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특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60 – 수학방
삼각비 중에서도 특수한 각의 삼각비를 구할 거예요. 피타고라스의 정리에서 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비라는 걸 배웠지요? 특별한 삼각형에서 세 변의 길이 …
Source: mathbang.net
Date Published: 12/30/2022
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Source: namu.wiki
Date Published: 10/9/2021
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Source: ko.khanacademy.org
Date Published: 7/15/2021
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sin cos tan 표 쉽게 암기하는 방법(특수각의 삼각비 표 절대 잊지 …
삼각함수에 대해 공부하는 학생이라면 sin cos tan 표에 대해 암기를 하고 있어야 합니다. 특수각에 대한 값이 복잡하지는 않기 때문에 외우는데 크게 …
Source: gordonoliver.tistory.com
Date Published: 5/27/2022
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삼각함수 특수각 표 및 증명 – color-change – 티스토리
위 그림으로부터 45˚에 관한 삼각비를 구할 수 있습니다. ii) sin30˚, cos30˚, tan30˚ 및 sin60˚, cos60˚, …
Source: color-change.tistory.com
Date Published: 7/17/2022
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[삼각비] 특수각 사인, 코사인, 탄젠트 15º, 75º, 22.5º, 67.5º
삼각비의 특수각은 0º, 30º, 45º, 60º, 90º까지는 외워서 쓰죠. 그리고 미적분에서 삼각함수의 덧셈정리를 배우고 나면,. 15º=45º-30º. 75º=45º+30º.
Source: ladyang86.tistory.com
Date Published: 10/5/2021
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(중3 수학) 특수각의 삼각비 – 네이버블로그
그리고 이 특수각의 싸인, 코싸인,탄젠트를 ‘특수각의 삼각비’라 부릅니다. 왜 이 각도가 특수각일까요? 왜 특수할까요? 20도 50도는 평범한 각입니까 …
Source: blog.naver.com
Date Published: 3/14/2021
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삼각비 특수각 공식 (표) 구하는 방법 – 프로그래머 삶 – 티스토리
정사각형이나 정삼각형을 반으로 잘라서 특수한 직각삼각형을 만들 수 있는데요. 그렇게 만들어진 직각삼각형으로 부터 삼각비 특수각을 알아내고 …
Source: coderlife.tistory.com
Date Published: 5/11/2022
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주제에 대한 기사 평가 삼각비 특수 각
- Author: 수악중독중학수학
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- Date Published: 2021. 3. 3.
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특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60°
삼각비 중에서도 특수한 각의 삼각비를 구할 거예요.
피타고라스의 정리에서 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비라는 걸 배웠지요? 특별한 삼각형에서 세 변의 길이에는 일정한 비가 성립한다는 내용이었어요.
삼각비는 삼각형 세 변의 길이의 비예요. 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비도 길이의 비이므로 삼각비에서 하나도 바꾸지 않고 그대로 사용할 수 있어요.
특수한 삼각형의 세 변의 길이를 삼각비로 바꾸면 어떻게 되는지 알아보죠.
sin45°, cos45°, tan45°
직각이등변삼각형의 내각은 45°, 45° 90°에요. 직각이등변삼각형을 이용해서 45°의 sin, cos, tan 값을 구해볼까요?
먼저 직각이등변삼각형을 그려볼게요. 세 변의 길이의 비가 1 : 1 : 니까 이걸 길이로 써보면 아래 그림처럼 돼요.
sin45° = cos45° = 이고, tan45° = 1이에요. 분모에 무리수가 있으면 유리화해서 사용해야 하는 건 기본이죠?
sin30°, cos30°, tan30°
직각삼각형 한 내각의 크기가 30°이면 다른 각은 60°, 90°가 돼요. 이 삼각형의 세 변의 길이의 비는 1 : : 2이지요. 이 길이의 비를 이용해서 삼각형을 그려보죠.
삼각비를 쉽게 구할 수 있게 각의 위치를 잡았어요. 삼각비를 구해보죠.
sin60°, cos60°, tan60°
직각삼각형의 한 각이 60°면 다른 한 각은 30°가 되겠죠? 즉, 위 30°에 대한 삼각비를 구했던 삼각형과 같은 삼각형이에요. 같은 삼각형인데 삼각비를 쉽게 구할 수 있게 방향을 돌려서 그리는 게 좋겠죠?
30°에 대한 삼각비와 60°에 대한 삼각비는 같은 삼각형에서 구해요. 차이가 있다면 기준각에 따라 밑변과 높이를 나타내는 변이 달라지는 거지요.
빗변은 기준각이 30°일 때와 60°일 때 모두 똑같아요. 기준각이 30°일 때 밑변이었던 것이 기준각이 60°일 때는 높이로 바뀌죠. 또 30°일 때 높이였던 게 60°일 때는 밑변이 되는 거고요.
이런 이유로 30°의 삼각비와 60°의 삼각비는 관계가 깊어요.
sin30° = cos60°, cos30° = sin60°가 됩니다. 또 tan30° = 가 됩니다. 서로 역수인 거죠.
특수한 각의 삼각비
특수한 각의 삼각비 30° 45° 60° sin cos tan
표로 정리했더니 특징이 더 잘 보이죠? 45°에서는 sin과 cos이 같아요.
sin30°와 cos60°가 같고, cos30°와 sin60°가 같고, tan30°와 tan60°는 서로 역수이죠.
위 표에 나온 삼각비는 아주 중요합니다. 삼각비 중에 가장 많이 나오는 거거든요. 그러면 외워야 하는 데 값이 비슷해서 외우기가 힘들어요.
처음부터 외우려고 하지 말고, 이 글에 있는 것처럼 삼각형을 그리고, 세 변의 길이의 비를 이용해서 변의 길이를 쓴 다음에, sin, cos, tan를 구하는 게 좋아요. 이렇게 자주 하다 보면 자기도 모르게 그 값들이 외워지게 되어 있어요.
다음 그림을 보고 x, y의 값을 구하여라.
기준각을 60°로 잡으면 sin60° = = 이므로 y =
cos60° = = 이므로 x = 2가 되네요.
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정리해볼까요 특수한 각의 삼각비 sin45° = cos45° = , tan45° = 1
, tan45° = 1 sin30° = , cos30° = , tan30° =
, cos30° = , tan30° = sin60° = , cos60° = , tan60° =
그리드형(광고전용)
sin cos tan 표 쉽게 암기하는 방법(특수각의 삼각비 표 절대 잊지 않는 법)
삼각함수에 대해 공부하는 학생이라면 sin cos tan 표에 대해 암기를 하고 있어야 합니다. 특수각에 대한 값이 복잡하지는 않기 때문에 외우는데 크게 어려움은 없지만 쉽게 암기하는 방법으로 머릿속에 정확히 집어넣는 것이 중요합니다.
sin cos tan 표
삼각비 표 특수각은 아래 표(sin cos tan 표)와 같습니다.
암기 쉽게 하는 방법
1. Sin의 경우에 분모가 모두 2이며, 분자에는 순서대로 루트 1, 루트 2, 루트 3이라고 외우시면 됩니다.
2. Cos의 경우네는 Sin의 순서에서 반대라고 기억하시면 됩니다.
3. Tan은 Tan30이 1/√3라는 것만 외우시고 오른쪽으로 갈수록 √3을 곱한 값과 같다고 생각하시면 됩니다.
위의 방법대로 암기하면 절대 잊어버리지 않을거라 생각합니다.
머릿속으로만 생각했을 때 자꾸 헷갈린다면 시험지에 삼각비표를 미리 적고 나서 시험문제를 푸는 것도 추천드려요.
직각삼각형으로 보는 sin cos tan
Sinθ=높이/빗변, Cosθ=밑변/빗변, Tanθ=높이/밑변이라는 것을 공부하실 때 많이 보셨을 겁니다. 직각삼각형에서 빗변, 밑변, 높이라는 3개가 존재하며 무슨 값을 어떤 값으로 나눠야 하는지에 대해 헷갈리실 수도 있습니다. 아래 그림을 보시면 이것도 절대 잊어버리지 않을 수 있습니다.
Sinθ의 경우에는 빨간선을 생각하면서 그리면 오른쪽에 Sin의 S가 보이죠? 빨간 선은 빗변에서 시작해 높이에서 끝났는데요. 시작한 쪽이 분모로 가고 끝나는 쪽이 분자로 간다고 생각하시면 됩니다.
Cosθ의 경우에는 녹색선을 생각하면서 그리면 모양이 Cos의 C처럼 보입니다. 녹색선이 빗변에서 시작해 밑변에서 끝났으니 시작한 쪽을 분모, 끝나는 쪽을 분자로 두면 밑변/빗변이 됩니다.
Tanθ의 경우에는 파란선을 생각하면서 그리면 모양이 Tan의 T처럼 보입니다. 파란선이 밑변에서 시작해 높이에서 끝났으니 사직한 쪽을 분모, 끝나는 쪽을 분자로 두면 높이/밑변이 됩니다.
제가 그린 그림을 직접 그려보면서 한 번만 생각해보면 나중에는 굳이 그리지 않아도 머릿속에서 알아서 인식을 합니다.
수학은 이해를 기반으로 한 학문이지만 암기해야할 것도 있는 것이 사실입니다. 이럴 때 무작정 외운다기보다 위처럼 규칙을 통해서 외우면 오랜 시간이 지나도 잊어버리지 않을 수 있어요.
수학 절대 포기하지 마시고 화이팅하세요!
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삼각함수 특수각 표 및 증명
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삼각함수 특수각 표
삼각함수 계산시 자주 쓰이는 각도는 0도, 30도, 45도, 60도, 90도 입니다.
이 각도들을 특수각이라고 하고,
이 특수각에 대한 삼각함수 값은 문제에서 일일이 값을 가르쳐주지 않기 때문에 잘 외워둬야 합니다.
특수각에 대한 삼각함수값을 표로 정리하면 아래와 같습니다.
삼각함수 특수각 증명
삼각함수의 특수각이 나오게 된 이유는 특수각들이 직각삼각형에서 많이 쓰이는 각이기 때문입니다.
i) sin45˚, cos45˚, tan45˚ 의 증명
sin45˚, cos45˚, tan45˚ 의 증명 직각이등변삼각형을 토대로 쉽게 증명 가능합니다.
위 직각 이등변 삼각형에서 선분 BC의 길이(=선분AC의 길이)를 1로 보면,
빗변AB의 길이는 피타고라스의 정리를 이용해 구할 수 있습니다.
위 그림으로부터 45˚에 관한 삼각비를 구할 수 있습니다.
ii) sin30˚, cos30˚, tan30˚ 및 sin60˚, cos60˚, tan60˚의 증명
sin30˚, cos30˚, tan30˚및 sin60˚, cos60˚, tan60˚의 증명은
반원의 원주각 및 외각의 성질로 증명 가능합니다.
위 그림은 두 내각이 각각 30˚와 60˚인 직각삼각형과 그 외접원입니다.
직각삼각형의 외심(외접원의 중심)은 직각삼각형 빗변의 중점이라는 게 알려져있습니다.
따라서 외심 O는 점 A와 B의 중점입니다.
또한 선분 OA, OB, OC는 모두 외접원의 반지름으로 모두 같습니다.
(반지름의 길이를 임의로 1로 두겠습니다.)
삼각형 OBC는 이등변 삼각형이 되는군요. 따라서 ∠OBC와 ∠OCB는 30˚로 서로 같습니다.
한편, ∠COA는 삼각형OBC의 외각으로, ∠OBC와 ∠OCB의 합과 같습니다.
이를 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.
삼각형 AOC를 보면 ∠OAC=∠AOC=∠OCA=60˚인 정삼각형이 됩니다.
따라서 변AC는 외접원의 반지름인 1과 같습니다.
원래의 직각삼각형 ABC를 보면, 빗변인 AB의 길이가 2, 높이인 AC의 길이가 1임을 알 수 있습니다.
피타고라스의 정리를 쓰면 밑변 BC의 길이를 구할 수 있습니다.
정리하면 다음 그림처럼 되고,
그림으로부터 sin30˚, cos30˚, tan30˚ 및 sin60˚, cos60˚, tan60˚ 를 구할 수 있습니다.
증명 완료//
특수각에 대한 삼각함수 값 정도는 외워둬야 실전에 활용할 수 있습니다.
단순한 암기도 중요하지만 왜 그런 값이 나오는지에 대해 고민해보고 위의 방식처럼 유도해보는 것도 좋은 공부방법이라 할 수 있겠습니다.
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[삼각비] 특수각 사인, 코사인, 탄젠트 15º, 75º, 22.5º, 67.5º
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삼각비의 특수각은 0º, 30º, 45º, 60º, 90º까지는 외워서 쓰죠.
그리고 미적분에서 삼각함수의 덧셈정리를 배우고 나면,
15º=45º-30º
75º=45º+30º
22.5º=45º/2
67.5º=45º+22.5º or 90º-22.5º
이런 식으로 특수각들로 만들 수 있는 다른 각도 삼각비의 값을 구할 수 있답니다.
그렇지만 오늘의 카테고리는 중등 3학년 삼각비!
그래서 도형으로 해당 값들을 유도해서 풀어볼거에요.
중3 삼각비 15도, 75도 유도
기본은 우리가 아는 30º, 60º, 90º로 이루어진 직각 삼각형과 직각 이등변 삼각형 두 개를 붙여놓은 걸로 시작합니다. 처음부터 미지수를 쓰면 눈에 잘 안 들어올 수 있으니 간단하게 숫자로 설명하고 일반화하도록 할게요!
아래 그림과 같이 BE=4로 두면 AB, AE는 특수각의 길이비로 구할 수 있고, 역시나 AE를 알기 때문에 AD와 DE도 구할 수 있습니다.
BFE와 FGE 역시 직각 이등변 삼각형이기 때문에 길이를 모두 구할 수 있습니다. 여기서 FEDC는 직사각형이므로 CD의 길이도 구할 수 있고, 이걸 AD에서 빼면 AC의 길이도 구할 수 있습니다.
그럼 ABC는 각이 15도, 75도인 직각삼각형이며 세 변의 길이비도 모두 알 수 있습니다. 그러므로 15도와 75도에 관한 sin, cos, tan 값을 모두 구할 수 있습니다.
어때요? 특수각의 길이비만 알면 금방 구할 수 있습니다. 이를 문자로 일반화 할 수도 있습니다.
이번에는 다른 모양의 삼각형으로 15도, 75도 삼각비를 유도해보도록 할게요.
변의 길이를 연장해서 이등변 삼각형을 만들어줍니다. 그러면 15º, 75º, 90º로 이루어진 직각삼각형이 만들어지죠.
그럼 이걸로 tan15º, tan75º를 아래와 같이 구할 수 있습니다.
이 도형으로 sin, cos을 구하려면,
빗변의 길이를 구하는 과정에서
이중 근호가 들어갑니다.
심지어 이중근호는 이제
수학(상)에서도 빠진지 오래라..
그래서 sin, cos도 구하려면
맨 처음 나온 모양을 이용하셔야 해요.
그렇지만 저는 포스팅 하는 김에
계산 해볼게요!
이중근호 푸는 법은 다음번에 기회되면 포스팅 하겠습니다만,
어차피 그게 중등과정은 아니었던지라..
이 모양으로는 탄젠트 정도만 구해도
충분하지 않을까 싶네요.
이번에는 22.5도와 67.5도를 구해볼게요.
삼각형 모양은 위와 똑같이 유도해서 그릴 겁니다.
빗변을 제외한 두 변의 길이비를 아니까
탄젠트 값을 구해줄 수 있습니다.
이등변 삼각형을 이용한 모양도 살펴볼게요.
이 경우는 직각 이등변 삼각형에다가 22.5도, 67.5도인 직각삼각형을 바로 옆에 붙여서 만들어줍니다. 그렇다면 밑각이 67.5도인 이등변 삼각형이 되죠.
역시나 특수각의 길이비 + 이등변 삼각형의 성질을 이용하면 탄젠트 값을 쉽게 구할 수 있습니다.
위에서 배운 내용을 한 번 정리해볼까요?
중등과정에서 유도하거나 나오는 삼각비는
아래 표 정도가 될 것 같습니다.
15도, 75도, 22.5도, 67.5도의 경우에는
단독으로 값을 알아야지만 쓸 수 있는
그런 문제가 출제 되기 보다는,
도형을 주고 물어보기 때문에
특수각을 이용한 해석만 잘 하시면
크게 걱정은 안 하셔도 될거에요.
선생님 왜 22.5도랑 67.5도는 사인/코사인 값은 구하지 않나요?라고 물어보신다면, 빗변의 길이가 좀 어.. 네 풀기 어렵기 때문이죠.
이중근호로 푼다고 하더라도, 정리해서 유리화 해서 쓰기가 만만치 않더라고요.
사실 22.5도 같은 경우 나중에 반각공식을 이용해도
제곱이라면 모를까 그냥 단독 활용은 음..
중고등 수학 내에서는 어렵지 않을까 싶네요.
이건 고등학교 미적분에 나오는 내용이니 지금 모르셔도 됩니다.
중등 3학년 때, 삼각비 공부를 많이 해두면 나중에 고등학교 2학년 때 수학1을 학습하면서 도움이 많이 된답니다.
중3 2학기 내용은 고등학교 입시에 영향 덜하다고 대충 넘기고 고1 선행을 하지 마시고, (이러면 나중에 고2때 다시 중3 수학 해야 한답니다..?) 현재에 충실히 공부하시길 응원합니다.
그럼 열공하세요. ^^
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삼각비 특수각 공식 (표) 구하는 방법
정사각형이나 정삼각형을 반으로 잘라서 특수한 직각삼각형을 만들 수 있는데요. 그렇게 만들어진 직각삼각형으로 부터 삼각비 특수각을 알아내고 외워야 합니다. 먼저, 정사각형에 대각선을 그어 직각삼각형 2개를 만들어 봅니다.
정사각형을 나눴기 때문에 각 변의 길이가 모두 같습니다. 그래서 이렇게 만들어진 삼각형은 직각이등변삼각형입니다.
이등변삼각형 성질 중에서 양변의 길이가 같기 때문에 양 각의 크기가 같으며, 각의 합은 90도입니다.
그리고 빗변의 길이도 알 수 있는데, 직각삼각형이기 때문에 피타고라스 정리를 사용하면 1 제곱 + 1 제곱 = 빗변의 길이입니다. 그래서 빗변은 루트2가 됩니다.
이젠 직각삼각형을 만들어 볼게요.
이 삼각형 역시 변의 비율은 1:1:1입니다. 이번에는 삼각비 특수각 예제로 빗변을 2로 두겠습니다. 소수점이 안 나오게 하기 위해서입니다.
정삼각형의 한 내각의 크기는 60도입니다. 그럼 높이를 구할 수 있는데, 역시나 피타고라스 정리를 사용해서 2의 제곱인 4 = 1 + h 제곱 입니다. 그래서 높이는 루트 3이 됩니다.
이렇게 특수한 삼각형을 만들어 봤고요.
이젠 삼각비 특수각을 끄집어내서 외워볼 겁니다.
위에 나온 직각이등변삼각형, 정삼각형을 기반으로 표를 만들면 아래처럼 정리할 수 있습니다.
삼각비 표 공식
삼각비 특수각 표는 외워주셔야 합니다.
외우는 방법은 계속 반복하는 방법 밖에 없습니다. 위에 그림을 따라 계속 그려보고 그린 다음에 표를 만들어 보세요.
그리고 싸인 코싸인은 정반대라는 것도 알아 두셔야 하는데요. Sin 30도는 곧 COS 60도와 같고(둘 다 2분의 1), 45도는 둘 다 같고, Sin 60도는 COS 30도와 같습니다.
tan 탄젠트는 cos 분의 sin 이란 것도 알아두시면 좋습니다.
키워드에 대한 정보 삼각비 특수 각
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