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여인수(cofactor)를 이용한 역행렬(the inverse of a matrix …
이를 이해하기 위해서는 (1) 소행렬식(minor determinant), (2) 여인수(cofactor), (3) 수반행렬(adjoint matrix)에 대해서 먼저 알아보고 나서, …
Source: rfriend.tistory.com
Date Published: 12/11/2022
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5. 행렬식과 여인수 (Determinant and Cofactor) – 백지오
행렬식Determinant이란, 정사각행렬을 하나의 스칼라 값으로 대응시키는 함수로, 행렬의 가역성을 판별해준다. 행렬식은 미지수의 수와 식의 수가 …
Source: skyil.tistory.com
Date Published: 10/10/2022
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여인수,cofactor – VeryGoodWiki
1. 사전지식: 소행렬, 소행렬식 · 2. 여인수, 여인자 · 3. 활용: 역행렬 구하기. [edit] …
Source: tomoyo.ivyro.net
Date Published: 8/10/2021
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2.2 여인자 전개와 행렬식의 응용
따라서 n차의 정사각행렬 A=[aij]의 행렬식은 여인자 전개를 이용하는 (Laplace 여인자 전개라고 불리우는) 다음 정리를 이용하여 구할 수 있다. 정리 2.11 A가 n차의 …
Source: matrix.skku.ac.kr
Date Published: 6/27/2022
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행렬식(determinant), 소행렬식, 여인수 전개 – 선형대수 5강
소행렬, 소행렬식, 여인수란. A의 (i,j) 소행렬 : A에서 i 번째 행과 j 번째 열을 제거 시켜 구성되는 (n-1)차 정방행렬. A의 (i,j) 소행렬식(minor) …
Source: datacookbook.kr
Date Published: 10/30/2022
View: 1102
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- Date Published: 2022. 8. 11.
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R, Python 분석과 프로그래밍의 친구 (by R Friend) :: R (4) 역행렬(inverse of a matrix, invertible matrix) : ginv(), 여인수(cofactor)
지난 포스팅에서는 가우스 소거법(Gauss-Jordan elimination method)을 활용한 역행렬 계산방법을 알아보았습니다. (☞ 바로가기)
이번 포스팅에서는 여인수(cofactor)를 이용한 역행렬(the inverse of a matrix, invertible matrix) 계산 방법에 대하여 소개하도록 하겠습니다.
이를 이해하기 위해서는 (1) 소행렬식(minor determinant), (2) 여인수(cofactor), (3) 수반행렬(adjoint matrix)에 대해서 먼저 알아보고 나서, 그 다음에 (4) 여인수를 이용한 역행렬 계산 방법을 소개하겠습니다.
(1) 제 (i, j) 소행렬식 (minor determinant)
제 (i, j) 소행렬식이란 n차정방행렬의 i행과 j열을 제거하고 만든 부분행렬의 행렬식(determinant)을 말합니다. i행과 j열이 제거되어서 원래 행렬 A보다 행과 열이 하나씩 작아진 행렬을 가지고 행렬식을구하기 때문에 소행렬식(minor determinant, minor of entry aij)이라고 부릅니다.
아래 3*3 행렬식 A를 예로 들어서 소행렬식을 풀어보겠습니다.
위의 9개 소행렬식 중에서 “제(1, 1) 소행렬식”을 어떻게 구했는지에 대해서 이미지로 표시해보면 아래와 같습니다. 아래의 방식을 9개 소행렬식 모두에 차례로 적용한 것입니다.
R로 행렬식 값 구할 때는 det() 함수를 사용합니다.
> # determinant : det() > M11 <- matrix(c(1, 2, 0, 4), byrow = TRUE, nrow = 2) > det(M11) [1] 4
참고로, 2차정방행렬과 3차정방행렬의 행렬식(determinant) 구하는 공식은 아래와 같습니다.
(2) 여인수 (cofactor)
여인수는 제(i, j) 소행렬식에 (-1)^(i+j)를 곱한 것이며, cofactor의 앞 대문자를 따서 Cij 로 표기합니다.
(Mij 는 소행렬식, minor determinant)
[ 여인수 정의 (definition of cofactor) ] [ 여인수 행렬 (matrix of cofactors) ]아래에 3 by 3 행렬 A의 여인수를 구하는 예를 들어보았습니다. 위에 (1)번에서 구해봤던 소행렬식(minor determinant) Mij에 (-1)^(i+j) 를 곱하면 제(i, j) 여인수가 됩니다.
(3) 수반행렬 (adjoint matrix)
수반행렬(adjoint matrix)은 여인수 행렬(matrix of cofactors)의 전치행렬(transpose matrix)를 말하며, adjoint matrix의 앞글자를 따서 adj(A)라고 표기합니다.
[ 여인수 행렬(matrix of cofactors)과 수반행렬 (adjoint matrix)의 관계 ]위의 3 by 3 행렬 A에 대해서 여인수 행렬(matrix of cofactors) Cij를 바로 위에서 풀어보았는데요, 이 여인수행렬의 전치행렬(transpose matrix)인 수반행렬(adjoint matrix) 예시를 아래에 제시해보았습니다.
(4) 여인수를 활용한 역행렬 계산 (invertible matrix by using cofactors)
여인수를 활용한 역행렬 계산 방식은 아래와 같습니다. 아래 공식처럼 역행렬(the inverse of a matrix)은 수반행렬(adjoint matrix)를 행렬식(determinant)으로 나눈 값입니다. 왜 위에서 소행렬식, 여인수, 수반행렬을 먼저 차례로 살펴보았는지 이제야 이해하실 수 있을 것입니다.
위에서 줄곧 예시로 들었던 3 by 3 정방행렬 A에 대해 여인수를 활용한 역행렬을 구해보면 아래와 같습니다.
[ 여인수를 활용한 역행렬 계산 예시(example of invertible matrix caculation by using cofactor) ]
위의 역행렬 계산 문제를 R의 MASS패키지 내 ginv() 함수로 풀어보면 아래와 같습니다.
> # the inverse of a matrix, invertible matrix > A <- matrix(c(1, 0, 1, 0, 1, 2, -1, 0, 4), byrow = TRUE, nrow = 3) > A [,1] [,2] [,3] [1,] 1 0 1 [2,] 0 1 2 [3,] -1 0 4 > library(MASS) > options(digits=2) > ginv(A) [,1] [,2] [,3] [1,] 0.8 -3.3e-16 -0.2 [2,] -0.4 1.0e+00 -0.4 [3,] 0.2 0.0e+00 0.2
R base패키지의 solve() 함수를 이용해서 역행렬을 구해도 결과는 동일합니다.
> A <- matrix(c(1, 0, 1, 0, 1, 2, -1, 0, 4), byrow = TRUE, nrow = 3) > A [,1] [,2] [,3] [1,] 1 0 1 [2,] 0 1 2 [3,] -1 0 4 > solve(A) [,1] [,2] [,3] [1,] 0.8 0 -0.2 [2,] -0.4 1 -0.4 [3,] 0.2 0 0.2
R로 단 1줄이면 풀어지는 문제에 대해서 컴퓨터는 뒤에서 안보이게 위에서 소개했던 절차들, 즉, 소행렬식, 여인수, 수반행렬을 구하고 그 다음에 역행렬을 구하는 과정을 거쳤을 것입니다. 우리 대신 일해주는 컴퓨터가 있어서 얼마나 좋은 세상인지 모르겠습니다.
많은 도움 되었기를 바랍니다.
행렬, 벡터 관련 포스팅은 아래 링크를 걸어놓았습니다.
☞ 행렬 기본 이해
☞ 특수한 형태의 행렬
☞ 가우스 소거법을 활용한 역행렬 계산
☞ 행렬의 기본 연산 ( +, -, *, /, ^, %*%, colMeans(), rowMeans(), colSums(), rowSums())
☞ 벡터의 기본 이해와 연산 (vector: addition, subtraction, multiplication by scalar)
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5. 행렬식과 여인수 (Determinant and Cofactor)
행렬식Determinant이란, 정사각행렬을 하나의 스칼라 값으로 대응시키는 함수로, 행렬의 가역성을 판별해준다.
행렬식은 미지수의 수와 식의 수가 같은 연립일차방정식의 근이 유일하게 존재하는지 결정(determine)하는데 중요한 역할을 한다.
행렬 A에 대한 행렬식은 $\det (A)$나 $\mid A \mid$로 나타낸다.
행과 열의 갯수가 각각 1, 2인 정사각행렬의 행렬식은 다음과 같다.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} \end{bmatrix}\\
\mid A \mid = a_{11}\\ \\
B = \begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22} \end{bmatrix}\\
\mid B \mid = b_{11}b_{22} – b_{12}b_{21} $$
행렬식의 기하적 의미
$2 \times 2$ 행렬 $A$의 행렬식은 행렬의 열벡터 $\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}b\\d \end{bmatrix} $가 이루는 평행 사변형의 넓이와 같다.
여인수를 이용하여 행렬식 구하기
여인수는 행렬 $A$에서 어떤 $i$번째 행과 $j$번째 열을 제거하여 만들어진 소행렬 $A_{ij}$의 행렬식 $\mid A_{ij} \mid$에 소행렬의 위치에 따라 적절한 부호를 붙여 얻어진 값을 의미한다.
$A$의 행렬식를 이러한 여인수들의 선형 결합으로 구할 수 있다.
$$C_{ij} = (-1)^{i+j}\mid A_{ij} \mid $$
$n\times n$ 행렬 $A$의 행렬식은 다음과 같이 $(n-1)\times (n-1)$ 행렬들의 행렬식 값의 선형 조합으로 나타낼 수 있다.
$$ \det(A) = a_{11}\det(A_{11}) – a_{12}\det(A_{12}) + \cdots + (-1)^{1+n}a_{1n}\det(A_{1n}) $$
위 공식은 모든 행에 적용할 수 있으므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$ \begin{align*} \det(A) &= (-1)^{i+1}a_{i1}\det(A_{i1}) + \cdots + (-1)^{i+n}a_{in}\det(A_{in}) \\
&= \sum^{n}_{j=1} (-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}) \end{align*}$$
여인수 분해 재귀
여인수 분해 방법을 이용해, 재귀적으로 행렬식을 구하는 프로그램을 짤 수 있다.
def determinant(matrix): matrix = np.array(matrix) if matrix.shape[0] != matrix.shape[1]: raise Exception(‘Determinant doesn\’t exist! (Input Matrix is not Square Matrix)’) if matrix.shape[0] == 2: return matrix[0][0]*matrix[1][1] – matrix[0][1]*matrix[1][0] sum = 0 for i in range(0, matrix.shape[1]): nm = np.delete(matrix, 0, axis=0) sum += (-1)**(i) * matrix[0][i] * determinant(np.delete(nm, i, axis=1)) return sum
정칙행렬non-singular matrix과 특이행렬singular matrix
$n\times n$ 정사각행렬의 행렬식이 0이 아닐 때 행렬을 정칙행렬이라 하고, 행렬식이 0일 때 특이행렬이라 한다.
행렬의 가역성
행렬 $A$와 $B$가 모두 $n\times n$ 행렬일 때, $AB = BA = I$($I$는 항등행렬)인 행렬 $B$가 존재하는 경우, A를 가역적(non-singlular, invertible)이라 한다. 이 경우가 성립하는 행렬 $B$를 행렬 $A$의 역행렬이라 하고 $A^{-1}=B$로 나타낸다. 역행렬이 존재하는 행렬을 정칙행렬이라 하고, 존재하지 않는 행렬을 특이행렬이라 한다.
행렬식의 성질
행렬에서 임의의 두 행의 값이 같으면, 행렬식은 0이 된다.
행렬 $A$에서 임의의 두 행(열)을 바꿔 만든 행렬 $B$에서, $\det(A) = -\det(B)$가 성립한다.
$\det(A) = \det(A^T)$이다.
$\det(AB) = \det(A) \times \det(B)$
행렬의 특정 행(열)에 어떤 값 $k$를 곱하여 구한 행렬식은 처음 행렬에 $k$를 곱한 것과 같다.
행렬의 한 행(열)의 값이 모두 0이면 행렬식은 0이다.
삼각행렬의 행렬식은 모든 주대각원소의 곱과 같다.
행렬의 기하학적 성질
어떤 도형 $S$를 행렬 $A$를 이용하여 선형 변환했을 때, 변환된 도형 $P$의 면적은 $S$의 면적에 $\det(A)$를 곱합 것과 같다. 이때, $\det(A)$의 부호를 통해 변환의 방향을 알 수 있다.
이때, 행렬식이 0인 행렬을 이용해 선형 변환을 수행하면, 아무리 복잡한 도형이라도 면적이 0인 평면으로 변환된다.
더 자세히 알아보자면, 어떤 2차원 도형을 행렬식이 0인 행렬로 변환하면 직선이 되고, 3차원 도원을 한 행이나 열이 0으로만 이루어진 행렬로 변환하면 평면이 된다.
여인수,cofactor
(C ij t 맞나? 그렇게 표현하는 게 낫지 않나? CHK)
where
(C맞나? 그렇게 표현하는 게 낫지 않나? CHK)where
그리하여 이것으로 역행렬을 구하기… tmp from src p34n×n행렬의 역행렬은정사각행렬 A의,역행렬:행렬식: https://www.youtube.com/watch?v=bHdzkFrgRcA 끝부분에 있음 나중에 받아적을것 and cp to MIT_Multivariable_Calculus lec 3 Denis Auroux1. minors (소행렬을 구한다)2. cofactors (여인수행렬을 구한다)3. transpose (전치행렬을 구한다)4. divide by determinant
DATA COOKBOOK :: 행렬식(determinant), 소행렬식, 여인수 전개
| 행렬식의 개요
행렬식 (determinant)
– 정방행렬에 실수를 대응 시키는 함수.
– 정방행렬 A의 행렬식은 |A| 또는 det A 라고 함
– 행렬식의 귀납적 정의
* n 차 정방행렬의 행렬식은 (n-1)차 정방행렬의 행렬식과 관련지어 귀납적으로 정의
쉽게 말해 정방행렬에 어떤 실수를 대응 시키는 것
참고 : 정칙행렬 : 역행렬이 있는 정방행렬
| 소행렬, 소행렬식, 여인수란
A의 (i,j) 소행렬 : A에서 i 번째 행과 j 번째 열을 제거 시켜 구성되는 (n-1)차 정방행렬
A의 (i,j) 소행렬식(minor) Mij : A의 (i,j) 소행렬의 행렬식
A의 (i,j) 여인수 (cofactor) Aij : , 즉 소행렬식에 i+j 의 규칙에 따라 – 또는 + 를 붙여 주는 것
이를 예를 들어 정리하면 다음과 같다.
행렬식에 대한 계산은 다음과 같이 한다.
여기에서 해당 부호는 다음과 같은 규칙을 따른다.
| 여인수 전개
그러나 위 방법대로 행렬식을 구할경우 계산이 다소 복잡하다
이를 다르게 표현하는 방법은 여인수 전개라는 것을 통해서 쉽게 행렬식을 구할 수 있다.
여인수 전개는 다음과 같다.
위 그림에서 여인수 전개 성질에 따라 어느 하나 행을 구해도 행렬식의 값은 같다.
참고로 첫 행의 여인수 전개 값을 그대로 구하면 다음과 같다.
|A| \ 8 * | 0 0 | – | 0 1 | + 5 | 0 0 | 로 값은 -3이 나온다.
| 5 1 | | 5 6 | | 5 1 |
부호는 위에 부호 규칙을 따른다.
이렇게 구해도 되는데 0 이 포함된 행렬을 구해 나머지 계산을 줄이는 것이 가능하다
즉, 여인수 전개의 성질에 따라서 어느 하나의 행이나 열을 전개해도 나머지 행렬식의 값은 같다.
위에서는 0 이 많이 포함된 2행의 0,0,1 을 선택해 여인수 전개를 함으로써 행렬식의 값을 쉽게 구할 수 있었다.
| 정리하며
간단히 행렬식의 소행렬, 소행렬식, 여인수, 여인수 전개에 대해서 살펴 보았다.
다음 시간에는 행렬식의 성질에 대해서 정리한다.
| 참고자료
방송통신대학교 교재
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키워드에 대한 정보 여인 수 행렬
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