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[수학상] 점과점사이 거리공식 내분점 외분점 공식 – My Style
점과 점사이 거리공식은 피타고라스 정리를 이용하여 나타낼 수 있습니다. · 내분점은 가운데가 + 입니다 비례식 내항곱과 외항곱이 같음을 이용해서 풀면 …
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Date Published: 9/26/2022
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수학 공식 | 고등학교 > 내분점과 외분점 – MATH FACTORY
수직선 위의 선분의 내분점과 외분점 수직선 위의 두 점 $ {A}(x_1) $, $ {B}(x_2) $에 대하여 선분 $ {AB} $를 $ m:n $ ($ m>0 $, $ n>0 $)으로 내분 …
Source: www.mathfactory.net
Date Published: 10/13/2021
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- Date Published: 2016. 1. 26.
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내분점과 외분점 (개념+공식+수학문제)
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| 수직선 위의 내분점과 외분점
수직선 위의 선분을 이루는 두 점을 기준으로 거리가 m:n의 비를 가질 때,
선분 안에 있다면 내분점
선분 밖에 있다면 외분점이라고 부릅니다.
(1) 내분점
선분 AB를 내분하는 내분점 P에 대하여
점 P는 선분 AB 안에 있고,
(선분 AP의 길이):(선분 BP의 길이) = m:n을 만족합니다.
이 때 점 P의 좌표는
입니다.
예) 점 A(-3), 점 B(5)를 1:3으로 내분하는 점 P의 좌표는
{(-3)×3 + 5×1}÷(1+3)
= (-4)÷4
= -1
따라서 점 P의 좌표는 P(-1)
(2) 외분점
선분 AB를 외분하는 점 P에 대하여
점 P는 선분 AB 밖에 있습니다.
선분 위에 위치한 내분점과는 다른 특징을 보입니다.
하지만
(선분 AP의 길이):(선분 BP의 길이) = m:n을 만족한다는 점은
공통점입니다.
이 때 외분점 P의 좌표는
로, 내분점 공식에서 덧셈기호(+)를 뺄셈기호(-)로 바꾼 모습입니다.
예) 점 A(1), 점 B(7)을 2:5로 외분하는 점 P의 좌표는
{(2×7)-(5×1)}÷(2-5)
=(14-5)÷(-3)
=9÷(-3)
=-3
따라서 점 P의 좌표는 P(-3)
| 좌표평면 위의 내분점과 외분점
좌표평면 위의 내분점과 외분점은 수직선의 것과 같은 방법으로 구합니다.
다만 좌표평면은 두 축을 갖기 때문에
x좌표와 y좌표를 각각 구해야 합니다.
좌표평면 위의 내분점
좌표평면 위의 외분점
예)
좌표평면 위의 점 A(4, -1), B(0,9)를 이은 선분 AB를 1:3으로 외분하는 점 P의 좌표는
i) x좌표 : {(1×0)-(3×4)}÷(1-3)
=(-12)÷(-2)
=6
ii) y좌표 : {(1×9)-(3×(-1))}÷(1-3)
=12÷(-2)
=-6
따라서 점 P의 좌표는 P(6,-6)
| 학습지 미리보기
| 첨부파일
2020SP H1-21.pdf 0.13MB
| 닫는 말
내분점과 외분점은 수직선이나 좌표평면에서 선분을 통해 좌표를 구할 때 필요한 개념입니다.
공식이 복잡한 편이기 때문에 무엇을 이야기하고 있는지 숙지한 후,
내분점과 외분점의 좌표를 구해봅시다.
이번 학습지는 좌표평면 위의 선분을 내분 또는 외분하는 점의 좌표를 구하는 문제
20문항으로 준비했습니다.
x좌표와 y좌표를 차례대로 구한 후,
내분점과 외분점을 찾아봅시다.
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[수1 이론]내분점과 외분점
01.내분점과 외분점을 시작하며…
내분점과 외분점에 대해서 기본적인 내용에 대해서 알아보고 관련된 간단한 예제를 통해서 적용해보도록 하겠습니다. 도형의 방정식에서 배우는 가장 기본적인 이론이고 도형과 관련해서 다양하게 활용이 되기 때문에 공식은 반드시 기억을 해두셔야 합니다.
열심히 수학을 공부하는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 합니다.
[수학상] 점과점사이 거리공식 내분점 외분점 공식
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점과 점사이 거리공식은 피타고라스 정리를 이용하여
나타낼 수 있습니다.
두점을 서로 빼면 가로의 길이가 나오고 y점 두개를 빼면 세로길이가 나옵니다.
그림과 같이 수직이므로 피타고라스 정리를 이용하면
빗변의 길이를 구할 수 있습니다.
내분점은 가운데가 + 입니다
비례식 내항곱과 외항곱이 같음을 이용해서 풀면 됩니다.
외분점도 마찬가지로 비례식을 이용하여 나타낼 수 있습니다. m과 n의 크기에 따라 A좌표에 왼쪽이나 B좌표에 오른쪽에 나타날수 있습니다.
공식은 같으니 한가지 경우로만 공식을 나타냈습니다.
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수학 공식 | 고등학교 > 내분점과 외분점
수직선 위의 두 점 $ {A}(x_1) $, $ {B}(x_2) $에 대하여
1. 내분점
$ {A}(x_1) $, $ {B}(x_2) $, $ x_1 < x_2 $일 때 선분 $ {AB} $를 $ m:n $ ($ m>0 $, $ n>0 $)으로 내분하는 점을 $ P(x) $라 하자.
$ \overline{AP}=x-x_1 $, $ \overline{PB}=x_2-x $이므로, 점 $ P $의 좌표는
\begin{align*}
(x-x_1):(x_2-x)=m:n \ \ \ \therefore \ \ x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}
\end{align*}
같은 방법으로 하면 $ x_1 > x_2 $일 때도 결과는 같다.
2. 외분점
$ {A}(x_1) $, $ {B}(x_2) $, $ x_1 < x_2 $일 때 선분 $ {AB} $를 $ m:n $ ($ m>0 $, $ n>0 $, $ m
eq n $)으로 외분하는 점을 $ {Q}(x) $라 하자.
$ m > n $일 때 $ \overline{AQ}=x-x_1 $, $ \overline{BQ}=x-x_2 $이므로, 점 $ {Q} $의 좌표는
\begin{align*}
(x-x_1):(x-x_2)=m:n \ \ \ \therefore \ \ x=\frac{mx_2-nx_1}{m-n}
\end{align*}
$ m < n $일 때 $ \overline{AQ}=x_1-x $, $ \overline{BQ}=x_2-x $이므로, 점 $ {Q} $의 좌표는 \begin{align*} (x_1-x):(x_2-x)=m:n \ \ \ \therefore \ \ x=\frac{mx_2-nx_1}{m-n} \end{align*} 같은 방법으로 하면 $ x_1 > x_2 $일 때도 결과는 같다.
3. 중점
내분점에서 $ m=n $일 때의 점 $ {P} $를 선분 $ {AB} $의 중점이라고 한다.
\begin{align*}
x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}=\frac{mx_2+mx_1}{m+m} = \frac{x_1+x_2}{2}
\end{align*}
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