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수열의 합, 시그마(∑) :: 기본 공식까지 다지기 – 하늘엔별의 연구소
자, 지금까지 시그마의 정의, 성질을 알아보았습니다. 마무리 전, 시그마를 계산할 때 쓰게 될 시그마의 기본 공식들을 정리해 놓았습니다. 시그마 기본 …
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Date Published: 8/7/2021
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자연수의 거듭 제곱의 합 (시그마 공식 유도) – color-change
식을 정리하면 다음 공식을 얻을 수 있습니다. 유도완료//. 2. sigma k^2 (k=1 to n).
Source: color-change.tistory.com
Date Published: 1/12/2022
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[수학1] 자연수 거듭제곱의 합 (시그마 공식) 유도 – 썽
[수학1] 자연수 거듭제곱의 합 (시그마 공식) 유도 … 이렇게 해서 첫번째 공식의 증명 완료~ … 이제 얘를 시그마 식에 대해 정리해주면,.Source: sseong40.tistory.com
Date Published: 3/21/2021
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[수학I] 31. 수열의 합 ∑(시그마)의 뜻과 성질 (개념+수학문제)
Copyright. 2020. 학습지제작소. All Rights Reserved. 더보기. #태그 : 고2, 수학I, 수열의 합, 시그마, 수열의 합 공식, 시그마 …
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Date Published: 10/4/2022
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- Date Published: 2018. 5. 10.
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시그마(∑)의 기본 성질
수열의 합을 나타내는 기호인 시그마(∑) 기호에 대해서 알아봤어요. 숫자들의 합을 시그마(∑) 기호를 이용해서 나타낼 수 있어야 하고, 반대로 시그마(∑)를 보고 식으로 풀어서 쓸 수도 있어야 해요.
이 글에서는 시그마(∑)의 기본 성질에 대해서 알아볼 거예요. 성질이 어떻게 유도되는지 잘 알아두세요. ∑의 성질을 증명하는 방법은 매우 간단해요. 원래 의미 그대로 식으로 풀어서 쓴 다음에 더하는 거지요.
마지막으로 시그마(∑)의 기본성질이 성립하는 조건과 성립하지 않는 조건에 대해서도 알아볼 거예요. ∑를 이용해서 식을 나타낼 때는 ∑의 위아래에 있는 숫자가 작으니까 주의해서 잘 보세요.
시그마 ∑의 성질
∑의 성질을 증명하는 방법은 간단해요. ∑를 원래대로 풀어서 써보는 거죠. 풀어서 쓴 다음 같은 종류끼리 묶고, 묶은 건 다시 ∑로 나타내보는 거예요.
먼저, 합이 k에 대한 두 가지 식의 합 또는 차로 되어 있을 때예요.
각각의 식의 합을 따로 구해서 더하거나 빼도 같아요.
다음은 상수 c가 곱해져 있을 때예요.
상수 c가 곱해져 있을 때는 합을 구한 다음에 c를 곱해주는 것과 같아요.
이번에는 k에 대한 식이 아니라 그냥 상수 c일 때예요.
k에 대한 식이 아니라서 모든 항이 c예요. c가 n개만큼 있으니까 그 합은 cn이 되겠죠.
∑의 기본 성질 (c는 상수)
이 성질은 합과 차로 되어 있을 때만 성립해요. 곱이나 나눗셈, 완전제곱일 때는 성립하지 않아요.
첫 번째 성질에서 주의해야 할 게 있어요. 좌우변을 바꿔서 기본 성질을 적용할 때 두 개의 ∑에 있는 각각의 시작 항과 마지막 항이 서로 같아야 해요.
a k 와 b k 의 합을 구하는 첫째항이 1, 마지막 항이 n으로 같아서 기본 성질을 이용할 수 있어요. a k 의 합을 구하는 첫째항은 1, b k 의 합을 구하는 첫째항은 2로 서로 달라서 기본 성질을 이용할 수 없어요. a k 의 합을 구하는 마지막 항은 n, b k 의 합을 구하는 마지막 항은 m으로 서로 달라서 기본 성질을 이용할 수 없어요.
일 때 다음을 구하여라.
(1)
(2)
(1)은 k에 대한 두 식의 합으로 되어 있어요. 그리고 각 식에는 상수 2, 3이 곱해져 있고요. ∑의 성질을 이용해서 모양을 바꿔보죠.
(2)번은 식이 좀 복잡하네요. 각각 전개해서 구하는 방법도 있고, 둘을 하나로 합쳐서 전개하는 방법도 있어요.
두 개의 ∑이 있으니까 하나로 합칠 수 있죠? 하나로 합쳐서 전개해보죠.
답은 같으니까 어떤 방법으로 풀어도 상관없어요.
을 간단히 하여라.
k에 대한 식은 같은데, ∑ 기호 아래에 있는 k의 시작값이 달라요. 그러니까 ∑의 성질을 이용해서 둘을 합칠 수 없어요. 이때는 다른 방법을 이용해요.
은 제1항부터 제10항까지의 합이에요. 이걸 제1항부터 제5항까지의 합과 제6항부터 제10항까지의 합 두 부분으로 나눌 수 있죠?
이걸 처음의 식에 대입해보죠.
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정리해볼까요 ∑의 기본 성질 (c는 상수)
그리드형(광고전용)
수열의 합, 시그마(∑) :: 기본 공식까지 다지기
이번에 다뤄볼 주제는, 시그마($\sum$) :: 수열의 합입니다. 시그마를 잘 배워둔다면 앞으로 여러 가지 수열들의 합을 구할 때 흔히 말하는 하나하나 계산하는 과정 없이 공식만으로 아주 쉽고 편리하게 구할 수 있게 될 것입니다. 일단, 본론에 앞서, 처음 접하시는 분들은 시그마가 어려워 보이실 수 있는데, 절대 그렇지 않습니다! 잘 따라와 주세요.
시그마, 혹은 수열의 합의 정의: 수열 ${a_n}$의 첫째 항부터 제 $n$ 항까지의 합을 기호 $\sum$로 나타내고 합을 나타내는 영어의 Sum의 첫 글자 S에 해당하는 그리스 문자로, “시그마(sigma)”라고 읽는다. 표현: $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$
정의로만 보기에는 아직 낯섦이 있기에, ‘$2+4+6+8+10$’을 시그마로 나타내 봅시다:
$\displaystyle \sum_{n=1}^5 2n$
해석해보자면, n에 1부터 5까지 2n에 대입하여 더하는 것이라고 할 수 있습니다. 그래서, $\displaystyle \sum_{n=1}^5 2n$ = 2+4+6+8+10가 되는 것입니다. 슬슬 감이 오시죠? 다음으로, $\sum$의 기본 성질을 알아봅시다.
시그마도, 성립하는 연산법칙들이 있습니다.
첫번째는, 시그마에 사용하는 일반항이 합으로 연결돼있다면, 이렇게 시그마 두 개로 분리할 수 있습니다. 어떻게 가능한지 간단하게 확인해봅시다.
이렇게 나열해보니, 한 눈에도 보일 정도로 간단하게 정리가 됩니다. 덧셈은 교환 법칙이 성립하여, 계산 순서가 바뀌어도 성립하여
위의 두 식은 같다는 것을 알 수 있습니다.
뺄셈에 대해서도 성립합니다.
둘째는, 분배 법칙에 해당하는 성질입니다.
이는 시그마의 일반항 부분에 있는 계수를 시그마 앞으로 묶어낼 수 있다는 것입니다. 이 역시, 나열해보면 쉽게 확인할 수 있습니다.
c가 모든 항에 대해 공통인수가 되기 때문에, 묶일 수 있어서, 시그마 앞으로 꺼낼 수 있게 되는 것입니다. 여기서 주의할 점은 상수가 아니고 k와 같이 상수가 아닌 변수라면 뺄 수 없습니다. k는 계속 변하는 변수이기 때문에, 성립하지 않기 때문입니다.
마지막으로, 일반항에 상수가 있는 경우입니다.
(c는 상수)
c는 변하지 않아 결국, ‘c’를 n번 더하게 되어 $cn$이 되는 것입니다.
자, 지금까지 시그마의 정의, 성질을 알아보았습니다. 마무리 전, 시그마를 계산할 때 쓰게 될 시그마의 기본 공식들을 정리해 놓았습니다.
시그마 기본 공식들
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자연수의 거듭 제곱의 합 (시그마 공식 유도)
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자연수의 거듭 제곱의 합 (시그마 공식 유도)
– ∑k, ∑k², ∑k³, ∑k⁴
이 포스팅은 자연수의 거듭제곱의 합 공식 유도에 관한 글 입니다.
여러가지 수열에서 처음 등장하는 시그마(∑). 시그마를 잘 다루기 위해서는 관련 공식을 이해하고 적용하는 게 중요한데요. 그 중 자연수의 거듭제곱의 합에 관한 공식이 많이 쓰이기 때문에 이를 반드시 알아둬야 합니다. 이번 포스팅에서는 자연수의 n제곱의 합의 공식을 유도하고, 그 방법론을 제시하고자 합니다.
이 글이 필요한 학생은
1. 자연수의 거듭제곱의 합 공식이 궁금한 학생
2. 시그마(sigma)관련 공식 유도가 궁금한 학생
3. 자연수의 제곱, 세제곱, 네제곱 등의 합이 궁금한 학생
입니다.
제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.
자연수의 거듭제곱 꼴의 합 공식
1. 시그마(sigma, ∑)의 도입
수열의 합을 구할 때 시그마라는 기호를 도입해서 다음과 같이 나타냅니다.
위 식의 의미는 k에 1, 2, 3,…을 각각 대입하면서 각 항을 더하되, n항까지 더하라는 뜻입니다.
2. 자연수의 거듭제곱 꼴의 합 공식(ak = k, k 제곱, k 세제곱, k 네제곱, …)
위 식에서 ak가 k에 관한 다항식으로 주어지는 경우가 많습니다. 보통 k의 제곱의 합까지 많이 나오나, 세제곱도 간혹 등장합니다.
i) ak = k (자연수 n개의 합, sigma k)
n개의 자연수의 합, 1+2+3+…+n 은 다음과 같이 주어집니다.
이 수열의 합은 첫째항이 1, 공차가 1인 등차수열의 합으로 수학자 가우스가 10살 때 이미 얻어낸 공식입니다.
ii) ak = k² (자연수의 제곱의 합, sigma k^2)
n개의 자연수의 제곱의 합 1²+2²+3²+….n² 은 다음과 같이 주어집니다.
iii) ak = k³ (자연수의 세제곱의 합, sigma k^3)
n개의 자연수의 세제곱의 합 1³+2³+3³+….n³ 은 다음과 같이 주어집니다.
iv) ak = k⁴(자연수의 네제곱의 합, sigma k^4)
n개의 자연수의 네제곱의 합 1⁴+2⁴+3ⁿ+….n⁴ 은 다음과 같이 주어집니다.
시그마 공식 증명
1. sigma k (k=1 to n)
이 공식은 등차수열의 합 공식을 유도할 때와 같은 원리로 유도할 수 있습니다. 수학자 가우스는 다음 자연수의 합 S = 1+2+3+ … +n 을 순서를 뒤집어서 계산하는 아이디어를 제시했습니다.
식의 양 변을 더하면 좌변은 2S가 되고, 우변의 각 항들을 더하면 (n+1)이 나옵니다.
즉, (n+1)이 n개가 있는 상황이 발생합니다. 식을 정리하면 다음 공식을 얻을 수 있습니다.
유도완료//
2. sigma k^2 (k=1 to n)
자연수의 제곱의 합은 (x+1)³의 전개식(곱셈공식)을 이용합니다.
이제부터 위 식의 x에 각각 1, 2, 3, …. n 까지 대입할 것입니다.(아래)
식 전체를 더하면 좌변에서 1³과 (n+1)³을 제외한 나머지 항들은 서로 상쇄되어 최종적으로 (n+1)³-1³이 남고, 우변에서는 3k² 꼴, 3k꼴, 1이 각각 n개씩 더해집니다.
위 식의 우변의 두번째 항(sigma k)은 앞에서 n(n+1)/2로 구했으므로 이를 대입해서 식을 정리하면,
유도완료// (편의상 간단한 계산은 건너뛰었습니다.)
3. sigma k^3 (k=1 to n)
자연수의 세제곱의 합은 (x+1)⁴의 전개식(곱셈공식)을 이용합니다. (네제곱, 다섯제곱, 여섯제곱, …등의 고차 거듭제곱의 합도 같은 방법으로 하면 됩니다.)
이제부터 위 식의 x에 각각 1, 2, 3, …. n 까지 대입할 것입니다.(아래)
식 전체를 더하면 좌변에서 1⁴과 (n+1)⁴을 제외한 나머지 항들은 서로 상쇄되어 최종적으로 (n+1)⁴-1⁴이 남고, 우변에서는 4k³꼴, 6k² 꼴, 4k꼴, 1이 각각 n개씩 더해집니다.
위 식의 우변의 두번째, 세번째 항(sigma k, k²)은 앞에서 구했으므로 이를 대입해서 식을 정리하면,
유도완료// (편의상 간단한 계산은 건너뛰었습니다.)
3. sigma k^4 (k=1 to n)
위와 같은 논리로, 자연수의 네제곱의 합은 (x+1)^5의 전개식(곱셈공식)을 이용합니다.
이제부터 위 식의 x에 각각 1, 2, 3, …. n 까지 대입할 것입니다.(아래)
식 전체를 더하면 좌변에서 1^5과 (n+1)^5을 제외한 나머지 항들은 서로 상쇄되어 최종적으로 (n+1)^5-1^5이 남고, 우변에서는 5k⁴꼴, 10k³꼴, 10k² 꼴, 5k꼴, 1이 각각 n개씩 더해집니다.
위 식의 우변의 두번째, 세번째, 네번째 항(sigma k, k², k³)은 앞에서 구했으므로 이를 대입해서 식을 정리하면,
유도완료// (편의상 간단한 계산은 건너뛰었습니다.)
5. 기타(sigma k^5, k^6)
나머지 자연수의 고차 거듭 제곱의 합 공식을 소개하겠습니다. (sigma k^5, k^6)
증명은 위와 비슷한 방식으로 접근하면 됩니다.
이번 포스팅에서는
1. n개의 자연수의 합 공식과 그 유도
2. n개의 자연수의 제곱, 세제곱, 네제곱의 합 공식과 그 유도
3. 자연수의 거듭 제곱의 합공식을 유도하는 방법론
에 대해서 알아보았습니다.
위 공식들이 어떤 식으로 유도됐는 지, 그 아이디어를 소개하고자 이 글을 썼습니다.
특히 (x+1)ⁿ-xⁿ으로부터 어떻게 ‘합공식’이 나오는 지는 눈여겨볼 만합니다.
한편, 시그마 관련 공식은 수능을 준비하는 학생이라면 능숙하게 다룰 줄 알아야 합니다. 공식유도뿐만 아니라 식을 외워서 적재적소에 활용할 수 있도록 연습하는 게 중요합니다.
제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 좋겠습니다.
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[수학I] 31. 수열의 합 ∑(시그마)의 뜻과 성질 (개념+수학문제)
* 같이 보면 좋은 글
📄 등차수열의 합
📄 배수의 합, 서로소인 수의 합
📄 등비수열의 합
* ∑ : 수열의 합
일반항을 아는 수열의 합이 주어진다면 어떻게 간단하게 표현할 수 있을까요?
1+2+3+4+…+10은
수열 1,2,3,…,10에 대하여 제1항부터 제10항까지 더한 값입니다.
그리고 일반항은
과 같이 나타낼 수 있습니다.
이때 우리는 기호 ∑를 이용하여 수열의 합을 간단하게 나타낼 수 있습니다.
∑는 시그마로 읽고 다음과 같을 때 나타낼 수 있습니다.
[참고] 시그마의 아래 부분은 제 1항부터 더한다는 뜻입니다. [참고] 시그마의 윗 부분은 제 n항까지 더한다는 뜻입니다. [참고] a_k는 일반항을 의미합니다. 이때 시그마의 아래 부분에서 선언한 변수에 대한 일반항입니다.* ∑를 이용하여 수열의 합 나타내기
∑를 이용하여 수열의 합을 나타내는 방법은 다음과 같습니다.
위에서 든 예를 다시 가져와보면,
1+2+3+…+9+10은
수열 1,2,3,…,10의 제1항에서 제10항까지 더한 값입니다.
그리고 제n항일 때 일반항은 n입니다.
이를 시그마로 나타내어보면
로 나타낼 수 있습니다.
* ∑의 성질
∑(시그마)는 다음과 같은 성질을 가집니다.
대강 해석해보면
1) 두 수열의 합의 제1항부터 제n항까지의 합은 각 수열의 제1항부터 제n항까지의 합을 더한 것과 같다.
2) 두 수열의 차의 제1항부터 제n항까지의 합은 각 수열의 제1항부터 제n항까지의 합을 뺀 것과 같다.
3) 수열에 상수가 곱해진 값의 합은 수열의 합에 상수를 곱한 것과 같다.
4) 제1항부터 제n항까지 상수의 합은 상수와 n을 곱한 것과 같다.
입니다.
[참고] 수열의 곱이 주어진 상황에서는 시그마를 떼어놓을 수 없습니다. [참고] 수열의 첫째항과 마지막항이 같지 않은 상태에서는 시그마의 성질을 적용할 수 없습니다.대신, 수열의 마지막 항을 맞추면 적용할 수 있습니다. 첫번째 수열의 합을 제9항까지의 합으로 바꾸는 것이죠.
(제 1항부터 제10항까지의 합) = (제1항부터 제9항까지의 합)+제10항
임을 이용합니다.
* 자연수의 거듭제곱의 합
자연수의 거듭제곱의 합을 ∑로 나타내었을 때 다음 식이 성립합니다.
k, k^2, k^3의 합은 다항식 꼴인 일반항을 가진 수열의 합을 구할 때 필요한 식입니다.
k의 합을 구할 줄 안다면
k^2과 k^3의 합을 쉽게 유도할 수 있습니다.
* 학습지 미리보기
* 첨부파일
2020SP H2-31.pdf 0.14MB
* 닫는 말
이번 학습지는 시그마 꼴로 주어진 수열의 합을 계산하는 유형으로 담았습니다. 시그마의 뜻과 성질을 이해하고, 자연수의 거듭제곱의 합을 구하면 수열의 합을 계산할 수 있습니다. 문제를 풀어보며 시그마를 계산해봅시다.
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시그마 기호의 성질 정리 (증명과 주의점)
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시그마의 성질, 주의해야 할 점과 증명들.
보통 수학1에서 수열파트를 배울 때, 등차/등비까지는 무난하게 학습하다가 처음으로 어려움을 느끼는 단원이 시그마가 아닐까 싶습니다. 처음 등장하는 기호이기도 하고요-, 오늘은 시그마 기호의 성질을 증명해보도록 할게요.
1. 합
시그마 기호 안에 합으로 들어있는 수열들은
각각 따로 시그마 기호를 걸어줄 수 있습니다.
마치 시그마 기호를 분배법칙으로
쓴 것 같은 모양새네요!
2. 차
차도 합과 마찬가지입니다.
3. 상수배
상수가 수열에 곱해져있는 경우에는
시그마 기호 밖으로 빼셔도 됩니다.
4. 상수
상수의 경우에는 n만큼 상수를 더한 것이므로
둘을 곱해서 적어주시면 됩니다.
이제부터 시그마 기호 쓸 때의 주의사항을 알아볼게요.
1. 합과 곱은 마치 분배법칙처럼 썼지만, 곱과 나눗셈에서는 절대 그렇게 하면 안됩니다.
2. 상수를 뺄 때는 꼭 확인하고 빼셔야 합니다. 아무거나 뺄 수 없어요.
하나씩 확인을 해봅시다.
1. 곱셈
곱셈은 합차와 다르게
시그마를 각각 걸 수 없습니다.
증명은 직접 해보시면,
왜 안되는지 금방 눈에 들어올 거에요.
2. 나눗셈
나눗셈 역시 마찬가지로
시그마를 각각 걸 수 없습니다.
증명은 아래와 같죠.
역시나 직접 써보시면 쉽게 알 수 있습니다.
3. 변수 주의!
시그마 기호 밖으로 뺄 수 있는 건
반드시 상수여야만 합니다.
아무 문자나 단독으로 있다고 빼면 안돼요.
증명은 간단합니다.
아래와 같이 시그마 기호의 정의에 따라
숫자를 하나씩 넣어서 전개해보시면 됩니다.
시그마는 처음 배우는 기호이기 때문에,
연산에 익숙해지기까지
꽤나 시간이 걸립니다.
성질에 유의하면서 쉬운 문제부터
차근히 학습해보도록 해요.
그럼 화이팅입니다!
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키워드에 대한 정보 시그마 공식 정리
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