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나이퀴스트 선도는 s평면의 우반면 전체를 사상하는 것이므로 s평면에서 그 경로를 살펴보면, 의 경로로 사상하는 것입니다. 즉, 우반부 전체를 포함해 회전하는 것입니다.
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안녕하세요 제어조교입니다.
오늘은 나이퀴스트 선도라 무엇인지
나이퀴스트 판별법으로부터
이득여유와 위상여유의 개념이 나오게 된 것이고
보드플롯에서 어떤 의미로 정의가 된 것인지
설명드렸습니다.
나름 체계적으로 설명을 하려고 했는데
다시 보니 횡설수설하네요.
질문을 댓글로 달아주시면 꼭 답변드리겠습니다.
감사합니다.
제어 조교 올림
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나이퀴스트 선도 – [정보통신기술용어해설]
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주제에 대한 기사 평가 나이 퀴 스트 선도
- Author: 제어조교 〈Ctrl튜브〉
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- Date Published: 2020. 8. 12.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=pySmWN8nF-A
[제어공학] 11-2. 제어계의 안정도(나이퀴스트 안정도 판별법)
– 나이퀴스트 안정도 판별법
지난 포스팅에 이어 제어계의 안정도를 판별하는 나이퀴스트 안정도 판별법에 대해 알아보도록 하겠습니다. 먼저, 나이퀴스트 안정도는 제어계의 안정도 중 상대 안정도를 판별하는 방법이었습니다. 상대 안정도란 다시 말하면,
– 상대 안정도
말 그대로 안정하다면 얼마나 안정한지를 나타내는 안정도입니다. 이를 알기 위해 지난번 주파수 함수와 벡터 궤적에 대해 살펴보았는데, 그때 나온 주파수 이득과 위상이 안정하다면 얼마나 안정한지 나타내게 됩니다.
즉, 이런 상대안정도를 나타내는 나이퀴스트 안정도는 제어계의 크기와 위상의 계산을 통해 얼마나 안정한지를 보여주게 됩니다. 이를 위해서 나이퀴스트 선도를 그려야하고, 이는 개루프 전달함수의 극좌표 사상을 통해 그릴 수 있습니다.
사상에 대해 잘 모르시더라도 지난번 보드선도를 그리며 이득 여유와 위상 여유에 대해 이해하셨다면 나이퀴스트 안정도의 개념에 대해서는 이해하실 수 있을거라 생각합니다.
그러니 먼저 나이퀴스트 안정도에 대해 살펴보고 이 사상에 대한 자세한 내용은 이후 다뤄보도록 하겠습니다.
먼저, 안정도를 판별하기 위해서는 자연스럽게 특성방정식이 떠오르셨을 겁니다. 따라서 표준 Feed-back 제어계의 특성방정식을 가져오도록 하겠습니다.
이 특성방정식은 복소수 s에 대한 함수였고, 정리를 하면 다음과 같이 나타낼 수 있었습니다.
위와 같이 표현한다면, 특성방정식을 0으로 만드는 영점인 z1, z2, … ,zn은 특성근이라는 사실을 알고 있고, 특성방정식을 무한대로 만드는 p1, p2, p3, … ,pn은 특성방정식의 극점입니다.
여기서 다시 표준 Feed-back제어계의 전체 전달함수를 다시 보도록 하겠습니다.
이제 조금 햇갈릴 수 있는데, 전체 전달함수의 극점은 1+G(s)H(s)=0인 특성방정식의 근이고, 이 특성근은 특성방정식의 영점이라는 것입니다. 그리고 특성방정식의 분모를 전체 전달함수의 분모, 분자에 모두 곱해주게 된다면, 전체 전달함수의 영점은 특성방정식의 극점이 되겠죠.
여기까지 우리가 알고 있는 사실을 다시 정리해 보면,
1) 전체 전달함수 T(s)의 극점이 우반면에 존재하면 제어계는 불안정합니다.
2) T(s)의 극점은 1+G(s)H(s)의 영점입니다.
3) 이로부터 1+G(s)H(s)의 영점이 우반면에 존재하면 제어계는 불안정합니다.
4) T(s)의 영점은 개루프 전달함수 G(s)H(s)의 극점이자, 1+G(s)H(s)의 극점입니다.
그러므로 1+G(s)H(s)를 우반면 전체로 사상하여 이 사상된 평면으로부터 1+G(s)H(s)의 영점(T(s)의 극점)이 우반면에 존재하는지 살펴보는 것입니다.
그럼 사상에 대해서 한번 살펴보도록 하겠습니다.
1) F(s)의 사상
사상의 개념 자체는 간단합니다. 함수값은 변수에 의해 변화합니다. 이런 변수의 변화에 의한 함수값을 표현한 것을 사상이라고 합니다. 만약 F(s)=s-z1이고, z1은 실수축 위에 존재한다고 가정하겠습니다. 우리가 계속 사용하는 이 복소수 s는 본래 다음과 같은 형태였습니다.
사상이라는 것은 이 s의 변화에 대해 F(s)값의 변화를 그리는 것이라 하였습니다. 따라서, 변수 s에 대한 그래프는 s평면에 그려질 것이고, 이로부터 사상된 값은 F(s)평면에 그려지게 됩니다.
그럼 위의 F(s)의 영점인 z1의 주변을 둘러싸는 경로를 따라 변화하는 F(s)값은 어떻게 나타나는지 즉, F(s)의 영점을 포함하는 경로를 사상하면 다음과 같습니다.
이렇게 s평면에서 정의된 어떤 s값이 z1을 포함하는 경로를 따라 시계방향으로 회전하게 될 때, F(s)평면으로 사상하게 되면, 위와 같이 F(s)평면에서 원점을 중심으로하는 경로를 따라 한 바퀴 회전하는 경로로 나타나게 됩니다.
만약 s평면 우반부에 영점이 2개 존재하여, 이 두개의 영점을 모두 포함하여 둘러싸는 경로로 사상하게 되면 어떻게 될까요? 결론부터 말씀드리면, F(s)평면에서 2회전을 하게 됩니다. 자세한 내용을 다루기 전엔 일단 이 정도만 기억하고 나이퀴스트 선도에 대해 살펴보도록 하겠습니다.
지금까지 살펴본 바에 의하면 s평면의 우반부에 F(s)의 영점(T(s)의 극점)이 존재하여 이 F(s)의 영점을 포함하는 어떤 경로로 F(s)평면에 사상하게 되면 F(s)평면에는 원점을 포함하는 경로로 나타나게 된다는 것을 알았습니다.
그러나 우리가 궁극적으로 궁금한 것은 안정도의 판별이고, 이 안정도를 판별하는 중요한 기준은 T(s)의 극점이 좌반면에 존재해야 한다는 것이며, 이는 F(s)의 영점이 좌반면에 존재해야 한다는 것입니다.
따라서 나이퀴스트 선도란 이 s평면의 우반면 전체를 F(s)평면에 사상했을 때 만약 우반면에 F(s)의 영점이 존재한다면 그 경로는 원점을 포함하는 경로로 나타날 것이고, 영점이 존재하지 않는다면 그렇지 않다는 것입니다. 즉,
(1) 나이퀴스트 선도가 원점을 포함한다 : 불안정
(2) 나이퀴스트 선도가 원점을 포함하지 않는다 : 안정
이라는 사실을 알 수 있는 것입니다. 따라서 안정도 판별법에 대해 다시 살펴보도록 하겠습니다.
2) 나이퀴스트 안정도 판별법
다음과 같은 특성방정식을 살펴보도록 하겠습니다.
나이퀴스트 선도는 s평면의 우반면 전체를 사상하는 것이므로 s평면에서 그 경로를 살펴보면,
의 경로로 사상하는 것입니다. 즉, 우반부 전체를 포함해 회전하는 것입니다. 그렇다면 결국, F(s)평면상에 우리가 그리고 싶은 그림은 F(s)의 변수인 s의 실수부가 0일 때, jw가가 음의 무한대에서 0, 0에서 무한대로 이동하고, 이후 크기는 무한대인 반원을 그리는 경로를 따라 움직이는 F(s)값들입니다.
그런데 우리는 이미 이러한 그림을 그리는 것에 대해 경험을 해 보았습니다. 바로 벡터궤적이었습니다.
벡터 궤적 또한, 어떤 s함수에 jw를 대입해 그 크기와 위상을 계산하고 w의 변화에 따른 궤적을 그린 것이었습니다. 따라서 벡터 궤적을 공부하며 살펴보았던 전달함수 하나를 가져오도록 하겠습니다.
우리는 이런 전달함수의 벡터 궤적을 그려보아 다음과 같다는 것을 알고 있습니다.
그런데 이 궤적은 우리가 양의 무한대인 영역에서만 살펴본 궤적이었습니다. 아래의 영역이죠.
따라서 음의 무한대까지 영역을 확장하게 된다면, 그 값들은 실수축에 대해 대칭인 형태로 나타나게 될 것입니다.
그러나 우리가 궁금한건 F(s)=1+G(s)H(s)로 이 모든 값들에 대해 1이 추가된 값입니다. 간단하게 원래의 전달함수의 s에 0과 무한대를 대입해보면, 시작점과 끝점이 각각 K+1, 1이 된다는 사실을 알 수 있습니다. 따라서 구하고자 하는 나이퀴스트 선도는 다음과 같습니다.
따라서 벡터궤적을 잘 이해하셨다면 그림을 그리는 것 자체는 크게 어려움은 없으실거라 생각합니다. 이를 통해 알 수 있는 것은 만약 저러한 형태로 나와 원점을 끼고 회전을 하지 않는다면 우반부에 F(s)의 특성근이 없었던 것이므로 이 제어계는 안정하다는 사실을 알 수 있습니다.
3) 간이화 나이퀴스트 안정도 판별법
위의 나이퀴스트 선도를 작성하는 것 처럼 F(s)=1+G(s)H(s)가 아닌 개루프 전달함수 G(s)H(s)의 주파수 응답을 이용해 나이퀴스트 선도를 그리고 그로부터 안정도를 판별하는 방법을 간이화 나이퀴스트 안정도 판별법이라고 합니다.
이 간이화 나이퀴스트 안정도 판별법에서 주의할 점은 개루프 전달함수를 이용하기 때문에(특성방정식 F(s)=1+G(s)H(s)의 1이 없음) 안정도 판별의 기준이 원점이 아니라 (-1, j0)이 된다는 점입니다.
그럼 간이화 나이퀴스트 선도를 그리기 위해 어떤 G(s)H(s)가 있고, 이를 주파수 전달함수 G(jw)H(jw)로 바꿔 아래와 같은 나이퀴스트 선도를 그렸다고 가정하겠습니다.
<간이화 나이퀴스트 안정도 판별법>
양의 무한대 영역에서 그림을 위와 같다면, 음의 무한대 영역에서는 실수축 대칭이므로 한 영역에서만 그림을 그려보았습니다. 이렇게 위와 같이 그림이 그려졌을 때, 우리가 알고 있는 사실을 한 번 정리해보겠습니다.
(1) G(jw)H(jw)를 그렸으므로 안정도 판별의 기준은 (-1, j0)이다.
(2) Q가 -1보다 크다면(그래프가 (-1, j0)을 포함하지 않는다면), 이 제어계는 안정하다.
(3) Q가 (-1, j0)이라면, 이 제어계는 임계 안정이다.
(4) Q가 -1보다 작다면(그래프가 (-1, j0)을 포함한다면), 이 제어계는 불안정하다.
그럼 (2), (3), (4)의 경우를 그래프로 다시 그려보면,
위와 같이 나타낼 수 있습니다.
여기서 Q점은 위상교차점, P점은 이득교차점이라고 합니다. 여기까지는 쉽게 이해할 수 있는 사실들입니다. 그러나 나이퀴스트 안정도 판별법은 상대안정도를 판별하는 것이고, 안정하다면 얼마나 안정한지까지 알 수 있습니다.
그림을 보면, 나이퀴스트 선도가 왼쪽으로 점점 벌어지며 Q점이 -1이 되면 임계안정하고 그 이상으로 넘어가면 불안정해 집니다. 따라서 위의 제어계는 OQ의 길이가 1이 되기까지의 여유분이 있는 것입니다. 바로 이 크기의 여유분을 이득 여유라고 합니다.
다시 말하면, 이득 여유는 G(jw)H(jw)가 음의 실수축과 만나는 점(허수부=0)이며 계산된 개루프 주파수 전달함수 크기의 역수를 말합니다.
<이득 여유>
위상의 관점에서 보면, 현재 이 안정한 제어계가 임계안정해지려면 P점이 점점 올라가 -1에 도달해야 할 것입니다. 즉, P점에서의 위상 θ가 점점 커지며 180도가 되면 이 제어계는 임계안정하고 그 이상이 된다면 불안정해집니다. 이 위상 차이를 위상 여유라고 합니다.
다시 말하면, 위상 여유는 G(jw)H(jw)의 크기가 1인 점과 음의 실수축 간에 형성되는 사이각입니다.
<위상 여유>
그렇다면 이득여유는 개루프 주파수 전달함수의 허수부를 0으로 만드는 w를 찾아 위 식에 대입하고, 위상여유는 개루프 주파수 전달함수의 크기가 1이되는 w를 찾아 위상각을 구하면 간단하게 찾을 수 있습니다.
2.시스템을 해석 하기 -Nyquist diagram (나이퀴스트 선도) 1편
음… 지난번 포스팅까지 보드선도를 그리는 법에 대해서 알아보았습니다.
이제, 나이퀴스트 선도 라는 것을 그릴 수 있게되면,
나이퀴스트 선도를 통하여 시스템의 안정도를 판별할 수 있습니다.
또한 나이퀴스트 선도를 통하여 시스템의 안정도를 판별하는 것을 보드선도의 개념으로 확장하면,
시스템이 안정한 범위의 위상과 크기까지도 알 수 있게 됩니다.
그럼 우선 나이퀴스트 선도를 그리는 법과 의미를 한 번 알아볼까요?
이 나이퀴스트 선도는 기본적으로, 개루프 전달함수의 극좌표 사상(Mapping)입니다.(사상에 대해서는 뒤에설명)
그래서 그냥 어떻게 그리는지 부터 결과만 말하자면,
우반평면에 해당하는 s값에 따라서 개루프 전달함수를 복소평면에 그리면 나이퀴스트 선도가 완성됩니다.
자, 이제 왜 우반평면에 해당하는 s값을 사상하는지, 나이퀴스트선도는 어떤의미를 갖는지부터 알아봅시다.
우선적으로, 시스템이 안정하려면 어떠한 특성을 가져야 하는지를 알아야 합니다.
여태껏 제가 극점과 영점을 정의 하지 않았네요?
극점과 영점부터 정의 하겠습니다.
0으로 만드는 s가 영점. 무한대로 만드는 s가 극점입니다. 분자의 해가 영점, 분모의 해가 극점이라는 이야기죵.
그렇다면, 출력/입력, 즉 전체전달함수(피드백시스템이라면 폐루프 전달함수가 되겠죠?)를 T(s) 라고 합시다.
그러면, T(s)의 극점이 복소평면의 우반면에 있으면 어떻게 될까요?
t가 무한대로 갈 때, 이 적분이 수렴, 즉 f(무한대) 가 어떤 값으로 나오면 시스템은 안정합니다.
여기서, s가 극점이라면, F(s)는 무한대의 크기를 가집니다.
따라서, s의 실수부는 음수여야 e의 지수부에서 무한대의 감쇄를 일으켜서 값을 얻을 수 있게 됩니다.
그러므로 s가 폐루프전달함수의 극점이면서, 이것의 실수부가 양수이면 불안정하다는 이야기입니다.
실수부가 양수이면, 복소평면에서 이 s 는 허수축을 기준으로 우측, 즉 우반면에 위치할 것입니다.
따라서, 정보 1) 폐루프전달함수의 극점이 우반면에 존재하면 시스템은 불안정하다.
나이퀴스트 선도는 개루프전달함수의 사상입니다.
그리고 나이퀴스트 선도를 통해 안정도를 판별할 수 있습니다.
그렇다면 유추할 수 있죠? ㅇㅏ. 개루프 전달함수와 폐루프 전달함수의 극점의 위치에 뭔가 연관이 있나보다…. 그렇져?
그렇다면, 개루프 전달함수의 극점, 영점과 폐루프 전달함수의 극점간에 어떤 관계가 있는지 살펴봅시다.
저~~~~번 포스팅에서, 피드백 시스템의 폐루프전달함수에 대해 유도하였습니다.
따라서, – 피드백이라고 생각하면,
간단합니다. T(s)의 극점은 T(s)의 분모의 해 라고 했습니다.
따라서 1+G(s)H(s)의 해가 T(s)의 극점입니다.
따라서 이 1+G(s)H(s) 의 해를 구하였을때, 실수부가 양수가 나오면 시스템은 불안정할 것입니다.
따라서, 정보 2) 1+G(s)H(s) 의 영점이 곧 T(s)의 극점이다.
여기까지는 인정? 무조건 인정하셔야하는 부분이구여
또한, 1+G(s)H(s)의 분모는 G(s)H(s)의 분모, 즉, 개루프 전달함수의 분모와 같습니다.
따라서 이 분모를 T(s)의 분자, 분모에 곱하여주면, 정보 3) T(s)의 영점은 G(s)H(s)의 극점과 같다.
라는 정보를 얻을 수가 있습니다.
이제 정리해보자면,
1. 폐루프 전달함수 T(s)의 극점이 우반면에 존재하는 경우 시스템은 불안정.
2. T(s)의 극점은 1+G(s)H(s)의 영점
3. 따라서 1+G(s)H(s)의 영점이 (즉, 해가) 우반면에 존재하게되면 시스템은 불안정하다.
4. T(s)의 영점은 G(s)H(s) 의 극점과 같고, 1+G(s)H(s)의 극점과도 같다.
따라서 우리는, 우반면 전체를 둘러싸는 경로로 1+G(s)H(s)를 사상한 다음,
그 정보를 바탕으로 1+G(s)H(s)의 영점(즉 T(s)의 극점이)이 우반 평면에 존재하는지를 알아볼 것입니다.
이제 사상에 대해 설명해보겠습니다.
어떤 값을 어떤 함수에 넣으면 값이 나올 것입니다.
그럼 어떤 값의 변화에 따라서, 그 함수의 값이 변화하겠죠?
그 변수 값의 변화에 따른 함수 값을 그리는 것이 사상(Mapping)입니다.
그렇다면, 어떤 복소수 s값에 따라서, 어떤 함수 F(s)의 복소수값을 복소평면에 그리는 것이 우리가 할 사상입니다.
그러면, F(s)의 영점이 x라고 하면, 이 x를 둘러싸는 s값의 경로를 따라서, 변화하는 F(s)를 그리면 어떻게될까요?
한마디로, F(s)의 영점을 포함하는 경로를 사상하면 어떻게 될까요? 한번 그려볼까요?
그림에서, z1을 포함하는 경로를 시계방향으로 돌면서 사상하였습니다.
그림과 같이, 사상한 결과는 원점을 한바퀴 둘러싸게 되는데, 그림을 보면서 의미를 잘 생각 해야합니다.
A점은 허수부가 없고 실수부가 z1보다 작으므로, s-z1의 값은 음의 실수부와 0의 허수부를 가진다.
따라서 우측과같이 A’ 점이 사상되는 것이고, 마찬가지 원리로 모든 경로에 대해 사상한 것이 됩니다.
그렇다면, 1/(s-p1) 의 함수를 p1 을 둘러써는 시계방향 경로로 사상하면 어떻게 될까요?
이것은 원점을 반시계방향으로 둘러싸는 경로로 사상이 될 것입니다. 직접 한번 해보시기 바랍니다.
한마디로, F(s)의 극점을 포함하는 시계방향경로로 사상하면, 원점을 반시계방향으로 한번 감싸게 됩니다.
그런데, 이러한 함수가 복잡한 형태, 즉, (s-z1)(s-z2)…./(s-p1)(s-p2)…. 와 같은 함수의 사상은,
직접 값을 여러번 대입해서 계산을 통해 하는 것보다, 극좌표형식의 벡터해석으로써 구하는 것이 편-안 해집니다.
아래에 수식과 함께 설명해 보겠습니다.
위의 수식의 의미를 잘 이해해보시기 바랍니다. 또한 아래 그림과 함께 이해해주셨으면 좋겠습니다.
그림을 잘그려놨으니 이해하기 쉽죠? 벡터해석에 의한 사상방법입니다.
자, 이제 s+z1 의 어떤 s 점에 대한 사상한 값은 어떻게 될까요?
s+z1의 근, 즉 -z1으로부터 어떤 점 s 까지의 거리를 크기로, 양의 실수축과의 각도를 각도로 가지는 극좌표 표현이 됩니다.
극좌표 끼리의 곱셈, 나눗셈은, 크기는 곱셈, 나눗셈 그대로, 각도는 덧셈, 뺄셈이 되죠?
따라서, 더 쉽게 사상할 수 있습니다.
연습삼아서, F(s) = 1/(s-2)(s-3) 의 함수를 s=2,3 을 포함하는 경로, 즉 우반면전체의 경로로 사상하여 볼까요?
또한, A점에서 B점으로 가는 경로를 따라서 사상하게되면, 2,3의 극점으로부터의 각도기여는 각각 -90도로 감소하게 된다.
(실수부 크기는 2,3인 것에비해 허수부 크기는 무한대이므로)
또한, B점에서의 크기는 F(s) 1/(무한대*무한대) 이므로, 0에 한없이 가깝게 된다.(아주 작은 크기를 가진다.
따라서 B점은 -180도의 각도로 원점과 아주 가까워지게 된다.
여기서 다시, B점에서 s가 무한대의 크기를 가지고 C점으로 가게되면,
크기는 마찬가지로 아주 작은 값이되며, 각 극점의 각도기여는 각각 0도로 감소한다.
다시 C점에서 D점으로 가게되면,
크기는 마찬가지로 아주 작은 값이고, 각 극점의 각도기여는 각각 90도로 증가. 따라서 작은크기와 180도의 위상을 가진다.
D점에서 다시 A점으로 오게되면, 각 극점의 각도기여는 각각 180도로 증가. 크기는 다시 1/6, +360도, 즉 0도의 위상을 가진다.
그림으로 그려보자.
원점 근처에서는 보다시피, B’점에서 아주작은 크기를 가지고 -180도의 각도, C’점에서 아주작은 크기로 0도
D’점에서 다시 +180도의 각도로 아주 작은 크기를 가지게 된다. 따라서 전체적인 그림으로 보면,
원점을 반시계방향으로 2번 감싸게 된다. 정말 쉽죠?
정리하자면, 어떤 함수를 사상할 때,
그 함수의 영점을 포함하는 경로로 사상하면 원점을 시계방향으로 일주,
극점을 포함하는 경로 사상하면 원점을 반시계방향으로 일주합니다.
또한 영점을 두개 포함하는 경로로 사상하면 시계방향으로 두번 일주,
극점을 두개 포함하는 경로로 사상하면 반시계방향으로 두번 일주합니다.
그래서, 여기서부터 중요합니다!!! 우리는 우반면에 T(s)의 극점이 있는지 없는지를 알아보고 싶은 것입니다.
T(s)의 극점 은 1+G(s)H(s)의 영점입니다. 따라서, s를 우반면 전체를 둘러사는 경로로 사상하는경우,
만약에 우반면에 T(s)의 극점이 1개 있다면->1+G(s)H(s)의 영점이 우반면에 존재->원점을 시계방향으로 한바퀴 감싼다.
만약에 우반면에 T(s)의 영점이 1개 있다면->1+G(s)H(s)의 극점이 우반면에 존재->원점을 반시계방향으로 한바퀴 감싼다
만약에 우반면에 T(s)의 영점과 극점이 같은 수가 존재한다면:
우반면 전체를 우반면 전체를 둘러싸는 경로로 1+G(s)H(s) 를 사상하여도 원점을 감싸지 않는 경로가 사상될 것입니다.
만약에 우반면에 T(s)의 영점이 극점보다 x개만큼 더 많이 존재한다면: 1+G(s)H(s)의 극점이 영점보다 x개 많다.
1+G(s)H(s)의 극점이 영점보다 x개 많으므로, 사상하면 원점을 반시계방향으로 x번 감싸는 경로가 사상될 것입니다.
우리는 우반면의 T(s) 극점의 수는 일일히 계산을 해보지 않고서는 알수가 없습니다.
1+G(s)H(s)의 해이기 때문에, 이것의 분모를 곱하여서 그 해를 찾아야 하기 때문입니다.
그래서 우리가 우반면의 T(s)의 극점이 있는지 없는지 알아보기위해 이 짓을 하고 있는 것 아니겠습니까?
그렇지만 위에 적어둔 경우들을 보면, 우반면의 T(s)의 극점의 수를 사상된 결과와 알고있는 정보들을 통해 알 수 있죠? 보다시피,
원점을 반시계방향으로 감싸는 횟수 = 우반면의 T(s) 영점 갯수-우반면의 T(s)의 극점 갯수입니다.
그리고 우리는 우반면의 영점의 수는 알 수 있습니다. T(s)의 영점은 곧, G(s)H(s)의 극점과 같기때문입니다.(글 초반부에 언급했죠?)
따라서, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
원점을 반시계방향으로 감싸는 횟수 = 우반면의 T(s) 영점 갯수-우반면의 T(s)의 극점 갯수
-> 우반면의 T(s)의 극점 갯수 = 우반면의 G(s)H(s)의 극점 갯수 – 원점을 반시계방향으로 감싸는 횟수
그런데, 우리가 1+G(s)H(s)를 전개하여 사상하려면 복잡하겠죠?
따라서 1+G(s)H(s)를 사상하는대신에, 형태를 알고 있는 G(s)H(s), 즉 개루프전달함수만을 사상하면,
1+G(s)H(s)에 비해 좌측으로 1만큼 이동한, 즉 -1만큼 평행이동된 사상결과가 나올 것입니다.
그렇다면, 1+G(s)H(s)가 원점을 감싸는 것은 G(s)H(s) 가 -1을 감싸는 것과 의미가 같게 되겠죠?
따라서 우리는 이제, 우반면의 T(s)의 극점 갯수를 Z
우반면의 G(s)H(s)의 극점 갯수를 P
-1 을 반시계방향으로 감싸는 횟수를 N 이라고 하겠습니다.
그렇다면, Z = P-N 으로 쓸 수 있고, 이 Z값이 0이어야, 우반면에 극점이 존재하지 않고, 따라서 안정하다는 이야기가 됩니다.
정말 간단하죠???
안정도를 알기위해서는,
1. G(s)H(s)를 우반평면을 감싸는 시계방향 경로를 통하여 복소평면에 사상한다.
2. G(s)H(s)의 극점의 갯수 P와, 사상된 결과가 -1을 반시계방향으로 감싸는 횟수 N을 알 수있다.
3. 따라서 Z = P – N 에서, 우반평면에 존재하는 T(s)의 극점 Z의 갯수를 알 수 있다.
4. 우반평면에 T(s)의 극점이 존재하면 시스템은 불안정하다.
여기까지 입니다.
이제 Nyquist plot 이 어떤의미를 가지는지 잘 아셨을것이라 생각합니다.
이제 다음 포스팅에서는, 더 자세히 여러가지 시스템에 대해 나이퀴스트 선도를 그려보고, 안정도를 판단해보겠습니다.
(고전제어이론) 20.Nyquist stability criterion
절대 안정도 : 어떠한 제어계가 안정인지 불안정인지를 알 수 있다.
상대 안정도 : 안정하다면 어느정도 안정하고, 불안정 하다면 어느정도 불안정 한지 알 수 있다.
나이퀴스트 안정도 판별법은 상대 안정도에 해당한다.
즉, 특성방정식의 근 들, F(s) = 1+G(s)H(s) = 0 이 (영점들이) 복소 평면상에서 우반부에
존재 하는가 존재 하지 않는가를 벡터 궤적을 통해 판별하는 방법이다.
위 그림에서 특성방정식 F(s)를 우항과 같이 풀어 적어 보면, [1]을 0으로 만드는 근이 F(s) 극점,
[2]를 0으로 만드는 근이 F(s)의 영점이 될 텐데 여기서 전체 특성방정식 F(s)를 0으로 만들기위해서는 [2]의 식을 0으로 만들어야 하기 때문에 F(s)의 영점이 특성 근이 된다.
다시 설명 하면, 먼저 [1] 에서의 극점들은 모두 좌반부에 존재 한다고 가정하고,
[2] 에서의 해는 특성방정식 F(s)의 영점이 되지만 실제로 특성 근은 전체 전달함수의분모를 0 으로(1+G(s)H(s)=0) 만드는 근이기 때문에 [2] 에서의 해가 곧 “특성 근”이 된다.
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Nyquist 선도는 시스템의 주파수 응답의 파라 플롯이다.
나이 퀴 스트 플롯은 전기 공학 및 제어 이론에서 사용된다.
이 응용 프로그램은 = 0, ω = ∞ ω에 대한 전달 함수의 값을 보여줍니다.
응용 프로그램은 또한 (10) 가장 최근에 사용 된 전달 함수의 역사를 포함하고 있습니다. 복잡한 전달 함수 경우 당신이 그들을 다시 입력 할 필요가 없습니다.
어떤 광고가 없습니다.
업데이트 날짜 2017. 12. 20.
주파수 응답의 나이퀴스트 플롯
예제
nyquist( sys ) 는 동적 시스템 모델인 sys 의 주파수 응답의 나이퀴스트 플롯을 만듭니다. 플롯에는 시스템 응답의 실수부와 허수부가 주파수의 함수로 표시됩니다.
nyquist 는 양수 주파수와 음수 주파수로 구성된 등고선을 플로팅합니다. 또한 플롯에는 각 분기에 대한 주파수의 증가 방향을 나타내는 화살표도 표시됩니다. nyquist 는 시스템 동특성을 기반으로 플로팅할 주파수를 자동으로 정합니다.
sys 가 MIMO(다중 입력 다중 출력) 모델인 경우 nyquist 는 여러 나이퀴스트 플롯의 배열을 생성하며 각각의 플롯은 I/O 쌍 하나의 주파수 응답을 보여줍니다.
키워드에 대한 정보 나이 퀴 스트 선도
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