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#디지털 #오디오 #Sampling #Alias #Nyquist #디지털이론
디지털 오디오 4편 기초이론에 부수적으로 알아두시면 좋은 내용입니다.
디지털 오디오 3편 내에서 다루지 못하고 지나갔던 내용이 여기에 있습니다.
샘플레이트에 의한 소리 차이를 설명드리고
Nyquist이론이 무엇인지
Anti-Aliasing FIlter가 무엇이면 왜 사용하는지
에 대한 설명입니다.
디지털 이론 1,2,3편에서 설명 안했던 내용이 여기에 담겨져 있습니다.
조금은 더 전문적인 내용을 되어있기 때문에 디지털 이론 1,2,3편을 보시고 거기서 설명이 안되고 지나온 내용을 여기서 확인하시기 바랍니다.
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나이퀴스트 이론(Nyquist frequency)
나이퀴스트 이론이란, 신호는 그 신호에 포함된 가장 높은 진동수의 2배에 해당하는 빈도로 일정한 간격으로 샘플링하면 원래의 신호로 복원할 수 있다는 …
Source: ralasun.github.io
Date Published: 4/29/2021
View: 9594
나이퀴스트 이론, 샘플링 레이트 – 네이버 블로그
샘플링 정리라고도하는 나이퀴스트 정리 (Nyquist Theorem)는 아날로그 신호의 디지털화를 따르는 원리입니다 . 아날로그 신호를 디지털 변환 (ADC)시에 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 8/27/2021
View: 4640
나이퀴스트 이론, 주파수 – 편하게 보는 전자공학 블로그 – 티스토리
나이퀴스트 이론, 주파수는 무엇인가? 우선 샘플링이 무엇인가를 알아야합니다. 샘플링을 알아보기 위해서 아날로그 데이터를 디지털화 시키는 과정을 …
Source: kkhipp.tistory.com
Date Published: 5/8/2022
View: 956
나이퀴스트 이론 (Nyquist Theorem) – GOATLAB
나이퀴스트 이론이란, 신호는 그 신호에 포함된 가장 높은 진동수의 2배에 해당하는 빈도로 일정한 간격으로 샘플링하면 원래의 신호로 복원할 수 있다는 …
Source: goatlab.tistory.com
Date Published: 10/16/2022
View: 3152
[ Embedded ] 05. Sampling Rate와 나이퀴스트이론
소리는 공기 중의 떨림이다. · 그 공기 중의 미세한 움직임을 우리의 귀는 우리의 뇌가 이해할 수 있는 형태로 바꿔주는 것이다. · 즉, 하나의 형태의 요소 …
Source: coder-in-war.tistory.com
Date Published: 11/8/2022
View: 2227
[디지털오디오] 표본화(Sampling) – 나이키스트(Nyquist) 이론
Nyquist-Shannon Sampling theorem. 스웨덴 출신의 미국 전기통신 공학자인 나이키스트 (Harry Nyquist)가 나이퀴스트 표본화 정리 이론을 내놓았다.
Source: suyeon96.tistory.com
Date Published: 6/30/2022
View: 9936
에일리어싱(Aliasing)과 나이퀴스트(Nyquist) 이론 – MoonNote
나이퀴스트 이론(Nyquist Theorem) 또는 나이퀴스트-샤넌 정리(Nyquist-Shannon Theorem)라고 부릅니다. 한 문장으로 정의해보면 “샘플링하려는 원신호의 …
Source: moonnote.tistory.com
Date Published: 6/10/2021
View: 7093
드론 – 센서 샘플링 이론, 나이퀴스트 이론 – 개발자비행일지
이 질문에 대한 해답을 sampling theorem에서 구할 수 있다. 이런 샘플링 이론에서 흔히 나이퀴스트 이론, 주파수를 말하며, 이는 샘플링 주파수는 최대 …
Source: cyber0946.tistory.com
Date Published: 10/22/2021
View: 9677
FFT에 대한 몇 가지 사항을 정리해 보겠습니다. – NTi Audio
해리 나이퀴스트(Harry Nyquist)는 아날로그 신호 샘플링의 기본 규칙을 발견 했습니다. 샘플링 주파수는 신호의 최고 주파수의 두 배 이상이어야 합니다.
Source: www.nti-audio.com
Date Published: 5/17/2022
View: 4917
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주제에 대한 기사 평가 나이키 스트 이론
- Author: 김도헌 대림대교수 Previsions
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- Date Published: 최초 공개: 2019. 2. 10.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=aY42-xCsoRE
나이퀴스트 이론, 샘플링 레이트
위 그림과 같이 사람의 가청 주파수 대역은 20Hz ~ 20KHz(20000Hz)입니다.
만약 전화기를 통해 지원할 수 있는 최대 주파수는 4KHz 이라면, 샘플링 이론을 적용하여 최대 주파수의 두 배 이상을 적용하면 8KHz, 즉 초당 8000번 이상 샘플링 한다면 다시 복원했을 때 완벽하게 복원할 수 있게 됩니다.
나이퀴스트(Nyquist) 정리(이론)이란?
모든 신호는 그 신호에 포함된 가장 높은 진동수의 2배에 해당하는 빈도로 일정한 간격으로 샘플링하면 원래의 신호를 완벽하게 기록할 수 있다고 합니다.
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샘플링 정리라고도하는 나이퀴스트 정리 (Nyquist Theorem)는 아날로그 신호의 디지털화를 따르는 원리입니다 . 아날로그 신호를 디지털 변환 (ADC)시에 신호를 충실하게 재생 하려면 아날로그 파형의 샘플(Sample)을 을 필요로 합니다. 이때 취득하는 초당 샘플 수를 샘플링 속도(Rate) 또는 샘플링 주파수라고합니다.
모든 아날로그 신호는 다양한 주파수들로 구성됩니다. 가장 간단한 경우는 모든 신호 에너지가 한 주파수에 집중되어 있는 사인파 입니다. 실제로, 아날로그 신호에는 일반적으로 여러 주파수의 구성 요소가있는 복잡한 모습입니다. 이때 아날로그 신호에서 가장 높은 주파수 성분 이 해당 신호의 대역폭 을 결정합니다. 다른 모든 요소가 일정하게 유지되면 주파수가 높을수록 대역폭이 커집니다.
주어진 아날로그 신호에 대한 최고 주파수 성분(Hz)이 f max 라고 가정하고
나이퀴스트 정리 (Nyquist Theorem)에 따르면 샘플링 속도는 최소 2 f max or 가장 높은 아날로그 주파수 성분의 두 배 여야 합니다.
아날로그-디지털 변환기의 샘플링은 펄스 발생기(clock)에 의해 작동됩니다. 샘플링 속도가 2 f max 미만인 경우 아날로그 입력 신호에서 일부 최고 주파수 성분이 디지털 출력에 올바르게 표시되지 않습니다. 그러한 디지털 신호가 디지털-아날로그 변환기에 의해 다시 아날로그 형태로 변환될 때, 원래 아날로그 신호에 없었던 잘못된 주파수 성분이 나타납니다. 이 바람직하지 않은 현상을 앨리어싱이라고 부릅니다.
———————————————
출처: https://blog.naver.com/wyepark/221012896754
아날로그 신호를 디지털 데이터로 변환하려면 샘플링이라는 과정을 거치게 됩니다.
편하게 보는 전자공학 블로그
나이퀴스트 이론, 주파수는 무엇인가?
우선 샘플링이 무엇인가를 알아야합니다.
샘플링을 알아보기 위해서 아날로그 데이터를 디지털화 시키는 과정을 알아보겠습니다.
우리 주변의 데이터는 모두 아날로그 데이터입니다.
이 신호를 컴퓨터가 처리할 수 있게 디지털화 시켜줘야합니다.
그리고 아날로그로 데이터를 통신하면 변조의 위험이 많기 때문에 데이터 무손실의 장점을 가진 디지털화 시켜 데이터를 통신합니다.
이 Analog to Digital Conversion 과정은 크게 표본화(Sampling), 양자화(Quantization), 부호화(Coding) 과정을 거칩니다.
위 과정이 샘플링 과정입니다. 원래의 신호에 일정한 간격으로 샘플링을 하는 것입니다.
이제 샘플링을 했으면 그 데이터의 값들을 디지털화 시켜줘야합니다.
이 데이터를 y축 기준으로 몇 단계를 나누는 과정이 양자화 과정입니다.
데이터의 값의 범위를 보고 몇 단계로 데이터를 나눌지 정합니다. 이게 양자화 레벨 수가 됩니다.
그리고 이렇게 몇 단계로 나누게 되면 데이터 값과 양자화된 값이 딱 떨어지지 않는데요. 이 차이가 양자화 오차입니다.
양자화 오차의 최대값은 양자화 계단 크기의 절반입니다.
부호화는 간단히 말하면 양자화한 데이터에 이진법의 수를 부여하는 것입니다.
4단계로 나누었으면 간단하게 (00), (01), (10), (11) 이렇게 수를 부여할 수 있죠.
이제 본격적으로 나이퀴스트 정리를 알아보겠습니다.
샘플링 주파수는 입력 신호 최고 주파수의 2배 이상이 되어야 한다는 정리입니다.
이 조건을 만족해야 원 신호로 다시 충실히 복원할 수 있습니다.
만약 샘플링 주파수가 입력 신호 주파수의 2배보다 낮다면 Aliasing 현상이 일어납니다.
Aliasing 현상을 주파수 대역에서 분석한 그림입니다.
Aliasing 대책은 크게 두가지로 볼 수 있습니다.
첫번째는 LPF를 사용하는 것입니다.
Aliasing이 일어난 그림을 보시면 fm부근 고주파 대역에서 일어나는데 이부분을 그냥 LPF로 버리고 샘플링하는 것입니다.
두번째는 샘플링 주파수를 늘리는 것입니다.
나이퀴스트 이론 (Nyquist Theorem)
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나이퀴스트 이론 (Nyquist Theorem)
나이퀴스트 이론이란, 신호는 그 신호에 포함된 가장 높은 진동수의 2배에 해당하는 빈도로 일정한 간격으로 샘플링하면 원래의 신호로 복원할 수 있다는 샘플링 이론이다.
사람의 가청 주파수 대역은 20Hz ~ 20KHz이다.
만약 전화기를 통해 지원할 수 있는 최대 주파수는 4KHz 이라면, 샘플링 이론을 적용하여 최대 주파수의 두 배 이상을 적용하면 8KHz, 즉 초당 8000번 이상 샘플링 한다면 다시 복원했을 때 완벽하게 복원할 수 있게 된다.
일반적인 신호는 아날로그 신호인데, 컴퓨터가 처리할 수 있으려면 디지털 신호로 바꿔줘야 한다. 그런데, 이 디지털 신호로 바꿔주는 과정에서 신호의 손실이 없어야 일반적인 신호와 가까운 신호로 얻을 수 있다. 아날로그 신호를 디지털화 하는 과정을 ADC (Analog to Digital Convertion)라 한다. 아날로그 신호를 디지털 데이터로 변환하려면 샘플링이라는 과정을 거치게 된다.
A/D 컨버터에서 샘플링된 디지털 신호는 디지털 데이터 형태로 저장이 된다. 이 과정에서 양자화 (Quantization)가 이루어진다. 샘플링된 신호를 양자화를 시킨다. 양자화란 여러 단계로 나뉜 범위안에서 샘플링된 신호에 가까운 범위를 대표하는 정수값으로 바꾸는 것이다.
오디오 CD의 경우 16비트로 양자화되기 때문에, 신호 레벨은 216=65536 레벨로 구분된다. -32768 ~ 0 ~ +32767의 65536개의 양자화 레벨이다. 양자화 레벨은 간단히 해상도로 생각하면 된다.
정수로 바뀌는 과정에서 나오는 오차가 양자화 오차이다. 즉, 아날로그 신호와의 오차를 양자화 오차 (Quantization Error)라고 한다. 오디오 파일이 재생될 때 D/A 컨버터에서는 디지털 데이터를 다시 아날로그 신호로 변환하게 된다. 그리고 필터를 통과하면 원래의 아날로그 신호로 복원된다. 양자화 오차를 무시하고 샘플링 이론이 만족되면, 완벽하게 오리지널 신호가 복원된다.
양자화 오차 때문에 신호를 복원했을 때, 우리는 기존 아날로그 신호와는 차이가 존재하는 신호를 얻게된다. 그렇다면, 신호를 복원했을 때 기존 아날로그 신호의 유실 없이 복원되기 위해서는 얼마만큼 신호를 샘플링하기 위한 것이 나이퀴스트 주파수이다.
샘플링 이론 (sampling theorem)에 따르면, 그 신호가 포함하고 있는 가장 빠른 주파수의 2배이상으로 샘플링해야 한다. 이것이 바로 나이퀴스트 주파수이다.
언더 샘플링은 불균형한 데이터 셋에서 높은 비율을 차지하던 클래스의 데이터 수를 줄임으로써 데이터 불균형을 해소하는 아이디어이다. 하지만 이 방법은 학습에 사용되는 전체 데이터 수를 급격하게 감소시켜 오히려 성능이 떨어질 수 있다.
오버 샘플링은 낮은 비율 클래스의 데이터 수를 늘림으로써 데이터 불균형을 해소하는 아이디어이다. 이 방법이 가능하다면 언더 샘플링보다 훨씬 좋은 해결책이 될 수 있지만, 존재하지 않은 데이터를 어떻게 생성하느냐이다.
undersampling된 신호를 아날로그 신호로 다시 복원했을 때, 기존 신호와 많이 다른 것을 볼 수 있고, nyquist frequency로 샘플링된 신호를 아날로그 신호로 다시 복원하면 기존 신호와 유사함을 확인할 수 있다.
https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=guburi&logNo=221369911121
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[ Embedded ] 05. Sampling Rate와 나이퀴스트이론
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Sampling Rate
소리는 공기 중의 떨림이다.
그 공기 중의 미세한 움직임을 우리의 귀는 우리의 뇌가 이해할 수 있는 형태로 바꿔주는 것이다.
즉, 하나의 형태의 요소가 다른 형태로 바뀌는 것이다.
마찬가지로 우리가 소리를 디지털화 시키기 위해선, 연속적인 아날로그 소리를 컴퓨터가 이해할 수 있는 디지털 언어로 바꿔주어야 한다. 이 과정에서 바로 Sampling 이 등장하게 된다.
`샘플링 레이트(Sampling rate)` : 1초에 몇개의 샘플을 추출할 것인지 `Bit Depth` : 한 개의 샘플이 얼마만큼의 크기를 가지는지
=> 잘개 쪼갤 수록 부드러운 곡선이 된다.
=> Sampling rate가 높을 수록 아날로그와 유사한 디지털 값(고음질)을 얻을 수 있다.
나이퀴스트 이론과 기본적인 샘플링
스웨덴 출신의 미국에서 거주하던 엔지니어인 Harold Nyquist 는 1918년부터 1924년까지 여러가지 연구를 하던 중, 1928년 세상에 처음으로 소리의 디지털 샘플링 이론을 내놓게 된다. 수학에 기반을 한 그 이론은 테스트 해볼 수 없는 당시의 현실적 여건에 부딪혀 증명을 하지 못하다가 20년이 지난 1948년 Claude E Sahnnon에 의하여 수학적 증명을 받게 된다. 그리고 우리는 그 이론을 나이퀴스트 이론 혹은 섀년/나이퀴스트 이론 이라고 부른다. -> 우리가 샘플(sample)하려는 소리의 가장 높은 주파수 보다(Highgst frequency) 2배 이상의 샘플링 속도(Sampling Rate)를 사용하면 정확하게 소리를 다시 만들어 낼 수 있다.(아날로그에서 디지털로, 디지털에서 아날로그로)
즉 우리가 만약에 1kHz 주파수를 녹음하고 싶다면 최소 2kHz Sampling Rate를 사용해야 한다는 것.
사람의 가청 주파수는 20Hz부터 20kHz까지이다. 최소한 인체학적으로 귀를 통하여 들을 수 있는 소리의 가청 주파수이다. 즉, 사람이 듣기 위한 소리를 녹음하기 위해서는 40kHz sampling rate 이상을 사용하면 된다.
그러면 여기서 질문!
44.1kHz , 48kHz , 88.2kHz , 96kHz 등 여러 다른 샘플링 수치는 무엇이냐?
샘플링을 “쪼개는 것”이라고 설명하는 것을 참 많이 볼 수 있따. 즉 44.1kHz는 1초에 44100번 소리르 조갠다는 것.
그렇다면 1초에 44100번 쪼개는 게 이득일까 아니면 96000번 쪼개는게 이득일까? 어느쪽이 원본에 더 가깝게 소리를 재탄생시킬까? 당연히 96000이겟죠?
다시 44.1kHz로 돌아와 보겠다.
1Hz의 진동 주파수가 있다고 생각해보자. 1Hz란 1초에 진동을 1번 한다는 뜻이다.
1000Hz진동주파수가 있다. 1초에 1000번 진동한다는 뜻이다.
만약에 Sampling Rate 이 1초에 44100번 “쪼개는” 것이라면 1Hz를 더 많이 쪼갤까 1000Hz를 더 많이 쪼갤까
1초라는 시간안에 1000Hz보다 1Hz가 진동이 더 작으니 1Hz를 훨씬 많이 쪼개게 되겠죠.
그러면 1Hz가 1000Hz보다 더 원본에 가깝게 표현이 될 것이다. 왜냐면 1초에 44100번 쪼개니, 1Hz는 44100번 쪼갤 수 있고 1000Hz는 44.1번밖에 못 쪼개기때문.
하지만 다행이도, “쪼갠다”라는 표현은 틀린 것이다.
적어도 나이퀴스트 이론에는 맞지 않다.
나이퀴스트 이론을 다시 보자면
“우리가 샘플 하려는 소리의 가장 높은 주파수보다 2배 이상의 샘플링 속도를 사용하면 정확하게 소리를 다시 만들어낼 수 있다”
즉, 몇번을 쪼개냐가 아니라 2배 이상이면 정확하게 다시 소리를 만들어 낼 수 있는 것이다.
1Hz와 1000Hz 둘 다 정확하게 말이다.
그러니 만약에 누군가가 “나는 가청 주파수 안의 소리를 더 정확하게 담고 싶어서 높은 Sampling Rate를 선호해”라고 한다면 틀린 말이 될것이다.
우리의 가청 주파수는 20kHz까지라고 했다. 그리고 40kHz의 sampling rate이면 가청 주파수 이내의 모든 소리를 담을 수 있다.
그런데 왜? 디지털 미디엄의 시작인 CD는 44.1kHz 일까? 40kHz여야하는 것이 아닐까?(20kHz * 2)
나이퀴스트의 이론이 적용되기 위해선 우리가 샘플 하려는 소리가 Band-limited 되야 한다.
무슨말이냐면, 세상에는 우리가 듣지 못하는 소리도 있다.(가청 주파수 위/아래).
즉, 우리가 듣지 못할 뿐이지공기 중의 소리는 존재한다. 우리가 녹음하려는 가청 주파수 안의 소리를 샘플하기 위해선, 우리가 샘플 하려는 주파수보다 높은 주파수들은 샘플하지 않아야 한다.
그러기 위해서는 Anti-Aliasing Filter 라는 쉽게 알해서는 Low-Pass-Filter 를 걸어 주어야 한다.
왜냐면 우리가 샘플을 하기 위해선 샘플 하려는 신호보다 2배 빠르게 샘플해야 하는데 너무 높은 주파수들이 샘플되기 시작하면 Aliasing 이 시작되기 때문이다.
그 말은 원래 존재하지 않던 소리들이 생겨나면서 소리가 정확하지 않게 되는 것이다. ( 소리에 에러가 생기기 시작한 것! )
이것 때문에 우리가 정한 Sampling Rate 이상의 소리는 아예 차단해버리는 Anti-Aliasing Filter 를 만들어야 한다. 그러나 우리가 생각하는 것처럼 이상적인 필터(Brick Wall Filter)는 만들기가 힘이 든다.
그래서 천천히 줄어드는 필터를 만들게 되고 그 필터의 특성상 22 0.5Hz까지 뻗어나가게 되기 때문에 44.1kHz 라는 Sampling-Rate 이 CD에 채택된 것이다.
44.1kHz, 충분한가?
높은 Sampling Rate 가 낮은 , 주로 44.1kHz 보다 좋다, 아니다 라는 논쟁은 수십년동안 지속되고 있다.
나이퀴스트 이론은 어디까지나 이론이다. 그것을 완벽하게 현실화 하기 위해서는 이론을 뒷받침할 기술이 필요하다.
1983년도에야 되서 제대로 된 디지털 44.1kHz, 16bit 기술이 나온걸 감안하면 아주 오랜 시간이 걸렸다. 거대한 마케팅에 비해 현실적으론 문제 투성이었고 많은 사람들에게 거부감을 심어주었다.
– 그렇다면 도대체 그 문제는 무엇이었는가?
클락의 부정확함 바로 digital clock 을 이야기 한다. 정확하지 않은 클럭은 Jitter 가 많이 발생하며 그것은 고주파의 distortion 과 비슷한 왜곡된 소리를 내어 준다. 16 bit 16bit. 대부분의 컨버터가 24bit 인 지금 16bit 밖에 수용할 수 없던 기술은 높은 Signal to noise ratio , quantization erro 등 많은 문제가 있었다.
인 지금 밖에 수용할 수 없던 기술은 높은 , 등 많은 문제가 있었다. “무조건 크게 녹음해야 한다”라는 녹음 기술이 이때 나오게 된것 아날로그 필터의 문제 이것이 우리가 깊게 파볼 부분이다.
나이퀴스트 이론을 실행하기 위해선 우리가 샘플링하고자 하는 가장 높은 주파수의 두 배 이상은 sampling rate 를 성정해야 하며, 그 신호는 band-limited 즉, 필터를 사용하여 원하는 주파수 이상의 소리가 들어오지 않도록 차단해주어야 한다. 우리가 마이크로 소리를 녹음할 때, 마이크를 통하여 전달되는 소리가 디지털로 샘플링되기 전에 아날로그 필터( Low-Pass )를 거쳐야 한다는 뜻이다.
그러면 이렇게 생각할 수 있겠다. *”20Hz부터 20kHz까지만 샘플링 할 예정이니 20kHz에 로패스필터를 걸어져면 되겠네? 끝!”* 아쉽게도 아날로그 필터는 이렇게 간단하지 않다.
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[디지털오디오] 표본화(Sampling) – 나이키스트(Nyquist) 이론
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표본화 (Sampling)
표본화(Sampling)란 연속 신호를 이산 신호로 변환하는 것이다.
즉, 연속된 시간 또는 공간에서 일정한 주기(간격)로 표본 값을 추출하는 것을 의미한다.
오디오 신호의 경우, 연속된 아날로그 파형의 시간축을 샘플링하여 디지털 신호로 변환한다.
이때 1초 동안의 샘플링 횟수를 나타내는 수치를 Sampling Rate 라고하며, Hz 단위를 사용한다.
(20Hz는 초당 20개의 샘플을 가진다는 뜻이다.)
Under Sampling vs Over Sampling
Sampling Rate가 높을수록 아날로그 신호에 가깝게 디지털화할 수 있을 것이다.
그러나, 이에 비례하여 디지털 데이터의 크기 또한 커질 것이다.
그렇다고 Sampling Rate를 줄이면, 데이터의 품질이 떨어질 것이다.
또한 고주파 성분끼리의 간섭이 일어나 에일리어스 신호(Aliased signal)가 발생할 가능성도 있다.
우리는 가장 적절한 Sampling Rate로 샘플링을 진행하여야 한다.
Nyquist-Shannon Sampling theorem
스웨덴 출신의 미국 전기통신 공학자인 나이키스트 (Harry Nyquist)가 나이퀴스트 표본화 정리 이론을 내놓았다.
신호를 주파수 영역으로 표현했을 때 가장 빠른 주파수 성분을 fmax(fm)라고 한다면, 신호 내에 있는 유효한 정보를 디지털로 모두 표현하기 위해서는 적어도 fmax의 2배 이상으로 샘플링해야 한다.
즉, 가장 빠른 주파수의 2배 이상으로 샘플링해야 한다는 것이다.
샤논(Claude Shannon)은 나이키스트의 이론을 확장하여 Sampling Rate가 Nyquist Samping Rate 이상(fs ≥ 2fm)일 때 에일리어싱(Aliasing)이 생기지 않는다는 것을 정리하였다.
실생활에서 이를 적용한 예를 찾아보자.
전화 음성의 주파수 대역은 약 0.3 ~ 3.4kHz이다.
따라서 전화 음성의 Sampling Rate는 3.4kHz의 2배 이상인 8kHz로 채택되어 사용된다.
또한, 사람의 가청 주파수 대역은 약 20Hz ~ 20kHz이다.
따라서 오디오 CD의 경우, Sampling Rate를 가청 최대 주파수의 2배 이상인 44.1kHz로 채택하였다.
사실 40kHz 이상이면 되지만 44.1kHz로 채택된 흥미로운 이유가 있다.
과거엔 디스크 드라이브의 용량이 적어 장시간 오디오 데이터를 저장하기 힘들었고, 마그네틱 테이프에 영상 파형을 만들어 오디오 샘플을 저장하였다.
마그네틱 테이프에는 주사선을 이용하여 영상을 기록하며, 세계적으로 NTSC(Natijonal Television System Committe)와 PAL(Phase Alternation by Line), SECAM(Sequential Color and Memory) 규격을 표준으로 사용한다.
NTSC의 경우 60Hz에 30fps이며 프레임당 525개의 주사선을 가진다.
PAL과 SECAM의 경우 50Hz에 25fps이며 프레임당 625개의 주사선을 가진다.
따라서 두개의 표준을 모두 호환하기 위해 44100이라는 숫자가 나왔다고 한다.
– 60 * 245 * 3 = 44100
– 50 * 294 * 3 = 44100
(참고 : http://www.cs.columbia.edu/~hgs/audio/44.1.html)
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에일리어싱(Aliasing)과 나이퀴스트(Nyquist) 이론
에일리어싱(Aliasing)이란,
에일리어싱(Aliasing)이란 표본화(Sampling)하는 과정에서 원신호를 정상적으로 복원하지 못하고 “일그러짐”이 발생하는 것을 말합니다. 즉, 신호의 왜곡이 발생하는 것이죠. 계단 현상이라고 부르기도하는데 일반적인 처리법으로 안티-에일리어싱(Anti-Aliasing)이 있습니다. 말그대로 에일리어싱을 해결하기 위한(Anti-) 기술인데 아래 그림처럼 가장자리 색의 값과 배경색의 값을 산출한 뒤 나누어서 중간색을 만들고 계단의 사이사이 픽셀을 메우는 방법입니다.
에일리어싱(Aliasing)과 안티-에일리어싱(Anti-Aliasing), 출처 : 나무위키
안티-에일리어싱 관련 이미지(좌 : 적용안됨, 우 적용됨), 출처 : 나무위키
본문에서는 따로 안티-에일리어싱에 대해서는 자세히 다루지 않으니 궁금하신 분들은 검색을 통해 한번 관련 글을 읽어보시기 바랍니다. 데이터 수집에서는 “에일리어싱은 신호의 왜곡을 말한다.”라고만 숙지한 후 아래 이미지로 표본화(Sampling)에 대한 설명을 이어나가겠습니다.
10Hz Sinewave 파형을 표본화(Sampling)한 이미지
검정색 실선이 원신호, 빨간점이 샘플링한 시점에서의 데이터, 빨간 실선이 부호화까지 모두 마치고 원신호를 복원한 신호입니다. 맨 위의 그래프에서의 이미지를 보시면 원신호는 10Hz 사인파이며 복원한 신호는 1Hz 사인파입니다.
왜 원신호를 제대로 복원하지 못하였을까요?
원인은 바로 신호를 양자화할 때 적절한 샘플링 속도로 하지못하였기 때문입니다. 원신호보다 샘플링 속도가 느릴 경우 이러한 현상이 발생합니다. 따라서 신호의 왜곡이 발생하지 않도록 적절한 샘플링을 취하는 것이 중요하다고 볼 수 있죠.
에일리어싱(Aliasing) 응용 사례
일상 생활에서도 에일리어싱 현상을 볼 수 있는데 몇가지 사례를 소개해보겠습니다. 먼저 자전거 바퀴에 부착되어서 특정 패턴 혹은 문자를 보이게끔하는 ‘휠 라이트’입니다. 보통 사람마다 편차는 있지만 전문가들이 말하기를 우리의 눈이 인지할 수 있는 프레임은 초당 30~60 프레임정도라고 합니다. 즉, 우리 눈의 시신경을 통해 뇌에서 이를 인지하는 속도가 정해져있다는 것인데요. 눈이 인식할 수 있는 속도보다 빠르거나(나이퀴스트 주파수 응용) 또는 느리게 회전시켜 특수한 형상의 이미지를 보여주는 원리입니다.
1. 휠라이트
두 번째는 우리가 운전이나 버스등 차를 이용할 때 맞은편에 같이 달리고 있는 자동차의 ‘바퀴가 뒤로 굴러가는 것처럼 보이는 현상’입니다. 마차 바퀴 현상이라고도 하는데 이 역시 에일리어싱 현상입니다.
2. 마차 바퀴 현상
마차 바퀴 현상(출처 : 위키백과), 회전 방향 : 시계 방향
나이퀴스트(Nyquist) 이론
나이퀴스트 이론(Nyquist Theorem) 또는 나이퀴스트-샤넌 정리(Nyquist-Shannon Theorem)라고 부릅니다. 한 문장으로 정의해보면 “샘플링하려는 원신호의 주파수보다 2배 이상의 빠르기로 샘플링을 해야지만 정확하게 신호를 복원할 수 있다.”는 내용입니다. 원신호의 주파수에 대해 언급을 하고있는데 나이퀴스트 이론에 대해 증명을 할 때 Time-domain과 Frequency-domain에서의 데이터를 같이 살펴봅니다. 신호의 파형(사인파/삼각파/사각파 등)이 정확하게 복원이 되었는지, 신호가 가지고있던 주파수 성분이 동일한지를 살펴보는 것이죠.
시간 영역(Time-domain)과 주파수 영역(Frequency-domain)에서의 데이터
그럼 왜 2배 이상의 샘플링이라고 하는지 예시를 통해서 추가 설명을 이어나가보도록 하겠습니다. 예시에서는 10Hz 사인파를 가지고 3가지 경우를 살펴보겠습니다.
1. 원신호 : 10Hz 사인파, 샘플링 속도 : 10S/s
우리가 수집하려는 10Hz의 사인파를 샘플링 속도 10S/s로 수집하였을 경우입니다. 사인파 1파형당 1개의 샘플만 취득하게 되므로 1초 기준 10포인트를 이어보면 우측 이미지처럼 DC형태로 보입니다. 실제 사인파가 들어오고 있지만 우리가 AD 컨버젼을 통해 보는 데이터는 정확하게 원신호를 복원하지 못한 것이라고 할 수 있죠.
2. 원신호 : 10Hz 사인파, 샘플링 속도 : 20S/s
나이퀴스트 이론에서 말하는 신호 주파수의 2배로 샘플링하였을 경우입니다. 사인파 1파형당 2개의 샘플을 취득하게 되므로 삼각파의 형태로 표현이되는 것을 보실 수 있습니다. Time-domain에서의 신호 복원은 정확하게 되지 않았지만 2배의 빠르기로 샘플링할 경우 원신호의 주파수가 얼마인지 주파수 성분은 알 수 있게 되는 것이죠.(1초에 신호가 몇번 반복되는지 알 수 있습니다.)
정리해보자면 원신호보다 2배 빠른 샘플링으로는 주파수 성분은 알 수 있지만 Time-domain에서의 정확한 신호 복원은 어렵다고 이해하시면 되겠습니다.
3. 원신호 : 10Hz 사인파, 샘플링 속도 : 100S/s
2번의 정리 내용을 참고하여 연속적인 시간에서의 신호를 우리가 이산 신호로 볼 때 “포인트가 많으면 많을수록 더 정확한 표현이 가능하다.”는 것을 알 수 있습니다. 그러한 이유로 이론적으로는 2배 이상의 빠르기이지만 실제 샘플링을 취할 때는 신호의 5배 또는 10배 이상의 빠르기로 샘플링을 취득합니다. 사인파형 1개를 100포인트, 1000포인트로 표현하는 것이죠. 그러면 Time-domain에서의 복원도 정확하고 Frequency-domain에서의 주파수 성분까지 모두 알 수 있습니다.
자, 여기까지 살펴보았을 때 “그냥 무조건 샘플이 많을수록 좋은거네.”라고 생각하실 수 있는데요. 샘플이 많을수록 표현이 정확해지는 것은 맞지만 버퍼에 들어가는 데이터의 용량 또한 커지므로 메모리 등을 더 잡아먹게되니 무조건 많이보다는 시스템에 맞는 적절한 샘플링을 설정하는 것이 중요합니다. 이상으로 에일리어싱(Aliasing)과 나이퀴스트(Nyquist) 이론에 대해 알아보았습니다.
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드론 – 센서 샘플링 이론, 나이퀴스트 이론
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드론 시스템에서는 센서를 통해 목적에 맞는 물리량 정보를 수집하고, 이를 바탕으로 액츄에이터를 동작시키며, 이 동작들 간의 조합을 통해 시스템을 컨트롤 한다.
여기서 센서 마다 샘플링 하는 분해능(주파수)가 다른데, 여기에서는 샘플링 이론을 고려한 분해능을 설정해야 센서가 물리량을 잘못측정하거나 못층정하는 경우가 발생하지 않는다.
여기서 말하는 시간 샘플링 이론이란 “얼마나 빼곡히 샘플링을 해야 원래 신호로 복구하는데 어려움이 없을까?” 에 대한 대답이 되는 이론이다.
시간 샘플링?
물리적인 (아날로그) 신호를 디지털 화면 상에 표시해주기 위해선 샘플링이 필요하다. 대개 신호처리에서 샘플링이라고 하면 시간 샘플링을 말하는 것 같다.
시간 샘플링이란 원래의 아날로그 신호 포스트 맨 위 애플릿에서는 ‘어느 정도의’ 주기를 갖고 아날로그 신호를 샘플링 해주는데, ‘어느 정도의’ 샘플링 속도 이상이 되면 샘플된 시간과 신호 값들을 가지고 원래의 신호로 거의 비슷하게 복구할 수 있다.
그러면, 이론적으로 ‘어느 정도의’ 주기를 갖고 아날로그 신호를 샘플링 해줘야 원래 신호로 복구 가능한 것일까? (즉, ideal reconstruction). 이 질문에 대한 해답을 sampling theorem에서 구할 수 있다.
이런 샘플링 이론에서 흔히 나이퀴스트 이론, 주파수를 말하며, 이는 샘플링 주파수는 최대 진폭의 2배여야 한다는 것을 말한다. 왜 그런 것일까?
우선 샘플링이 무엇인가를 알아야한다. 샘플링을 알아보기 위해서 아날로그 데이터를 디지털화 시키는 과정을 이해해야 하는데, 우리가 알고 있는 주변의 데이터는 사실 모두 아날로그 데이터이다. 즉 연속된 데이터이다.
하지만 이러한 신호를 컴퓨터가 처리할 수 있게 이산화 즉 디지털화 시켜줘야한다.
디지털화를 통해 우리는 데이터 전송시에 발생하는 손실과 빠른 전송속도를 얻어낼 수 있다.
아날로그를 디지털로 변환하는 Analog to Digital Conversion 과정은 크게 표본화(Sampling), 양자화(Quantization), 부호화(Coding)과정으로 이루어져 있다.
샘플링과정
위 과정이 샘플링 과정입니다. 원래의 신호에 일정한 간격으로 표본을 뽑아내는 것이다.
양자화과정
이제 샘플링을 했으면 그 데이터의 값들을 디지털화 시켜줘야합니다. 즉 해당 데이터를 몇 칸으로 나누어진 수로 표현할 것인지를 결정하는 것이다. 이 데이터를 y축 기준으로 몇 단계를 나누는 과정이 양자화 과정이다.
데이터의 값의 범위를 보고 몇 단계로 데이터를 나눌지 정하면, 이것이 양자화 레벨 수가 된다. 그리고 이렇게 몇 단계로 나누게 되면 데이터 값과 양자화된 값이 딱 떨어지지 않는데요. 이 차이가 양자화 오차이다. 양자화 오차의 최대값은 양자화 계단 크기의 절반이 된다.
부호화는 간단히 말하면 양자화한 데이터에 이진법의 수를 부여하는 것이다. 4칸으로 나누었으면, 이를 간단하게 (00), (01), (10), (11) 이렇게 수를 표현하는 것이다.
이제 본격적으로 나이퀴스트 정리를 알아보자.
샘플링 주파수는 입력 신호 최고 주파수의 2배 이상이 되어야 한다는 정리입니다. 이 조건을 만족해야 원 신호로 다시 충실히 복원할 수 있습니다. 만약 샘플링 주파수가 입력 신호 주파수의 2배보다 낮다면 Aliasing 현상이 일어납니다.
Aliasing 현상을 주파수 대역에서 분석한 그림입니다.Aliasing 대책은 크게 두가지로 볼 수 있습니다. 첫번째는 LPF를 사용하는 것입니다. Aliasing이 일어난 그림을 보시면 fm부근 고주파 대역에서 일어나는데 이부분을 그냥 LPF로 버리고 샘플링하는 것입니다. 두번째는 샘플링 주파수를 늘리는 것입니다.
드론에서 발생하는 센서 오류로 인한 시스템 비정상 행위는 결국 이러한 현상에서 발생한 데이터 변화가 시스템 컨트롤 로직 까지 이어지기 때문에 발생한다고 생각이 든다.
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FFT에 대한 몇 가지 사항을 정리해 보겠습니다.
첫 번째 part, 에서 설명했듯이 측정 시스템의 샘플링 속도 fs와 블록 길이 BL은 FFT의 두 가지 주요 매개 변수입니다. 샘플링 속도는 분석 할 아날로그 신호가 스캔되는 빈도를 나타냅니다. 예를 들어 시중에서 구할 수있는 PC 사운드 카드를 통해 wav 파일을 녹음 할 때 오디오 신호는 일반적으로 초당 44,100번 샘플링 됩니다.
Nyquist Theorem
해리 나이퀴스트(Harry Nyquist)는 아날로그 신호 샘플링의 기본 규칙을 발견 했습니다. 샘플링 주파수는 신호의 최고 주파수의 두 배 이상이어야 합니다. 예를 들어 최대 24kHz의 주파수를 포함하는 신호를 샘플링하려면 이 목적을 위해 최소 48kHz의 샘플링 속도가 필요합니다. 샘플링 속도의 절반(이 예에서 24kHz)을 “나이퀴스트 주파수”라고합니다.
그러나 나이퀴스트 주파수 이상의 신호가 시스템에 공급되면 어떻게 될까요?
Aliasing
대부분의 경우 신호는 충분한 수의 샘플로 샘플링 됩니다. 예를 들어, 48kHz 샘플링 속도의 경우 6kHz 주파수는 사이클당 8회 샘플링 되지만 12kHz 주파수는 사이클당 4회 샘플링 됩니다. 나이퀴스트(Nyquist) 주파수에서 사이클당 2개 샘플만 사용할 수 있습니다.
2개 샘플 이상을 사용하면 손실없이 신호를 재구성할 수 있습니다. 그러나 2개 미만의 샘플을 사용할 수 있는 경우 샘플링된(원본) 신호에서 발생하지 않는 artifact가 생성 됩니다.
Mirror frequencies
FFT에서 이러한 artifact은 Mirror 주파수로 나타납니다. 나이퀴스트 주파수를 초과하면 신호가 이 가상 한계에 반영되어 유용한 주파수 대역으로 되돌아 갑니다. 다음 비디오는 44.1kHz 샘플링 속도의 FFT 시스템을 보여줍니다. 이 시스템에는 15kHz ~ 25kHz의 스윕 신호가 입력 됩니다.
이러한 원치 않는 Mirror 주파수는 스캔 전에 아날로그 저역 통과 필터 (anti-aliasing filter)와 함께 작용 합니다. 필터는 나이퀴스트 주파수 이상의 주파수가 억제되도록 합니다.
Time window
주기적으로 연속적인 신호의 경우, Time window는 스캐닝이 끝날 때 원하지 않는 과도기 점프를 부드럽게하는 역할을 합니다 (see part 1). 이렇게하면 스펙트럼이 번지는 것을 방지할 수 있습니다. 여러 종류의 창이 있으며 그 중 일부는 약간만 다릅니다. 시간 창을 선택할 때 다음 규칙이 적용 됩니다. 각 창은 주파수 선택성과 진폭 정확도간에 절충안을 필요로 합니다.
고전적 평균 : 다수의 FFT가 측정됩니다. 각 결과는 최종 평균 결과에서 동일한 부분으로 간주 됩니다. 이 방법은 정의된 지속 시간을 갖는 측정에 적합 합니다. 지수 평균 : FFT가 지속적으로 측정 됩니다. 여기서도 연속 측정의 고정된 수의 결과가 고려 됩니다. 그러나 가중치의 결과 ‘age’에 반비례 합니다. 가장 오래된 측정 값을 고려하면 가장 최근 측정 값이 평균 결과에 가장 효과적으로 기여 합니다. 이 지수 평균은 스펙트럼이 오랜 기간 동안 지속적으로 모니터될 때 사용 됩니다.
비-주기적 신호의 분석에서, 예를 들어 잡음 또는 음악을 사용하는 경우, 다수의 FFT 블록을 포착하여 그로부터 평균값을 결정하는 것이 종종 유리하다. 가능한 두 가지 방법이 있습니다.:
Power vs. Peak 검출기
최신의 고해상도 FFT 분석기는 FFT 블록 길이에서 측정 결과의 수를 분리할 수 있는 가능성을 제공 합니다. 그 결과, 특히 고해상도 FFT의 경우 측정 수행 시간이 증가 합니다. 따라서, 예로, 2MB 블록 길이의 경우, 더 이상 100만 포인트(bins)를 측정하고 표현할 필요는 없지만, 디스플레이에 필요한 수 만을 표시한다. 1024.
각 FFT bin에 대해 선택된 값은 두 가지 방법으로 정의할 수 있습니다.:
“MaxPeak”: FFT 결과 최대 값이 사용 됩니다. 이 유형은 FFT 시각적 표현에 매우 적합 합니다. “Power”: 여기 FFT 결과가 요약되어 에너지적으로 평균화 됩니다. 이것은 FFT가 계산에 사용될 때 필요 합니다.
FFT 결과 계산
FFT는 주로 신호를 시각화하는데 사용 됩니다. 그러나 FFT 결과가 계산에 사용되는 응용프로그램에도 있습니다. 예를 들어, 정의된 주파수 대역의 매우 간단한 레벨은 RSS(Root Sum Square) 알고리즘을 통해 이들을 추가하여 계산할 수 있습니다.
또 다른 응용은 스펙트럼 비교 입니다. 아래의 예는 무선 드라이버의 음향 측정을 보여 줍니다. 측정된 스펙트럼은 정의된 기준 스펙트럼에서 뺍니다. 이 차이는 상위 및 하위 허용 오차와 비교 됩니다. 상단의 스펙트럼은 무선 코드 드라이버를 보여 줍니다. 음향 스펙트럼은 시험편에 결함이 있음을 나타냅니다.
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