수학 의 힘 알파 3 2 답지 | 중등수학 쎈수학 2022년 중3 2 삼각비 14 19페이지 51 84 인기 답변 업데이트

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백년지계
중등수학 쎈수학 2022년 중3 2 삼각비 14 19페이지 51 84
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MailStudy
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중등 수학의 힘 알파 (개념) 3-2 (2022) 답지 – 세상의 모든 답안지

중등 수학의 힘 알파 (개념) 3-2 (2022) 답지. 교재소개. 수학의 기본인 개념을 확실하게 다져 수학의 힘을 길러 주는 중학 수학 기본서. 상세정보.

+ 여기에 자세히 보기

Source: wlsntus22.tistory.com

Date Published: 4/11/2021

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중 3-2 수학의 힘 알파 (개념) (2020) 정답 답지

중 3-2 수학의 힘 알파 (개념) (2020) 정답 답지. 2020. 10. … 학년중3년도2020과목수학저자최용준, 홍정환, 성정길, 박성준판형220*290쪽수176쪽.

+ 더 읽기

Source: ppakssam.tistory.com

Date Published: 4/6/2021

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2020년 천재교육 중등 수학의 힘 알파 (개념) 3-2 답지

중등 수학의 힘 알파 (개념) 3-2.pdf 다운로드 | 답지저장소 dl.dabji.org 더보기 수학의 힘 (알파) 중3-2 정답과 해설 I. 삼각비 II. 원의 성질 III.

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Source: dabji.org

Date Published: 3/26/2022

View: 6871

2019 수학의 힘 개념 알파 중3-2 답지

수학의 힘 알파 시리즈를 마무리 합니다. 중학교 1학년부터 중학교 3학년까지 있는데 아직 2020년도 최신판이 나오지 않은 것은 수학의 힘 밖에 …

+ 자세한 내용은 여기를 클릭하십시오

Source: dapjibook.com

Date Published: 3/16/2022

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수학 의 힘 알파 3 2 답지 | 쎈수학 중등 전학년 답지 1-1 1-2 2-1 …

중등 수학의 힘 알파 (개념) 3-2 (2022) 답지. 교재소개. 수학의 기본인 개념을 확실하게 다져 수학의 힘을 길러 주는 중학 수학 기본서. 상세정보.

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Source: you.giarevietnam.vn

Date Published: 11/13/2021

View: 8811

수학의 힘 개념 알파 중학 수학 1-2 답지 정답 (22년) – 답지나라

티스토리 · 1. 표지 확인. 일단 표지 확인부터 하시고 이 책이 맞는지 확인 부탁드립니다 · 2. 책 소개. 출판사, 천재교육. 출간, 2017년 2월 15일. 가격 · 3 …

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Date Published: 7/13/2021

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Date Published: 4/1/2021

View: 5590

수학의 힘 알파 (기본실력) 5-1 (2021) 정답 답지 – naver 포스트

1. 자연수의 혼합 계산 · 2. 약수와 배수 · 3. 규칙과 대응 · 4. 약분과 통분 · 5. 분수의 덧셈과 뺄셈 · 6. 다각형의 둘레와 넓이.

+ 여기에 보기

Source: post.naver.com

Date Published: 5/25/2022

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주제에 대한 기사 평가 수학 의 힘 알파 3 2 답지

• Author: 백년지계
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• Date Published: 2022. 3. 24.
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중 3-2 수학의 힘 알파 (개념) (2020) 정답 답지

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교재소개

수학의 기본인 개념을 확실하게 다져 수학의 힘을 길러 주는 중학 수학 기본서

상세정보

학년중3년도2020과목수학저자최용준, 홍정환, 성정길, 박성준판형220*290쪽수176쪽

교재특징

(1) 개념 완벽 정리

(2) 수학의 기본기를 확실하게 다지는 중학 수학 기본서

(3) 반복학습으로 내신 완벽 대비

교재목차

Ⅰ 삼각비

Ⅱ 원의 성질

Ⅲ 통계

교재구성

본문+빠른정답+정답과 해설

200320_수학의힘_알파(개념)_中3-2_정답.pdf 5.42MB

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수학의 힘 알파

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2020년 천재교육 중등 수학의 힘 알파 (개념) 3-2 답지

수학의 힘

(알파) 중3-2

정답과 해설

I. 삼각비

II. 원의 성질

III. 통계

2

15

29

I . 삼각비

01 ACÓ=

13Û

-5Û

=

144=12이므로

“Ã

`

`

Ԧ

④ sin B=

;1!3@;

12

13

A

C

5

B

01

삼각비의 뜻

기초의

1 ⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

;4#;

;5$;

;5#;

;5#;

;5$;

;3$;

2 ⑴

⑵

⑶

;2@5$;

;2¦5;

;2¦4;

3 ⑴

⑵

⑶

;1¥7;

;1!7%;

:Á8°:

4 ⑴ 3 ⑵ 14 ⑶ 5 ⑷ 15 ⑸ 4 ⑹ 8

3

‘

1 ⑴ sin A=

=

;5#;

;1¤0;

⑵ cos A=

=

;5$;

;1¥0;

⑶ tan A=

=

;8^;

;4#;

⑷ sin C=

=

;5$;

;1¥0;

⑸ cos C=

=

;5#;

;1¤0;

⑹ tan C=

=

;6*;

;3$;

2 BCÓ=

25Û

-24Û

=

49=7

“Ã

`

`

Ԧ

3 ACÓ=

17Û

-8Û

`

`

“Ã

Ԧ

=

225=15

4 ⑴ sin A=

이므로

=

;4#;

;4{;

∴ x=3

⑵ sin B=

이므로

=

;7$;

;[*;

∴ x=14

⑶ cos A=

이므로

=

;2!;

;1Ó0;

∴ x=5

⑷ cos B=

이므로

∴ x=15

10

x

=

;3@;

⑸ tan A=

이므로

=

;3@;

;6{;

∴ x=4

⑹ tan C=

이므로

3

= ‘

4

;[^;

∴ x=8

3

‘

BCÓ

ACÓ

ACÓ

ABÓ

ABÓ

ACÓ

BCÓ

ABÓ

BCÓ

ABÓ

ABÓ

BCÓ

02 sin B=

이므로

ACÓ

ABÓ

ACÓ

15

=

;3@;

∴ ACÓ=10 (cm)

9쪽

BCÓ=

15Û

-10Û

=

125=5

“Ã

`

`

Ԧ

5 (cm)이므로

`

‘

△ABC=

_5

5_10=25

5 (cmÛ

)

‘

`

`

;2!;

‘

03 ⑴ sin B=

;3@;

이므로 오른쪽 그림과 같이

∠C=90ù, ABÓ=3, ACÓ=2인 직각삼각

3

형 ABC를 생각한다.

BCÓ=

-2Û

=

5이므로

3Û

“Ã

`

`

‘

B

5

cos B= ‘

3

, tan B=

=

2

5

2

5

‘

5

‘

이므로 오른쪽 그림과 같이

⑵ cos A=

;7%;

A

2

C

C

∠B=90ù, ACÓ=7, ABÓ=5인 직각삼

7

각형 ABC를 생각한다.

BCÓ=

-5Û

=

24=2

6이므로

A

`

Ԧ

7Û

“Ã

`

2

6

‘

7

‘

2

6

‘

5

sin A=

, tan A=

5

B

6

x

B

A

x

D

10

8

C

04 오른쪽 그림에서

△ABC»△DAC ( AA 닮음)이므로

∠B=∠CAD=x

△ABC에서

-6Û

ACÓ=

64=8

10Û

=

“Ã

`

`

Ԧ

⑴ sin x=sin B=

⑵ cos x=cos B=

⑶ tan x=tan B=

ACÓ

BCÓ

ABÓ

BCÓ

ACÓ

ABÓ

=

=

;1¥0;

;5$;

=

=

;1¤0;

;5#;

=

=

;6*;

;3$;

05 A(4, 0), B(0, -3)이고 AOÓ=4, BOÓ=3이므로

△AOB에서

+3Û

ABÓ=

25=5

=

4Û

“Ã

`

`

Ԧ

개념의

유제

01 ④

03 ⑴ cos B= ‘

02 25

5 cmÛ`

‘

5

3 , tan B=

2

5

‘

5

04 ⑴

⑵

⑶

;5$;

;5#;

;3$;

05 ;5$;

⑵ sin A=

2

6

‘

5

2

6

‘

7 , tan A=

7

06 ‘

3

10쪽 ~12쪽

=

8=2

2이므로

`

‘

‘

∴ cos a=

;5$;

06 △DAC에서

+2Û

ACÓ=

2Û

“Ã

`

;2!;

AHÓ=

ACÓ=

_2

2=

2

;2!;

‘

‘

△OAH에서

-(

OHÓ=

3Û

¿¹

`

∴ sin x=

7

2)Û

=

‘

`

7

= ‘

3

‘

OHÓ

OAÓ

2 정답과 해설

내공의

01 ⑤

04

:Á8¦:

09

2

2

‘

5

02 ‘

7

3

05

;1!3&;

10 ‘

3

5

13쪽 ~14쪽

03 sin A=

06

4

3

‘

9

11 3

3

10

10

10 , cosA= Ԧ

Ԧ

10

34

Ԧ

34

07

5

2

08 ‘

2

6

12 ‘

3

01 BCÓ=

9Û

¿¹

`

-(4

2)Û

=

49=7이므로

‘

`

Ԧ

① sin A=

② cos A=

③ tan A=

;9&;

4

2

‘

9

7

4

2

‘

2

4

‘

9

④ sin B=

=

7

2

‘

8

⑤ cos B=

;9&;

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

02 sin B=

=

이므로 ACÓ=6

;4#;

ACÓ

8

△ABC에서

-6Û

BCÓ=

8Û

“Ã

`

∴ tan A=

28=2

7

`=’¶

BCÓ

ACÓ

=

‘

7

2

‘

6

7

= ‘

3

03 tan A=3이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù,

ABÓ=1, BCÓ=3인 직각삼각형 ABC를 생각한다.

ACÓ=

+3Û

=

10이므로

1Û

“Ã

`

sin A=

, cos A=

Ԧ

3

`

=

10

Ԧ

10

3

10

Ԧ

1

10

= Ԧ

10

10

Ԧ

A

B

1

C

3

04 cos B=

;1¥7;

이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠C=90ù,

A

ABÓ=17, BCÓ=8인 직각삼각형 ABC를 생각한다.

17

ACÓ=

17Û

-8Û

=

225=15이므로

“Ã

`

`

Ԧ

tan B=

:Á8°:

∴

1+tanÛ

“Ã

B=

`

¾¨

1+

{:Á8°:}

¾¨:ª6¥4»:

:Á8¦:

=

=

2`

D12

x

E

B

A

x

5

C

05 오른쪽 그림에서

△ABC»△EBD ( AA 닮음)

이므로 ∠C=∠BDE=x

△ABC에서

+5Û

BCÓ=

12Û

=

169=13이므로

“Ã

`

`

sin x=sin C=

=

;1!3@;

, cos x=cos C=

ACÓ

BCÓ

=

;1°3;

Ԧ

ABÓ

BCÓ

∴ sin x+cos x=

+

=

;1!3@;

;1°3;

;1!3&;

06 오른쪽 그림에서

△ABD»△HAD ( AA 닮음)이므로

∠ABD=∠HAD=x

△ABD에서

+(

BDÓ=

3이므로

27=3

11)Û

=

sin x=

4Û

¿¹

‘

Ԧ

=

`

ADÓ

BDÓ

`

4

Ԧ

=

3

3

‘

4

3

‘

9

x

x

A

11

B

H

4

D

C

07 오른쪽 그림과 같이 직선

5x+3y+15=0이 x축, y축과 만나는

A

-3

a

y

O

x

점을 각각 A, B라고 하면 A(-3, 0),

B(0, -5)이다. 즉 AOÓ=3, BOÓ=5이

5x+3y+15=0

B

-5

고, ABÓ=

+5Û

=

34이므로

`

3Û

“Ã

BOÓ

ABÓ

Ԧ

=

`

5

34

Ԧ

5

34

Ԧ

34

sin a=

=

08 △FGH에서

+4Û

FHÓ=

△BFH에서 ∠BFH=90ù이고 BFÓ=DHÓ=5이므로

BHÓ=

25=5

50=5

3Û

“Ã

+5Û

=

=

Ԧ

2

`

`

5Û

“Ã

`

Ԧ

=

`

FHÓ

BHÓ

5

‘

5

2

‘

2

= ‘

2

∴ cos x=

09 △ABH에서

BHÓ

6

cos B=

6Û

“Ã

즉 AHÓ=

`

△AHC에서

AHÓ

ACÓ

sin C=

10 △ABC에서

=

;3!;

∴ BHÓ=2

-2Û

=

32=4

2이므로

`

Ԧ

‘

=

4

2

‘

10

=

2

2

‘

5

sin x=

=

∴ ABÓ=4

2

ABÓ

;2!;

이때 △ABC와 △DBE에서

∠C=∠E=90ù, ∠ABC=∠DBE (맞꼭지각)이므로

△ABC»△DBE ( AA 닮음)

즉 ABÓ：DBÓ=BCÓ：BEÓ에서

B

8

C

4：2=2：BEÓ ∴ BEÓ=1

따라서 △DEB에서

DEÓ=

-1Û

=

3이므로

2Û

“Ã

`

`

‘

△ADE에서

tan y=

DEÓ

AEÓ

= ‘

3

4+1

3

= ‘

5

11 오른쪽 그림에서 ADÓ∥BCÓ이므로

∠AEF=∠CFE (엇각)

∠AEF=∠CEF (접은 각)

A

6

B

10

E

x x

x

F

H

D

C

∴ ∠CEF=∠CFE=x

즉 △CEF는 CEÓ=CFÓ=10인 이등변삼각형이다.

G

I. 삼각비 3

한편 점 E에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면

△EHC에서

-6Û

CHÓ=

64=8이므로

10Û

=

“Ã

`

FHÓ=CFÓ-CHÓ=10-8=2

Ԧ

`

∴ tan

x=

`

=

=3

;2^;

EHÓ

FHÓ

12 오른쪽 그림에서 △ACD는 정삼각형

이므로 ∠AMC=90ù

직각삼각형 ACM에서 CMÓ=2이므로

A

4

B

Hx

N

E

AMÓ=

-2Û

=

12=2

3

4Û

“Ã

`

`

‘Ä

한편 △AMN은 AMÓ=ANÓ인 이등변

삼각형이므로 점 A에서 MNÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면

M

‘

D

C

MHÓ=

MNÓ=

_4=2

;2!;

;2!;

따라서 직각삼각형 AMH에서

AHÓ=

(2

3)Û

-2Û

=

8=2

2이므로

“Ã

`

=

‘

AHÓ

AMÓ

`

2

3

2

2

‘

‘

‘

‘

6

= ‘

3

sin

x=

`

⑵ cos 45ù=

에서

;1Ó4;

2

‘

2

=

;1Ó4;

∴ x=7

2

‘

sin 45ù=

에서

;1Õ4;

2

‘

2

=

;1Õ4;

∴ y=7

2

‘

4 ⑴ sin x=

=

=ABÓ

⑵ cos x=

=

=OBÓ

ABÓ

OAÓ

OBÓ

OAÓ

CDÓ

ODÓ

OBÓ

OAÓ

ABÓ

OAÓ

ABÓ

1

OBÓ

1

CDÓ

1

=

OBÓ

1

=

ABÓ

1

⑶ tan x=

=

=CDÓ

⑷ sin y=

=OBÓ

⑸ cos y=

=ABÓ

⑹ sin z=sin y=OBÓ

5 ⑴ sin 0ù+cos 0ù+tan 0ù=0+1+0=1

⑵ sin 90ù-cos 90ù-tan 0ù=1-0-0=1

⑶ sin 0ù_tan 0ù-cos 0ù=0_0-1=-1

⑷ cos 90ù_tan 0ù+sin 90ù-cos 0ù=0_0+1-1=0

17쪽

개념의

유제

18쪽 ~22쪽

01 ⑴

⑵ 3

;4%;

02 ‘

3

2

03 4

04 30ù

05 ③

07 ㉢, ㉤, ㉣, ㉠, ㉡

06 ‘

6

2

08 ⑴ 1-tan x ⑵ tan A-cos A

10 ACÓ=5.299, BCÓ=8.48

09 a=25, b=28

3

01 ⑴ sin 60ù_(tan 30ù+cos 30ù)= ‘

2

3

‘

3

_

{

+ ‘

3

2 }

3

= ‘

2

_

5

3

‘

6

=

;4%;

⑵

3 tan 60ù-

2 cos 45ù+2 sin 30ù

‘

=

3_

3-

‘

‘

2

2_ ‘

2

‘

+2_

;2!;

‘

=3-1+1=3

02 tan x=

3에서 x=60ù

sin y=

에서 y=30ù

‘

;2!;

3

∴ cos (x-y) =cos (60ù-30ù)=cos 30ù= ‘

2

02

삼각비의 값

기초의

1 ⑴ 1 ⑵ ‘

6

2 ⑶

;2#;

⑷

;2!;

‘

3, y=4

2 ⑴ 45ù ⑵ 30ù ⑶ 30ù

3 ⑴ x=8

3 ⑵ x=7

4 ⑴ ABÓ ⑵ OBÓ ⑶ CDÓ ⑷ OBÓ ⑸ ABÓ ⑹ OBÓ

5 ⑴ 1 ⑵ 1 ⑶ -1 ⑷ 0

6 ⑴ 0.6428 ⑵ 0.7771 ⑶ 0.9004

2, y=7

‘

‘

‘

2

1 ⑴ sin 30ù+cos 60ù=

+

=1

;2!;

;2!;

2

⑵ cos 45ù_tan 60ù= ‘

2

_

6

3= ‘

2

‘

3

⑶ sin 60ùÖtan 30ù= ‘

2

3

Ö ‘

3

3

= ‘

2

_

3

3

‘

=

;2#;

2

⑷ sin 45ù_cos 45ù= ‘

2

2

_ ‘

2

=

;2!;

3 ⑴ cos 30ù=

에서

12

x

3

‘

2

12

x

=

∴ x=8

3

‘

tan 30ù=

에서

;1Õ2;

3

‘

3

=

;1Õ2;

∴ y=4

3

‘

4 정답과 해설

BCÓ

3

2

‘

03 △DBC에서 tan 45ù=

=1이므로

BCÓ=2

3

‘

△ABC에서 sin 60ù=

3

2

‘

ACÓ

3

= ‘

2

이므로

ACÓ=2

3

3Ö ‘

2

‘

=4

04 x-

3

3y+3=0에서 y= ‘

3

‘

x+

3

3이므로 직선의 기울기는 ‘

3

‘

이다.

직선이 x축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기를 a라고 하면

3

tan a= ‘

3

∴ a=30ù (∵ 0ù0

∴

(cos A-sin A)Û

+

(tan A-sin A)Û

“Ã

“

=-(cos A-sin A)+(tan A-sin A)

“Ã

`

=-cos A+sin A+tan A-sin A

=tan A-cos A

09 sin 25ù=0.4226, cos 28ù=0.8829이므로

a=25, b=28

10 cos 58ù=0.5299이므로

ACÓ

10

BCÓ

10

=0.5299

∴ ACÓ=5.299

sin 58ù=0.8480이므로

=0.8480

∴ BCÓ=8.48

05 ① sin x=

② cos x=

③ tan x=

④ sin y=

ABÓ

OAÓ

=

ABÓ

1

OBÓ

OAÓ

CDÓ

ODÓ

=

=

OBÓ

1

CDÓ

1

=ABÓ

=OBÓ

=CDÓ

OBÓ

OAÓ

=

OBÓ

1

=OBÓ

⑤ ∠OCD=y이므로 tan y=

따라서 삼각비의 값 중 CDÓ의 길이와 같은 것은 ③이다.

ODÓ

CDÓ

=

1

CDÓ

06 sin 45ù_cos 0ù_tan 60ù- sin 60ù_sin 90ù_tan 0ù

2

= ‘

2

_1_

3

3- ‘

2

6

_1_0= ‘

2

‘

07 0ùÉxÉ90ù인 범위에서 x의 값이 증가하면

sin x의 값은 0에서 1까지 증가하므로

sin 50ùcos 19ù>cos 30ù이므로 ‘

2

45ù이면 tan A>tan 45ù

∴

`

tan A>1

13 0ù0, sin x-1<0 ∴ ` (sin x+1)Û "Ã ` =(sin x+1)-(sin x-1) (sin x-1)Û + "Ã ` =sin x+1-sin x+1=2 14 sin 46ù=0.7193이므로 x=46ù cos 47ù=0.6820이므로 y=47ù 15 △ABD에서 ADÓ 8 60ù= sin ` 3 = ' 2 이므로 ` 3 ADÓ= ' 2 _8=4 3 ' △ADE에서 DEÓ 4 3 60ù= sin ` ' 3 DEÓ= ' 2 _4 3=6 ' 3 = ' 2 이므로 ` 한편 ∠ECD=180ù-(60ù+90ù)=30ù이므로 △DCE에서 tan 30ù= ` ∴ ` 3 CEÓ=6Ö ' 3 =6 3 ' 6 CEÓ 3 = ' 3 07 4x-3y+9=0에서 y= ;3$; x+3이므로 직선의 기울기는 이다. ∴ tan x+tan y =tan 46ù+tan 47ù =1.0355+1.0724=2.1079 4 cm A D 5 cm B 45∞ H C 28쪽 한편 △ADC는 CDÓ=ADÓ=2인 이등변삼각형이므로 16 오른쪽 그림과 같이 ADÓ∥ BCÓ, ABÓ∥DCÓ이므로 겹쳐진 부분인 ABCD는 평행사변형이다. 이때 점 D에서 BCê에 내린 수선의 발을 H라 고 하면 △DCH에서 2 = ' 2 sin 45ù= 이므로 5 CDÓ 2 CDÓ=5Ö ' 2 =5 2 (cm) ` ' ∴ ABCD=5 2_4=20 2 (cmÛ ) ' ' ` 17 △ABD에서 1 ADÓ sin 30ù= = 이므로 ADÓ=2 ;2!; tan 30ù= 1 BDÓ 3 = ' 3 이므로 BDÓ= 3 ' ∠ACD= ∠ADB= _30ù=15ù ;2!; ;2!; 따라서 tan 15ù= `△ABC에서 1 ABÓ BCÓ 2+ = =2- 3 ' 3 ' 18 tan a=(직선의 기울기)= ' a=60ù, b=90ù-60ù=30ù ` 3이므로 ① sin (a+b)=sin 90ù=1 ② cos =cos ` 3 30ù= ' 2 ` ③ tan 2b=tan ` ` 60ù= 3 ' ④ tan a_ 1 tan`b =tan ` 60ù_ 1 tan`30ù ⑤ sin a-cos = 3_ 3=3 ' ' b=sin ` ` 60ù-cos 30ù ` 3 = ' 2 3 - ' 2 =0 따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다. a 2 ` ` ` 19 45ù0, cos x-sin x<0 ∴ (sin x+cos x)Û` - (cos x-sin x)Û` "Ã "Ã ∴ =(sin x+cos x)-{-(cos x-sin x)} ∴ =sin x+cos x+(cos x-sin x) ∴ =2 cos x 즉 2 cos x= 에서 cos x= 이므로 이를 만족 ;1!3); ;1°3; A 하는 직각삼각형 ABC를 그리면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 ACÓ= 13Û -5Û = 144=12이므로 "Ã ` ` '¶ sin x_ 1 tan x = ;1!3@;_;1°2;=;1°3; 13 B x 5 C 03 삼각비의 활용 ⑴ 기초의 1 x=3 3, y=3 ' 2 ⑴ 5.3 ⑵ 8.5 3 ⑴ 3 ⑵ 3 ' 4 60, 3, 3, 60, 3, ' 3 ⑶ 2 3 ⑷ 21 '¶ ' 3 2 , 2 3 ' 5 ⑴ h ⑵ ' h ⑶ 5(3- 3) ' 3 3 6 ⑴ 3h ⑵ h ⑶ 5( 3+1) ' ' 3 1 x=6 sin 60ù=6_ ' 2 =3 3 ' y=6 cos 60ù=6_ =3 ;2!; 2 ⑴ ABÓ=10 cos 58ù=10_0.53=5.3 ⑵ ACÓ=10 sin 58ù=10_0.85=8.5 3 ⑴ △AHC에서 AHÓ=6 sin 30ù=6_ =3 ;2!; ⑵ △AHC에서 3 CHÓ=6 cos 30ù=6_ ' 2 =3 3 ' ⑶ BHÓ=BCÓ-CHÓ=5 3-3 3=2 3 ' ' ' ⑷ △ABH에서 ABÓ=¿¹AHÓ Û 4 A `+BHÓ Û `= 3Û +(2 3)Û = 21 ' ` '¶ ¿¹ ` A 60 ∞ H ➞ 45∞ B 75∞ C 23 45∞ B 75∞ C 23 △HBC에서 CHÓ=3 2 sin 45ù=3 ' 2 2_ ' 2 ' = 3 따라서 △AHC에서 ACÓ= 3 3 = 3 Ö ' 2 = 2 3 ' sin 60 ù 5 ⑴ △ABH에서 ⑵ △AHC에서 BHÓ=h tan 45ù=h CHÓ=h tan 3 30ù= ' 3 ` h ` 3 ⑶ h+ ' 3 h=10, h=10 3 3+ ' 3 ∴ h= 30 3+ 3 ' =5(3- 3 ) ' 45∞ A h 30∞ 45∞ B 60∞ C H 10 I. 삼각비 7 BHÓ=h tan 60ù= 3h 6 ⑴ △ABH에서 ⑵ △ACH에서 CHÓ=h tan 45ù=h ' ⑶ ' 3h-h=10, ( 3-1)h=10 ' ∴ h= 10 3-1 ' =5( 3+1) ' 60∞ A 45∞ h H B 45∞ 30∞ 10 C 개념의 유제 29쪽 ~31쪽 01 ㉠, ㉣ 04 2 '¶ 02 3.94 m 03 ⑴ 9 m ⑵ 10.5 m 06 20( 3-1) m 6 10 cm 05 10 ' 07 8(3+ 3) m ' ' ACÓ 3 3 ACÓ 01 ㉠ tan 35ù= 에서 ACÓ=3 tan 35ù ㉣ ∠A=180ù-(35ù+90ù)=55ù이므로 tan 55ù= 에서 ACÓ= 3 tan 55ù 따라서 ACÓ의 길이를 나타내는 것은 ㉠, ㉣이다. 02 (구하는 높이) =5 sin 52ù=5_0.7880=3.94 (m) 03 ⑴ BCÓ=10 tan 42ù=10_0.9=9 ⑵ (나무의 높이)=BCÓ+CEÓ=9+1.5=10.5 (m) ` (m) ` 04 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A 에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H 라고 하면 △AHC에서 A H 2 45∞ 2 cm C B 8 cm AHÓ=2 2 sin 45ù=2 =2 (cm) ' ' 2 2_ ' 2 ' 2 2_ ' 2 ' CHÓ=2 2 cos 45ù=2 =2 (cm) ∴ BHÓ=BCÓ-CHÓ=8-2=6 (cm) 따라서 △ABH에서 6Û ABÓ= "Ã 10 (cm) 40=2 +2Û = '¶ '¶ ` ` 05 오른쪽 그림과 같이 ∠C=180ù-(60ù+75ù)=45ù 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발 A 75∞ 20 60∞ B H 45∞ C 을 H라고 하면 △ABH에서 3 AHÓ=20 sin 60ù=20_ ' 2 =10 3 ' 따라서 △AHC에서 10 ' sin 45ù ACÓ= =10 ' 3 2 3Ö ' 2 =10 6 ' 8 정답과 해설 3-1) m이다. ' 06 AHÓ=h m라고 하면 △ABH에서 ∠BAH=45ù이므로 △AHC에서 ∠CAH=60ù이므로 CHÓ=h tan 60ù= BHÓ=h tan 45ù=h (m) 3 h (m) ' 이때 BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 40=h+ 3 h, (1+ 3)h=40 ' ' 40 3+1 따라서 AHÓ의 길이는 20( ∴ ` =20( h= ' ' 3-1) 07 CHÓ=h m라고 하면 △CAH에서 ∠ACH=45ù이므로 AHÓ=h tan 45ù=h (m) △CBH에서 ∠BCH=30ù이므로 3 BHÓ=h tan 30ù= ' 3 h (m) 이때 ABÓ=AHÓ-BHÓ이므로 3 16=h- ' 3 h, 3 3- ' 3 h=16 48 3- ∴ ` h= 3 ' 따라서 CHÓ의 길이는 8(3+ ' =8(3+ 3) 3) m이다. ' 내공의 01 16.58 02 3 64 ' 3 p cmÜ` 04 (20 ' 07 15+5 11 9(3+ 3+60) m 6 3+5 ' ' ' 3) 7 05 ' 08 ④ 12 12-4 3 ' 32쪽 ~33쪽 03 16.2 m 2 m 06 30 ' 09 ② 10 40-20 3 ' 01 ACÓ=20 cos 34ù=20_0.8290=16.58 3 02 AOÓ=8 sin 60ù=8_ ' 2 =4 3 (cm) ' ` BOÓ=8 cos 60ù=8_ =4 (cm) ;2!; ` ∴ (원뿔의 부피)= _p_4Û _4 3= ;3!; ` ' 3 p 64 ' 3 ` (cmÜ ) ` 03 ABÓ =12 cos 62ù=12_0.47=5.64 (m) ACÓ =12 sin 62ù=12_0.88=10.56 (m) 따라서 쓰러지기 전의 나무의 높이는 ABÓ+ACÓ=5.64+10.56=16.2 (m) 04 DHÓ=ABÓ=60 m이므로 △CDH에서 3 CHÓ=DHÓ tan 30ù=60_ ' 3 =20 3 (m) ' 09 △CAH에서 ∠ACH=61ù이므로 AHÓ=h tan 61ù (m) △CBH에서 ∠BCH=31ù이므로 BHÓ=h tan 31ù (m) 05 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 ABÓ에 A 이때 ABÓ=AHÓ-BHÓ이므로 3 H 60∞ 100=h tan 61ù-h tan 31ù ∴ h= 100 tan 61ù-tan 31ù 2 C B △DBH에서 BHÓ=DHÓ tan 45ù=60 (m) ∴ BC Ó =CHÓ+BHÓ=20 3+60 (m) ' 내린 수선의 발을 H라고 하면 △AHC에서 3 CHÓ=2 sin 60ù=2_ ' 2 = 3 ' AHÓ=2 cos 60ù=2_ =1 ;2!; ∴ BHÓ=ABÓ-AHÓ=3-1=2 따라서 △BCH에서 = 2Û ¿¹ BCÓ= +( 3)Û ' ' 7 ` ` 06 오른쪽 그림에서 ∠C=180ù-(105ù+45ù)=30ù 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발 A 30 m 45∞ B 105∞ H 30∞ C 을 H라고 하면 △ABH에서 2 AHÓ=30 sin 45ù=30_ ' 2 =15 2 (m) ' ` 따라서 △AHC에서 15 ' sin 30ù ACÓ= =15 2 ' 2Ö =30 2 (m) ;2!; ' ` 07 오른쪽 그림에서 ∠A=180ù-(75ù+60ù)=45ù 꼭짓점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라 A 45∞ 고 하면 △BCH에서 3 BHÓ=10 sin 60ù=10_ ' 2 =5 3 ' CHÓ=10 cos 60ù=10_ =5 ;2!; ` 한편△ABH에서 AHÓ= 5 3 ' tan 45ù =5 3이므로 ' ABÓ= 5 3 ' cos 45ù =5 2 3Ö ' 2 ' =5 6 ` ' ∴ ( △ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ 6+10+(5+5 =5 ' =15+5 3+5 6 ` ' ' 3) ' 08 ① ∠BAH=180ù-(90ù+45ù)=45ù ② ∠CAH=180ù-(90ù+50ù)=40ù ③ △ABH에서 BHÓ=AHÓ tan 45ù ④ △AHC에서 CHÓ=AHÓ tan 40ù ⑤ BCÓ =BHÓ+CHÓ=AHÓ tan 45ù+AHÓ tan 40ù 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 10 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서 OAÓ 에 내린 수선의 발을 H라고 하면 AHÓ=x cm 직각삼각형 OHB에서 OHÓ=40_cos 30ù 3 =40_ ' 2 =20 3 (cm) ' ∴ AHÓ=OAÓ-OHÓ=40-20 ' 따라서 구하는 x의 값은 40-20 3 (cm) 3이다. ' O 40 cm 30∞ B H A x cm 11 AHÓ=h라고 하면 △ABH에서 ∠BAH=45이므로 △ACH에서 ∠CAH=30ù이므로 BHÓ=h tan 45ù=h 3 CHÓ=h tan 30ù= ' 3 h 이때 BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 75∞ B H 60∞ C 10 3 6=h- ' 3 h, 3 3- ' 3 h=6 ∴ h= 18 3- 3 ' =3(3+ 3) ' ∴ △ABC= ;2!; _6_3(3+ 3)=9(3+ 3) ' ' A 60∞ D E 8 B 45∞ 60∞ 45∞ F C 12 오른쪽 그림의 △EBF에서 ∠BEF=90ù-45ù=45ù이므로 BFÓ=EFÓ tan 45ù=EFÓ ABÓ∥EFÓ이므로 ∠CEF=∠A=60ù ∴ CFÓ=EFÓ tan 60ù= 한편 △ABC에서 BCÓ=8 tan 60ù=8 3 ' 3 EFÓ ' ` 이때 BCÓ=BFÓ+CFÓ이므로 8 3=EFÓ+ 3 EFÓ, (1+ 3)EFÓ=8 3 ' ' ∴ EFÓ= =12-4 3 ' 8 3 ' 3+1 ' ' ' I. 삼각비 9 04 삼각비의 활용 ⑵ 기초의 2 ⑵ 20 1 ⑴ 6 2 ⑴ 12 ⑵ 24 ⑶ 20 ' ' 3 ⑶ 5 ' 3 ⑷ 27 6 3 ⑷ 20 2 ' ' ' 3 ⑴ 24 2 ⑵ 36 2 ⑶ 42 3 ⑷ ' ' ' :¦2°: 1 ⑴ △ABC= ;2!; _4_6_sin 45ù 2 _4_6_ ' 2 = ;2!; =6 2 ' ⑵ △ABC= ;2!; _8_10_sin 60ù 3 _8_10_ ' 2 = ;2!; =20 3 ' ⑶ △ABC= _4_5_sin (180ù-120ù) ⑷ △ABC= _12_9_sin (180ù-135ù) ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; = _4_5_sin 60ù = ;2!; 3 _4_5_ ' 2 =5 3 ' = _12_9_sin 45ù 2 _12_9_ ' 2 = ;2!; =27 2 ' 2 ⑴ ABCD=4_3 2_sin 45ù ' 2 2_ ' 2 ' =4_3 =12 ⑵ ABCD=6_8_sin 30ù ⑶ ABCD =5_8_sin (180ù-120ù) =6_8_ =24 ;2!; =5_8_sin 60ù 3 =5_8_ ' 2 =20 3 ' =4 3_10_sin 45ù =4 2 3_10_ ' 2 ' =20 6 ' ⑷ ABCD =4 3_10_sin(180ù-135ù) 3 ⑴ ABCD= _12_8_sin 45ù 2 _12_8_ ' 2 = ;2!; =24 2 ' ⑵ ABCD= _8 2_6 3_sin 60ù ' ' ' = _8 2_6 3 3_ ' 2 ' =36 2 ' 10 정답과 해설 ' ' ;2!; ;2!; ;2!; ⑶ ABCD= _14_12_sin(180ù-120ù) 36쪽 ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; = _14_12_sin 60ù 3 _14_12_ ' 2 = ;2!; =42 3 ' = _15_10_sin 30ù = _15_10_ = ;2!; :¦2°: ⑷ ABCD= _15_10_sin(180ù-150ù) 개념의 유제 37쪽 ~39쪽 02 5 3 ' 03 7 3 ' 04 54 3 ' 05 2 cmÛ` 01 :¦4°: 06 45ù 01 △ABC가 이등변삼각형이므로 ACÓ=ABÓ=5 3, ∠A=180ù-(75ù+75ù)=30ù ' ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ' ∴ △ABC= _5 3_5 3_sin 30ù ∴ △ABC= _5 3_5 3_ = ;2!; ;;¦4°;; ' ' ' ' 02 △ABC= _ABÓ_8_sin(180ù-150ù) sin 30ù △ABC= _ABÓ_8_ =2ABÓ ;2!; 즉 2ABÓ=10 3이므로 ABÓ=5 3 ' ` 03 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면 ABCD =△ABD+△BCD = _2 3_2_sin ;2!; ' (180ù-150ù) sin 30ù ` ABCD=+ _6_4_sin 60ù = _2 3_2_ + 3 _6_4_ ' 2 ;2!; ;2!; ;2!; ' ' ' = 3+6 3=7 3 ;2!; ' 04 오른쪽 그림과 같이 정육각형은 6개의 합동 인 정삼각형으로 나누어지므로 (정육각형의 넓이) =6_ _6_6_sin 60ù =6_ _6_6_ ' {;2!; {;2!; } 3 2 } =54 3 ' 05 ABÓ=BCÓ=CDÓ=DAÓ=2 ABCD =2_2_sin (180ù-150ù) cm이므로 ` sin 30ù ABCD =2_2_ ;2!; ABCD=2 (cmÛ ` ` ) D 2 A 32 150∞ B 6 4 60∞ C O 6 60∞ 6 06 오른쪽 그림과 같이 두 대각선이 이루 는 예각의 크기를 x라고 하면 ABCD= _12_15_sin x ;2!; A B 15 12 x D C 05 BDÓ를 그으면  ABCD =△ABD+△DBC ABCD=90 sin x 즉 90 sin x=45 2이므로 ' 2 sin x= ' 2 ∴ x=45ù 따라서 두 대각선이 이루는 예각의 크기는 45ù이다. = _4_4_sin(180ù-120ù)+ 3_4 3_sin 60ù ;2!; = 3 _4_4_ ' 2 ;2!; + _4 3_4 ;2!; ' sin 60ù _4 ;2!; ' 3 3_ ' 2 ' ' 3+12 3 ' =4 ' =16 3 ' 06 오른쪽 그림과 같이 정팔각형은 8개의 합동 인 이등변삼각형으로 나누어지므로 원의 반 45∞ 40쪽~41쪽 지름의 길이를 x라고 하면 (정팔각형의 넓이) =8_ _x_x_sin 45ù } =8_ _x_x_ ' 2 2 } {;2!; {;2!; =2 ' 즉 2 2xÛ ` 2xÛ xÛ ` =32 2이므로 ` ' =16 ' ∴ x=4 (∵ x>0)

`

따라서 반지름의 길이는 4이다.

07 △AMC=

;2!;△ABC

△AMC=

ABCD

;4!;

;4!;

△AMC=

_6_10_sin 60ù

△AMC=

3

_6_10_ ‘

2

;4!;

△AMC=

3

15

‘

2

(cmÛ

)

`

C

A

30∞

12

O

B

08 △ABC에서

+6Û

ACÓ=

8Û

“Ã

`

=

100=10

`

Ԧ

내공의

01 12 cm

05 ②

‘

02 4

3

06 4

‘

‘

09 4

5 cm 10 18

5

11 9 cmÛ`

12 4

03 48p-36

3

‘

07

15

3

‘

2

cmÛ`

04 80

3

‘

08 40

3

‘

01 △ABC=

_8

2_BCÓ_sin 45ù

;2!;

‘

△ABC=

_8

;2!;

2

2_BCÓ_ ‘

2

‘

△ABC=4BCÓ

즉 4BCÓ=48이므로 BCÓ=12

(cmÛ

)

`

`

(cm)

`

02 △ABC=

;2!;

_6_8_sin 60ù

△ABC=

3

_6_8_ ‘

2

;2!;

3

△ABC=12

‘

;3!;△ABC=

∴ △GBC=

_12

3=4

3

‘

‘

;3!;

03 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면

△AOC는 OAÓ=OCÓ인 이등변삼각

형이므로

∠AOC=180ù-(30ù+30ù)=120ù

∴ (색칠한 부분의 넓이)

=(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC

120ù

360ù

=p_12Û

_

–

;2!;

`

=p_12Û

_

`

;3!;

–

;2!;

3

_12_12_ ‘

2

=48p-36

3

‘

04 ACÓ=10 tan 60ù=10

3이므로

ABCD=△ABC+△ACD

‘

_12_12_sin (180ù-120ù)

sin 60ù

ABCD=

_10_10

3+

_10

3_12_sin 30ù

;2!;

‘

;2!;

‘

ABCD=50

3+

_10

3_12_

;2!;

‘

;2!;

ABCD=50

3+30

3=80

3

‘

‘

‘

‘

∴ ABCD=

_10_16_sin (180ù-120ù)

;2!;

3

_10_16_ ‘

2

;2!;

sin 60ù

∴ ABCD=

∴ ABCD=40

3

‘

09 ABCD가 등변사다리꼴이므로 ACÓ=BDÓ

∴ ABCD=

_ACÓ_BDÓ_sin 30ù

;2!;

∴ ABCD=

ACÓ_ACÓ

;2!;_

_;2!;

∴ ABCD=

ACÓ Û`

(cmÛ

)

;4!;

`

`

ACÓ Û`=20이므로

즉

;4!;

ACÓ Û`=80

∴ ACÓ=4

5 (cm) (∵ ACÓ>0)

‘

I. 삼각비 11

10 cos A=

;3@;

이므로 오른쪽 그림과 같이

∠D=90ù, AEÓ=3, ADÓ=2인 직각삼각형

ADE를 생각하면

DEÓ=

3Û

“Ã

`

-2Û

=

5

`

‘

5

∴ sin A= ‘

3

E

3

A

D

2

∴ △ABC=

_9_12_sin A

;2!;

∴ △ABC=

;2!;

∴ △ABC=18

5

‘

5

_9_12_ ‘

3

11 △PCD에서 ∠PCD=90ù-30ù=60ù이므로

CPÓ=

3

60ù

cos

`

=3Ö

=6

(cm)

;2!;

`

∠QPC=∠APQ (접은 각), ∠PQC=∠APQ (엇각)

이므로 ∠PQC=∠QPC

따라서 △PQC는

cm인 이등변삼각형이므로

CQÓ=CPÓ=6

`

`

△PQC=

_6_6_sin

30ù

`

;2!;

;2!;

`

=

_6_6_

;2!;

=9

(cmÛ

)

`

실전의

42쪽 ~45쪽

01 3

7 cm 02 3

‘

03 ③

04

2

2

‘

3

05 -1

08 32

3 cmÛ` 09 3

07 64

3

‘

‘

13 13.372

12 ④

17 10 cm` 18 50(3-

14 24초

3) m

‘

10 ;4!;

15 4

19 5

‘

‘

3 cmÛ`

2 cm

06 1

11 ②, ④

16 6

3

3

‘

21

‘

2

20

cmÛ`

22 192

3 cmÛ`

‘

21 27

2 cmÛ“

‘

23 Ԧ

10

10

2

24 ‘

2

01 sin A=

=

이므로

`

;4#;

BCÓ=9 (cm)

BCÓ

12

∴

`

ACÓ=

12Û

-9Û

=

63=3

7

(cm)

“Ã

`

`

Ԧ

‘

`

02 tan A=2이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù,

ABÓ=1, BCÓ=2인 직각삼각형 ABC를 생각한다.

ACÓ=

+2Û

=

5이므로

sin A=

, cos A=

1Û

“Ã

‘

5

`

2

=

`

2

5

‘

sin A+cos A

sin A-cos A

‘

5

5

= ‘

5

1

5

5

5 }

‘

+ ‘

=

{

2

5

‘

5

5

=

3

‘

5

5

Ö ‘

5

=3

∴

`

∴

`

A

1

2

5

‘

5

– ‘

5

5 }

Ö

{

C

2

B

12 △ABC=

;2!;

_6_12_sin (180ù-120ù)

sin 60ù

△ABC=

3

_6_12_ ‘

2

;2!;

=18

3

‘

이때 ADÓ=x라고 하면

△ABD=

_6_x_sin 60ù

△ABD=

3

_6_x_ ‘

2

△ABD=

3

x

‘

2

△ADC=

_x_12_sin 60ù

;2!;

;2!;

3

;2!;

3

_x_12_ ‘

2

△ACD=

;2!;

△ACD=3

이때 △ABC=△ABD+△ADC이므로

3x

‘

`

18

3=

‘

3

3

‘

2

x+3

3x,

‘

9

3

‘

2

x=18

3

∴ x=4

‘

따라서 ADÓ의 길이는 4이다.

12 정답과 해설

A

D 8

x

E

C

6

x

B

A

12

D

B

x

H

M

C

03 오른쪽 그림에서

△ABC»△EDC ( AA 닮음)

이므로 ∠B=∠CDE=x

△ABC에서

+8Û

BCÓ=

=

100=10이므로

6Û

“Ã

`

`

sin x=sin B=

`

=

=

;1¥0;

;5$;

Ԧ

ACÓ

BCÓ

04 오른쪽 그림에서

BMÓ=CMÓ=

△ABM에서

;2!;

BCÓ=

_12=6이므로

;2!;

AMÓ=

12Û

-6Û

=

108=6

3

`

`

‘

“Ã

Ԧ

한편 점 A에서 △BCD에 내린 수선의 발

을 H라고 하면 점 H는 △BCD의 무게중

심이고

DMÓ=AMÓ=6

3이므로

‘

MHÓ=

DMÓ=

_6

3=2

3

;3!;

‘

‘

;3!;

즉 △AMH에서

AHÓ=

(6

3)Û

“Ã

∴ sin x=

=

-(2

3)Û

=

96=4

6

‘

‘

`

AHÓ

AMÓ

Ԧ

2

`

=

2

‘

3

‘

4

6

‘

‘

6

3

05 점 I가 △ABC의 내심이므로

105ù=90ù+

∠A

∴ ∠A=30ù

;2!;

이때 ∠ABC=180ù-(30ù+90ù)=60ù이므로

sin A-cos A_tan B=sin 30ù-cos 30ù_tan 60ù

∴ (색칠한 부분의 넓이)=△COD-△AOB

2

_ ‘

2

∴ (색칠한 부분의 넓이)=

_1_1

-;2!;

;2!;

2

_ ‘

2

=

;2!;

3

– ‘

2

_

3

‘

=

–

;2!;

;2#;

=-1

2

06 cos 45ù= ‘

2

이므로 2x-15ù=45ù

2x=60ù ∴

`

x=30ù

sin x+cos 2x=sin 30ù+cos 60ù

∴

`

∴

`

sin x+cos 2x=

+

=1

;2!;

;2!;

07 △ADH에서

12

AHÓ

tan 60ù=

=

3이므로 AHÓ=4

3

‘

‘

y=ADÓ=

한편 △BAH에서 ∠BAH=90ù-60ù=30ù이고

192=8

+(4

12Û

3)Û

=

“Ã

‘

‘Ä

‘

3

`

`

cos 30ù=

이므로 x=8

3

4

‘

x

3

= ‘

2

∴ xy=8_8

3=64

3

‘

‘

08 오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 A, D에

서 BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 H, H’

이라고 하면

△ABH에서

AHÓ

8

sin 60ù=

AHÓ=4

3

‘

3

= ‘

2

이므로

cos 60ù=

BHÓ

8

=

;2!;

이므로

BHÓ=4, 또 CH’Ó=BHÓ=4

A

D

8 cm

60∞

B

H

H’

12 cm

이때 ADÓ=HH’Ó=BCÓ-(BHÓ+CH’Ó)=12-(4+4)=4

∴ ABCD=

_(4+12)_4

3=32

3 (cmÛ

)

‘

‘

`

;2!;

09 직선 y=ax+b에서

a=(기울기)=tan 45ù=1

즉 직선 y=x+b가 점 (-1, -4)를 지나므로

y=x+b에 x=-1, y=-4를 대입하면

-4=-1+b

∴

`

b=-3

이때 y=x-3에 y=0을 대입하면

0=x-3

∴

`

따라서 직선 y=x-3의 x절편은 3이다.

x=3

∴ (색칠한 부분의 넓이)=

–

=

;4!;

;4!;

;2!;

2

11 ① cos 45ù+sin 45ù= ‘

2

2

+ ‘

2

=

2

‘

② cos 60ù_tan 60ù=

_

3

3= ‘

2

‘

;2!;

3

③ tan 30ù= ‘

3

, tan 60ù=

3이므로

‘

tan 30ù=

1

tan 60ù

④ tan 0ù+tan 45ù-cos 0ù=0+1-1=0

2

⑤ 2 cos 45ù_tan 60ù_sin 30ù=2_ ‘

2

_

3_

‘

6

= ‘

2

;2!;

따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다.

12 0ù0, cos x-1<0 ∴ (cos x+1)Û - (cos x-1)Û ¿¹ ¿¹ =(cos x+1)-{-(cos x-1)} ` `` =cos x+1+(cos x-1) =2 cos x C 13 sin 64ù= ;1Ó0; =0.8988이므로 x=8.988 cos 64ù= =0.4384이므로 y=4.384 ;1Õ0; ∴ ` x+y=8.988+4.384=13.372 14 ACÓ= 9 sin 27ù = 9 0.45 =20 (m) 이때 지은이는 매분 50 m의 속력으로 걸으므로 매초 = (m)의 속력으로 걷는다. ;6%0); ;6%; 따라서 A 지점에서 C 지점까지 가는 데 걸리는 시간은 20Ö =24(초) ;6%; 15 오른쪽 그림과 같이 AEÓ를 그으면 △ADE와 △AB'E에서 ∠ADE=∠AB'E=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=AB'Ó이므로 △ADEª△AB'E (RHS 합동) ∴ ∠DAE=∠B'AE=30ù △AB'E에서 C' E D D' C B B' 30∞ 30∞ 30∞ 2 30∞ A 3 cm I. 삼각비 13 2 =ABÓ= ' 2 , cos 45ù= OBÓ 1 2 =OBÓ= ' 2 10 △AOB에서 ABÓ 1 sin 45ù= △COD에서 CDÓ 1 tan 45ù= =CDÓ=1 EB'Ó=2 3 tan 30ù=2 =2 (cm) ' 3 3_ ' 3 ' ∴ AB'ED=2△AB'E AB'ED=2_ _2 3_2 {;2!; ' } AB'ED=4 3 (cmÛ ) ' ` 헬리콥터의 높이를 h m라고 하면 45∞ B 60∞ C ∴ sin x= 16 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 3 AHÓ=6 sin 60ùÓ=6_ ' 2 =3 3 ' BHÓ=6 cos 60ù=6_ =3 ;2!; ∴ CHÓ=BCÓ-BHÓ=12-3=9 따라서 △AHC에서 = (3 ACÓ= 108=6 +9Û 3)Û ¿¹ ' ` ` '¶ 3 ' 17 오른쪽 그림에서 ∠A=180ù-(105ù+45ù)=30ù A 꼭짓점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H 라고 하면 △BCH에서 BHÓ=5 2 sin 45ùÓ=5 ' 따라서 △ABH에서 2 2_ ' 2 ' =5 (cm) ABÓ= BHÓ sin 30ù =5Ö =10 (cm) ;2!; ` 18 오른쪽 그림과 같이 A 지점에서 지면에 내린 수선의 발을 H라고 하면 ∠BAH=45ù, ∠CAH=30ù BHÓ=h tan45ù=h (m) 3 CHÓ=h tan 30ù= ' 3 h (m) 3 즉 h+ ' 3 h=100이므로 3 3+ ' 3 h=100 ∴ h= =50(3- 3) ' 따라서 헬리콥터의 높이는 50(3- 3) m이다. 300 3+ 3 ' ' 19 △ABC= ;2!; _8_BCÓ_sin(180ù-135ù) △ABC= 2 _8_BCÓ_ ' 2 ;2!; △ABC=2 2 BCÓ (cmÛ ) ' ` 즉 2 2 BCÓ=20이므로 ' BCÓ= =5 2 (cm) 20 2 ' 2 ' 20 △BMD= ;2!;△BCD △BMD= ABCD △BMD= _6 3_14_sin (180ù-150ù) sin 30ù △BMD= _6 3_14_ ;2!; △BMD= (cmÛ ) ` ;4!; ;4!; ' ' ;4!; 21 ' 2 3 14 정답과 해설 A 6 60∞ H B 12 21 두 대각선이 이루는 예각의 크기는 180ù-(55ù+80ù)=45ù이므로 C ABCD= _9_12_sin 45ù ;2!; ABCD= 2 _9_12_ ' 2 ;2!; ABCD=27 2 (cmÛ ) ' ` 22 오른쪽 그림과 같이 주어진 도형은 12개의 합동인 정삼각형으로 나누어지므로 넓이는 8 cm 60∞ 12_ _8_8_sin 60ù {;2!; =12_ _8_8_ ' {;2!; =192 3 (cmÛ ) ' } 3 2 } 30∞ H 105∞ B 5 45∞ 2 cm C 23 오른쪽 그림의 △ABC에서 ABÓ= +2Û △ADC에서 +2Û ADÓ= 20=2 8=2 4Û "Ã = = 'Ä ' 2Û ` ` "Ã ` ` ' ' 5 (cm) 2 (cm) 이때 △ABC=△ABD+△ADC이므로 A x 45∞ 2 cm B 2 cm D 45∞ 2 cm C A 45∞ h m H 100 m 30∞ _4_2= _2 5_2 2_sin x + _2_2 {;2!; ' ' } {;2!; } ;2!; 4=2 'Ä 10 sin x=2 10 sin x+2, 2 2 10 = 'Ä 2 'Ä 10 10 'Ä 24 AMÓ : MDÓ=1 : 2이므로 AMÓ=a, MDÓ=2a (a>0)라고 하면 ABÓ=3a이므로

△ABM에서

BMÓ=

“Ã

aÛ`+(3a)Û`=

10aÛ`=

10 a

Ԧ

CNÓ=NDÓ=

ABÓ=

a이므로

;2!;

“Ã

;2#;

△BCN에서

BNÓ=

(3a)Û`+

®É

Û`=

a

}

{;2#;

aÛ`=

®É:¢4°:

3

5

‘

2

a

이때

ABCD=△ABM+△MBN+△BCN+△DMN

이므로

△ABM=

_a_3a=

;2!;

aÛ

`

;2#;

3

5

‘

2

△MBN=

_

10 a_

;2!;

Ԧ

a_sin x=

2

15

‘

4

aÛ

sin x

`

△BCN=

_3a_

a=

aÛ

`

;4(;

;2#;

;2!;

△DMN=

_2a_

a=

aÛ

`

;2#;

;2#;

;2!;

즉 (3a)Û`=

aÛ

+

;2#;

`

2

15

‘

4

aÛ

sin x+

`

aÛ

+

;4(;

`

aÛ

이므로

`

;2#;

2

15

‘

4

aÛ

sin x=

`

aÛ

2

∴ sin x= ‘

`

2

:Á4°:

II . 원의 성질

ABÓ=2AMÓ=2_8=16, CDÓ=2DNÓ=2_8=16

즉 ABÓ=CDÓ이므로

ONÓ=OMÓ=6

∴ x=6

01

원의 현에 관한 성질

기초의

1 ⑴ 9 ⑵ 6

2 ⑴ 8 ⑵ 5 ⑶ 5 ⑷ 22 ⑸ 2 ⑹ 6

3 ⑶ 16 ⑷ 6 ⑸ 15 ⑹ 2

‘

5

‘

50쪽

개념의

유제

51쪽 ~53쪽

cm 02 2

7

cm 03 4

3

‘

`

‘

04 4

5

cm 05 4

‘

`

2

‘

6

01 2

‘

06 55ù

`

A

B

C

1`cm

D

3`cm

O

4`cm

03 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 ABÓ

에 내린 수선의 발을 H, OHÓ의 연장선이

µAB와 만나는 점을 C라 하고 원 O의 반지

A

B

12

H r

C

O

(cm)

`

cm이므로

`

OHÓ=OCÓ-CHÓ=6-2=4

01 OCÓ=OBÓ=6

즉 △OHB에서

=

6Û

“Ã

이때 AHÓ=BHÓ=2

△ACH에서

ACÓ=

5)Û`+2Û

BHÓ=

-4Û

Ԧ

`

`

“Ã(2

‘

20=2

5

(cm)

‘

`

cm이므로

`

5

‘

=

24=2

6

(cm)

`

Ԧ

‘

`

02 오른쪽 그림과 같이 CDÓ의 연장선은

원의 중심을 지나므로 원의 중심을 O

라고 하면

OCÓ=OAÓ=4

cm

`

ODÓ=OCÓ-CDÓ=4-1=3

(cm)

`

즉 △OAD에서

=

ADÓ=

4Û

‘

“Ã

ABÓ=2ADÓ=2_

-3Û

`

`

7

(cm)이므로

`

7=2

‘

7

(cm)

‘

`

름의 길이를 r라고 하면

BHÓ=

ABÓ=

_12=6

;2!;

;2!;

OHÓ=CHÓ=

OCÓ=

r이므로

;2!;

;2!;

△OBH에서

rÛ

=6Û

+

`

r

,

`

}

;4#;

{;2!;

rÛ`=36

`

`

rÛ

=48

∴ r=4

3

(∵ r>0)

‘

`

따라서 원 O의 반지름의 길이는 4

3이다.

‘

04 ABÓ가 작은 원의 접선이므로 ABÓ⊥OHÓ

즉 △OAH에서

=

AHÓ=

20=2

(cm)이므로

5

6Û

Ԧ

“Ã

ABÓ=2AHÓ=2_2

-4Û

`

`

‘

5=4

`

5

‘

`

‘

(cm)

II . 원의 성질 15

1 ⑴ AHÓ=

ABÓ=

_18=9

∴ x=9

;2!;

;2!;

27=3

3이므로

‘

3=6

‘

‘

3

∴ x=6

3

‘

⑵ △OAH에서

-3Û

AHÓ=

6Û

Ԧ

“Ã

ABÓ=2AHÓ=2_3

=

⑶ △OHB에서

5)Û

BHÓ=

-4Û

`

`

“Ã(4

‘

ABÓ=2BHÓ=2_8=16

Ԧ

`

`

∴ x=16

=

64=8이므로

⑷ AHÓ=

ABÓ=

_16=8이므로

;2!;

;2!;

△OAH에서

-8Û

OHÓ=

10Û

“Ã

`

`

Ԧ

=

36=6

∴ x=6

⑸ AHÓ=

ABÓ=

_24=12이므로

;2!;

;2!;

△OAH에서

+9Û

OAÓ=

12Û

“Ã

`

`

Ԧ

=

225=15

∴ x=15

⑹ BHÓ=

ABÓ=

_8=4이므로

;2!;

;2!;

△OHB에서

+2Û

OBÓ=

4Û

“Ã

`

=

20=2

5

∴ x=2

5

`

Ԧ

‘

‘

2 ⑴ OMÓ=ONÓ이므로

CDÓ=ABÓ=8

∴ x=8

⑵ ABÓ=CDÓ이므로

ONÓ=OMÓ=5

∴ x=5

`

⑶ OMÓ=ONÓ이므로

ABÓ=CDÓ=10

AMÓ=

ABÓ=

_10=5

∴ x=5

;2!;

;2!;

⑷ OMÓ=ONÓ이므로

ABÓ=CDÓ=2CNÓ=2_11=22

∴ x=22

⑸ CDÓ=2CNÓ=2_3=6

즉 ABÓ=CDÓ이므로

OMÓ=ONÓ=2

⑹ △AOM에서

-8Û

OMÓ=

10Û

“Ã

`

∴ x=2

=

36=6

`

Ԧ

2

05 OMÓ=ONÓ=4이므로 ABÓ=CDÓ=8

ABÓ=

_8=4이므로

;2!;

이때 BMÓ=

;2!;

△OBM에서

+4Û

OBÓ=

4Û

“Ã

`

=

32=4

2

`

Ԧ

‘

06 OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ

즉 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.

한편 AMON에서

∠A=360ù-(90ù+110ù+90ù)=70ù이므로

∠ABC=

_(180ù-70ù)=55ù

;2!;

내공의

54쪽 ~55쪽

01 :ª2°:

06 8

2

`

‘

11 120ù

02 12

5

`

3

cm 03 6

‘

cmÛ` 08 70ù

‘

cm 07 60

`

12 49p

cmÛ`

`

04 20

cm

05 6

3

cm

`

09 12

3

cm 10 6

`

‘

‘

3

cm

‘

`

`

01 OAÓ=OCÓ=x라고 하면

OHÓ=OCÓ-CHÓ=x-5

이때 AHÓ=BHÓ=10이므로

△OAH에서

=(x-5)Û

+10Û

xÛ

`

`

xÛ

=xÛ

-10x+25+100

`

`

`

10x=125

∴ x=

:ª2°:

따라서 원 O의 반지름의 길이는

이다.

:ª2°:

02 OCÓ=OBÓ=12

`

cm이므로

OMÓ=

OCÓ=

_12=6

(cm)

`

;2!;

;2!;

즉 △OMB에서

=

MBÓ=

“Ã

Ԧ

ABÓ=2MBÓ=2_6

-6Û

12Û

`

`

108=6

3

(cm)이므로

‘

3

`

(cm)

‘

`

3=12

‘

03 OAÓ를 그으면

OAÓ=OCÓ=

CDÓ=

_18=9이므로

;2!;

;2!;

OMÓ=OCÓ-CMÓ=9-3=6

즉 △AOM에서

=

AMÓ=

-6Û

9Û

Ԧ

“Ã

ABÓ=2AMÓ=2_3

`

`

45=3

5이므로

‘

5=6

‘

5

‘

04 오른쪽 그림과 같이 CDÓ의 연장선은

원의 중심을 지나므로 원의 중심을 O,

C

4 cm

8 cm

A

원 O의 반지름의 길이를 r

cm라고 하

`

면

D

16 cm

B

r cm (r-4) cm

O

16 정답과 해설

OAÓ=OCÓ=r

cm, ODÓ=OCÓ-CDÓ=r-4

(cm)

`

ABÓ=

_16=8

(cm)이므로

;2!;

이때 ADÓ=

;2!;

△AOD에서

rÛ

`

=(r-4)Û`+8Û`, 8r=80

∴ r=10

따라서 접시의 지름의 길이는 20

cm이다.

05 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 ABÓ

에 내린 수선의 발을 H라 하고 OHÓ의 연장

`

`

선이 µAB와 만나는 점을 C라고 하면

OCÓ=OAÓ=6

cm이므로

A

6`cm

H

B

O

C

`

`

OHÓ=CHÓ=

OCÓ=

_6=3

(cm)

;2!;

;2!;

`

즉 △OAH에서

=

AHÓ=

6Û

Ԧ

“Ã

ABÓ=2AHÓ=2_3

-3Û

`

`

27=3

3

(cm)이므로

‘

3=6

`

3

‘

`

‘

(cm)

06 △AOM에서

3)Û

AMÓ=

(4

`

“Ã

ABÓ=2AMÓ=2_4

‘

`

이때 OMÓ=ONÓ이므로

CDÓ=ABÓ=8

2

cm

‘

`

-4Û

=

32=4

2

(cm)이므로

Ԧ

2=8

‘

2

`

‘

`

‘

(cm)

07 ABÓ=CDÓ이므로 ONÓ=OMÓ=12

△OND에서

NDÓ=

25=5

-12Û

(cm)

`

즉 CDÓ=2NDÓ=2_5=10

13Û

=

“Ã

Ԧ

`

`

cm

`

(cm)이므로

`

△OCD=

;2!;

_CDÓ_ONÓ=

_10_12=60

(cmÛ`)

;2!;

`

08 OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ

즉 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.

∴ ∠ABC=

_(180ù-40ù)=70ù

;2!;

09 OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ

∴ ∠ABC=∠ACB=

_(180ù-60ù)=60ù

;2!;

즉 △ABC는 정삼각형이다.

한편 OAÓ를 그으면 OAÓ=4 cm이므로

△OAM에서

-2Û

AMÓ=

3 (cm)

12=2

=

4Û

`

Ԧ

`

“Ã

∴ ABÓ=2AMÓ=2_2

따라서 △ABC의 둘레의 길이는

3ABÓ=3_4

‘

3=4

3 (cm)

3=12

‘

‘

‘

‘

3 (cm)

10 BHÓ=

;2!;

ABÓ=

_18=9

(cm)

;2!;

`

∠BOH=180ù-120ù=60ù이므로

△OHB에서

OBÓ =

9

sin 60ù

3

=9Ö ‘

2

=6

3 (cm)

‘

∴ OCÓ=OBÓ=6

3 cm

‘

⑹ PAÓ=PBÓ이므로 △PBA는 이등변삼각형이다.

즉 ∠APB=180ù-(71ù+71ù)=38ù이므로

A

O

4

H

C

B

x=38

⑺ ∠PAO=90ù이므로 △PAO에서

-6Û

PAÓ=

89=3

1

15Û

=

1

2

`

이때 PBÓ=PAÓ이므로

‘

“Ã

`

‘

x=3

2

1

‘

⑻ OPÓ=2+5=7이고

∠PBO=90ù이므로 △PBO에서

=

PBÓ=

5=3

-2Û

5

4

`

이때 PAÓ=PBÓ이므로

‘

`

‘

7Û

“Ã

x=3

5

‘

3 ⑴ BEÓ=BDÓ=7

⑵ AFÓ=ADÓ=3이므로

CEÓ=CFÓ=ACÓ-AFÓ=8-3=5

⑶ BCÓ=BEÓ+CEÓ=7+5=12

4 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로

∴ x=7

⑴ 8+x=6+9

⑵ 10+12=7+x

∴ x=15

⑶ 10+15=7+(6+x)

∴ x=12

⑷ 8+6=4+(x+5)

∴ x=5

개념의

유제

59쪽 ~62쪽

01 18ù

06 4p

02 7

3

‘

cmÛ` 07 162

03 18

cmÛ` 08 9

cm 04 75

`

cm

‘

`

2

cmÛ` 05 6

cm

`

`

`

`

01 PAÓ=PBÓ이므로 △PAB는 이등변삼각형이다.

∴ ∠PAB=

_(180ù-36ù)=72ù

;2!;

58쪽

이때 ∠PAO=90ù이므로

21 ⑻ 3

5

‘

Ԧ

∠BAO=∠PAO-∠PAB=90ù-72ù=18ù

r cm

O

H

14 cm

B

R cm

A

한편 큰 원의 반지름의 길이를 R

cm, 작은 원의 반지름의 길이를

`

11 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 ABÓ

에 내린 수선의 발을 H라 하고 OHÓ의 연장

선이 µAB와 만나는 점을 C라고 하면

△OAH와 △OBH에서

∠OHA=∠OHB=90ù

OAÓ=OBÓ=4, OHÓ는 공통이므로

△OAHª△OBH (RHS 합동)

이때 OHÓ=CHÓ=

OCÓ=

_4=2이므로

;2!;

;2!;

△OAH에서 ∠AOH=x라고 하면

cos x=

;4@;=;2!;

∴ x=60ù

∴ ∠AOB=2∠AOH=2_60ù=120ù

12 오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OHÓ를 그으

면 ABÓ가 작은 원의 접선이므로

ABÓ⊥OHÓ

∴ AHÓ=BHÓ=

ABÓ

;2!;

=

_14=7 (cm)

;2!;

`

r

cm라고 하면

△OAH에서

=7Û

RÛ

+rÛ

`

`

`

∴ RÛ

-rÛ

=49

`

`

∴ (색칠한 부분의 넓이)

=(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이)

=pRÛ`-prÛ`=p(RÛ`-rÛ`)=49p`(cmÛ`)

02

원의 접선에 관한 성질

기초의

1 ⑴ 110 ⑵ 45 ⑶ 4 ⑷ 5 ⑸ 65 ⑹ 38 ⑺ 3

2 ⑴ x=5, y=4, z=3 ⑵ x=8, y=4, z=9

3 ⑴ 7 ⑵ 5 ⑶ 12

4 ⑴ 7 ⑵ 15 ⑶ 12 ⑷ 5

1 ⑴ ∠PAO=∠PBO=90ù이므로

APBO에서

∠AOB=360ù-(90ù+70ù+90ù)=110ù

⑵ ∠PAO=∠PBO=90ù이므로

∴ x=110

AOBP에서

∠APB=360ù-(90ù+135ù+90ù)=45ù

∴ x=45

⑸ PAÓ=PBÓ이므로 △PBA는 이등변삼각형이다.

즉 ∠PAB=

_(180ù-50ù)=65ù이므로

;2!;

x=65

다른 풀이

∠PAO=∠PBO=90ù이므로

AOBP에서

∠AOB=360ù-(90ù+90ù+36ù)=144ù

△AOB에서 OAÓ=OBÓ이므로

∠BAO=

_(180ù-144ù)=18ù

;2!;

02 POÓ를 그으면 △PAOª△PBO

(RHS 합동)이므로

`

∠AOB=

_120ù=60ù

;2!;

∠AOP=

;2!;

△PAO에서

APBO에서

PAÓ=7 tan 60ù=7

3

‘

∠APB=360ù-(90ù+120ù+90ù)=60ù이고, PAÓ=PBÓ이므로

△PBA는 정삼각형이다.

∴ ABÓ=PAÓ=7

3

‘

II . 원의 성질 17

¶

Œ

Œ

Œ

03 ADÓ=AFÓ

Ó, BEÓ=BDÓ, CEÓ=CFÓ이므로

(△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ

=ABÓ+(BEÓ+CEÓ)+CAÓ

=ADÓ+AFÓ

=2ADÓ

=2_9=18

(cm)

`

08 △ABE에서

BEÓ=

15Û

-12Û

“Ã

Ó=x

`

`

Ԧ

cm라고 하면

CEÓ

=

81=9

(cm)

`

이때 AEÓ

Ó+CDÓ

Ó=ADÓ

Ó+ECÓ

`

Ó에서

`

Ó=BCÓ

15+12=(9+x)+x, 2x=18

∴ x=9

따라서 CEÓ의 길이는 9 cm이다.

=(ABÓ+BDÓ)+(CFÓ+CAÓ)

ADÓ

Ó=BEÓ

Ó+CEÓ

Ó=9+x

(cm)

내공의

cm

01 8

`

06 16

11 3

16 3

`

`

cm

`

cm

cm

02 72ù

07 20

12 1

17 15

03 ①

08 3

13 ④

18 4

63쪽 ~65쪽

`

04 12

09 30

`

14 16

cm

05 2

`

cmÛ` 10 30

15 4

cm

cm

`

2 cm

‘

cm라고 하면

OTÓ=r

01 원 O의 반지름의 길이를 r

`

cm, POÓ=(9+r)

∠PTO=90ù이므로 △POT에서

cm

`

`

(9+r)Û`=rÛ`+15Û`, 18r=144 ∴ r=8

따라서 원 O의 반지름의 길이는 8 cm이다.

02 ∠PAO=90ù이므로 ∠PAB=90ù-36ù=54ù

이때 PAÓ=PBÓ이므로 △PBA에서

∠P=180ù-(54ù+54ù)=72ù

03 ① AOÓ의 길이는 알 수 없다.

04 △ABC에서

+8Û

ABÓ=

6Û

“Ã

=

100=10

(cm)

`

`

BEÓ=BDÓ, CEÓ=CFÓ이므로

Ԧ

`

ADÓ+AFÓ=(ABÓ+BDÓ)+(CFÓ+ACÓ)

=ABÓ+(BEÓ+CEÓ)+ACÓ

=ABÓ+BCÓ+ACÓ

=10+8+6=24

(cm)

∴ ADÓ=AFÓ=

_24=12

(cm)

;2!;

`

`

05 오른쪽 그림과 같이 CBÓ=x cm라고

D

하면

CEÓ=CBÓ=x cm,

DEÓ=DAÓ=6

cm이므로

`

CDÓ=CEÓ+DEÓ=x+6 (cm)

한편 점 C에서 DAÓ에 내린 수선의 발

을 H라고 하면

HCÓ=ABÓ=4

3

cm

‘

`

또 HAÓ=CBÓ=x cm이므로

DHÓ=DAÓ-AHÓ=6-x (cm)

이때 △DHC에서

(6-x)Û`+(4

‘

따라서 CBÓ의 길이는 2 cm이다.

3)Û`=(6+x)Û`, 24x=48 ∴ x=2

6 cm

H

A

O

3 cm

4

E

C

B

H

10 cm

C

B

04 DEÓ=DAÓ=5

`

CDÓ =CEÓ+DEÓ=10+5=15

cm, CEÓ=CBÓ=10

`

(cm)

cm이므로

`

오른쪽 그림과 같이 점 D에서

BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고

E

하면

BHÓ=ADÓ=5

cm이므로

`

CHÓ

Ó=BCÓ-BHÓ=10-5=5

(cm)

5 cm

D

A

이때 △CDH에서

=

15Û

DHÓ=

-5Û

“Ã

`

`

Ԧ

200=10

2

(cm)이므로

(사다리꼴 ABCD의 넓이)=

_(5+10)_10

2

`

‘

`

;2!;

O

‘

=75

2

(cmÛ`)

‘

`

05 BDÓ=x

`

AFÓ=ADÓ=(9-x)

cm라고 하면 BEÓ=BDÓ=x

`

cm, CFÓ=CEÓ=(10-x)`cm

cm이므로

`

이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ에서

7=(9-x)+(10-x), 2x=12

∴ x=6

따라서 BDÓ의 길이는 6 cm이다.

06 △ABC에서

ACÓ=

13Û

=

25=5 (cm)

“Ã

`

오른쪽 그림과 같이 OEÓ, OFÓ를

Ԧ

-12Û

`

긋고 원 O의 반지름의 길이를

r cm라고 하면 OECF는 정사

각형이므로

B

OEÓ=ECÓ=CFÓ=OFÓ=r cm

A

F

C

13 cm

r cm

12 cm

D

O

E

이때 BDÓ=BEÓ=(12-r) cm, ADÓ=AFÓ=(5-r) cm이므로

ABÓ=ADÓ+BDÓ에서

13=(5-r)+(12-r), 2r=4

∴ r=2

∴ (원 O의 넓이)=p_2Û

=4p (cmÛ`)

`

07 원 O의 반지름의 길이가 6

ABÓ=2_6=12

(cm)

`

cm이므로

ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ에서

12+15=ADÓ+18

∴ ADÓ=9

(cm)

`

∴ ABCD=

_(9+18)_12=162`(cmÛ`)

`

;2!;

18 정답과 해설

06 ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CEÓ=CFÓ이므로

ADÓ+BEÓ+CFÓ=

(ABÓ+BCÓ+CAÓ)

;2!;

=

;2!;

_(11+14+7)

=

_32=16

(cm)

;2!;

`

07 BEÓ=x라고 하면

BDÓ=BEÓ=x이므로

CFÓ=CEÓ=16-x, AFÓ=ADÓ=17-x

이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로

13=(17-x)+(16-x), 2x=20

∴ x=10

또 PRÓ=PDÓ, QRÓ=QEÓ이므로

(△PBQ의 둘레의 길이) =PBÓ+BQÓ+QPÓ

=BPÓ+(PRÓ+QRÓ)+QBÓ

=(BPÓ+PDÓ)+(QEÓ+QBÓ)

=BDÓ+BEÓ=2BEÓ

=2_10=20

08 ODÓ, OFÓ를 그으면

ADOF는 정사각형이므로

ADÓ=DOÓ=OFÓ=FAÓ=x

이때 BDÓ=BEÓ=6, CFÓ=CEÓ=9이므로

△ABC에서

(x+6)Û`+(x+9)Û`=15Û`, xÛ

+15x-54=0

`

(x-3)(x+18)=0

∴ x=3 (∵ x>0)

09 OEÓ를 그으면

OECF는 정사각형이므로

OEÓ=ECÓ=CFÓ=FOÓ=

_4=2

(cm)

;2!;

`

ADÓ=x

`

AFÓ=ADÓ

cm라고 하면

cm이므로

Ó=x

`

cm

`

ACÓ=(x+2)

또 BEÓ=BDÓ=(13-x)

cm이므로

`

BCÓ=(13-x)+2=15-x

(cm)

따라서 △ABC에서

=(15-x)Û

13Û

+(x+2)Û

`

`

-13x+30=0, (x-3)(x-10)=0

“

`

xÛ

`

∴ x=3 (∵ BCÓ>ACÓ)

11 OQÓ를 그으면

PBQO는 정사각형이므로

PBÓ=BQÓ=QOÓ=OPÓ=6

`

이때 CRÓ=CQÓ=13-6=7

cm

(cm)이므로

DSÓ=DRÓ=10-7=3

`

(cm)

`

12 원 O의 지름의 길이는 4이므로 반지름의 길이는 2이다.

즉 CGÓ=CHÓ=DHÓ=DIÓ=2이므로

AFÓ=AIÓ=ADÓ-DIÓ=6-2=4

EGÓ=x라고 하면

EFÓ=EGÓ=x이므로

AEÓ=4+x, BEÓ=6-(x+2)=4-x

즉 △ABE에서

(4+x)Û`=4Û`+(4-x)Û`, 16x=16

∴ x=1

따라서 EGÓ의 길이는 1이다.

13 △APO와 △BPO에서

POÓ는 공통, AOÓ=BOÓ=10

cm,

`

∠PAO=∠PBO=90ù이므로

△APOª△BPO

(RHS 합동)

`

① ∠AOP=∠BOP=

∠AOB=

_120ù=60ù

;2!;

;2!;

② PAÓ=10 tan 60ù=10

3

(cm)

③ POÓ=

=20 (cm)

PAÓ

sin 60ù

=10

‘

`

3

3Ö ‘

2

‘

④ APBO에서

∠APB=360ù-(90ù+90ù+120ù)=60ù이고

PAÓ=PBÓ이므로 △APB는 정삼각형이다.

3

∴ ABÓ=PAÓ=10

cm

‘

`

⑤ △ABO=

;2!;

_OAÓ_OBÓ_sin (180ù-120ù)

=

;2!;

3

_10_10_ ‘

2

=25

3

(cmÛ`)

‘

`

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

14 BEÓ=x라고 하면 BFÓ=BEÓ=x

AIÓ=AGÓ=AEÓ=20-x, CHÓ=CGÓ=CFÓ=16-x이므로

DIÓ=DHÓ=12-(16-x)=x-4

∴ ADÓ =AIÓ+DIÓ=(20-x)+(x-4)=16

15 오른쪽 그림에서 ACÓ=BCÓ이

므로

OAÓ=OCÓ=O’BÓ=O’CÓ

P

Q

H

3 cm

A

3 cm

O

C

3 cm

3 cm

O’

B

II . 원의 성질 19

즉 BCÓ=15-3=12

(cm)이므로

(cm), ACÓ=3+2=5

`

`

△ABC=

;2!;

_12_5=30

(cmÛ`)

`

10 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ에서

ABÓ+CDÓ=7+8=15

(cm)

`

∴ (ABCD의 둘레의 길이) =2(ABÓ+CDÓ)

=2_15=30

(cm)

`

=

72=6

2 (cm)

`

‘Ä

‘

O’PÓ를 그으면 ∠APO’=90ù이므로

△AO’P에서

-3Û

PAÓ=

9Û

“Ã

`

=

ABÓ

;4!;

=

_12=3 (cm)

;4!;

한편 점 O에서 QAÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면

HAÓ=HQÓ이고, △AOH»△AO’P (AA 닮음)이므로

OAÓ : O’AÓ=HAÓ : PAÓ에서

3 : 9=HAÓ : 6

2

∴ HAÓ=2

2 (cm)

‘

∴ QAÓ=2HAÓ=2_2

2=4

‘

‘

‘

2 (cm)

16 오른쪽 그림에서 DJÓ=x cm라고 하

A

5 cm

면 DIÓ=x cm이므로

CHÓ=CIÓ=(4-x) cm

BGÓ=BHÓ=4-(4-x)=x (cm)

ALÓ=AGÓ=(6-x) cm

FKÓ=FLÓ=5-(6-x)=x-1 (cm)

EJÓ=EKÓ=2-(x-1)=3-x (cm)

∴ DEÓ=DJÓ+EJÓ=x+(3-x)=3 (cm)

6 cm

G

B

H

4 cm

L

F

K

2 cm

E

J

D

I

4 cm

O

C

1 ⑴ ∠x=

;2!;

∠AOB=

_120ù=60ù

;2!;

⑵ ∠x=2∠APB=2_55ù=110ù

⑶ ∠x=2∠APB=2_25ù=50ù

⑷ ∠AOB=360ù-240ù=120ù

∴ ∠x=

∠AOB=

_120ù=60ù

;2!;

;2!;

2 ⑴ ∠x=∠BAC=20ù

⑵ ∠x=∠ACD=55ù

⑶ △ABC에서 ∠BAC=180ù-(80ù+65ù)=35ù

∴ ∠x=∠BAC=35ù

⑷ ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù

∴ ∠x=180ù-(60ù+90ù)=30ù

17 EFÓ=x라고 하면

EBÓ=EFÓ=x이므로 AEÓ=12-x

이때 DFÓ=DCÓ=12이므로 DEÓ=12+x

따라서 △AED에서

+(12-x)Û

`

∴ DEÓ =DFÓ+EFÓ=12+3=15

, 48x=144

`

(12+x)Û

`

=12Û

18 오른쪽 그림과 같이 두 원 O, O’이

BCÓ에 접하는 점을 각각 E, F라 하

A

25

3 ⑴ µAB=µ CD이므로

∠CQD=∠APB=40ù

⑵ ∠APB=∠CQD이므로

∴ x=40

µ CD=µAB=4

cm

∴ x=4

`

⑶ ∠APB : ∠CQD=µAB : µ CD이므로

∴ x=40

⑷ ∠APB : ∠BPC=µAB : µ BC이므로

D

27ù : 45ù=3 : x

∴ x=5

∴ x=3

20ù : ∠CQD=3 : 6

∴ ∠CQD=40ù

고 점 O’에서 OEÓ에 내린 수선의

18

발을 H라고 하자.

ABÓ=18이므로 원 O의 반지름의

길이는 9이다. 즉 OEÓ=9

O

9

9-r

H

r

r

O’

B

E

16-r

F

C

4 ⑴ ∠x=∠BAC=52ù

⑵ ∠ACB=∠ADB=60ù이므로

△PBC에서

∠x=60ù+60ù=120ù

이때 원 O’의 반지름의 길이를 r라고 하면

⑶ ∠ABD=∠ACD=20ù이므로

OO’Ó=9+r, OHÓ=9-r, HO’Ó=25-(9+r)=16-r

따라서 △OHO’에서

(9-r)Û`+(16-r)Û`=(9+r)Û`

rÛ

-68r+256=0, (r-4)(r-64)=0

`

∴ r=4 (∵ 00)

;3@;

`

`

13 수혁이의 성적이 유정이의 성적보다 평균 80점을 중심으로 가까이

모여 있으므로 국어 성적이 더 고른 학생은 수혁이다.

다른 풀이 두 학생의 분산을 각각 구하면 다음과 같다.

(수혁이의 분산)=

(70-80)Û`_2+(80-80)Û`_6+(90-80)Û`_2

10

=

400

10

=40

(유정이의 분산)

08 {A 모둠의 (편차)Û`의 총합}=6_3Û

{B 모둠의 (편차)Û`의 총합}=4_(

`

=54

2)Û

=8

‘

`

이때 A 모둠과 B 모둠의 쪽지 시험 점수의 평균이 같으므로 A, B

=

=120

1200

10

=

(60-80)Û`_1+(70-80)Û`_2+(80-80)Û`_4+(90-80)Û`_2+(100-80)Û`_1

10

두 모둠 전체의 쪽지 시험 점수의 분산은

분산이 작을수록 자료가 평균을 중심으로 가까이 모여 있으므로 국

54+8

6+4

62

10

=

=6.2

어 성적이 더 고른 학생은 수혁이다.

09 네 수 a, b, c, d의 평균이 10, 표준편차가 3, 즉 분산이 9이므로

(a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û`+(d-10)Û`

4

=9

`

없다.

② 편차의 총합은 항상 0이므로 4개 반 모두 같다.

∴ (a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û`+(d-10)Û`=36

③ 2반의 표준편차가 가장 작으므로 2반 학생들의 성적이 가장 고

14 ①

최고 득점자가 어느 반에 있는지 주어진 자료만으로는 알 수

10 평균이 4이므로

1+3+a+b

4

=4

분산이 6.5이므로

4+a+b=16

∴ a+b=12

yy ㉠

(1-4)Û`+(3-4)Û`+(a-4)Û`+(b-4)Û`

4

=6.5

(-3)Û`+(-1)Û`+(a-4)Û`+(b-4)Û`=26

∴ aÛ`+bÛ`-8(a+b)+42=26

㉠을 ㉡에 대입하면

aÛ

+bÛ

-8_12+42=26

∴ aÛ

+bÛ

=80

`

`

`

`

11 편차의 총합은 0이므로

-1+(-3)+a+b+6=0 ∴ a+b=-2

표준편차가 2

3, 즉 분산이 12이므로

‘

(-1)Û`+(-3)Û`+aÛ`+bÛ`+6Û`

5

=12

46+aÛ`+bÛ`=60

∴ aÛ

+bÛ

=14

`

`

이때 2ab=(a+b)Û`-(aÛ`+bÛ`)=(-2)Û`-14=-10

∴ ab=-5

르게 분포되어 있다.

④ 표준편차가 클수록 분산도 크므로 표준편차가 가장 큰 3반이 분

산도 가장 크다는 것을 알 수 있다.

따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다.

(ab이므로 a=9, b=7

∴ a-b=9-7=2

08 ① 표준편차는 산포도의 종류이다.

③ 대푯값에는 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있고, 산포도에는 분산,

④ 편차는 어떤 자료의 각 변량에서 그 자료의 평균을 뺀 값이다.

⑤ 자료 전체의 특징을 대표적으로 나타내는 값을 대푯값이라고

표준편차 등이 있다.

한다.

09 효진이의 편차를 x점이라고 하면 편차의 총합은 0이므로

5+(-2)+x+(-4)+2=0

∴ x=-1

따라서 효진이의 수학 시험 점수는

86+(-1)=85(점)

10 ① 편차의 총합은 0이므로

4+(-3)+x+(-1)=0

∴ x=0

따라서 평균과 성적이 같은 학생은 편차가 0인 C이다.

② 성적이 가장 낮은 학생은 편차가 가장 작은 B이다.

③ 학생 B의 성적과 학생 D의 성적의 차는

(-1)-(-3)=2(점)

④ (분산)=

4Û`+(-3)Û`+0Û`+(-1)Û`

4

26

4

=

=6.5

⑤

편차만으로 평균을 구할 수 없다.

11 평균이 8점이므로

7+6+9+x+7+10

6

=8

39+x=48 ∴

`

x=9

∴

`

(분산)

=

:Á6ª:

=2

12 {남학생의 (편차)Û`의 총합}=8_11=88

{여학생의 (편차)Û`의 총합}=12_6=72

이때 남학생과 여학생의 독서 시간의 평균이 같으므로 남학생과 여

학생 전체의 독서 시간의 분산은

88+72

8+12

=

160

20

=8

∴

`

(표준편차)=

8=2

2 (시간)

‘

‘

따라서 주어진 조건을 모두 만족하는 a의 값의 범위는 16ÉaÉ18

이므로 정수 a의 값은 16, 17, 18의 3개이다.

=

(7-8)Û`+(6-8)Û`+(9-8)Û`+(9-8)Û`+(7-8)Û`+(10-8)Û`

6

05 ㈎에서 중앙값이 18이므로 18이 작은 값부터 크기순으로 3번째에

따라서 옳은 것은 ①이다.

∴ xÛ`+yÛ`-24(x+y)+306=50

yy ㉡

도시의 수는 오른쪽 산점도에서

13 (평균)=

3+a+6+(9-a)+12

5

=

:£5¼:

=6

이때 분산이 10이므로

(3-6)Û`+(a-6)Û`+(6-6)Û`+(9-a-6)Û`+(12-6)Û`

5

=10

(-3)Û`+(a-6)Û`+(3-a)Û`+6Û`=50

2aÛ

-18a+40=0, aÛ

-9a+20=0

`

`

(a-4)(a-5)=0 ∴

`

a=4 또는 a=5

14 평균이 12이므로

9+12+15+x+y

5

=12

36+x+y=60

∴ x+y=24

yy ㉠

표준편차가

10, 즉 분산이 10이므로

Ԧ

(9-12)Û`+(12-12)Û`+(15-12)Û`+(x-12)Û`+(y-12)Û`

5

=10

(-3)Û`+3Û`+(x-12)Û`+(y-12)Û`=50

=10

∴ x+y+z=30

yy ㉠

㉠을 ㉡에 대입하면

xÛ

+yÛ

-24_24+306=50

∴ xÛ

+yÛ

=320

`

`

`

`

15 평균이 10이므로

4(x+y+z)

12

표준편차가

2, 즉 분산이 2이므로

‘

4{(x-10)Û`+(y-10)Û`+(z-10)Û`}

12

=2

(x-10)Û`+(y-10)Û`+(z-10)Û`=6

∴ xÛ

+yÛ

+zÛ

-20(x+y+z)+300=6

`

`

`

㉠을 ㉡에 대입하면

xÛ

+yÛ

+zÛ

-20_30+300=6

`

`

`

∴

`

`

xÛ

+yÛ

+zÛ

=306

`

`

16 4개의 변량 a, b, c, d의 평균이 m, 분산이 sÛ

이므로

`

a+b+c+d

4

=m

(a-m)Û`+(b-m)Û`+(c-m)Û`+(d-m)Û`

4

=sÛ

`

변량 a+5, b+5, c+5, d+5에서

(평균)=

(a+5)+(b+5)+(c+5)+(d+5)

4

(a+b+c+d)+20

4

=m+5

=

(분산)

=

{a+5-(m+5)}Û`+{b+5-(m+5)}Û`+{c+5-(m+5)}Û`+{d+5-(m+5)}Û`

4

=

(a-m)Û`+(b-m)Û`+(c-m)Û`+(d-m)Û`

4

=sÛ

`

17 ①~⑤의 평균은 모두 2로 같다.

이때 표준편차가 작다는 것은 자료가 평균을 중심으로 가까이 모여

있다는 것이므로 표준편차가 가장 작은 것은 ⑤이다.

18 ①, ②, ⑤ 평균과 표준편차만으로는 알 수 없다.

③ 3반의 표준편차가 4반의 표준편차보다 작으므로 3반의 영어 성

④ 영어 성적이 가장 고른 반은 표준편차가 가장 작은 2반이다.

따라서 옳은 것은 ③이다.

19 자료가 평균에서 멀리 흩어져 있을수록 표준편차가 크고, 자료가

평균을 중심으로 가까이 모여 있을수록 표준편차가 작다.

따라서 표준편차가 가장 큰 반은 B반이고, 가장 작은 반은 A반이다.

2

4

6

10

8

3월(일)

2

4

6

10

8

3월(일)

20 ⑴ 3월과 4월 모두 미세 먼지가 환

경 기준치를 초과한 날의 수가 8

104

월

(일)

8

일 이상인 도시의 수는 오른쪽

산점도에서 색칠한 부분에 속하

는 점의 개수와 같으므로 5개이

다.

⑵ 3월과 4월에 미세 먼지가 환경

기준치를 초과한 날의 수가 같은

104

월

(일)

8

직선 위에 있는 점의 개수와 같

으므로 6개이다.

⑶ 3월보다 4월에 미세 먼지가 환경

기준치를 초과한 날의 수가 더

많은 도시의 수는 오른쪽 산점도

에서 직선을 제외한 색칠한 부분

에 속하는 점의 개수와 같으므로

∴

_100=35 (%)

;2¦0;

⑷ 3월과 4월에 미세 먼지가 환경

기준치를 초과한 날의 수의 차가

2일 이상인 도시의 수는 오른쪽

산점도에서 색칠한 부분에 속하

는 점의 개수와 같으므로 9개이

다.

6

4

2

6

4

2

6

4

2

6

4

2

104

월

(일)

8

104

월

(일)

8

2

4

6

10

8

3월(일)

21 ㉠ 양의 상관관계

㉡, ㉣, ㉤ 상관관계가 없다.

㉢ 음의 상관관계

따라서 상관관계가 없는 것은 ㉡, ㉣, ㉤이다.

22 주어진 산점도는 양의 상관관계가 있으므로 보기 중에서 양의 상관

관계가 있는 것은 ②이다.

23 오른쪽 산점도에서 대각선 위쪽에 있으면

국어 성적에 비해 책을 많이 읽은 학생이

고, 대각선 아래쪽에 있으면 국어 성적에

비해 책을 적게 읽은 학생이다.

따라서 국어 성적에 비해 책을 많이 읽은

읽

은

책

(권)

A

B

C

E

D

국어 성적(점)

III. 통계 37

yy ㉡

7개이다.

2

4

6

10

8

3월(일)

적이 4반의 영어 성적보다 더 고르다.

학생은 A이다.

Memo

Memo

Memo

2019 수학의 힘 개념 알파 중3-2 답지

수학의 힘 알파 시리즈를 마무리 합니다. 중학교 1학년부터 중학교 3학년까지 있는데 아직 2020년도 최신판이 나오지 않은 것은 수학의 힘 밖에 없네요. 어차피 같은 2015개정 교육과정이라 2020년도에도 새로운 변화가 있을 것 같지는 않습니다. 답지 또한 변함이 없을 확률이 높습니다. 문제가 있는 부분은 개선이 되겠죠. 아래에 수학의 힘 개념 알파 중3-2 답지가 있습니다.

꾸벅 꾸벅 졸때는 나도 모르게 눈이 감깁니다. 내가 어떻게 잠에 드는지 궁금할때도 있습니다. 운전을 할때 나도 깜짝 놀랄때가 있습니다. 내가 모르는 사이에 눈이 감겨 있는 것을 알았을때 말이죠. 이럴 때는 졸음 쉼터에서 꼭 쉬었다 가야합니다. 공부를 할때도 마찬가지로 바람을 쐐고 오던지 해야합니다.

위를 보면 수학의 힘 알파 중학 수학 3-2 답지가 있습니다. 해설이 포함된 답지입니다. 해설과 함께 공부를 하면 좋은데요. 답지의 답만 확인하고 넘어가면 공부에 도움이 되지 않습니다. 잘 몰랐던 문제는 다시 체크해보고 어떤 부분에서 틀렸는지 알아보세요. 그리고 한번 더 공부하면 자신의 것이 될 것입니다.

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수학의 힘 개념 알파 중학 수학 1-2 답지 정답 (22년)

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답지의 저작권은 모두 EBS에게 있으며 해당 자료들은 수험생들에게 큰 도움이 되셨으면 좋겠습니다

수학의 힘 개념 알파 중학 수학 1-2 답지는 아래에서 확인할 수 있습니다

1. 표지 확인

일단 표지 확인부터 하시고 이 책이 맞는지 확인 부탁드립니다

2. 책 소개

출판사 천재교육 출간 2017년 2월 15일 가격 14,000원 쪽수 292쪽

수학의 대한 기본 개념을 확실하게 다질 수 있는 중등 수학의 기본서 이며 개념을 완벽하게 정리할 수 있어 반복학습을 하여 내신 대비를 할 수 있습니다 수학의 힘 개념은 수학의 기본인 개념을 확실하게 다져 수학의 힘을 길러줍니다 총 3권으로 중학 수학을 해결할 수 있는 문제집 중 한권입니다

3. 목차

(1) 개념 완벽 정리

(2) 수학의 기본기를 확실하게 다지는 중학 수학 기본서

(3) 반복학습으로 내신 완벽 대비

[소단원, 중단원]

개념 정리

기초의 힘 – 기본 개념이나 공 식을 익힐 수 있는 쉬운 문제

개념의 힘 – 각 단원의 대표적 인 예제 문제와 유제 문제

연산의 힘 – 계산력이 요구 되는 단원에서는 계산 문제 추가

내공의 힘

-학교 시험에 완벽 대비

[대단원]

실전의 힘

– 대단원별로 마무리 테스트

4. 답지

알파 중 1-2 정답pdf.pdf 4.41MB

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