 수열)이 q ( n ) {\displaystyle q(n)} 이라는 일반항을 알고 있는 상태가 된다. 따라서 그 합을 구하면 즉시 일반항을 알 수 있게 된다. 점화식에 1부터 n까지 차례로 대입하여 다음 식들을 구성한다.
a 2 − a 1 = q ( 1 ) {\displaystyle a_{2}-a_{1}=q(1)} a 3 − a 2 = q ( 2 ) {\displaystyle a_{3}-a_{2}=q(2)} ⋮ {\displaystyle \vdots } a n − a n − 1 = q ( n − 1 ) {\displaystyle a_{n}-a_{n-1}=q(n-1)}
이므로 변변 모두 더하면 다음과 같은 일반항을 구할 수 있다.
a n = a 1 + ∑ k = 1 n − 1 q ( k ) {\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}q(k)}
q(n) = 0 인 경우 [ 편집 ]
이 경우 p ( n ) = 1 {\displaystyle p(n)=1} 인 경우와 마찬가지로 점화식에 1부터 n까지 차례로 대입하여 변변 곱하면 다음과 같은 일반항을 구할 수 있다.
a n = a 1 ∏ k = 1 n − 1 p ( k ) {\displaystyle a_{n}=a_{1}\prod _{k=1}^{n-1}p(k)}
p(n)만 상수인 경우 [ 편집 ]
a n + 1 = p a n + q ( n ) {\displaystyle a_{n+1}=pa_{n}+q(n)}
점화식이 위와 같은 경우 양변을 p n + 1 {\displaystyle p^{n+1}} 으로 나누면 다음과 같이 식을 바꿀 수 있다.
a n + 1 p n + 1 = a n p n + q ( n ) p n + 1 {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{p^{n+1}}}={\frac {a_{n}}{p^{n}}}+{\frac {q(n)}{p^{n+1}}}}
그러면 일반항이 a n p n {\displaystyle {\frac {a_{n}}{p^{n}}}} 인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다. 계차수열 q ( n ) p n + 1 {\displaystyle {\frac {q(n)}{p^{n+1}}}} 의 합을 이용하여 일반항을 구한다.
p(n) = (n+1)/n 인 경우 [ 편집 ]
n a n + 1 = ( n + 1 ) a n + q ( n ) {\displaystyle na_{n+1}=(n+1)a_{n}+q(n)}
점화식이 위와 같은 경우 양변을 n ( n + 1 ) {\displaystyle n(n+1)} 으로 나누면 일반항이 a n / n {\displaystyle a_{n}/n} 인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다.
p(n) = n 인 경우 [ 편집 ]
a n + 1 = n a n + q ( n ) {\displaystyle a_{n+1}=na_{n}+q(n)}
점화식이 위와 같은 경우 양변을 n ! {\displaystyle n!} 으로 나누면, 일반항이 a n / ( n − 1 ) ! {\displaystyle a_{n}/(n-1)!} 인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다.
인접 3항간 점화식 [ 편집 ]
수열 {a n } 이 점화식에 의해서 정해지며, 점화식이 2 변수 함수 f에 의해서
a n+2 = f(a n+1 , a n )
로 표현될 때, 이 점화식은 인접3항간의 점화식이라고 한다.
인접 3항간 선형 점화식 [ 편집 ]
인접 3항간 점화식 중 f 가 일차식
a n + 2 = p ( n ) a n + 1 + q ( n ) a n + r ( n ) {\displaystyle a_{n+2}=p(n)a_{n+1}+q(n)a_{n}+r(n)} p, q, r 은 n 의 함수）
일 경우 선형이라고 한다.
r(n) = 0 이고 계수가 모두 상수인 경우 [ 편집 ]
상수 계수 선형 인접 3항간 점화식이 다음과 같다고 하자.
a n + 2 = p a n + 1 + q a n {\displaystyle a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}} p, q는 n에 무관한 상수）
이 경우, 특성 방정식(characteristic equation) x2 = px + q 의 근을 이용해 풀 수 있다.
즉, 특성 방정식 x 2 = p x + q {\displaystyle x^{2}=px+q} 의 두 해를 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 라고 하면, 일반항이 a n = C 1 α n + C 2 β n {\displaystyle a_{n}=C_{1}\alpha ^{n}+C_{2}\beta ^{n}} 인 수열은 주어진 점화식을 만족하게 된다. 따라서 초항의 값에 따라 미정계수 C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},C_{2}} 를 결정하면 된다.
이차 방정식의 두 해가 중근이 될 경우 일반항을 a n = C 1 α n + C 2 n α n {\displaystyle a_{n}=C_{1}\alpha ^{n}+C_{2}n\alpha ^{n}} 로 두면 마찬가지로 주어진 점화식을 만족하게 된다. 이는 마치 상수계수만을 가진 2계도 선형 제차 미분방정식의 풀이를 연상하게 한다. (본질적으로 동일한 매커니즘이다.)
예 : 피보나치 수열 [ 편집 ]
피보나치 수(Fibonacci numbers)의 경우 초기값 F 1 = 1 , F 2 = 1 {\displaystyle F_{1}=1,F_{2}=1} 과 다음과 같은 선형 인접 3항간 점화식으로 정의되어 있다.
F n = F n − 1 + F n − 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}
이차 방정식 x 2 = x + 1 {\displaystyle x^{2}=x+1} 의 두 해는 1 + 5 2 , 1 − 5 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}} 이므로 초항의 값을 대입하면 다음과 같은 일반항을 얻는다.
F n = 1 5 { ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n } {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}}
계수가 상수가 아닌 경우 [ 편집 ]
계수가 상수가 아닌 경우에는 각각의 점화식에 따라 다양한 기법을 적용해야 한다. 양변을 적절한 수로 나누는 등의 시도를 해 볼 수 있다.
예 : 완전순열 [ 편집 ]
완전순열 혹은 교란순열(Derangement)이라 불리는 수열의 점화식은 다음과 같다.
d n = ( n − 1 ) ( d n − 1 + d n − 2 ) {\displaystyle d_{n}=(n-1)(d_{n-1}+d_{n-2})}
이 식은 다음과 같이 변형된다.
d n − n d n − 1 = − { d n − 1 − ( n − 1 ) d n − 2 } {\displaystyle d_{n}-nd_{n-1}=-\{d_{n-1}-(n-1)d_{n-2}\}}
그러므로 d n − n d n − 1 {\displaystyle d_{n}-nd_{n-1}} 을 새로운 수열 a n {\displaystyle a_{n}} 으로 정의하면, 다음과 같은 점화식이 된다.
a n = − a n − 1 {\displaystyle a_{n}=-a_{n-1}}
a n {\displaystyle a_{n}} 의 일반항은 즉시 나오므로 다음과 같이 인접 3항간 점화식이 인접 2항간 점화식으로 변형된다.
d n = n d n − 1 + ( − 1 ) n {\displaystyle d_{n}=nd_{n-1}+(-1)^{n}}
이 경우 위에서 다룬 인접 2항간 점화식에서 p(n) = n인 꼴이 된다. 양변을 n ! {\displaystyle n!} 으로 나누면, 일반항이 d n / ( n − 1 ) ! {\displaystyle d_{n}/(n-1)!} 인 수열의 일반항을 알 수 있고 이로써 d n {\displaystyle d_{n}} 의 일반항도 쉽게 유도된다.
p = – q – 1의 형태인 경우 [ 편집 ]
p = – q – 1인 경우는 특성방정식을 푸는 번거로운 과정없이 쉽게 답을 구할 수 있다. 점화식은 다음과 같이 변형된다.
a n + 2 − a n + 1 = − q ( a n + 1 − a n ) {\displaystyle a_{n+2}-a_{n+1}=-q(a_{n+1}-a_{n})}
그러므로 그 계차수열이 공비가 – q 인 등비수열임을 확인할 수 있다. 계차수열의 일반항을 구해 그것으로부터 즉시 a n {\displaystyle a_{n}} 의 일반항을 이끌어낼 수 있다.
상수계수의 선형 점화식 [ 편집 ]
점화식의 계수가 모두 상수인 선형 점화식
a n = c 1 a n − 1 + c 2 a n − 2 + ⋯ + c d a n − d {\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}+\cdots +c_{d}a_{n-d}}
의 경우 다음과 같은 특성 방정식의 해를 구하여 일반항을 구한다.
x d = c 1 x d − 1 + ⋯ + c d − 1 x 1 + c d {\displaystyle x^{d}=c_{1}x^{d-1}+\cdots +c_{d-1}x^{1}+c_{d}}
선형대수학을 이용한 해법 [ 편집 ]
다항 방정식을 이용한 풀이법도 있지만 선형대수학을 이용할 수도 있다. 다음과 같이 수열의 초기항을 고유기저(eigenbasis)로 표현했다고 하자.
[ a 0 ⋮ a d − 1 ] = b 1 v 1 + ⋯ + b d v d {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\\vdots \\a_{d-1}\end{bmatrix}}=b_{1}v_{1}+\cdots +b_{d}v_{d}}이 경우 조르당 표준형(Jordan normal form)을 이용하여 일반항을 구할 수 있다.
[ a n ⋮ a n + ( d − 1 ) ] = C n [ a 0 ⋮ a d − 1 ] = C n ( b 1 v 1 + ⋯ + b d v d ) = λ 1 n b 1 v 1 + ⋯ + λ d n b d v d {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{n}\\\vdots \\a_{n+(d-1)}\end{bmatrix}}=C^{n}{\begin{bmatrix}a_{0}\\\vdots \\a_{d-1}\end{bmatrix}}=C^{n}(b_{1}v_{1}+\cdots +b_{d}v_{d})=\lambda _{1}^{n}b_{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{d}^{n}b_{d}v_{d}}만약 행렬이 대각화(diagonalizable)되지 않으면 해법은 좀 더 복잡하게 된다.
예 : 피보나치 수의 선형대수학을 이용한 해법 [ 편집 ]
피보나치 수의 점화식을 행렬로 표현하면 다음과 같이 된다.
[ F n + 1 F n ] = [ 1 1 1 0 ] [ F n F n − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{bmatrix}}}그러므로 일반항은 다음과 같이 된다.
[ F n + 1 F n ] = [ 1 1 1 0 ] n − 1 [ F 2 F 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n-1}{\begin{bmatrix}F_{2}\\F_{1}\end{bmatrix}}}이 행렬은 다음과 같이 대각화 된다. 특성방정식의 x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-x-1=0} 의 두 해를 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 라고 두면, 이 두 값이 고윳값이므로
[ 1 1 1 0 ] = [ α β 1 1 ] [ α 0 0 β ] [ α β 1 1 ] − 1 {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha &0\\0&\beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\1&1\end{bmatrix}}^{-1}}그러므로 일반항은 다음과 같이 정리되며 다항방정식을 이용한 풀이와 동일한 일반항을 얻을 수 있다.
[ F n + 1 F n ] = [ 1 1 1 0 ] n − 1 [ F 2 F 1 ] = [ α β 1 1 ] [ α n − 1 0 0 β n − 1 ] [ α β 1 1 ] − 1 [ F 2 F 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n-1}{\begin{bmatrix}F_{2}\\F_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha ^{n-1}&0\\0&\beta ^{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}F_{2}\\F_{1}\end{bmatrix}}}Z 변환을 이용한 해법 [ 편집 ]
Z 변환 페이지 참조.
수열의 합을 포함하는 경우 [ 편집 ]
점화식 내에 그 수열의 합이 들어있는 경우, 적절한 변형을 하여 인접한 몇 개의 항을 포함하는 점화식으로 바꾸어 준다. 예를 들어,
a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n = f ( n ) a n {\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}=f(n)a_{n}}
점화식이 위와 같이 주어진 경우, 다음과 같이 인접 2항간의 점화식으로 변형한다.
f ( n − 1 ) a n − 1 + a n = f ( n ) a n {\displaystyle f(n-1)a_{n-1}+a_{n}=f(n)a_{n}}
수열 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 의 n {\displaystyle n} 째 항까지의 총합이 S n {\displaystyle S_{n}} 인 경우, S n − S n − 1 = a n {\displaystyle S_{n}-S_{n-1}=a_{n}} 임을 활용하여 인접 2항간의 점화식으로 변형가능한 것도 있다.
몇몇 간단한 비선형의 경우 [ 편집 ]
비선형의 경우 일반적인 풀이법은 없다. 그러나 몇몇 간단하게 해결되는 경우가 알려져 있다.
예1 : 역수에 주목 [ 편집 ]
p a n a n + 1 = q a n − r a n + 1 {\displaystyle pa_{n}a_{n+1}=qa_{n}-ra_{n+1}}
점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변을 a n a n + 1 {\displaystyle a_{n}a_{n+1}} 으로 나누면 수열 {1/ a n {\displaystyle a_{n}} }이 선형 점화식이 됨을 알 수 있다. 이 선형 점화식의 일반항을 구하여 해결한다.
예2 : 로그를 취하여 해결가능한 경우 [ 편집 ]
a n + 1 = 4 a n 2 {\displaystyle a_{n+1}=4a_{n}^{2}}
점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 log 2 a n + 1 = 2 log 2 a n + 2 {\displaystyle \log _{2}a_{n+1}=2\log _{2}a_{n}+2} 와 같이 변형되어 수열 { log a n } {\displaystyle \{\log a_{n}\}} 이 선형 점화식을 가짐을 알 수 있다. 따라서 선형 점화식을 풀면 쉽게 해결할 수 있다.
예3 : 점화식의 역수를 취해 해결가능한 경우 [ 편집 ]
a n + 1 = 2 a n a n + 2 {\displaystyle a_{n+1}={\frac {2a_{n}}{a_{n}+2}}}
점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변의 역수를 취하면 수열 {1/ a n {\displaystyle a_{n}} }이 선형 점화식을 가짐을 알 수 있다. 이 점화식을 풀면 쉽게 일반항을 구할 수 있다.
예4 : 십진법에 기초한 점화식 [ 편집 ]
십진법에 기초하여 정의된 수열의 경우 쉽게 일반항을 구할 수 있는 경우가 있다. 예를 들어, 4가 이전의 항에서 하나씩 늘어가는 방법으로 정의된 수열이 있다고 하자. 즉,
4, 44, 444, 4444, 44444, …..
이 경우 일반항은 다음과 같다.
4 9 ( 10 n − 1 ) {\displaystyle {\frac {4}{9}}(10^{n}-1)}
기수법이 다른 경우도 마찬가지 방법을 쓸 수 있다.
예5 : 주기형의 경우 [ 편집 ]
a n + 1 = − 1 a n + 1 , a n ≠ − 1 {\displaystyle a_{n+1}=-{\frac {1}{a_{n}+1}},\;a_{n}
eq -1}
점화식이 위와 같이 주어진 경우, n에 대한 식으로 표현하기 어렵다. 그러나 몇몇 값을 대입해보면 이 수열은 주기적으로 같은 값이 반복됨을 알 수 있다. 즉, a , − 1 a + 1 , − a + 1 a {\displaystyle a,-{\frac {1}{a+1}},-{\frac {a+1}{a}}} 이 세 수가 반복되어 나타난다.
생성함수를 이용한 해법 [ 편집 ]
생성함수(generating function)를 이용하여 수열의 일반항을 찾는 것이 가능한 경우가 있다.
예 1 [ 편집 ]
a 1 = 0 {\displaystyle a_{1}=0} 이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자.
a n + 1 = 2 a n + 1 {\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}+1}
이 수열을 계수로 갖는 다항식 A ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n x n {\displaystyle A(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}} 은 다음 등식을 만족해야 한다.
A ( x ) x = 2 A ( x ) + ∑ n = 1 ∞ x n = 2 A ( x ) + x 1 − x {\displaystyle {\frac {A(x)}{x}}=2A(x)+\sum _{n=1}^{\infty }x^{n}=2A(x)+{\frac {x}{1-x}}}
그러므로 A ( x ) {\displaystyle A(x)} 를 구할 수 있고 이를 다시 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다.
A ( x ) = x 2 ( 1 − x ) ( 1 − 2 x ) = x ( 1 1 − 2 x − 1 1 − x ) = ∑ ( 2 n − 1 − 1 ) x n {\displaystyle A(x)={\frac {x^{2}}{(1-x)(1-2x)}}={x}\left({\frac {1}{1-2x}}-{\frac {1}{1-x}}\right)=\sum (2^{n-1}-1)x^{n}}
예 2 [ 편집 ]
a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1} 이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자.
a n + 1 = 2 a n + n {\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}+n}
그런데 d d x ∑ x n = ∑ n x n − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sum x^{n}=\sum nx^{n-1}} 이라는 사실을 이용하여 ∑ n x n − 1 = d d x 1 1 − x = 1 ( 1 − x ) 2 {\displaystyle \sum nx^{n-1}={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}} 임을 알 수 있으므로, 이 수열을 계수로 갖는 다항식 A ( x ) {\displaystyle A(x)} 은 다음 등식을 만족해야 함을 알 수 있다.
A ( x ) − 1 x = 2 A ( x ) + x ( 1 − x ) 2 {\displaystyle {\frac {A(x)-1}{x}}=2A(x)+{\frac {x}{(1-x)^{2}}}}
마찬가지로 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다.
A ( x ) = 1 − 2 x + 2 x 2 ( 1 − x ) 2 ( 1 − 2 x ) = − 1 ( 1 − x ) 2 + 2 1 − 2 x = ∑ ( 2 n + 1 − n − 1 ) x n {\displaystyle A(x)={\frac {1-2x+2x^{2}}{(1-x)^{2}(1-2x)}}={\frac {-1}{(1-x)^{2}}}+{\frac {2}{1-2x}}=\sum (2^{n+1}-n-1)x^{n}}
예 3 : 피보나치 수열의 생성함수를 이용한 해법 [ 편집 ]
n {\displaystyle n} 번째 피보나치 수를 계수로 갖는 다항식 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 는 정의에 의해 다음을 만족해야 함을 즉시 알 수 있다.
F ( x ) − x x = F ( x ) + x F ( x ) {\displaystyle {\frac {F(x)-x}{x}}=F(x)+xF(x)}
그러므로 다음을 얻는다.
F ( x ) = x 1 − x − x 2 {\displaystyle F(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}
방정식 1 − x − x 2 = 0 {\displaystyle 1-x-x^{2}=0} 의 두 근을 r 1 , r 2 {\displaystyle r_{1},r_{2}} 라고 하면 다음과 같이 부분분수로 분해된다.
F ( x ) = 1 r 1 − r 2 ( 1 1 − x r 1 − 1 1 − x r 2 ) {\displaystyle F(x)={\frac {1}{r_{1}-r_{2}}}\left({\frac {1}{1-xr_{1}}}-{\frac {1}{1-xr_{2}}}\right)}
이것을 무한급수로 표현하면 일반항을 얻을 수 있다.
같이 보기 [ 편집 ]
수열의 점화식의 기초 해법과 특성방정식 이해하기
먼저 첫 번째 방법으로 표현된 일반항은 n의 값을 아는 순간 바로 n번째 항의 값을 알 수 있습니다. 이것이 흔히 우리가 등비수열과 관련된 문제를 풀 때 사용하는 식이죠.
문제는 두 번째 방법으로 표현된 일반항인데, 얘는 사실 n번째 항의 값을 구하려면 n-1번째 항의 값을 알아야 합니다. 그렇다면 n-1번째 항의 값을 알려면 또 n-2번째 항의 값을 알아야 합니다. 그렇게 쭉쭉쭉 나가다 보면, 첫 번째 항의 값을 알고 있다면 이로부터 두 번째 항의 값을, 그리고 세 번째, 네 번째, 그렇게 알아 나갈 수 있다는 것이죠.
점화식이 바로 두 번째 방법으로 표현된 식입니다. 즉 n 번째 항을 n-1 번째 항에 대해서 나타낸 것이죠. 물론 n-2, n-3 번째 항을 이용해도 좋고, n 번째 이하의 모든 항을 이용해도 상관없습니다. 이게 점화식입니다.
초기조건 제시에 관해서도 보충 설명을 조금 할게요.
등비수열의 점화식의 경우 첫째 항만 제시해 준다면 두 번째 항부터 모두 정의가 가능합니다. 그래서 이럴 때 초기조건은 첫째 항만 제시해 주면 됩니다.
그런데, 다음과 같은 수열의 경우(흔히 피보나치수열이라 부르죠!)
고등학교 수준일지도 모르는 점화식의 일반항
여러모로 이 챈에서 도움을 많이 받은 터라 뭔가 도움이 되고 싶어서 고등학교 때 도움이 될 만한(?)지는 잘 모르겠지만 일단 써봅니다.
이 내용은 당시 고등학생이었던 제가 취미 겸 시험공부삼아 잠깐 맛만 봤던 내용이기에 혹시 틀린 점 있으면 바로바로 알려주시면 감사하겠습니다. 사실 저도 이해 다 못했습니다.
선형점화식의 일반항이라고 하면 뭔가 있어보이지만 그냥
꼴의 점화식입니다. 대표적으로는 피보나치 수열(a_(n+2)=a_(n+1)+a_n)이 있습니다.
이런 꼴의 일반항을 어떻게 구하는지 막막한 경우가 있는데 간단한 예시를 통해서 한번 살펴보죠
위의 식이 선형점화식 형태로 나타나는 점화식 중에 하나, 밑의 식들은 규칙성이 있어보이게 이항한 식입니다. 셋 다 같은식이에요
이렇게 두면 각각 a_(n+1)-a_n, a_(n+1)-4a_n을 b_n으로 두고 푼다면 쉽게 등비수열의 점화식으로 보고 풀 수 있을 것 같아요, 그렇죠?
근데, 잘 보면 식 앞에 붙은 계수, 등비수열로 보고 풀었을 때 공비가 될 예정인 부분의 수들이
변형된 첫 번째 식은 4, 두 번째 식은 1입니다. 원래 식의 계수와 비교해보면 뭔가 규칙성이 있죠?
방정식 x^2-5x+4=0의 근이 1, 4 이듯이, 최초의 식을 등비수열 형태로 바꿀 때는 공비로 1, 4가 튀어나왔습니다.
그래서 이런 선형점화식 형태의 계수를 그대로 방정식으로 옮겨적은 걸 이 선형점화식의 특성을 나타내는 ‘특성방정식’이라 부릅니다
+사실 특성방정식이라는 개념은 이곳저곳에서 많이 튀어나옵니다. 여기서는 선형점화식을 설명중이니, 선형점화식의 특성방정식만 특성방정식이라 칭하겠습니다. 그리고 이 내용을 이해하는 데 딱히 필요한 개념도 아닙니다. 그냥 그런게 있다 정도로 알아두세요.
그럼 아까 식 다시 들고오겠습니다.
대충 이 두 식을 등비수열 일반항 구하듯이 구해보면 각각
b_n=b_1*4^(n-1), b_n=b_1*1^(n-1)
이 되는군요. 사실 두번째 식은 지금보니 별로 변화가 없네요. 공비를 괜히 1로 뒀어요.
이제 대충 규칙성은 찾은 것 같은데, 또 저 b_n을 처리하려니 골치가 아픕니다. b_n은 사실상 a_n에 관련된 두 항을 치환시켜 놓은 것이니까요. 저걸 풀어보면
a_(n+1) – a_n = b_1*4^(n-1), a_(n+1) – 4a_n = b_1 이렇게 두개의 a_n에 관련된 식이 나옵니다.
글쎄요, 아까보다 복잡해진 것 같기는 하지만 a_n의 항수는 줄었어요. 이제 한번만 더 줄이면 일반항이 나오겠는데…
모르겠다, 속는 셈 치고 복잡할 것 같지만 한번 더 줄여 보죠. 딱히 필요없는 내용이니 쭉쭉 넘겨도 좋습니다
둘의 식이 다르게 나오는 이유는, 구하는 과정에서 b_1, c_1의 값이 달라졌기 때문입니다
결과적으로 계수를 구해보면 두 식의 값이 같게 나오지만, 여기서 중요한 건 그게 아니라
결과물인 a_n의 일반항은 위에서 구한 두 등비급수들의 합으로 나타난다는 겁니다.
따라서 우리들은 위의 복잡한 과정을 진행할 필요없이, 위 식의 일반항을
a_n=k1*4^n+k2*1
라고 생각한 뒤, 그냥 a_1, a_2를 대입하여 연립방정식을 풀어내듯 k1, k2의 값을 찾으면 된다는 이야기입니다.
여기서는… 쉽게 a_1=5, a_2=17로 두기로 할까요. 그러면 k1,k2는 각각 1,1이 되어, 우리가 구하고자 하는 일반항이
a_n=4^n+1임을 쉽사리 구할 수 있습니다.
그러면 다음 방법을 통해 피보나치 수열의 일반항을 구해보겠습니다.
(첫째줄 a_n=1 은 오타입니다. a_1=1이라고 봐 주세요)
크게 복잡한 계산 없이 일반항을 구해낼 수 있습니다.
그리고 이 내용을 확장시키면, 인접 k+1차항 간의 점화식(a_n+k부터 a_n까지)의 일반항을
우리는 단순히 점화식의 특성방정식의 근을 이용하여 쉽게 구할 수 있습니다.
위 과정을 여러번 반복하여 각 근을 공비로 갖는 등비급수의 합을 취한 뒤,
k+1개의 주어진 값을 이용하여 각 등비급수들의 계수를 구하시면 됩니다.
*특성방정식이 중근을 가질 경우에는 중근에 조금 변형을 가하여 대입하여야 합니다. 이 부분은 제대로 이해하지 못했기에 여기에 서술하지는 않겠습니다
이 내용을 제대로 이해하고 싶어서 고등학교때도 한달간 붙잡아 봤고 심심풀이로 찾아보기도 하고 했는데 최근 다시보니까 관련 서술해두었던 글을 찾을 수가 없더라고요…
일단 이 과정이 실상 n차원 선형공간에서 점화식의 각 항들을 하나의 차원으로 두고 문제를 풀기 시작하는 것이고,
특성방정식을 이용하여 근을 찾아내는 것은 선형공간에서의 특수해를 하나 찾아 특수해의 1차원과 나머지 n-1차원으로 분리시키는 것이며,
이를 행렬을 통해서 살펴보면 정사각 행렬의 대각화, 블록화와도 연관이 있다고 했었던 것 같은데… 오래되어서 기억이 가물가물 합니다.
사실 이 내용을 몰라도 이해는 가능하지만 그냥 넘어가려니 뭔가 좀 찝찝하네요… 선형점화식 일반항 구하는 과정은 마침 제 교육과정에서는 빠졌던 때라 어떨지는 모르겠는데, 알아두면 쓸모 있을지도 모릅니다(?)
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