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라플라스 변환 쉽게 기억하기!
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라플라스 변환 – 나무위키

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Date Published: 1/16/2022

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Date Published: 7/11/2022

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라플라스 변환 표 – 생새우초밥집

라플라스 변환 표. Laplace Transform Table. 목차. 공식. 공식. 라플라스 변환 표이다 …

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Date Published: 9/22/2022

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표 방법 예제 라플라스 변환의 역사

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[라플라스 변환표] – 뭐든 이뤄지리라

전자전기. [라플라스 변환표]. by stack_know-how 2021. 8. 9. 320×100. [라플라스 변환표]. 반응형. 좋아요1. 공유하기. 글 요소. 구독하기 뭐든 이뤄지리라 …

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Date Published: 5/20/2022

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라플라스 변환 표 | 라플라스 변환 쉽게 기억하기! 212 개의 …

[공업수학] 2. 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제. 라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점 …

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Date Published: 8/14/2022

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주제에 대한 기사 평가 라플라스 변환 표

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A1. 라플라스 변환표 (Table of Laplace Transformation)

부 록 Appendices

A. 라플라스 변환표

B. 행렬 해석

B.1 행렬의 정의

B.2 행렬의 연산

B.3 역행렬

B.4 행렬의 미분과 적분

B.5 2차형식과 한정행렬

B.6 대각화

C. 셈툴 사용법 요약

C.1 키보드기능

C.2 범용 명령어

C.3 연산자 및 논리함수

C.4 프로그램 흐름제어

C.5 수학함수

C.6 행렬 및 행렬 조작

C.7 다항식 함수

C.8 시스템 해석 및 제어기 설계함수

C.9 데이터 분석 및 처리함수

C.10 그래프 관련

D. 두 대의 PC를 이용한 실시간 모의실험

D.1 실시간 모의실험

D.2 실시간 모의실험 구성 및 통신연결

D.3 실시간 실험용 모의플랜트 구성 및 접속

D.4 적용사례

D.5 익힘문제

A. 라플라스 변환표 (Table of Laplace Transformation)

B. 행렬해석 (Matrix Analysis)

B.1 행렬의 정의

실수, 복소수, 함수 혹은 연산자(operator)를 직사각형 모양으로 배열한 것을 행렬(matrix)이라 부른다. 행렬 를 구성하는 …를 행렬의 성분(element 또는 entry)이라 하고, 가로의 줄을 행(row), 세로의 줄을 열(column)이라 한다. 개의 행과 개의 열로 구성된 행렬 를 행렬이라 하고, 다음과 같이 나타낸다.

여기서 (자연수 집합)이다. 이러한 행렬은 다음과 같이 구분된다.

벡터(vector)

하나의 열 또는 행으로 구성된 행렬을 벡터라고 한다.

정방행렬(square matrix)

같은 수의 행과 열로 구성된 행렬을 정방행렬이라 한다. 정방행렬에서 그 행의 수를 차수(order)라 하고, 개의 행을 갖는 정방행렬을 차 정방행렬 또는 행렬이라고 한다.

대각행렬(diagonal matrix)

행렬 에서 성분 을 행렬 의 주대각(main diagonal)성분이라 한다. 정방행렬 의 주대각성분을 제외한 모든 성분이 0(zero)인 행렬을 대각행렬이라 한다. 대각행렬은 다음과 같이 나타낸다.

(B.2)

여기서, 는 크로네커 델타(Kronecker delta)함수로서 다음과 같이 정의된다.

단위행렬(unit matrix 또는 identity matrix)

주 대각성분이 모두 1이고, 그 외의 요소는 0인 행렬을 단위행렬이라고 하며, 다음과 같이 나타낸다.

(B.3)

특이행렬(singular matrix)

행렬식이 영인 정방행렬을 특이행렬이라고 한다. 특이행렬에서 모든 행(혹은 열)은 서로 독립이 아니다.

비특이행렬(nonsingular matrix)

행렬식이 영이 아닌 정방행렬을 비특이행렬이라 한다. 비특이행렬의 모든 행(혹은 열)들은 서로 독립이다.

전치행렬(transpose matrix)

임의의 행렬 에서 행과 열의 자리를 맞바꾸어서 얻어지는 행렬을 행렬 의 전치행렬이라 하고 로 표시한다. 즉, ( )를 만족한다.

대칭행렬(symmetric matrix)

임의의 정방행렬 에서 의 전치행렬과 가 일치할 때, 즉 를 만족할 때, 행렬 를 대칭행렬이라고 한다.

엇대칭행렬(skew-symmetric matrix)

임의의 정방행렬 에서 를 만족할 때, 행렬 를 엇대칭행렬이라고 한다.

켤레행렬(conjugate matrix)

임의의 행렬 의 각 성분 에 대하여 그의 켤레복소수로 대치될 때, 그 행렬을 행렬 의 켤레행렬이라 하고 로 표시한다. 즉, 를 만족한다.

켤레전치행렬(conjugate transpose matrix)

임의의 행렬 에서 전치행렬의 켤레행렬을 켤레전치행렬이라 부른다. 행렬 의 켤레전치행렬은 로 표시하며 를 만족한다.

B.2 행렬의 연산

두 행렬의 동일성(equivalence)

임의의 행렬 , 에 대하여 ( )이 만족될 때, 두 행렬은 서로 동일하다고 한다.

행렬의 덧셈(addition of matrices)

두 행렬 와 가 같은 수의 행과 열을 갖는다면 두 행렬은 서로 더할 수 있다. 만약 이고 라고 한다면, 행렬의 덧셈 는 다음과 같이 정의된다.

(B.4)

예를 들면, 에서 는 다음과 같다.

행렬의 덧셈은 다음과 같은 성질을 갖는다.

1) 모든 행렬의 집합은 덧셈에 대하여 닫혀있다.

2) (교환법칙)

3) (결합법칙)

4) 모든 성분이 0으로 구성된 영행렬 가 존재하여, 임의의 행렬 에 대하여 를 만족시킨다.

5) 임의의 행렬 에 대하여 을 만족시키는 행렬 가 존재한다.

행렬의 상수곱(scalar multiplication of matrix)

행렬의 상수곱은 각 요소에 상수(scalar)를 곱한 행렬이 된다. 즉, 행렬 와 상수 의 곱은 다음과 같이 정의된다.

(B.5)

행렬의 상수곱은 다음과 같은 성질을 갖는다.

1) 모든 행렬의 집합은 상수곱에 대하여 닫혀있다.

2) 상수에 대한 분배법칙 :

행렬에 대한 분배법칙 :

3) 결합법칙 :

행렬의 곱(multiplication of matrices)

두 행렬 사이의 곱은 첫 번째 행렬의 열의 수와 두 번째 행렬의 행의 수가 같을 때에만 정의된다. 가 행렬, 가 행렬일 때, 행렬곱 는 다음과 같이 정의된다.

(B.6)

행렬 와 의 곱으로 정의되는 행렬 는 와 같은 수의 행을 갖고 와 같은 수의 열을 가진다. 따라서 행렬 는 행렬이 된다. 행렬의 곱에서 주의할 점은 교환법칙이 성립하지 않는다는 것이다. 즉, 이다. 행렬곱 연산은 다음과 같은 성질을 갖는다.

1) (결합법칙)

2) (분배법칙)

3) 임의의 행렬 에 대하여 를 만족시키는 단위행렬 과 를 만족시키는 단위행렬 이 존재한다.

B.3 역행렬(Inverse of matrix)

소행렬식(minor)

정방행렬 에서 번째 행과 번째 열을 없애고 남은 행렬의 행렬식을 행렬 의 소행렬식이라 부른다.

여인수(cofactor)

행렬 의 성분 의 소행렬식을 라고 할 때, 여인수 는 다음 식으로 정의된다.

(B.7)

여인수 는 행렬식 의 전개에서 의 계수가 된다.

수반행렬(adjoint matrix)

행과 열의 성분이 인 행렬 를 행렬 의 수반행렬이라 하고 라고 표시한다. 즉, 의 수반행렬은 행렬의 요소가 의 여인수로 이루어지는 행렬의 전치행렬이며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(B.8)

대각합(trace)

행렬 의 대각합(trace)은 행렬의 주대각성분 을 더한 값으로 정의되며 로 표시한다.

(B.9)

대각합은 다음과 같은 성질을 갖는다.

1)

2)

3)

4)

5)

행렬식(determinant of a matrix)

행렬식(determinant)은 정방행렬에 대해서만 정의된다. 정방행렬 의 행렬식은 상수값을 가지며, 로 표시하고 다음과 같이 정의된다.

1) 일 때에는,

2) 일 때, 행렬 의 행을 기준으로 정의할 수도 있고

또는, 행렬 의 열을 기준으로 정의할 수도 있다.

따라서 행렬 가 일 때, 이다. 예를 들면, 다음과 같다.

행렬식의 성질(properties of the determinant)

1) 만약 행렬 가 행렬 의 연속적인 두 개의 행 또는 두 개의 열을 교환하여 만들어진 것이면, 이다.

2) 만약 행렬 가 행렬 의 임의의 행 또는 열의 각 성분에 상수 를 곱하여 구하여진 행렬이면, 이다.

3) 만약 행렬 가 행렬 의 임의의 행(또는 열)에 상수를 곱하여 다른 행(또는 열)에 더하여 구한 행렬이면, 이다.

4) 단위행렬 에 대하여, 이다.

5) 행렬의 임의의 두 행(또는 열)이 일치하면, 행렬식의 값은 0이다.

6) 임의의 행렬 에 대하여, 이다.

7) 임의의 두 정방행렬 에 대하여, 이다.

8) 만약 행렬 의 역행렬 가 존재한다면, 이다.

행렬의 계수(rank of matrix)

행렬 의 부분행렬 중 행렬식이 0이 아닌 부분행렬 이 존재하고, 인 모든 부분행렬의 행렬식이 0인 경우 행렬의 계수(rank)는 이다.

역행렬(inverse of matrix)

정방행렬 에 대하여 식(B.10)을 만족하는 행렬 가 존재할 때, 행렬 를 행렬 의 역행렬이라 하고, 로 표시한다.

(B.10)

일반적으로, 행렬 가 비특이행렬일 때, 비특이행렬인 역행렬 가 유일하게 존재한다. 하지만, 행렬식이 0이 되는 특이행렬의 경우에는 역행렬이 존재하지 않는다. 그러므로, 행렬 가 비특이행렬이고 일 때, 행렬 는 다음과 같이 계산된다.

(B.11)

역행렬의 계산(formulation of inverse of matrix)

임의의 정방행렬 에 대하여, 의 수반행렬과 행렬식 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.

그러므로, 의 역행렬 는 다음과 같이 수반행렬과 행렬식으로부터 계산할 수 있다.

(B.12)

특히, 비특이행렬과 비특이행렬의 역행렬을 구하는 공식은 다음과 같다.

(B.13)

(B.14)

역행렬에 관한 유용한 관계식

1)

2)

3)

4)

역행렬 보조정리 (matrix inversion lemma)

행렬 가 각각 행렬이고, 와 의 역행렬이 존재하면 다음 식이 성립한다.

(B.15)

여기에서 이면 다음과 같이 간략화되며

(B.16)

또한, 가 행렬이고, 가 행렬이면 식(B.16)은 다음과 같이 표시된다.

(B.17)

토막행렬(block matrix)의 역행렬

가 각각 행렬이고, 이면, 로 이루어지는 토막행렬의 역행렬은 다음과 같다.

(B.18)

만일 이면 다음과 같이 구해진다.

(B.19)

고유값과 고유벡터(eigenvalues and eigenvectors)

임의의 행렬 에서 인 벡터 에 대해 를 만족하는 스칼라 가 존재할 때, 를 행렬 의 고유벡터(eigenvector)라고 하며, 를 이 고유벡터 에 대응하는 의 고유값(eigenvalue)이라 한다. 벡터 가 행렬 의 고유벡터가 되는 경우에는 행렬 에 의해 만들어지는 벡터 가 벡터 가 동일선상에 놓이며, 이 때 벡터 의 크기는 벡터 의 크기를 배가 된다. 고유값은 특성값(characteristic value) 또는 특성근(characteristic root)이라고도 불린다. 고유값과 고유벡터의 정의에 의해서 다음의 식을 유도할 수 있다.

(B.20)

식(B.20)에서 고유벡터는 이 아니므로, 는 특이행렬이 되어야하며, 따라서 다음 식이 성립한다.

(B.21)

여기서 식(B.21)을 특성방정식(characteristic equation)이라 하고, 를 특성다항식(characteristic polynomial)이라 부른다. 고유값은 특성방정식을 풀어서 구할 수 있고, 구해진 각 고유값들을 이용하여 대응하는 고유벡터를 구할 수 있다. 임의의 행렬에 대해서 고유값은 개 존재하며, 이에 대응하는 고유벡터도 이 존재한다. 단, 고유값은 한 종류만 존재하지만, 고유벡터는 무수히 많을 수 있다. 왜냐하면, 가 고유벡터이면 0이 아닌 임의의 에 대하여 도 고유벡터가 되기 때문이다. 이러한 고유벡터들 중 크기가 1인 벡터를 정규(normalized) 고유벡터라고 한다.

유사행렬(similar matrix)

행렬 에 대하여 를 만족하는 비특이행렬 가 존재할 때, 행렬 와 를 유사행렬, 를 유사변환이라고 부른다. 유사행렬 사이에는 다음 관계가 성립한다.

1)

2)

3) 의 고유값 = 의 고유값

B.4 미분과 적분(Differentiation and Integration)

시변벡터와 행렬(time-varying vector and matrix)

시변벡터 는 성분이 시간함수인 벡터로 정의되며, 시변행렬 는 성분이 시간함수인 행렬로 정의된다. 그러므로 시변벡터 와 시변행렬 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(B.22)

시변벡터와 시변행렬의 덧셈, 상수곱 및 곱셈의 연산은 일반적인 행렬의 연산과 같이 정의된다. 시변벡터는 시변행렬의 특수한 경우이므로, 미분과 적분에 대해서는 행렬에 대해서만 언급하기로 한다.

행렬의 미분(differentiation of matrix)

행렬 의 미분은 행렬의 모든 성분 가 시간 에 대해 미분가능할 때, 다음과 같이 정의된다.

(B.23)

미분의 성질(properties of differentiation)

의 미분

행렬 와 그 역행렬 가 미분가능하다고 할 때, 의 미분은 다음과 같이 구할 수 있다.

(B.24)

행렬의 적분(integration of matrix)

행렬의 미분과 마찬가지로, 행렬 의 적분은 다음과 같이 정의할 수 있다.

(B.25)

적분의 성질(properties of integration)

구배벡터(gradient vector)

벡터 와 다음의 스칼라 함수를 고려하자.

벡터 에 관한 의 구배(gradient)벡터는 로 표시하고, 다음과 같이 정의된다.

(B.26)

자코비안(Jacobian) 행렬

벡터 와 다음의 에서 으로의 함수를 고려하자.

벡터 에 관한 의 자코비안 행렬은 로 표시하고, 다음과 같이 정의된다.

(B.27)

B.5 2차형식(Quadratic Form)과 한정행렬(Definite Matrix)

2차형식(quadratic form)

실대칭행렬 와 실벡터 에 대하여

(B.28)

의 형태를 2차형식(quadratic form)이라 하며, 내적의 정의를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

(B.29)

한정행렬(definite matrix)

임의의 과 실대칭행렬 에 대하여 2차형식 을 고려하자.

1) 이면, 행렬 를 양한정행렬(positive definite matrix)라고 한다.

2) 이면, 행렬 를 양반한정행렬(positive semi-definite matrix)라고 한다.

3) 이면, 행렬 를 음한정행렬(negative definite matrix)라고 한다.

4) 이면, 행렬 를 음반한정행렬(negative semi-definite matrix)라고 한다.

양한정성 판별조건

1) 2차형식 을 만족하면 행렬 는 양한정행렬이다.

2) 행렬 가 실대칭행렬일 때, 다음과 같은 부분행렬에서

모든 에 대하여 이면, 는 양한정행렬이다.

3) 행렬 의 고유값이 모두 양수이면, 행렬 는 양한정행렬이다. 또한, 행렬 가 양(또는 음) 반한정행렬이면, 적어도 하나의 고유값은 0이 된다.

B.6 대각화(Diagonalization)

행렬의 대각화(diagonalization of matrices)

행렬 가 개의 서로 다른 고유값를 가질 때, 이 행렬은 서로 다른 개의 고유벡터를 가지며, 이들은 서로 일차독립(linear independent)이 된다. 또한, 행렬 는 유사변환(similar transformation)을 이용하여 대각행렬로 변환시킬 수 있다. 행렬 를 대각행렬로 변환시키는 것을 행렬 의 대각화(diagonalization)라고 하며, 다음과 같은 과정에 의해 변환된다. 먼저, 행렬 를 다음과 같이 정의하자.

여기서, 는 행렬 의 고유값 에 대응하는 고유벡터이며, 다음을 만족한다.

고유벡터 은 고유값의 정의에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(B.30)

위의 개의 식을 행렬을 써서 나타내면 다음과 같고

(B.31)

이 식을 행렬 를 이용하여 다시 쓰면 다음과 같다.

(B.32)

위에서 정의된 행렬 는 비특이행렬이므로 역행렬 가 존재한다. 따라서 식(B.32)는 다음과 같이 변형되어

(B.33)

행렬 는 유사변환에 의해 대각행렬로 바뀐다. 만약, 행렬 가 개의 일차독립 고유벡터를 가지고 있지 않을 때에는 대각화시킬 수 없으며, 이러한 행렬은 조던(Jordan) 표준형으로 변환할 수 있다

조던 표준형(Jordan canonical form)

다음의 형태를 가지는 행렬을 조던 표준형(Jordan canonical form)이라 한다.

(B.34)

여기서, 이고, 는 차의 조던 토막(block)행렬로서 다음과 같은 꼴을 갖는다.

(B.35)

예를 들어, 행렬 에서 이고 고유값이 이면 조던 표준형은 다음과 같이 표시된다.

여기서, 은 영행렬이며, 의 와 의 는 같을 수도 있고, 다를 수도 있다. 그러므로 임의의 행렬 에 대한 Jordan 표준형의 정확한 형태를 결정하기는 쉽지 않다. 예를 들어, 3중근을 가지는 정방행렬의 가능한 조던 표준형은 다음과 같다.

C. 셈툴 사용법 요약

C.1 키보드 기능

Esc 모의실험중지, Online 그래프중지

Ctrl-C 명령창에서 현재까지의 입력무시, 선택된 문자열 영역의 복사

Ctrl-X 선택된 문자열의 잘라내기

Ctrl-V 선택된 문자열의 붙이기

Ctrl-E 선택된 문자열 영역의 지우기

Home 현재행의 맨 앞으로 커서 이동

End 현재행의 맨 끝으로 커서 이동

PgUp 명령창의 이전 페이지 조회

PgDn 명령창의 다음 페이지 조회

Del 현재 커서 위치의 문자 삭제

BackSp 현재 커서 이전 위치의 문자 삭제

← 좌측으로 커서 이동

→ 우측으로 커서 이동

↓ 과거 수행 명령 열람 중 앞으로 이동

↑ 과거 수행 명령 열람 중 뒤로 이동

Ins 문자열 입력시 삽입/수정 모드 변환

C.2 범용 명령어

관리용

help 매크로파일/도구상자에 대한 도움말

view 텍스트 파일의 내용출력

what 매크로파일에 대한 간단한 도움말

where 매크로파일의 위치 확인

version 셈툴/심툴의 버젼

변수 및 작업환경 관리용

del 변수삭제

length 벡터의 길이

list 변수목록과 크기 출력

listm 변수목록과 내용을 출력

load 작업환경에 변수 로드

save 작업환경의 변수 저장

set 환경변수의 수정 및 출력

size 행렬의 크기

명령창 제어용

clear 화면지움

format 상수값의 화면출력 양식 지정

파일 및 디렉토리 관리용

cd 디렉토리 변경

dir(ls) 현재 디렉토리의 파일 출력

logging 명령어창의 내용을 파일로 저장한다.

macrodir 매크로 디렉토리의 설정

pwd 현재 디렉토리 확인

종료

exit 셈툴 종료

C.3 연산자 및 논리함수

연산자

+ 덧셈

– 뺄셈

* 곱셈

/ 행렬의 스칼라로 나눗셈

^ 거듭제곱

.* 행렬의 원소별 곱셈

./ 행렬의 원소별 나눗셈

% 코멘트

= 할당

== 좌우측이 같은지 비교

!= 좌우측이 다른지 비교

> 좌측이 우측보다 큰지 비교

< 좌측이 우측보다 작은지 비교 >= 좌측이 우측보다 크거나 같은지 비교

<= 좌측이 우측보다 작거나 같은지 비교 && 논리곱 || 논리합 ! 논리부정 .& 행렬의 원소별 논리곱 .| 행렬의 원소별 논리합 ; 화면출력억제 kron 크로네커 곱셈 논리함수 all 원소 모두가 참이면 참 any 원소중 하나가 참이면 참 isempty 빈 행렬이면 참 isinf 무한대이면 참 isnan 수가 아니면 참 isreal 원소가 모두 실수이면 참 isstr 스트링이면 참 C.4 프로그램 흐름 제어 break 제어문, 순환문에서 탈출 continue 순환문에서 다음단계로 수행 for for 순환문 else if 문에서 조건을 만족하지 않을 경우 if if 조건제어문 input 사용자 입력을 위한 대화상자 출력 sleep 주어진 동안 실행 정지 while while 순환문 C.5 수학함수 abs 절대값, 복소수의 크기 acos 코사인의 역함수 acosh 하이퍼볼릭 코사인의 역함수 acot 코탄젠트의 역함수 acoth 하이퍼볼릭 코탄젠트의 역함수 acsc 코세컨트의 역함수 acsch 하이퍼볼릭 코세컨트의 역함수 angle 위상각 asec 하이퍼볼릭 세컨트의 역함수 asin 사인의 역함수 asinh 하이퍼볼릭 사인의 역함수 atan 탄젠트의 역함수 atanh 하이퍼볼릭 탄젠트의 역함수 ceil 정수로의 올림 conj 켤레복소수 cos 코사인 cosh 하이퍼볼릭 코사인 cot 코탄젠트 coth 하이퍼볼릭 코탄젠트 csc 코세컨트 csch 하이퍼볼릭 코세컨트 exp 지수 함수 fix 정수로 올림(양수일 경우), 정수로 내림(음수일 경우) floor 정수로 내림 gcd 최대공약수 imag 허수부 lcm 최소공배수 ln 자연로그 log 상용로그 real 실수부 rem 나머지 round 정수로 반올림 sec 세컨트 sign 부호 sin 사인 sinh 하이퍼볼릭 사인 sqrt 제곱근 tan 탄젠트 tanh 항이퍼볼릭 탄젠트 C.6 행렬 및 행렬 조작 기본행렬 eye 단위행렬 gallery 시험행렬 linspace 균등분할 벡터 logspace 로그간격 벡터 ones 1로 구성된 행렬 rand 난수행렬 randn 정규분포 난수행렬 zeros 영행렬 diag 대각행렬 생성, 대각원소 추출 특수변수와 상수 ans 가장 최근의 연산결과값 i, j 허수단위 Inf 무한대 eps 최소오차 한계값 NaN 수자가 아님 nargin 함수의 입력인자 수 nagout 함수의 출력인자 수 pi 시간과 날짜 clock 시간 tic, toc 스탑와치 함수 date 날짜 행렬분석용 cond 행렬 조건수 det 행렬식 norm 행렬, 벡터 놈 null 영공간 orth 범위공간의 직교정규기저 rank 선형독립인 행 또는 열의 수 trace 주대각 요소의 합 선형방정식용 chol 촐스키 분해 inv 역행렬 lu 상삼각, 하삼각 행렬분해 pinv 유사(pseudo) 역행렬 qr 행렬의 직교분해 고유값, 특이값용 eig 고유값, 고유벡터 svd 특이값 분해 poly 행렬의 특성방정식 schur Schur 분해 행렬함수 expm 행렬의 지수함수 logm 행렬의 자연로그 sqrtm 행렬의 제곱근 C.7 다항식 함수 conv 다항식 곱셈 deconv 다항식 나눗셈 poly 특정근을 갖는 다항식 생성 polyfit 다항식 근사화 polyval 다항식의 계산 polyvalm 행렬다항식 계산 roots 다항식의 근 residue 부분분수 전개 및 나머지수 계산 C.8 시스템 해석 및 제어기 설계 함수 bode 보데선도 impulse 임펄스응답 ctrb 제어가능성 판정 c2d 연속시간계를 이산시간계로 전환 d2c 이산시간계를 연속시간계로 전환 initial 초기상태에 대한 응답 lqe 선형 2차 추정기 설계 lqr 선형 2차 조정기 설계 nichols 니콜스 선도 nyquist 나이키스트 선도 obsv 관측가능성 판정 rlocus 근궤적 rlocval 근궤적에서 입력의 근방값 추정 ss2tf 상태방정식을 전달함수로 전환 step 단위계단 응답 tf2ss 전달함수를 상태방정식으로 전환 C.9 데이터 분석 및 처리 함수 기본연산용 cov 상호분산 cumprod 원소의 누적곱 cumsum 원소의 누적합 max 최대값 mean 평균값 median 중간값 min 최소값 prod 원소들의 곱 sort 오름차순 정렬 std 표준편차 sum 원소들의 합 trapz 사다리꼴 수치적분 신호처리용 filter 1-D 디지털 필터 fft 푸리에 변환 ifft 푸리에 역변환 freqs 라플라스 변환의 주파수 응답 freqz z-변환의 주파수 응답 C.10 그래프 관련 2차원 그래프용 plot 2차원 그래프 subplot 하나의 창에 여러개의 그래프 도시 ploar 극좌표 그래프 title 그래프의 제목 xtitle x축 제목 ytitle y축 제목 loglog x축, y축이 로그간격인 그래프 semilogx x축이 로그 간격인 그래프 semilogy y축이 로그 간격인 그래프 legend 그래프 범례표시 3차원 그래프용 meshgrid 3차원 그래프를 그리기 위한 배열 생성 xyzplot 3차원 그래프 도시 surfplot 그물형태로 연결되고 그물 내부가 색으로 채워진 3차원 그래프 meshoplot 그물형태로 연결된 3차원 그래프 그래픽 관리용 kill 그래프창 종료 그래프 선택사항 그래프 이동 창 안에서 그래프와 겹침 화면 확대 지정영역의 확대 화면 축소 확대 바로 이전으로 축소 화면 복귀 화면을 원래 비율로 복귀 그래프좌표추적 그래프의 좌표를 추적 마우스좌표추적 마우스의 현재 좌표 출력 문자열 쓰기 화면에 문자열 출력 문자열 이동 지정 문자열 이동 문자열 지우기 지정 문자열 삭제 서체 변환 문자열의 글꼴 변환 선모양 선의 모양 변환 선색깔 선의 색깔 변환 선문자 선 대신 지정 문자로 전환 눈금자 표시 눈금자 표시 여부 지정 x축 최소/최대 x축 최대/최소 지정 y축 최소/최대 y축 최대/최소 지정 제목 서체 전환 제목의 서체, 색깔 전환 제목 그래프 제목 지정 x축 제목 x축 제목 지정 y축 제목 y축 제목 지정 열기 저장된 그래프 열기 저장 현재 그래프를 저장 새 이름으로 새 이름으로 저장 인쇄 현재 그래프 인쇄 종료 그래프 창의 종료 그래프 종류 간격에 따른 그래프 종류 전환 D. 두 대의 PC을 이용한 실시간 모의실험 D.1 실시간 모의실험 실제 현장에서 플랜트와 제어기는 서로 구분되어 있는데, 그 사이에 신호연결은 <그림D.1>에서 보는 바와 같이, 제어기의 형태에 따라 두 가지 방식으로 할 수 있다. 하나는 연속형 제어기의 경우에 해당하는 것으로서 모두 연속형신호로 연결하는 방식이고, 다른 하나는 디지털제어기의 경우에 해당하는 것으로서 플랜트의 연속형 출력신호를 AD변환기(Analog to Digital Converter)를 써서 디지털신호로 바꾸어 디지털제어기에 보내고, 제어기에서 디지털로 계산한 결과를 DA변환기(Digital to Analog Converter)를 써서 연속형 신호로 바꾼 다음 플랜트에 입력하는 방식이다.

(a) 연속형 제어기 (b) 디지털 제어기

<그림 D.1> 실제시스템

제어시스템에서 실시간 모의실험이란 플랜트와 제어기를 각각 서로 다른 PC나 디지털 시스템에 구축하고, 통신으로 연결하여 신호를 교신하면서 실시간으로 제어하는 실험을 말한다. 이 실험은 실제상황과 거의 비슷한 환경에서 제어실험을 수행함으로써, 설계된 제어기를 실제 플랜트에 적용하기 전에 제어성능을 확인하고 필요한 보완을 하기 위해서 수행한다. 이를 위해 두 대의 PC가 필요한데, 한 쪽 PC에는 실제의 플랜트에 대한 모의플랜트를 구축하고 다른 PC에는 이 플랜트를 제어하는 제어기를 구현한다. 그리고 이들 PC에는 각각의 연결방식에 필요한 접합장치가 장착되어 있어서 플랜트와 제어기는 이 장치들을 통해서 입출력 데이터를 교환하게 된다. 물론 경우에 따라서는 두 대의 PC 대신에 그 역할을 수행할 수 있는 다른 디지털 시스템이나 모의장치를 사용할 수도 있다.

연속형 제어기에서는 플랜트와 제어기 사이의 신호가 연속형 신호이다. 이것과 비슷하게 구현하기 위해서 두 대의 PC에는 각각 연속형 신호와 디지털 신호 사이에 신호변환을 해주는 고속의 AD/DA 보드가 요구되며 이 보드를 통해서 입출력 데이터를 고속으로 교환해야 한다. 이러한 구성의 개념은 <그림D.2>와 같은 토막선도로 나타낼 수 있다. 그런데 이 방식은 입출력 신호의 개수가 많아지면 이를 처리하기 위한 하드웨어 구성이 확장되어야 하기 때문에 가격이 비싸지고, 또한 잡음의 영향을 많이 받게 된다는 약점이 있다. 그리고 변환속도가 느려지는 단점이 있다. 이러한 단점을 보완하는 방법이 PC 사이의 교신에 별도의 AD/DA보드를 쓰지 않고 PC에 기본적으로 내장되어 제공되는 통신모듈을 활용하는 것이다.

<그림D.2> AD/DA를 사용한 실시간 모의실험 환경

<그림D.3> 기본 통신모듈을 이용한 실시간 모의실험 환경

PC와 PC사이의 통신은, PC에서 기본적으로 제공하는 기본 통신모듈을 사용하여 별도의 굳은모(hardware) 없이 간단하게 구성할 수 있다. 이러한 기본모듈은 일반 PC는 물론이고 노트북 PC에서도 제공된다. 기본 통신모듈을 사용한 전체적인 제어기와 플랜트의 연결 구성도는 <그림D.3>과 같다. PC에서는 기본 통신모듈로서 LAN, 직렬, 병렬 통신을 지원하는 기능들을 제공하고 있기 때문에 이 통신방식을 활용하면 모의실험 환경을 간단하게 구성할 수 있다는 장점이 있으며 송신속도가 빠르기 때문에 거의 실시간에 가까운 환경이라고 할 수 있다. 또한 <그림 D.1> (b)와 같은 디지털제어기의 경우에는 플랜트에 AD/DA 변환기가 있어 어차피 디지털로 신호가 변환되기 때문에 기본모듈을 사용한 것과 유사하게 된다.

이 책에서 사용하는 셈툴과 심툴 꾸러미에서는 PC의 기본 통신모듈을 활용하여 사용자가 실시간 모의실험 환경을 쉽게 구성할 수 있도록 다양한 명령어와 꾸러미를 제공하고 있다. 이 모의실험 환경구축에는 두 대의 PC를 사용하는데, 이 가운데 하나에는 심툴이나 범용언어를 써서 플랜트를 구현하고, 다른 하나에는 심툴이나 셈툴로 제어기를 실현한다. 그리고 이 PC들 사이의 신호교신에는 기본 통신모듈로서 LAN방식, 직렬방식, 병렬방식 가운데 어느 것이나 쓸 수 있도록 각종 명령어들이 지원되며, AD/DA보드 방식을 지원하는 명령어도 제공된다.

이 부록에서는 플랜트와 제어기를 서로 다른 PC에 구축한 다음에 셈툴과 심툴 꾸러미를 활용하여 제어기와 플랜트를 여러 가지 통신방식 중의 하나를 선택하여 연결하여 실시간 모의실험을 수행하는 방법에 대해 공부한다. 이를 위해 두 대의 PC가 필요한데, 한 쪽 PC는 모의플랜트가 되고 나머지 PC는 이 플랜트를 제어하는 제어기가 된다. 물론 두 대의 PC는 그 역할을 바꾸어 사용할 수 있다. 이 부록에서 사용할 실시간 모의실험 장치의 구성은 다음과 같다.

1) PC 2대 : 윈도우95 이상 버전 탑재

2) 통신방식 : 다음 중 하나

– LAN 연결선 : 이더넷(Ethernet)등 고속 LAN이 있는 경우 접속용

– 표준 직렬 케이블 : PC의 직렬단(serial port) 접속용

– 전용 병렬 케이블 : PC의 병렬단(parallel port) 접속용

– AD/DA 보드 2개, 단자판 2개, 연결선 : AD/DA 방식 접속시

3) 무른모 꾸러미

– 셈툴과 심툴 꾸러미 : 셈툴 홈페이지cemtool.co.kr)에서 제공됨

– 전용 모의플랜트 : 셈툴 홈페이지나 교재에 포함된 CD에서 제공.

이 모의실험 장치에서 제어기는 셈툴이나 심툴로 구성하고, 모의플랜트는 심툴에서 제공되는 전용 모의플랜트를 사용하거나, 사용자가 셈툴이나 심툴, 또는 범용언어를 써서 직접 프로그램을 작성하여 사용할 수도 있다. 이 모의실험에서 통신방식으로는 LAN, 직렬, 병렬방식 가운데 어느 것이나 사용할 수 있으며, 필요한 경우에는 AD/DA 보드를 사용할 수도 있다 .AD/DA 방식 접속시에는 AD/DA 보드 2개, 단자판 2개, 연결선이 필요하게 되며 추가로 구입하고 설치해야 하기 때문에 간단히 다루기가 어렵다..

D.2 실시간 모의실험 구성 및 통신연결

이 책에서는 실시간 모의실험에 쓰이는 제어기를 셈툴이나 심툴을 써서 구성한다. 셈툴과 심툴을 이용하면 원하는 제어시스템을 설계하여 실시간 모의실험을 손쉽게 수행할 수 있다. 심툴에서 제공되는 다양한 기능토막(function block)들을 이용하여 제어기를 구성할 수 있는데, 제어기를 구성한 다음 심툴의 Simulation Start 메뉴를 선택하면 기능토막으로 구성된 제어 알고리즘이 실행되면서 제어신호를 계산하게 된다. 플랜트는 두 대의 PC를 쓰는 경우에는 다른 PC에 설치되며, 심툴 기능토막 중에서 통신용 토막들(TI, TO, PI, PO, SI, SO, AI, AO)을 사용하면 두 PC 사이의 통신용 접합장치를 통해 제어기와 모의플랜트 사이에 데이터가 교환되면서 모의실험이 수행된다. . 그러면 구성법에 대해 각각 살펴보기로 한다.

모의실험장치는 윈도우95 이상 환경에서 두 대의 PC로 구성하는데, 먼저 각 PC에 셈툴/심툴을, 그리고 다른 PC에 전용 모의플랜트 프로그램을 설치한다. 프로그램 설치가 완료되면, 실시간 모의실험을 하기 위하여 셈툴/심툴에서 지원하는 통신연결방식 가운데 사용자가 쓰기에 편리한 방법을 선택하여 모의플랜트와 제어기 사이를 접속한다. 접속방식은 기본 통신모듈을 사용한 연결방법과, AD/DA 보드 추가에 의한 연결방법으로 나뉜다. 이 가운데 기본 통신모듈을 이용하는 접속방식은 PC 사이의 물리적인 연결방식에 따라 LAN방식, 직렬방식, 병렬방식으로 구분되는데, 사용자는 각각의 연결방법에 대한 사전지식이 없어도 심툴에서 이 방식들을 지원하는 해당 토막의 사용법만을 알면 쉽게 쓸 수 있다. 그러면 여기서 각각의 접속방식에 대한 설치방법과 장단점을 살펴보기로 한다.

D.2.1 LAN 통신방식 및 구성

LAN 통신방식은 학교‧연구소‧산업체 등에 설치되어 있는 LAN망에 각각의 PC를 접속함으로써 두 대의 PC를 물리적으로 연결하는 방법이다. 이 방식은 최근에 대부분의 기관에 기본설비로서 LAN이 설치되어 있기 때문에 별도의 굳은모 없이 사용할 PC들을 서로 쉽게 접속할 수 있을 뿐만 아니라, LAN 상에 연결되어 있는 모든 PC에 대하여 적용할 수 있는 장점이 있다. LAN통신 연결을 지원하는 심툴토막은 TI, TO이며, 이 토막을 사용하기 위해서는 LAN에 연결되어 있는 PC의 주소를 서로 맞추어야 한다. 만일, 사용할 PC가 LAN에 연결되어 있지 않거나, 연결하려는 두 PC의 TI, TO 토막에 설정된 주소가 서로 다르면 통신이 이루어지지 않기 때문에 모의실험이 수행되지 않는다. 이 방법은 AD/DA 보드를 사용하는 방식과 함께 쓸 경우에 기본 통신모듈과 AD/DA보드 사이에 굳은모 충돌이 발생하는 경우가 있으므로 주의해야 한다.

LAN 계수설정 및 입출력 동기

Ethernet TCP/IP 방식의 LAN을 사용하여 두 PC를 연결할 때에는 LAN통신 연결용으로 심툴에서 제공하는 TI, TO라는 토막의 계수들만 설정해주면 된다. 먼저 심툴에서 사용할 수 있는 토막 중에서 TI 토막을 선택하여 마우스로 두 번 누르기를 하면 <그림D.4>와 같은 대화상자가 나타나는 것을 볼 수 있다. 이 때 각각의 계수에 해당하는 값은 다음과 같다.

<그림D.4> LAN 통신설정용 심툴토막 대화상자

▣ Number_of_outputs : 입력의 개수를 지정한다. 예를 들어, 만약 단입출력 플랜트이면 1을 지정하며, 입력이 3개인 플랜트라면 3을 지정하면 된다.

▣ Host_address : 이 심툴 토막이 설치되어 있는 PC의 컴퓨터 이름을 기입한다. 이 이름은 네트워크 환경 등록정보에서 컴퓨터 확인을 보면 나오는데, 이 이름을 기입하면 된다. 보통, 플랜트로 사용할 PC 이름을 입력한다.

▣ IP_address : 현재 기입한 Host_address의 PC와 통신할 PC의 컴퓨터 이름을 기입한다. 보통, 제어기로 사용할 PC 이름을 입력한다.

▣ Low_Input : 입력의 최저값을 지정한다. 이 입력 최저값은 통신하고자 하는 PC의 출력 최저값과 반드시 일치해야 한다.

▣ High_Input : 입력의 최대값을 지정한다. 이 입력 최대값은 통신하고자 하는 PC의 출력 최고값과 반드시 일치해야 한다.

TI토막에 대한 설정이 끝나면 TO토막에 대해서도 같이 설정해준다. 여기서 주의할 점은 TI, TO 토막을 사용할 때에 두 토막의 Host_address와 IP_address가 서로 일치하여야 한다는 것이다.

D.2.2 직렬통신 연결 및 구성

직렬통신 방식은 PC의 직렬통신 단자를 이용하여 두 대의 PC를 연결하는 방법이다. 이 때 사용하는 케이블은 표준 직렬통신 케이블을 사용하면 된다. 단, PC에서 9핀과 25핀 연결기(connector)를 각각 사용하는 경우에는 케이블 연결에 주의해야 하며, 양단이 모두 암놈이 되도록 제작하여야 한다. 직렬통신 연결을 지원하는 심툴토막은 SI, SO이며, 이 토막을 사용하기 위해서는 현재 연결되어 있는 직렬단의 번호를 확인해야 한다. 만일, 사용할 PC에 직렬통신 케이블이 연결되어 있지 않거나, 연결되어 있는 직렬단 번호와 SI, SO 심툴토막에 설정된 직렬단자 번호가 서로 다르면 모의실험이 수행되지 않는다. 참고로 알아 둘 사항은, 대부분의 PC에서 직렬 마우스가 연결되는 9핀 직렬단이 1번(직렬 마우스 사용), 25핀을 사용하는 직렬단이 2번인 것이 일반적이다. 최근에는 PC에서 사용하는 마우스가 PS2방식이나 9핀 직렬방식이므로, 양단이 모두 25핀인 암놈 연결기를 쓰되 <표D.1>과 같은 방식으로 핀이 연결되도록 케이블을 직접 만들어서 사용하는 것이 좋다. <표D.1>에는 9핀 연결법에 대해서도 요약하고 있다.

<표D.1> 직렬케이블 연결법

직렬단 계수설정 및 입출력 동기

두 PC 사이에 직렬통신을 하기 위해서는 일반적인 직렬케이블이 필요하다. 이 직렬방식을 설정하기 위해서 심툴에서는 SI, SO 토막을 제공하고 있다. 이 토막의 대화상자는 <그림D.5>와 같으며, 여기에서 설정할 계수에 대한 내용을 요약하면 다음과 같다.

<그림D.5> 직렬통신 설정용 심툴토막 대화상자

▣ Number_of_outputs : 입력의 개수를 지정한다.

▣ Com_Port(1/2) : 직렬단을 지정한다. COM1, COM2를 각각 번호 1, 2로 지정할 수 있는데, 많은 경우 COM1은 마우스로 지정되어 있으므로 COM2를 사용한다. 만약 단자설정이 중복되면 실험이 실행되지 않고 오류 메시지가 나타난다.

▣ Baud_Rate : 직렬통신의 전송속도(Baud rate)를 지정한다. 이 전송속도는 반드시 상대 PC와 같은 값으로 일치시켜야 한다. 기본값은 9600[bps]로 설정되어 있으며, 필요하면 바꿀 수 있다.

▣ Low_Input : 입력의 최저값을 지정한다. 이 입력 최저값은 통신하고자 하는 PC의 출력 최저값과 반드시 일치해야 한다.

▣ High_Input : 입력의 최대값을 지정한다. 이 입력 최대값은 통신하고자 하는 PC의 출력 최대값과 반드시 일치해야 한다.

D.2.3 병렬통신 연결 및 구성

병렬통신방식은 PC의 병렬통신단을 이용하여 두 대의 PC를 연결하여 사용하는 방법이다. 별도의 장비나 보드가 필요 없고 PC에 기본으로 장착되어 있는 병렬단을 직접 이용할 수 있는 장점이 있다. 이 방식을 사용하기 위해서는 반드시 PC의 “CMOS setup” 메뉴 중에서 “Peripheral Setup”의 “병렬 Port Mode”를 ”Normal 또는 EPP 모드“로 선택해야 하며, 양단이 모두 25핀 수놈 연결기로 된 실험 전용 병렬통신 케이블을 제작하여 사용해야 한다. <표D.2>는 병렬통신 케이블을 제작하기 위한 연결기 핀의 연결을 설명한 것이다. 병렬통신 연결을 지원하는 심툴토막은 PI, PO이며, 이 토막을 사용하기 위해서는 현재 연결되어 있는 병렬단의 번호를 확인해서 맞춰놓아야 한다.

<표D.2> 병렬케이블 연결법

병렬통신단 계수설정 및 입출력 동기

두 PC 사이에 병렬통신을 하기 위해서는 10.3.3절에서 설명한 것과 같은 전용 병렬케이블을 만들어야 한다. 심툴에서는 병렬통신 처리를 위해 PI, PO 토막을 제공하는데, 이 토막의 대화상자는 <그림D.6>과 같고 계수설정법은 다음과 같다.

<그림D.6> 병렬통신 설정용 심툴토막 대화상자

▣ Number_of_outputs : 입력의 수를 지정한다.

▣ LPT_Port(1/2) : 병렬단을 지정한다. LPT1, LPT2를 지정할 수 있다.

▣ Low_Input : 입력의 최저값을 지정한다. 이 입력 최저값은 통신하고자 하는 PC의 출력 최저값과 반드시 일치해야 한다.

▣ High_Input : 입력의 최대값을 지정한다. 이 입력 최대값은 통신하고자 하는 PC의 출력 최대값과 반드시 일치해야 한다.

D.2.4 AD/DA 보드 연결 및 구성

이 방식은 가상 플랜트와 제어기 사이의 입출력 데이터를 상호교환하기 위해 AD/DA 보드를 사용하는 방법이다. 이 연결법은 모의플랜트뿐만 아니라 실제시스템을 PC를 통해 제어하는 경우에도 사용할 수 있으므로 가장 실제에 가까운 모의실험 환경을 구축하는 방법이라 할 수 있다. 그러나 앞에서 다룬 기본 통신모듈을 이용한 연결방식에 비해 잡음의 영향을 많이 받고, 비교적 고가라는 단점이 있다. AD/DA 보드는 그 종류가 다양하고 기능과 사용법도 제작사에 따라 서로 다르기 때문에 연결법을 간략히 요약하기가 어려우며, 이 보드를 사용하여 모의실험을 수행하는 방법에 대해서는 참고문헌(권욱현, 1999)을 참조하기 바란다. 심툴에서는 이 방식의 연결을 지원하는 AI, AO 토막을 제공하고 있다.

AD/DA 토막 계수설정 및 입출력 동기

AD/DA 보드를 사용하는 경우에 통신처리를 위하여 심툴에는 AI, AO 토막을 제공한다. 이 토막의 대화상자는 <그림D.7>과 같으며, 각 계수값의 설정방법은 다음과 같다.

<그림D.7> AD/DA 통신설정용 심툴토막 대화상자

▣ Base_IO_Address(0x) : AD/DA 보드의 접근을 위한 기본 I/O단 주소를 입력한다. 이 값은 앞에서 설명한 점퍼 설정과 일치하는 값을 입력시켜주면 된다. 만일 하드웨어적인 설정과 여기서의 설정값이 다르면 심툴이 AD/DA 보드를 제대로 접근하지 못하기 때문에 실험이 제대로 실행되지 못한다. 기본 설정값은 0x300이다.

▣ Channel_Num : AD/DA 보드는 여러 개의 아날로그 입력 채널과 출력 채널을 가지고 있다. 모의실험에서 여러 개의 AD/DA 토막들을 사용할 경우에는 각각을 구분하는 채널 값이 필요하게 된다. 따라서 각각의 AI 토막들과 AO 토막들은 이 채널 값이 서로 달라야 한다. 그리고 PC와 PC간의 AD/DA 보드 연결할 때에도 각 채널들이 적절히 연결되도록 주의해야 한다.

▣ Low_Input : 심툴에서는 입력 최저전압으로 1V를 사용하는데 이 1V를 숫자로 변환했을 때의 값을 의미한다. 주의할 점은 이 값은 모의플랜트의 출력(DA보드)측의 1V를 숫자로 변환했을 때의 값과 일치해야 한다는 것이다. 모의플랜트에서 1V를 변환했을 때의 값은 내부적으로 고정되어 있으므로 이 값은 모의플랜트의 대화상자에 출력의 최저값과 같은 값을 입력시켜 주어야 한다. 이 값과 모의플랜트 최저값이 다르면 전혀 다른 모의실험이 진행되므로 주의해야 한다.

▣ High_Input : 심툴에서는 입력 최대전압으로 5V를 사용하는데 이 5V를 숫자로 변환했을 때의 값을 의미한다. Low_Input의 경우와 마찬가지로 플랜트 모의플랜트의 대화상자에 출력의 최대값과 일치해야 한다. 모의플랜트의 대화상자에서 지정되어 있는 값을 참고로 해서 반드시 같은 값을 입력시켜 주어야 한다. 이 값도 모의플랜트 최대값과 다르면 예상치 못한 결과가 나오므로 주의해야 한다.

D.3 실시간 실험용 모의플랜트 구성 및 접속

이 절에서는 실시간 모의실험에서 플랜트로 사용될 모의플랜트를 구축하는 방법을 다룬다. 모의플랜트는 플랜트의 동특성이나 여러 가지 제약조건들을 실제와 비슷하게 구축한 것으로서, 사용자가 직접 심툴이나 범용언어를 써서 프로그램 함으로써 구축할 수도 있고, 또는 심툴에서 제공하는 전용 모의플랜트를 활용할 수도 있다. 셈툴/심툴에서는 C나 Visual Basic 같은 범용언어로 구축한 플랜트와의 통신기능도 지원하고 있기 때문에 사용자가 필요로 하는 경우에 얼마든지 모의플랜트를 범용언어로 구축할 수 있다. 또한, 심툴에서는 교육 및 실습용으로서 여러 가지 다양한 대표적인 모의플랜트들을 갖추고 누구나 쉽게 활용할 수 있도록 제공하고 있다. 그러면 심툴에서 제공하는 전용 모의플랜트의 종류와 활용법에 대해 살펴보기로 한다. 여기에서 설명하는 내용은 제어기를 구성하고 접속할때와 같다

D.3.1 전용 모의플랜트 활용법

전용 모의플랜트란 컴퓨터에서 실제와 비슷한 플랜트를 구성할 수 있도록 지원되는 프로그램으로서, 아날로그 입출력 기능을 가지며 실제의 플랜트를 흉내내어 그래픽으로 플랜트 모양을 구성하고 플랜트의 입출력 변화량을 그래픽 동화상으로 나타내어 실제 플랜트 없이도 실제와 흡사하게 플랜트의 변화량을 실시간으로 확인할 수 있도록 구성된 시스템을 말한다. 전용 모의플랜트는 플랜트 상태방정식이나 전달함수를 구현하기 위한 개인용 컴퓨터와 계산된 수치를 입출력하기 위한 통신단이나 AD/DA 보드로 구성된다. 전용 모의플랜트는 윈도우 그래픽으로 구성되어 윈도우95 이상의 환경을 필요로 한다. 셈툴/심툴에서는 제어실험 교육 및 실습용으로 여러 가지 전용 모의플랜트를 제공하고 있는데, 여기에서 이 전용 모의플랜트의 특징과 이 플랜트에서 사용하고 있는 통신방식의 설정과 AD/DA 보드 설치 및 모의플랜트의 동작순서와 방법을 정리하기로 한다.

셈툴/심툴에서 제공하는 전용 모의플랜트의 특징은 다음과 같다.

‧ 여러 가지 다양한 플랜트들이 제공되고 있어서 제어실험 교육 및 실습을 다양하게 진행할 수 있다.

‧ 시스템에 대한 설명을 윈도우 창에서 볼 수 있어서 시스템의 정보를 쉽게 알 수 있고, 또한 대화상자를 통해 플랜트의 특성계수들을 바꿀 수 있기 때문에 조건을 바꿔가면서 여러 가지 제어실험을 실행할 수 있다.

‧ 모의실험이 시작되면 실행과정을 동화상으로 보여주기 때문에 제어성능을 시각적으로 직접 볼 수 있다.

‧ 모의실험 결과값을 확장자가 .txt 인 데이터 파일로도 저장해주기 때문에 실험이 끝난 뒤에도 엑셀(Excel) 등의 상용 꾸러미를 이용하여 실험결과를 그림으로 나타내거나 제어성능을 분석할 수 있다.

‧ 제어기 PC와의 교신을 위해 LAN, 직렬, 병렬 통신방식 및 AD/DA보드를 통해 연결하는 방식들을 모두 지원하며 사용자가 선택하여 쓸 수 있다.

전용 모의플랜트의 설치 및 사용법

여기서 다루는 실시간 모의실험에 사용할 전용 모의플랜트의 실행파일들은 셈툴 홈페이지나 교재의 CD에서 제공되어 있다. 이 실행 파일들은 모두 윈도우95 이상의 환경에서 실행되는 윈도우용 프로그램이므로 아이콘으로 등록하여 두면 편리하다. 이 전용 모의플랜트를 이용하는 일반적인 방법은 다음과 같다.

1) 먼저 등록하여 놓은 아이콘을 눌러 모의플랜트를 실행한다.

2) 실행된 플랜트 위에서 오른쪽 마우스 버튼을 누르면 모의플랜트 특성지정 대화상자가 뜨는데, 여기에는 전용 모의플랜트에 관한 계수를 모두 지정할 수 있게 되어 있다. 모든 모의플랜트에 공통적으로 들어있는 부분이 모의실험 시간지정 부분과 모의플랜트의 입출력지정 부분이다. 여기에 지정되어 있는 입출력정보나 사용자가 지정하는 입출력 정보는 심툴/셈툴과의 동기를 위해 중요하다. 이 입출력 정보를 이용하여 심툴/셈툴과 동기화 하는 방법은 바로 앞 절에서 설명한 것과 같다.

3) 지정이 끝난 후 메뉴나 모의플랜트 화면에서 Simulation Start를 나타내는 항목을 누르면 모의실험이 시작된다.

4) 모의실험이 시작되면 플랜트의 출력이 통신단을 통하여 제어기에 연결되고 제어신호가 플랜트에 입력되면서 실시간으로 제어되는 출력이 나타난다. 이 모의실험의 진행상황은 동화상으로 표현되거나 입출력정보를 나타내는 그림표 따위로 나타나기도 한다.

5) 모의실험 동안의 모의플랜트의 응답은 심툴의 실시간 그래프로 나타낼 수도 있고, 필요에 따라서는 데이터 파일로 저장하여 나중에 분석용으로 사용할 수도 있다.

D.3.2 심툴/셈툴을 이용한 개별 모의플랜트 구성법

지금까지 설명한 전용 모의플랜트를 활용하는 방법 이외에 심툴/셈툴을 활용하여 사용자가 직접 모의플랜트를 구성할 수도 있다. 이 방법의 장점은 사용자의 편의에 따라 심툴/셈툴을 이용하여 모의플랜트를 다양하게 구성하여 자신의 목적에 맞는 제어실험을 할 수 있다는 것이다. 심툴/셈툴을 이용한 모의플랜트의 구성법은 D.2절의 심툴/셈툴을 이용한 제어기 구성법과 같다. PC 사이의 통신용 토막의 계수 설정법은 모두 D.2.1절에서 설명되어 있는 방법을 따른다. 심툴/셈툴을 활용하여 모의플랜트를 구성하는 방법을 요약하면 다음과 같다.

1) 두 PC를 LAN에 연결하고 PC의 이름을 확인한다.

2) 심툴의 통신용 토막의 계수설정법에 따라 계수를 설정한다. 이 때 주의할 점은 입출력의 최대, 최소값을 설정할 때 시스템에 따라서 알맞은 값을 설정하여야 한다는 것이다.

3) 원하는 플랜트의 시스템 전달함수의 토막그림을 심툴의 상태공간(state space) 토막을 이용하여 플랜트를 구성한 다음 상태공간 모델 계수와 초기값을 넣어준 후 통신토막과 연결한다.

4) 이렇게 하면 외부와의 입출력 기능을 가진 모의플랜트가 구성된 것이며, 심툴의 Simulation Start 단추를 누르면 모의플랜트가 동작한다.

5) 심툴의 그래프 토막을 이용하면 모의플랜트의 입출력 변화를 실시간으로 볼 수 있으며, 또한 입출력 데이터가 통신토막을 통해 외부로 입출력된다.

심툴/셈툴로 구성한 모의플랜트의 한 예로 물탱크시스템 모의플랜트를 구성하여 디스켓에 W_plant.blk라는 파일로 삽입되어 있다.

D.4 적용사례

우리는 지금까지 실시간 모의실험 환경을 구축하는 방법을 살펴보았다. 이 부록에서는 이렇게 구축된 모의실험 환경 속에서 대표적인 전용 모의플랜트를 대상으로 실시간 제어실험을 수행할 수가 있는 것을 보여주기로 한다, 셈툴/심툴에서는 C++로 제작된 전용 모의플랜트를 제공하는데, 이 가운데 몇 가지의 전용 모의플랜트와 해당 실행파일은 다음과 같다.

– 물탱크시스템 : tank.exe

– 이차원 이동물체 플랜트 : path.exe

– 스프링-질량계 플랜트 : mass.exe

– 역진자 플랜트 : pendulum.exe

.이들 전용 모의플랜트를 이용하면 제어기를 설계한 다음에 실시간 제어실험을 쉽게 수행할 수 있다. 실험에 대한 이해를 돕기 위해 이 절에서는 물탱트 모의플랜트의 개요와 활용 및 적용사례를 살펴본다. 다른것응 비슷하게 적용할수 있다.

D.4.1 물탱크시스템

물탱크시스템은 두 개의 물탱크와 이 물탱크 사이의 물 유입량 조절밸브, 오른쪽 물탱크의 물을 밖으로 내보내는 유출량 조절밸브, 그리고 왼쪽 물탱크에 물을 공급하는 급수장치의 물유입량 조절밸브 등의 세 개의 밸브로 구성되어 있는 유량조절 장치이다. 이 장치에서는 왼쪽 물탱크에 들어가는 물유입량을 조절하여 오른쪽 물탱크로 흘려 보내면서 오른쪽 물탱크의 수위를 원하는 상태로 조절한다. 이 유량 입력장치에는 밸브가 부착되어 있어서 왼쪽 물탱크로 내보내는 물의 유량을 조절할 수 있다. 이 때 이 플랜트에 대한 입력은 유량 입력장치에서 흘러나오는 물의 유량이고 출력은 오른쪽 물탱크의 수위가 되며, 제어의 목적은 오른쪽 물탱크의 수위(출력값)가 원하는 기준입력값에 도달하여 일정하게 유지되도록 조정하는 것이다.

물탱크시스템의 모델식

3.7.2절에서 다루었듯이, 물탱크시스템의 수학적 모델은 다음과 같은 미분방정식으로 표시된다.

여기에서 변수 및 계수들의 정의는 다음과 같다.

– : 각 물탱크의 수위변화량 [m] (상태변수)

– : 급수장치에서 들어오는 유량변화 [ ] (입력변수)

– : 오른쪽 물탱크의 수위변화량 [m] (출력변수)

– : 각 밸브의 저항 [ ]

– : 각 물탱크의 용량 [ ]

여기서 대표적인 계수값들은 이다. 이 값들은 초기에 지정되어 있는 값이지만 사용자가 필요에 따라 바꿀 수도 있다.

모의플랜트의 구성

모의플랜트의 화면은 <그림D.8>과 같이 구성되어 있다. 이 물탱크 전용 모의플랜트는 부록 CD에 “Tank.exe“ 라는 이름으로 저장되어 있다.

<그림D.8> 물탱크 모의플랜트의 모습

이 물탱크 모의플랜트에서는 플랜트계수를 지정하고 기타 선택사항들을 설정하기 위해 <그림D.9>와 같은 대화상자를 제공한다. 이 대화상자를 띄우는 방법에 대해서는 뒤에서 다시 설명하기로 한다. 대화상자에서 지정할 계수들을 간략히 설명하면 다음과 같다.

<그림D.9> 물탱크 모의플랜트 대화상자

▣ 실험시간 : 물탱크의 모의실험 시간을 지정해 준다. 단위는 초로 나타낸다.

▣ 초기유량 : 모의실험이 시작될 때 물탱크의 물 입력장치 입력유량의 초기값을 지정한다. 0에서 333까지의 값을 입력할 수 있다. 단위는 [m3/sec]이다.

▣ 탱크1 수위, 탱크2 수위 : 물탱크 수위의 초기값을 지정한다. 전체 물탱크의 높이가 100m로 한정되어 있기 때문에 0에서 100까지 지정할 수 있다.

▣ 탱크1 용량, 탱크2 용량 : 탱크1과 탱크2의 용량을 지정한다. 각각의 용량에 따라 화면 상의 탱크의 크기가 변한다.

▣ 밸브1 저항, 밸브2 저항 : 밸브1과 밸브2의 저항을 지정한다. 이 양에 따라 물탱크의 높이 비율이 많이 달라진다. 이 저항값이 클수록 밸브를 통과하는 물의 유량이 적어지고, 반대로 이 값이 작을수록 밸브를 통과하는 물의 유량이 커진다.

▣ 최대 물 입력유량 : 물 입력장치에서 흘러나오는 물의 입력 유량은 ADC의 입력 전압에 의해 결정되는데, 입력유량의 최대값이란 ADC로 최대전압이 입력된 경우 (앞에서 이 범위를 +5V로 지정하였음), 이 값이 변환되었을 때의 입력유량값을 뜻하게 된다. 이 값은 내부적으로 333으로 고정되어 있다. 다시 말해서 ADC에 최대 5V가 입력될 때 입력유량이 333으로 변환되는 것이다.

▣ 최소 물 입력유량 : ADC로 최소전압이 입력된 경우 (심툴은 ADC의 전압범위를 1V에서 5V까지 사용하므로, 최소전압이란 1V를 의미함), 이 값이 변환되었을 때의 입력유량값이다. 이 값은 내부적으로 0으로 고정되어 있다. 다시 말해서 ADC에 1V가 입력될 때 이에 대한 입력유량이 0으로 변환됨을 뜻한다.

▣ 최대 수위 : 물탱크 모의플랜트의 출력값은 DAC를 통해서 심툴 입력으로 들어가게 되는데, 출력의 최대값이란 DAC의 출력전압이 최대(+5V)가 되기 위한 오른쪽 물탱크의 높이를 말한다. 이 값은 내부적으로 100m로 고정되어 있다.

▣ 최소 수위 : DAC의 출력전압이 최소(+1V)가 되기 위한 오른쪽 물탱크의 높이를 말한다. 이 값은 내부적으로 0m로 고정되어 있다.

▣ 통신방식 설정 : 두 PC 사이에 통신방식을 설정하는 것으로서 직렬, LAN, AD/DA, 병렬 방식 가운데 하나를 선택한다.

1) Serial Mode : 통신방식 가운데 직렬방식을 선택하면, 다음 두 가지 직렬통신과 관련된 명세를 지정하여야 한다.

– Serial Com Port(1/2) : 통신단을 지정한다. 지정할 수 있는 통신단은 1과 2이다.

– Serial Baud Rate : Serial의 초당 byte 수를 지정한다.

2) Lan Mode : 통신방식 중 LAN방식을 선택할 경우에는 다음을 설정한다.

– Host Name : 현재 물탱크 모의플랜트가 설치된 컴퓨터의 이름을 지정한다.

– Peer Name : 모의플랜트를 제어할 제어기가 설치된 컴퓨터의 이름을 지정한다.

3) AD/DA Mode : 통신방식 중 AD/DA 방식을 선택하면, 다음 사항들을 지정한다.

– AD Base Address : ADC의 기본주소(Base Address)를 설정한다. 이 주소는 AD보드의 하드웨어 점퍼 설정법에 따라 정한다.

– DA Base Address : DAC의 기본주소를 설정한다. 이 주소도 DA보드의 하드웨어 점퍼 설정법에 따라 정한다.

4) Parallel Mode : 통신방식 가운데 병렬방식을 선택하면 프린터단이 통신단으로 설정되며, 따라서 이 방식에서는 따로 설정해야 할 사항은 없다.

물탱크 플랜트의 사용법

1) 디스켓에 수록된 물탱크 모의플랜트 파일인 “Tank.exe”는 윈도우3.1이나 윈도우95에서 실행되는 프로그램이므로, 먼저 이 프로그램의 아이콘을 윈도우에 등록해두는 것이 편리하다.

2) 메뉴에서 Simulation-Initialize Box를 누르거나, 윈도우 안에서 마우스의 오른쪽 단추를 누르면 <그림D.9>의 대화상자가 나타난다. 이 상자에 원하는 값들을 설정한다.

3) 그런 다음 메뉴에서 Simulation-Start를 누르거나, 메뉴 안에서 마우스의 왼쪽 버튼을 두 번 연속 누른다. 그러면 대화상자에서 지정한 시간 동안 모의플랜트가 동작한다.

4) 모의실험 동안의 입출력변화는 동화상으로 나타나며 동시에 “tank.txt” 파일에 저장된다. 따라서 실행이 끝난 다음에 엑셀이나 기타 상용 꾸러미를 써서 그래프를 그려서 제어성능을 분석하여 확인할 수 있다. <그림D.10>은 동화상의 일부 화면이다.

<그림D.10> 물탱크 모의실험에서 나오는 출력 동화상

심툴/셈툴을 이용한 모의플랜트 구성

물탱크의 수학적 모델은 상태방정식으로 표시되므로 심툴의 상태공간 토막을 이용하면 물탱크 모의플랜트를 쉽게 구성할 수 있다. 이렇게 구성한 플랜트는 W_plant.blk라는 파일로서 구성도는 <그림D.11>과 같다. 이 토막그림에서 심툴의 S_SPACE 토막을 눌러 <그림D.11>의 대화상자를 열고 물탱크시스템의 계수 및 초기값을 넣는다. 이 때 TI, TO 토막에 대한 계수는 이미 적절히 설정되어 있으므로 Host_Address와 IP_Address의 이름만 서로 맞추어 놓으면 된다. 여기서 TI 토막의 최대값은 333으로서 입력유량의 한계를 지정하며, TO 토막의 최대값은 100으로서 오른쪽 물탱크의 최대수위를 지정한다.

<그림D.11> 물탱크 모의플랜트 구성도 및 대화상자

심툴에 의한 PID 제어기 구성

위에서 설명된 물탱크 플랜트를 제어하기 위해서는 또 하나의 PC에 제어기를 구성해야 한다. 셈툴과 심툴을 이용하면 이러한 제어 알고리즘을 그래픽 토막그림으로 쉽게 구현할 수 있다. 그리고 심툴에서 제공되는 LAN통신 연결토막인 TI, TO를 사용하면 제어기와 모의플랜트간의 입출력 데이터를 교환할 수 있다. 물탱크 플랜트를 제어하기 위한 제어 알고리즘 중에서 PID를 이용한 제어 알고리즘을 적용해본다. PID 알고리즘을 이용하여 구성된 심툴 토막그림 예제 파일이 부록 CD에 수록되어 있는 “Water_t.blk”이다. <그림D.12>는 이 파일에 저장된 토막그림을 나타낸다. 이 때 TI, TO 토막에 대한 계수는 이미 적절히 설정되어 있으므로 Host_Address와 IP_Address의 이름만 서로 맞추어 놓으면 된다. 만약에 설정되어 있지 않은 경우에는 TI, TO 토막의 계수는 연결되는 모의플랜트의 TO, TI 토막계수와 맞추어 설정하면 된다.

<그림D.12> 물탱크 제어를 위한 심툴 토막그림

앞서 설명하였듯이, 실시간 모의실험을 위해서는 두 대의 PC가 필요하다. 먼저 플랜트가 설치된 PC에서 물탱크 모의플랜트를 실행시키고(“Tank.exe”라고 쓰여 있는 아이콘을 마우스로 두 번 눌러 실행시키면 물탱크 플랜트가 실행됨) 다른 PC에서는 셈툴과 심툴의 아이콘을 마우스로 두 번 눌러 각각 실행시킨다. 이때 주의할 점은 모의실험을 위해서는 반드시 셈툴과 심툴이 모두 실행되어있는 상태이어야만 한다는 것이다. 그런 뒤 심툴에서 파일열기 메뉴를 선택해서 물탱크 제어를 위한 제어예제 토막그림인 “Water_t.blk” 파일을 부른다. 좌측 상단에 SUM토막의 첫 번째 입력으로 들어가는 CNST 토막이 원하는 기준 입력을 나타내는 토막이다. 이 기준 입력은 우리가 제어하고자 하는 오른쪽 물탱크의 수위에 대한 기준값이 된다. 따라서 나중에 이 값을 변경시켜 봄으로써 오른쪽 물탱크의 수위를 바꾸어 볼 수 있다. SUM토막의 두 번째 입력으로 들어가는 TI 토막은 플랜트에서 나오는 출력을 입력으로 받는 토막이다. SUM토막의 출력에 붙어 있는 세 개의 토막은 각각 P, I, D 토막이다. I와 D토막에는 이득 토막들이 붙어 있어서 이득을 조절할 수 있다. TO 토막은 제어기의 출력을 나타내며 LAN을 통해 플랜트 PC의 입력으로 들어가게 된다. TI 토막과 SUM 토막의 출력단에 SCOPE 토막을 붙여 실시간으로 데이터의 변화를 볼 수 있도록 하였다. 물탱크 모의플랜트에서 위에서 설명된 방법으로 모의실험을 시작하고, 동시에 심툴의 모의실험 시작메뉴를 누르면 물탱크 플랜트의 두 번째 탱크의 수위가 CNST 토막에서 지정한 값으로 따라가는 것을 볼 수 있다. <그림D.13>은 CNST 토막에서 기준값을 20으로 하였을 때의 모의실험 결과이다.

위에서 실행해 본 모의실험을 기반으로 몇 가지 계수를 변경해 봄으로써 여러 가지 실험을 해볼 수 있다. 먼저 위에서 잠깐 설명된 것처럼 물탱크 플랜트에서 제어하고자 하는 오른쪽 물탱크의 수위를 변경시키려면 심툴의 토막그림에서 CNST 토막의 값을 수정하면 되는데, CNST 토막에다 마우스를 대고 왼쪽 단추를 두 번 누른다. 그러면 토막 정보창이 뜨게 되는데 여기서 “Value” 계수를 원하는 수위값으로 고친 뒤 OK버튼을 누르면 된다. 다른 토막들의 값들도 마찬가지 요령으로 계수 값을 바꿀 수 있다. 예를 들어, P제어만 하고 싶다면 I, D 토막 앞에 붙어 있는 이득 토막의 값을 0으로 하면 된다. 모의실험 시간을 좀 더 길게 하려면 모의실험 계수 메뉴를 선택한다. 그러면 모의실험 계수창이 뜨게 되는데 거기서 Stop Time 값을 원하는 값으로 변경시키면 된다. 샘플링 시간은 Step Size로 조절하면 된다.

<그림D.13> 물탱크의 실시간 모의실험 결과

D.4.2 기타 모의플랜트

셈툴/심툴에서는 물탱크 모의플랜트 외에도 여러 가지를 제공하고 있는데, 이 나머지 모의플랜트의 사용법도 지금까지 다룬 시스템과 거의 비슷하므로 누구나 쉽게 사용할 수 있다. 이 모의플랜트의 구성은 다음과 같이 요약할 수 있다.

모의플랜트 개요

구현된 플랜트들은 모두 <그림D.14>와 같은 모양의 윈도우를 가지며, 왼쪽 그래프는 단입출력일 때에는 입력을 나타내고 다변수 시스템에서는 출력1을 나타낸다. 두 번째 그래프는 단입출력 시스템일 때에는 출력을 나타내며 다입출력 시스템에서는 출력2를 나타낸다.

<그림D.14> 구성된 모델의 입출력 그래프를 나타내는 윈도우

모의플랜트 대화상자

시스템의 입출력 관계 설정을 위해 <그림D.15>와 같은 대화상자를 제공한다. 대화상자에서 지정할 수 있는 설정값은 다음과 같다.

<그림D.15> 시스템 명세 지정 대화상자

▣ Time(모의실험 시간) : 시스템의 모의실험 시간을 지정해 준다. 단위는 초로 나타낸다.

▣ Maximum Control Input 1(입력1의 최대치 설정) : A/D의 최대값에 해당하는 5V에 대응하는 입력을 사용자가 직접 설정하도록 되어 있다.

▣ Maximum Control Input 2(입력2의 최대치 설정) : A/D의 최대값에 해당하는 5V에 대응하는 두 번째 입력을 사용자가 직접 설정하도록 되어 있다. 이 값은 단일 입력이 아닌 다중 입력일 때 의미 있는 값을 가지며 단일 입력이면 이 수치는 의미가 없다.

▣ Maximum Output 1(출력1의 최대치 설정) : D/A의 최대값에 해당하는 5V에 대응하는 출력을 사용자가 직접 설정하도록 되어 있다.

▣ Maximum Output 2(출력2의 최대치 설정) : D/A의 최대값에 해당하는 5V에 대응하는 출력을 사용자가 직접 설정하도록 되어 있다. 이 값은 단일 출력이 아닌 다중 출력일 때 의미 있는 값을 가지며 단일 출력이면 이 수치는 의미가 없다.

모의플랜트 사용법

1) 먼저 막대그래프 하단에 System Spec을 선택한다.

2) <그림D.15>와 같은 대화상자가 나타나며 시스템에 따라 원하는 입출력 값을 넣는다.

3) 막대그래프 하단의 Start Sim을 선택하여 지정된 시간동안 모의실험을 한다.

4) 모든 입출력 상황을 윈도우에 나타나는 실시간 그래프를 통하여 확인 할 수 있다.

구현된 모의플랜트

그 외에도 제공되는 모의플랜트로는 보일러시스템, 자기부상시스템, 볼막대시스템, 능동현가시스템, 전동기구동기, F404 비행체 엔진, 기중기, 고속열처리공정기, 공조기 따위가 그 예이다. 이 모의플랜트에 대해서는 참고문헌 (권욱현, 1999)을 참조하기 바란다

D.5 익힘문제

[D.1] 물탱크 전용 모의플랜트를 써서 PID제어 실시간 모의실험을 수행하면서

1) P계수를 바꿔가면서 응답을 구하라.

2) I계수를 바꿔가면서 응답을 구하라.

3) D계수를 바꿔가면서 응답을 구하라.

4) PID 계수와 출력응답 사이의 관계를 정리하여 설명하라.

[D.2] 능동 현가장치의 1/4차 모델(3.7.3 절 참조)에서

1) 모의플랜트를 심툴로 구성하라.

2) 계단입력에 대한 응답을 살펴보고 8장에서 익힌 자동동조법을 써서 PID계수를 선정하라.

3) PID제어기를 심툴로 구성하고 이 제어기를 심툴로 구성한 모의플랜트에 연결하여 계단응답을 구하고 시간영역 성능을 분석하라.

[D.3] 직류서보모터(3.7.4 절 참조)의 실시간 모의플랜트를 심툴로 작성하고 PID 제어기를 셈툴로 구성하여 되먹임제어 시스템을 실험하라.

[D.4] 역진자 전용 모의플랜트에서 역진자의 모델 (10.1)을

1) 상태를 로 정의하고 상태공간 모델을 구하라.

2) 상태공간 모델에서 출력되먹임 제어기를 설계하여 심툴로 구성하고 모의실험을 하라.

[D.5] 보일러(3.7.5 절 참조)의 모의플랜트를 심툴로 작성하라. 상태변수영역 출력되먹임 제어기를 설계하여 또 다른 PC에 심툴로 제어기를 구현하라. 두 대의 PC를 연결하여 되먹임 제어시스템을 구성하고 모의실험을 하라.

[D.6] 물탱크 전용 모의플랜트에서 상태공간 모델을 써서

1) 상태되먹임 제어기와 상태관측기를 설계하라.

2) 출력보상형 명령추종기를 설계하고 단위계단응답을 구하는 모의실험을 하라.

제어상식 : 연산기능을 통한 제어기 구현법

토막선도에 있는 덧‧뺄셈 기능과 증폭 및 적분기능의 구현법은 다음과 같다.

1) 전자회로를 이용한 아날로그 제어기 구현

OP Amp, 저항, 용량기를 이용하여 전자회로로써 구현할 수 있다. 덧셈기와 증폭기 및 적분기를 구현한 예는 다음과 같다.

위의 연산회로들을 조합하면 다음과 같은 전달함수를 갖는 PID제어기를 구현할 수 있다.

제어기회로는 왼편과 같으며, 여기서 PID계수는 다음과 같이 저항과 용량기에 의해 조절한다.

2) 마이크로 프로세서를 통한 디지털제어기 구현

디지털 제어기는 마이크로 프로세서 칲, RAM, A/D 및 D/A 변환기 따위로 이루어지는데, 이 방식에서는 덧뺄셈, 증폭, 적분기능 및 일반적인 제어기의 기능을 쉽게 구현할 수 있다. 디지털 제어기에서는 외부에서 들어오는 아날로그 신호를 A/D변환기를 통하여 디지털 신호로 변환하고, 이 디지털 신호를 써서 RAM에 저장되어있는 제어기 알고리즘과 마이크로프로세서 칲의 연산기능을 이용하여 디지털 제어입력을 계산해낸다. 계산된 디지털 제어입력은 D/A 변환기를 통하여 아날로그 신호로 변환되어 출력됨으로써 제어동작을 수행한다. 아래 그림은 디지털 제어기를 구현한 예를 보여주고 있다.

[공업수학] 6.1 라플라스 변환, 라플라스 변환표, 일차변환 (s-shifting)

#공업수학

#라플라스변환

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드디어 라플라스 변환입니다. 공업수학에서 배우는 미분방정식은 총 세 가지가 있습니다. Linear ODEs, Power Series, Laplace Transformation. 사실 세 가지 모두 ODE에 관한 내용이지만(거기다 대부분의 경우 Linear) 해법과 형태가 다르다는 점에서 다른 분류로 취급됩니다. 챕터 1부터 3까지 해서 첫 번째 Linear ODEs를 공부하였는데 Power Series(멱급수) 해법은 개인적으로 별로 재미가 없는 파트라 건너뛰고 바로 Awesome한 라플라스 변환을 소개합니다.

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6.1부터 6.5까지 총 다섯 개의 게시글로 다뤄질 예정이며 각 게시글에 담긴 개념들은 ‘미분방정식의 해를 구한다’라는 공통적인 목적을 가지고 있습니다. 이를 기억한다면 낯선 개념들 앞에서 ‘이 생소한 걸 왜 이걸 배워야 하는 거지?’ 라는 의문은 어느정도 해소될 수 있을 겁니다.

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15강. 라플라스 변환

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[ 라플라스 변환(Laplace Transform) ]

라플라스변환이란 시간영역에있는 함수를 주파수의 영역으로 바꿔주는 함수를 말합니다. 라플라스 변환을 사용하는 이유는 다양한 입력함수에 적용이 가능하다는 점입니다. 그리고 회로의 초기조건들을 알때, 미분방정식을 푸는것보다 훨씬 더 간단하게 회로를 해석할 수 있습니다. 마지막으로 회로전체의 응답을 한 번의 계산으로 쉽게 파악할 수 있습니다. 이제 라플라스 변환의 정의를 해보겠습니다.

시간함수 f(t)를 주파수함수 F(s)로 변환한 모습입니다. 위 식에서 s는 복소수 변수로서 실수와 허수부로 나뉩니다.

$$ s = \sigma+j\omega$$

라플라스 변환에대한 설명을 이어가기 전, 단위계단함수와 임펄스함수에대해서 다루고 넘어가도록하겠습니다.

① 단위계단함수 (Unit Step Function)

단위계단함수는 시간 t가 0보다 작을때는 함수값이 0, 0보다 클때는 함수값이 1입니다. 즉, 특정시간에 스위치를 켰을 때, 회로의 동작을 표현하기에 적합한 함수입니다.

② 임펄스함수

임펄스함수는 t=0일때만 정의되는 함수입니다. 그리고 시간의 전 구간에서 적분을 하면 1이라는 값이 나오게됩니다. 이 함수는 주로 다른 함수와 곱해져 특정시간의 함수값을 추출하는데 사용하게 됩니다. 아날로그-디지털변환에서 신호를 샘플링하는데도 사용되는 함수입니다.

$$f(t)$$ $$F(s)$$ $$\delta(t)$$ 1 $$u(t)$$ $$\frac{1}{s}$$ $$e^-{at}$$ $$\frac{1}{s+a}$$ $$t$$ $$\frac{1}{s^2}$$ $$t^n$$ $$\frac{n!}{s^{n+1}}$$ $$\sin{\omega t}$$ $$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$$ $$\cos{\omega t}$$ $$\frac{s}{s^2+\omega^2}$$ $$sin(\omega t+\theta)$$ $$\frac{s \sin\theta+\omega \cos\theta}{s^2+\omega^2}$$ $$cos(\omega t+\theta)$$ $$\frac{s \sin\theta-\omega \cos\theta}{s^2+\omega^2}$$ $$e^{-at}\sin(\omega t+\theta)$$ $$\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$$ $$e^{-at}\cos(\omega t+\theta)$$ $$\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$$

각 대표적인 시간함수의 라플라스 변환결과를 정리한 표입니다. 위 식에서 2가지식에 대해서 증명하고 넘어가도록 하겠습니다.

성 질 $$f(t)$$ $$F(s)$$ Linearity $$a_1f_1(t)+a_2f_2(t)$$ $$a_1F_1(s)+a_2F_2(s)$$ Scaling $$f(at)$$ $$\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$$ Time Shift $$f(t-a)u(t-a)$$ $$e^{-as}F(s)$$ Frequency Shift $$e^{-at}f(t)$$ $$F(s+a)$$ Time Differentiation $$\frac{df}{dt}$$ $$sF(s)-f(0^-)$$ $$\frac{d^nf}{dt^n}$$ $$s^nF(s)-sf'(0)- … -f^{n-1}(0)$$ Time Integration $$\int_{0}^{t}f(x)dx$$ $$\frac{1}{s}F(s)$$ Frequency Differentiation $$t(f)$$ $$-\frac{d}{ds} F(s)$$ Initial value $$f(0)$$ $$\lim_{s\rightarrow \infty}sF(s)$$ Final value $$f(\infty)$$ $$\lim_{s\rightarrow 0}sF(s)$$ Convolution $$f_1(t) \ast f_2(t)$$ $$F_1(s)F_2(s)$$

위의 표는 라플라스 변환의 성질입니다. 마찬가지로 위의 나온 예에서 몇가지 증명을 통해 식이 성립하는지 보여드리겠습니다.

※ 라플라스 변환의 적용

시간함수 f(t)의 시간에따른 함수값을 나타낸 그래프입니다. 먼저 이 함수를 라플라스 변환하기 이전에 함수를 시간에대한 표현식으로 나타내야합니다.

[ 라플라스 역변환 (Inverse Laplace Transform) ]

주파수영역의 함수 F(s)의 경우 다시 시간함수로 변환하기위해서 라플라스 변환을 역으로 적용하여 원래의 시간함수로 바꿔야만 시간함수에대한 해석을 완료할 수 있습니다. 변환 방법에대해서 간단한 예를 통해 알아보겠습니다.

함수 F(s)를 원래의 시간함수로 돌려놓는 주요 테크닉은 부분 분수로 분해하여 계산하는 방법이 있습니다.

[ 컨볼루션 (Convolution) ]

컨볼루션은 번역하면 합성곱이라고도 합니다. 연산하고자하는 함수 중 하나를 반전시켜 시간축에따라 이동시키면서 그 값을 구하여 얻어내는 값입니다.

$$y(t)=x(t)\ast h(t) = h(t)\ast x(t)$$

컨볼루션은 교환법칙이 성립합니다. 함수 y(t)의 결과값을 구하는 방식 계산과정은 다를 수 있지만, 두 연산의 결과값은 동일합니다. 이제 컨볼루션의 정의대로 예제를 통해 계산해보겠습니다.

$$① 02 $$

$$\int_{t-1}{2} 1\times\2 = 6-2t $$

위 과정들을 종합하여 컨볼루션 연산 결과값 y(t)에대한 그래프를 그려보면

위와 같이 결과가 나옵니다.

이상으로 라플라스변환에대해서 포스팅 마치도록하겠습니다. 다음포스팅에서는 라플라스변환을 회로에 적용하는 방법과 몇 가지 문제를 통해서 확인하도록하겠습니다. 감사합니다 🙂

#3.2 Laplace Transform-2(라플라스변환법 기본공식들)

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#0. 기본공식

지난글에서 간단하게 변환이란것에 대해 소개하고, 그 중 라플라스 변환이란 것에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 라플라스 변환공식들중 대표적인 것(다항함수, 지수함수, 삼각함수)들을 직접 계산해보고 결과를 얻어내 보겠습니다. 위의 표는 라플라스 변환표 입니다.

#1. 다항함수

다항함수의 경우 차수가 커져도 일정한 규칙이 보이기 떄문에 일단 t 부터 알아보도록하겠습니다.

t제곱도 넣어보도록 하겠습니다.

마지막항을 보면 t를 넣었을때와 비교해서 바뀐건 2t로 된것이지요? 즉 t를 넣었을때의 과정이 2번 이루어지고 t의 차수가 한번 더 곱해지는 것과 같으므로 값은

이 됩니다. t 세제곱을 넣어도 마찬가지일것입니다. 결국 분모의 차수는 t의 차수를 따라가고 적분되면서 t의 차수가 한번 더 곱해진다고 생각하면 분자는 1x2x3x4x….xN의 형태를 띄게 되겠지요. 그래서 일반식을 적어보면

이런식을 가지게 됩니다.

#2. 지수함수

지난 글의 마지막부분을 보면 s-shifting 이란것을 잠시 언급했을겁니다. e^at 같은 경우 라플라스 식안에도 지수함수가 들어가 있기 떄문에 계산이 쉽습니다.

어떤 함수든간에 앞에 e^at 꼴이 곱해져있다면 그만큼 s->s-a를 대입해서 변환 할 수 있습니다. 라플라스는 S세상에서 벌어지는 일이라고 했습니다. 그렇다면 xy평면에서 벌어지는 일과같이 라플라스에서는 s축방향으로 a만큼 평행이동했다고 생각할 수 있습니다. 즉, e^at 는 s축의 방향으로 평행이동할 수 있는 도구인 셈이지요. 이것을 s-Shifting 이라고 합니다. 나중에 복잡한 형태의 라플라스 역변환시에 s-a형태를 발견한다면 평행이동을 통해 더 쉽게 구할 수 있게 되는 것입니다.

#3. 삼각함수

삼각함수의 경우 cos과 sin이 서로 미분했을때 비슷해지기 때문에 서로에 대한 라플라스값을 이용하게 됩니다.

마지막항을 보면 앞의 계수 w/s를 제외하고 보면 sinwt 의 라플라스 변환식과 동일해집니다. 따라서 이것을 반영해서 계산식을 다시 세우면

가 됩니다. 그렇다면 반대로 sin을 라플라스 변환하면 cos에 관한 라플라스가 나오게 되겠죠?

이것을 위의 coswt 변환에 넣어주면

마찬가지로 sin의 변환값에 cos값의 변환을 대입하여 계산해주면

이 됩니다.

#4. s- Shifting

앞에서 언급했던 s축 평행이동입니다. 어떤 함수에 지수함수꼴이 곱해져 있다면 쉽게 변환 할 수 있다는 것이지요. 예시를 통해 확인 하고 넘어가도록 하겠습니다.

이렇게 해서 라플라스변환법의 기본적인 공식들에 대한 증명들을 해보았습니다. 다음글에서는 미분방정식을 직접 라플라스변환하여 좀 더 쉽게 풀이하는 방법들에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

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라플라스 변환 | 표 방법 예제 라플라스 변환의 역사

라플라스 변환 | 표 방법 예제 라플라스 변환의 역사

라플라스 변환 미분 방정식을 푸는 기술입니다. 여기서 시간 도메인 형태의 미분 방정식은 먼저 주파수 도메인 형태의 대수 방정식으로 변환됩니다. 대수 방정식을 주파수 영역에서 풀면 최종적으로 시간 영역 형태로 변환되어 미분 방정식의 궁극적 인 해법을 얻습니다. 다른 말로 표현하자면, 라플라스 변환 미분 방정식을 푸는 간단한 방법 일뿐입니다.

이 기사에서 우리는 라플라스 변환 차동 문제 해결 방법방정식. 그것들은 또한 입출력 시스템을위한 전달 함수를 형성하는 방법을 제공하지만, 여기서는 다루지 않을 것이다. 블록 다이어그램을 사용하여 제어 엔지니어링을위한 기본 빌딩 블록을 제공합니다.

많은 종류의 변형이 이미 존재하지만 라플라스 변환 및 푸리에 변환이 가장 잘 알려져있다. 라플라스 변환은 일반적으로 미분 방정식을 간단하고 해결할 수있는 대수 문제로 단순화하는 데 사용됩니다. 대수학이 조금 복잡해 지더라도 미분 방정식을 푸는 것보다 풀기가 더 쉽습니다.

도움이 될만한 재미있는 비유라플라스를 이해하는 것은 이것입니다. 당신이 이해하지 못하는 영어시를 보게된다고 상상해보십시오. 그러나, 당신은이시를 이해하는데 탁월한 스페인 친구가 있습니다. 그래서이시를 스페인어로 번역하여 보내 주시면 스페인어로이시를 설명하고 다시 보냅니다. 당신은 스페인어 설명을 이해하고시의 의미를 영어로 다시 옮겨서 영어시를 이해할 수 있습니다.

실생활에서 사용되는 Laplace 변환은 어디에 있습니까?

그만큼 라플라스 변환 Lerch의 취소 법에서 파생 된 것입니다. 라플라스 변환 방법에서 시간 영역의 함수는 주파수 영역의 라플라스 함수로 변환됩니다. 이 라플라스 함수는 대수 방정식의 형태를 가지며 쉽게 풀 수 있습니다. 해답은 역 라플라스 변환을 사용하여 다시 시간 영역으로 변환 할 수 있습니다.

이 변환은 제어에 가장 일반적으로 사용됩니다.시스템을 사용합니다. 변형은 환기, 난방 및 공기 조건 등과 같은 시스템을 연구하고 분석하는 데 사용됩니다. 이러한 시스템은 현대의 모든 건설과 건축에 사용됩니다.

라플라스 변환은 또한 프로세스에 중요합니다.통제 수단. 변수 분석시 변경되면 필요한 결과가 산출됩니다. 이 예는 열과 관련된 실험에서 찾을 수 있습니다.

이 두 가지 예제를 제외하고 라플라스 변환은 많은 엔지니어링 응용 프로그램에서 사용되며 매우 유용한 방법입니다. 그것은 전자 공학과 기계 공학 모두에 유용합니다.

동적 제어 시스템의 제어 동작전기, 기계, 열, 유압 등이 미분 방정식으로 나타낼 수 있는지 여부. 시스템 미분 방정식은 시스템이 지배하는 물리적 법칙에 따라 유도됩니다. 제어 시스템을 설명하는 미분 방정식의 해법을 용이하게하기 위해 방정식은 대수 형태로 변형됩니다. 이 변환은 라플라스 변환 기술, 즉 시간 영역 미분 방정식은 주파수 영역 대수 방정식으로 변환됩니다.

라플라스 변환의 정의

f (t)를 t의 함수라고하고, 모든 t≥0에 대한 시간이라고하자.

그러면 f (t), F (s)의 라플라스 변환은 다음과 같이 정의 할 수있다.

라플라스 변환 방법의 단점

적분이 존재하면 제공됩니다. 여기서 Laplace Operator, s = σ + jω; 실수 또는 복합 j = √ (-1)

라플라스 변환은 오직 푸는 데에만 사용될 수 있습니다.복잡한 미분 방정식 및 모든 훌륭한 방법과 마찬가지로, 그것은 그렇게 큰 것처럼 보일 수없는 단점이 있습니다. 즉,이 방법을 사용하여 알려진 상수가있는 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 알려진 상수가없는 수식이있는 경우이 방법은 쓸모가 없으므로 다른 방법을 찾아야합니다.

라플라스 변환의 역사

수학의 변환은하나의 기능을 동일한 도메인에 없을 수도있는 다른 기능으로 변환. 변환 방법은 직접 해결할 수없는 문제에서 응용 프로그램을 찾습니다. 이 변환은 프랑스에서 살았던 수학자이자 유명한 천문학 자 Pierre Simon Laplace의 이름을 딴 것입니다.

그는 자신의 추가에 비슷한 변형을 사용했다.확률 이론 그것은 2 차 세계 대전 이후 인기가되었습니다. 이 변환은 영어 전기 기술자 인 Oliver Heaviside에 의해 인기를 얻었습니다. Niels Abel, Mathias Lerch, Thomas Bromwich와 같은 다른 유명한 과학자들은 19 세기에 이것을 사용했습니다.

Laplace Transforms의 전체 역사레오나드 오일러 (Leonhard Euler)라고하는 또 다른 위대한 수학자가 다른 유형의 적분에 관해 연구했을 때입니다. 그러나 오일러는 그것을 아주 멀리 추구하지는 않았고 그것을 남겼습니다. 오일러를 존경하는 사람은 조셉 라그랑주 (Joseph Lagrange)라고 불렀습니다. 오일러의 작업을 약간 수정하고 더 많은 작업을 수행했습니다. LaGrange의 작업은 38 년 후인 1782 년에 Euler가 중단 한 곳에서 계속 Laplace의 관심을 받았다. 그러나 3 년 후 아니 었습니다. 1785 년 라플라스 (Laplace)는 천재의 뇌졸중이 있었고 우리가 미분 방정식을 영원히 풀 수있는 방법을 바꾸었다. 그는 계속해서 작업하고 1809 년까지 라플라스 변환의 진정한 힘을 계속해서 풀어 냈습니다. 여기서 무한 성을 완전한 조건으로 사용하기 시작했습니다.

라플라스 변환 방법

라플라스 변환은 중요한 부분입니다.제어 시스템 공학. 제어 시스템을 연구하거나 분석하기 위해, 우리는 여러 기능 (시간의 함수)의 라플라스 변환을 수행해야한다. 역 라플라스는 Laplace 형태의 함수 f (t)를 찾는 데 필수적인 도구이기도합니다. 역 라플라스 및 라플라스 변환은 동적 제어 시스템을 분석 할 때 특정 속성을 갖습니다. 라플라스 변환에는 선형 시스템에 대한 몇 가지 특성이 있습니다. 다른 속성은 다음과 같습니다.

선형성, 미분, 통합,주파수 시프 팅, 시간 스케일링, 시간 시프 팅, 컨볼 루션 (convolution), 컨쥬 게이션 (conjugation), 주기적 함수 (periodic function). 제어 시스템과 관련된 두 가지 매우 중요한 정리가 있습니다. 이것들은 :

초기 값 정리 (IVT) 최종 가치 정리 (FVT)

라플라스 변환은단위 임펄스, 스텝, 단위 스텝, 시프트 된 단위 스텝, 램프, 지수 붕괴, 사인파, 코사인, 쌍곡선 사인, 쌍곡선 코사인, 자연 대수, 베셀 함수 등이 있습니다. 그러나 라플라스 변환을 적용하는 가장 큰 이점은 대수 방정식으로 변환하여 고차 미분 방정식을 쉽게 풀 수 있다는 것입니다.

따라야 할 특정 단계가 있습니다.시간 함수의 라플라스 변환을하기 위해서입니다. 시간 함수 f (t)를 주어진 라플라스 변환으로 변환하기 위해서 다음 단계를 따라야한다.

먼저 f (t)에 e를 곱한다. -성 , s는 복소수 (s = σ + j ω)이다.

, s는 복소수 (s = σ + j ω)이다. 한계와 무한대로이 제품을 통합하십시오. 이 통합은 F (s)로 표시되는 f (t)의 라플라스 변환을 초래합니다.

라플라스 변환의 속성

시간 함수 f (t)는 역 라플라스 변환이라 불리는 과정에 의해 라플라스 변환으로부터 얻어지고,

Laplace Transform의 주요 속성은 다음과 같이 요약 할 수 있습니다.

선형성 : C 라하자. 1 , C 2 상수 여야합니다. f (t), g (t)는 시간, t의 함수이다.

첫 번째 시프 팅 정리 :

규모 특성의 변경 :

분화:

완성:

시간 이동:

생성물:

1

2

최종 값 정리 :

초기 값 정리 :

L (f (t)) = F (s)라면, 시간의 지연 후에 f (t)의 라플라스 변환은 T의 라플라스 변환과 e그건여기서, u (t-T)는 단위 단계 함수를 나타냅니다.L {f (t)} = F (s)라면, 두 함수 f(t) 및 f(t)는이 정리은 피드백 제어 시스템의 분석 및 설계에 적용 가능합니다. Laplace Transform은 초기 조건에서 솔루션을 제공합니다.간단한 함수 f (t) = e의 라플라스 변환 방법을 살펴 보자.그 문제를 더 잘 이해하기 위해서.위의 솔루션을 비교해 보면,유사하게, α = 0으로 놓음으로써,마찬가지로, α = jω를 넣어서,따라서,함수에 대한 Laplace 변환 방법의 또 다른 예를 살펴 보자.다시 e의 라플라스 변환 형식예를 들어,이 Laplace 형식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.이제 우리가 얻는 힘 시리즈의 정의로부터,

라플라스 변환 표

라플라스 변환에 대한 정보가 들어있는 엔지니어가 항상 사용할 수있는 테이블이 있습니다. 의 예 라플라스 변환 테이블 아래에 만들어졌습니다. 우리는 라플라스가 다음과 같은 다양한 공통 기능을 변형시킨 것을 알게 될 것입니다.

라플라스 변환의 예

방정식을 사용하여 해결하기 라플라스 변환,

대답

위 표를 사용하면 방정식을 Laplace 형식으로 변환 할 수 있습니다.질문에 제공된 데이터를 사용하면 Laplace 형식을 단순화 할 수 있습니다.로 나누기 (s+ 3s + 2)이는 부분 분수를 사용하여 해결할 수 있습니다. 이전 분량으로 해결하는 것보다 쉽습니다. 첫째, 분모는 인수 분해 될 필요가있다.교차 곱하기는 다음을 제공합니다 :다음으로 계수 A와 B를 찾아야한다.방정식을 대입하면 :그런 다음 위에 제공된 표를 사용하여 그 등식을 다시 정규 형식으로 변환 할 수 있습니다.직접 시도하는 예계산하고 다음과 같은 역 라플라스 변환을 작성, 그것은 온라인으로 라플라스 변환 테이블을 찾을 것을 권장합니다 :라플라스 변환에 대한 더 많은 예제

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