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선형생성(線型生成, linear span) 또는 선형포(線型包, linear hull)는 선형대수학 또는 함수해석학에서 어떤 벡터공간이 모든 부분공간의 교집합일 때 그 벡터공간의 벡터의 집합이다.
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[목차]도입 0:04
선형결합(combination) 2:55
(=일차 결합 이라고도 합니다.)
생성(span) 4:40
-스팬은 부분 공간이다 5:50
-행렬이 같을 필요충분 조건 8:15
#선형결합 #생성 #선형대수 #벡터공간
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09 선형 독립(Linear independence), Span, 기저(Basis) 그리고 …
Set of vectors constructs of vector space by linear combination. 사전적 의미: “(많은, 넓은 것을)포괄하다, 걸치다, 가로지르다. 선형대수 의미 : span a space, …
Source: adioshun.gitbooks.io
Date Published: 12/10/2021
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[Linear Algebra] Lecture 9 선형 독립(Linear independence …
선형대수(Linear algebra)에서 span은 보통 “span a space”라고 표현하곤 한다. 이를 굳이 해석해보면 “어떤 공간을 포괄하다”정도로 해석할 수 있겠다.
Source: twlab.tistory.com
Date Published: 1/20/2021
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Span{}, 선형 결합, 벡터의 대수학적 성질 – 딥러닝 공부방
[선형대수학] 1.3 벡터 방정식 – Vector Equations – Span{}, 선형 결합, 벡터의 대수학적 성질. AI 꿈나무 2020. 10. 26. 14:31.Source: deep-learning-study.tistory.com
Date Published: 9/30/2022
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[선형대수] 2. 선형 결합, span, 기저 벡터 – 네이버 블로그
선형결합(linear combination):. 숫자 곱과 벡터 합! span: 두 벡터가 맘대로 움직일 수 있는대로 움직였을 때 그려지는 전체 영역!
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Date Published: 3/11/2021
View: 1750
벡터의 Linear Independence(선형독립)와 Basis(기저벡터)
다음은 Span 이라는 개념이다. Span을 한국어로 정의한다면 V1~Vn이라는 벡터들의 모든 선형결합 조합들이 하나의 특정한 Vector Space를 구성한다면 …
Source: techblog-history-younghunjo1.tistory.com
Date Published: 3/3/2021
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[선형대수] 벡터공간(vector space), 벡터 부분공간(vector …
[선형대수] 벡터공간(vector space), 벡터 부분공간(vector subspace), 생성공간(span), 차원(dimension). Rfriend 2016. 3. 7. 14:37. 지난번 포스팅에서 선형 …Source: rfriend.tistory.com
Date Published: 1/16/2021
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[선형대수] 독립과 span – 인공지능 스터디룸 – 티스토리
[선형대수] 독립과 span. 인공지능스타터 2022. 1. 7. 03:44. 요즘 심층학습이란 책으로 스터디를 진행 중인데, 그 때마다 배운 지식을 정리하려고한다.Source: aistudy9314.tistory.com
Date Published: 11/2/2021
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[선형대수]vector, span, column space, null space, dimension …
Span. 벡터들의 선형결합(linear combination)으로 형성할 수 있는 공간; 벡터에 따라 모든 공간을 채울 수도 있고, 2차원에서는 line, 3차원에서는 …
Source: velog.io
Date Published: 1/21/2021
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선형생성(線型生成, linear span) 또는 선형포(線型包, linear hull)는 선형대수학 또는 함수해석학에서 어떤 벡터공간이 모든 부분공간의 교집합일 때 그 벡터공간의 벡터의 집합이다. 고로 벡터들의 집합의 선형생성은 선형공간이다.
어떤 체 K {\displaystyle K} 에 대한 어떤 벡터공간 V {\displaystyle V} 가 주어졌을 때, 어떤 벡터들의 집합 S {\displaystyle S} (유한집합일 필요는 없음)의 생성은 V {\displaystyle V} 의 S {\displaystyle S} 를 포함하는 모든 부분공간의 교집합 W {\displaystyle W} 로 정의된다. 이때 W {\displaystyle W} 를 S {\displaystyle S} 또는 S {\displaystyle S} 의 벡터들에 의해 생성된 부분공간이라 한다. 역으로 S {\displaystyle S} 는 W {\displaystyle W} 의 생성집합이라 불리며, 우리는 S {\displaystyle S} 가 W {\displaystyle W} 를 생성한다고 서술한다.
달리 서술하면 S {\displaystyle S} 의 생성은 S {\displaystyle S} 의 원소들의 모든 유한선형결합의 집합으로 정의될 수 있다.
span ( S ) = { ∑ i = 1 k λ i v i | k ∈ N , v i ∈ S , λ i ∈ K } . {\displaystyle \operatorname {span} (S)=\left\{{\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}v_{i}{\Big |}k\in \mathbb {N} ,v_{i}\in S,\lambda _{i}\in \mathbf {K} }\right\}.}
[Linear Algebra] Lecture 9 선형 독립(Linear independence), Span, 기저(Basis) 그리고 차원(Dimension)
이번 포스팅에서는 크게 세 가지 주제를 다룰 것이다. 매우 중요한 개념들이니 잘 숙지하도록 하자.
먼저 선형 독립(Linear independence)에 대하여 이야기하고, Span과 기저(Basis), 그리고 차원(Dimension)에 대하여 다루도록 하겠다. 이 용어들의 정확한 의미를 파악해 보도록 하자.
1. 선형 독립(Linear independence)
– background:
선형 독립을 설명하기 위해서 먼저 지난 Lecture 7에서 배웠던 내용을 잠깐 복습해보자.
어떤 행렬 A의 크기가 m by n이라고 가정하자. 이때 column의 수 n이 row의 수 m보다 더 크다고 가정해보자. 즉 m < n이다. 이는 다시 말하면 미지수(unknown)의 개수가 방정식(equation)의 개수보다 더 많다는 이야기이다. 이 경우 행렬 A에 대해서 Ax=0에 대한 0이 아닌 해가 존재한다. 즉 Null space가 존재한다는 것이다. 어째서 해가 존재할까? 우리는 이를 알아낼 수 있는 확실한 알고리즘을 이미 공부했다. 소거(elimination)를 통해 행렬을 echelon form으로 만드는 과정에서 pivot이 존재하게 되는데, pivot은 row의 개수보다 많을 수 없다. 여기서의 행렬 A는 column의 수 n이 row의 수 m보다 많기 때문에 반드시 pivot이 없는 column이 존재하게 되는데, 이 column이 바로 free column이고 free column에 대응되는 미지수가 바로 free variable이다. 결국 행렬 A가 m < n인 경우, 반드시 1개 이상의 free variable이 존재하기 때문에 Ax=0에 대한 0이 아닌 해, Null space가 존재하게 된다. 정확히는 n-r(rank)개의 free variable이 존재하게 된다. 우리는 이 free variable에 0이 아닌 어떤 임의의 값을 설정한 뒤 pivot variable에 대해서 방정식을 풀게 되면 그 해가 Ax=0을 만족하는 0이 아닌 값들이 되어 Null space를 형성한다. (※자세한 사항은 lecture 7 참조) - linear independence: 지금까지 위에서 설명한 내용은 선형 독립을 설명하기 위한 배경 지식이다. 이제 선형 독립(Linear independence)에 대해 알아보도록 하자. 벡터가 독립(Independence)이라는 것은 어떤 의미일까? 함축된 정의를 내리기전에 직접적인 의미를 생각해보자. 독립(Independence)의 의미: 벡터 x1, x2, ... xn이 있을 때, 만약 모든 계수(coefficient)가 0인 경우를 제외하고 어떠한 선형 조합(Linear combination)으로도 0을 만들 수 없다면 이 벡터들은 독립(Independent)이다. 즉 위의 말을 다시 풀어서 써보자면 어떤 벡터 x1, x2가 있다고 했을 때, 이들의 선형 조합을 c1x1 + c2x2 라고 하자. 이때 c1=0, c2=0인 경우를 제외하고 c1, c2에 어떠한 임의의 값을 넣어서 선형 조합 연산을 했을 때 그 어떠한 값을 넣어도 결과 값이 0이 나오지 않는다면 x1과 x2는 독립이다. 반대로 임의의 c1, c2값으로 선형 독립 연산을 했을 때 결과 값이 0인 경우가 발생한다면 x1과 x2는 종속(dependent)관계이다. 말로만 설명하면 이해가 잘 가지 않을 수 있으니 그림을 예로 들어 이해해보자. 아래 그림의 2차원 평면상의 두 벡터를 보자. 위 그림에서 두 개의 벡터 v1, v2가 있다. v2는 v1의 두 배에 달하는 길이를 가지고 있고 방향도 같다. 이들은 독립(Independent)일까 종속(dependent)일까? 당연히 종속(dependent)이다. 위의 정의에 따르면 v1의 두배에서 v2를 빼면 0이 되기 때문이다. 즉 위의 정의에 의해 c1=2, c2=1일때의 선형 조합을 통해 0이 만들어지기 때문에 v1과 v2는 종속관계이다. 이번엔 직관적인 관점으로 보자. v1과 v2는 2차원 평면상에 존재하지만, 방향이 같다. 이는 같은 직선 상에 위치한 것을 의미하며 2차원 평면상에 존재하지만 이 두 벡터로는 1차원밖에 정의할 수 없다는 의미다. 이 말을 위의 독립에 대한 정의와 연결지어 생각해보자. 여기에서의 선형 조합(linear combination)이라는 것(일반적인 경우는 아님)은 사실 벡터는 변함없이 그대로이고 상수값 c만 바뀌게 된다. 이것이 의미하는 것은 벡터의 방향은 변함이 없고 크기만 바뀌게 되는데, 선형 조합에 이용되는 벡터들의 크기만을 조절하여 0을 만들기 위해선(모든 c가 0인 경우는 제외함) 반드시 벡터들의 방향이 같아야만 한다. 결국 모든 계수가 0인 경우를 제외하고 선형 조합을 통해 결과가 0이 된다는 것은 두 벡터의 방향이 같아야만 성립되기 때문에 그림으로 판단하는 독립에 대한 우리의 직관과 위의 조건이 일치하는 것을 알 수 있다. 이번엔 약간 특이한 경우를 살펴보자. 위 그림처럼 v1벡터가 있고, v2가 0인 경우에 이들은 독립일까? 이들 역시 종속(dependent)이다. 계수 c가 모두 0인 경우를 제외한다고 해보자. v1에 0을 곱하고 v2에 어떠한 수를 곱해도 결과는 0이 될 수밖에 없다. 결국 n개의 벡터 중 하나라도 0벡터일 경우엔 종속(dependent)이다. 이번엔 독립(Independence)인 경우를 살펴보자. 2차원 평면에서 두 개의 벡터가 아래와 같이 있으면 독립이다. 위 그림에서 두 벡터 v1과 v2를 이용하여 어떠한 선형 조합을 한다해도 0을 만들 수는 없다(c1, c2가 모두 0인 경우는 제외). 이를 직관적으로 봤을 때도 v1과 v2를 이용하여 2차원 공간상의 어떤 벡터도 만들어낼 수 있기 때문에 이 둘은 독립이다. 그렇다면 아래 그림과 같이 여기에 v3가 추가되면 어떨까? 이 경우에도 이들은 독립일까? 이들은 독립일까 종속일까? 이들은 종속(dependent)이다. 이를 어떻게 알 수 있을까? 우리가 이번 포스팅의 맨 처음에서 공부했던 background를 통해서 알 수 있다. 즉 background에서 공부했던 m
Span{}, 선형 결합, 벡터의 대수학적 성질
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이번 포스팅에서 공부할 것은 다음과 같습니다.
vectors in $R^n$ : algevraic propreties(대수학적 성질)
linear combination(선형 결합)과 vector equation(벡터 방정식)의 관계
Span{}
1. 2차원 실수체계에서의 벡터 – Vectors in $R^2$
$R^2$가 의미하는 것은 2차원 실수체계를 의미합니다.
벡터의 표현 방법으로는 3가지가 있습니다.
(1) 대괄호
(2) 좌표
u=(3,-1), v=(.2,.3)
(3) 화살표
원점에서부터 vector point까지 화살표를 그려 표현합니다.
2. 벡터 덧셈 – Vector summation
2차원 실수체계 공간에서 두 개의 벡터가 주어졌을 때 덧셈을 할 수 있습니다.
3. 스칼라 곱 – Scalar multiplication
스칼라와 벡터를 곱할 수 있습니다.
스칼라는 단 하나의 값을 의미합니다.
scalar와 vector을 곱하면 vector의 차수를 따르게 됩니다.
4. 2차원 실수체계 공간에서의 기하학적 표현 – Geometric descriptions of $R^2$
벡터를 기하학적으로 표현할 수 있습니다.
(1) 벡터의 덧셈 기하학적 표현
원점에서 vector point까지 화살표를 그리면 됩니다.
(2) 스칼라 곱 기하학적 표현
이 의미는 스칼라곱으로 u벡터와 동일선상에 있는 모든 것을 표현할 수 있습니다.
5. 3차원 실수체계에서의 벡터 – Vectors in $R^3$
3차원 공간에서 벡터는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
6. n차원 실수체계 공간에서의 벡터 – Vectors in $R^n$
3차원이 넘어가게 되면 사람이 상상하기가 어렵습니다.
하지만 단순히 $R^n$으로 벡터를 확장하는 것은 쉽습니다.
7. $R^n$공간에서 대수학적 성질 – Algebraic properties of $R^n$
이 성질은 얼핏보면 당연해보이지만 이 8가지 성질이 만족하지 않는 세계도 있습니다.
벡터는 위 8가지 성질을 만족합니다.
8. 선형 결합 – Linear combinations
$R^n$ 공간에서 vector와 scalar가 주어졌을 때 vector Y를 정의할 수 있습니다.
이것을 weights($c_1, … , c_p$)가 있는 $v_1, … ,v_p$의 선형 결합(linear combination)이라고 합니다.
weights는 각각의 vector에 곱해진 scalar를 의미합니다.
9. 벡터 방정식은 선형 시스템의 첨가행렬과 같은 해를 갖고 있다.
vector equation과 augmented matrix는 same solution set을 갖고 있습니다.
살펴보겠습니다.
$a_1, a_2, b$가 주어졌을 때 $a_1, a_2$의 선형 결합(linear combination)으로 b를 표현할 수 있습니다.
이제 이 augmented matrix에 row reduction을 이용해 reduced echelon form을 얻고 solution을 도출할 수 있습니다.
$x_1=3, x_2=2$의 solution을 구했습니다.
10. Span{$v_1, … ,v_p$}의 의미
$v_1, … ,v_p$가 있을 때 span은 $c_1v_1 + … + c_pv_p$ 형태의 linear combination을 의미합니다.
즉, span은 linear combination을 간단히 표현한 것입니다.
11. 3차원 실수 공간에서 Span{v}와 Span{u,v}의 기하학적 표현
Span{v}는 3차원에서 직선
Span{u,v}는 3차원에서 평면으로 나타낼 수 있습니다.
u와 v는 방향이 다른 벡터라는 조건에서 span{u,v}로 표현할 수 있습니다.
12. b가 Span{$a_1, a_2$}에 존재하는지 확인하기
a1, a2, b를 augmented matrix로 표현하고 row reduction을 통해 reduced echelon form을 만들어 solution을 확인해보면 풀 수 있습니다.
augmented matrix로 표현
3번째 방정식이 0=-2입니다.
이는 이론2에 의하면 no solution을 의미합니다.
따라서 b는 span{a1,a2}에 없습니다.
b is not in Span{$a_1, a_2$}
David C.Lay 의 Linear algebra and its application를 공부하면서 정리해보았습니다. 감사합니다.
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[선형대수] 2. 선형 결합, span, 기저 벡터
바로 3blue1brown이라는 채널의 “essence of linear algebra”라는 시리즈입니다.
단순히 어려운 개념의 나열에 불과했던 선형대수를 직관적인 영상으로 정확히 설명해주는,
명강 중의 명강이라고 생각합니다.
선형대수의 전체를 커버하지는 않지만, 골자가 되는 선형대수적 직관을 기르게 해줍니다.
(그 직관을 기르는 것이 강좌의 목적이기도 합니다)
앞으로 이 강의의 내용을 한 줄씩 요약한 요약본(파란 글씨)을 토대로,
간단한 설명을 제공하며 포스팅을 이어나가려고 합니다!
위의 강의의 커리큘럼에 맞추어 한 강의씩 듣고 포스팅을 보조 자료로 활용하시는 것을
적극 추천드립니다!
벡터의 Linear Independence(선형독립)와 Basis(기저벡터)
이번 포스팅에서는 벡터의 선형독립(Linear Independence)와 기저벡터(Basis)에 대해 알아보려고 한다. 선형독립과 기저벡터는 머신러닝의 PCA(주성분분석), SVD(Singular Value Decomposition), LDA(선형판별분석)을 배울 때 연관되어 있는 개념이다.
우선 본격 주제에 들어가기 앞서서 저번 포스팅에서 배웠던 Ax=0라는 Rectangular Matrix의 경우에 영벡터공간(Null Space)과 결부지어서 이제는 영벡터공간이 아닌 연립방정식인 Ax=b의 해집합을 어떻게 나타낼지 에 대해서 살펴보자.
먼저 Ax=0이라는 연립방정식의 해집합을 구할 때 다음과 같은 수식으로 구해짐을 우리는 저번 포스팅에서 알게되었다.
영벡터공간의 해집합 구하기
위와 같은 식으로 영벡터공간의 해집합을 구하게 됬는데 이제 영벡터공간이 아닌 Ax=b라는 연립방정식을 가우스 소거법을 이용하고 나오게 되는 식은 밑의 그림과 같다.
Ax=b의 해집합 구하기
즉, A라는 행렬을 Row Reduced form형태의 행렬 로 만들어주게 된다. 밑의 그림을 보면서 Ax=b의 해집합을 찾아가는 과정을 살펴보자.
Ax=b의 해집합을 찾아나가는 과정
우선 1.Ax=b를 가우스 소거법을 이용해 R형태(Row Reduced Form)형태 로 만들어준다. 왜냐하면 해집합이 존재하도록 하기 위함 때문이다. 그리고 2.Free/Pivot variable을 구분 해주고 Linear Combination의 Scala값엔 Free variable을 넣어주고 끝에 d에 해당하는 벡터는 Pivot variable의 계수만 살아있도록 해준다.(즉, Free variable에 해당하는 계수들은 0으로 만든다.) 3.마지막으로는 영벡터공간에서 처럼 Linear Combination 형태로 만들어 준다.
1. Linear Independence (선형 독립)
이제 본격적으로 선형독립에 대한 내용이다. 선형 독립이란, 임의의 다른 Scala값(C값)을 각 벡터 V1~Vn앞에 곱해준 값들의 벡터들을 모두 더했을 때 0이 되는 것이다. 이 때 0값이 되기 위해서는 반드시 Scala값들이 모두 0이어야 한다. 이 때 우리는 벡터들이 서로 ‘선형 독립’이라고 하게 된다.
벡터의 선형독립이 되기 위해서는?
그렇기 때문에 가우스 소거법을 이용하고 난 후 만약 모든 행렬의 모든 행까지 Upper Triangle형태로 나오게 된다면 모든 Column Vector들이 서로 선형독립이라는 의미 이다. 하지만 그렇지 않을 때 하나의 요소라도 0이 아닌 즉, non-zero값이 들어 있는 행의 개수는 결국 선형 독립인 Column Vector들의 개수 를 의미한다.
다음은 행렬의 Rank에 대한 개념이다. Rank는 여러가지 의미를 지니고 있다.
선형독립인 Column 벡터들의 개수
선형독립인 Row 벡터들의 개수
가우스 소거법을 취했을 때 Pivot들의 개수
벡터 공간의 차원(Dimension)
따라서 만약 가우스소거법을 취한 후 행렬의 non-zero값들인 행의 개수가 5개이거나 Pivot값들의 개수가 5개라면 그 때 Rank는 5가 된다.
Rank와 Span의 개념은 무엇일까?
다음은 Span 이라는 개념이다. Span을 한국어로 정의한다면 V1~Vn이라는 벡터들의 모든 선형결합 조합들이 하나의 특정한 Vector Space를 구성한다면 V1~Vn이라는 벡터들은 해당 Vector Space를 ‘Span’한다 라고 할 수 있다.
위 그림의 밑의 ex)를 보게되면 각각 2개와 3개의 Column Vector들로 x,y 2차원 평면을 구성할 수 있다. 이 때 물론 3개의 Column vector의 경우에는 3개 중 하나가 불필요할 수도 있다.
이때 이 2가지 경우(Column vector가 2개일 경우와 3개일 경우)에서 차이점은 Span방법이 다르다는 것이다. 즉, 2개의 Column Vector로 2차원 평면을 Span할 때에는 2개의 Column vector들의 선형결합이 unique하지만 3개의 Column Vector로 2차원 평면을 Span할 경우에는 선형결합이 unique하지 않고 여러개가 존재한다는 것이다.
그렇다면 이러한 선형결합이 unique한지 아닌지를 어떤 것으로 판단할까? 바로 이 때 Basis(기저벡터)의 개념 이 등장하게 된다.
2. Basis(기저 벡터)
우선 기저벡터란, 특정한 Vector Space를 Span(구성)해주는 선형 결합 벡터들의 최소 개수 이다. 위의 예시를 들면 2개 Column vector일 때의 경우에는 Basis라고 할 수 있지만 3개의 Column vector일 경우에는 Basis라고 할 수 없는 것이다.
따라서 기저벡터는 특정 벡터공간을 만들 때 벡터들의 선형 결합이 Unique하다 고 할 수 있다.
기저벡터란 무엇이고 하는 역할은 뭘까?
하지만 기저벡터 자체는 Vector Space를 구성하는 데에 있어서 Unique하지 않다. 위 그림의 예시나 아까 x,y 2차원 평면을 만들 때의 예시만 들어보아도 알 수가 있다. 즉, 2차원 평면을 구성하는 데 있어서 최소 선형독립 벡터의 개수는 [1,0]과 [0,1] 이 있을 수 있고 또 [1,0], [1,1] 이 있을 수 있기 때문이다. (단, [1,0] 은 행 벡터가 아닌 ‘열 벡터’ 이다.)
이제 점차 Unique해야 함에 있어서 Basis와 Linear Combination이 헷갈릴 수 있는데 다음과 같이 정리하고 넘어가자.
특정 벡터공간을 구성(span) 하는 선형독립 벡터들의 최소 개수인 Basis은 여러개 이다.(not unique)
하는 선형독립 벡터들의 최소 개수인 이다.(not unique) 하지만 특정한 Basis안에서 의 벡터들의 Linear Combination의 Scala값은 Unique하다!(즉, 선형결합이 Unique하다.)
참고로 만약 Linear Combination을 이루는 벡터들이 서로 수직관계 라면 선형결합에 붙는 Scala값을 쉽게 구할 수 있고 이는 결국 Rectangular 연립방정식의 최종적인 해집합을 구할 수 있다.
R, Python 분석과 프로그래밍의 친구 (by R Friend) :: [선형대수] 벡터공간(vector space), 벡터 부분공간(vector subspace), 생성공간(span), 차원(dimension)
벡터의 합에 대해 (1) a + b = b + a : 교환(commutative)법칙 (2) (a + b) + c = a + (b + c) : 결합(associative) 법칙 (3) a + 0 = a : 항등원 (4) a + (-a) = 0 : 역원 스칼라곱에 대해 (5) c(a + b) = ca + cb : 분배법칙 (6) (c + k)a = ca + ka : 분배법칙 (7) c(ka) = (ck)a (8) 1a = a
[선형대수] 독립과 span
요즘 심층학습이란 책으로 스터디를 진행 중인데, 그 때마다 배운 지식을 정리하려고한다..
그 중 첫번째로 선형대수에 대해 공부하였고, 이전에 배웠던 지식과 새로 배운 내용등을 천천히 정리해나갈 것이다.
Linear Dependence는 선형대수를 한 번이라도 배운 사람이라면 무조건 들어보았을 단어이다.
Linear Dependence를 보기 전에 먼저 Linear Combination이 무엇인지부터 살펴보자.
어떠한 matrix A에 대해서 $Ax=b$라는 방정식을 살펴보자. 만약 A가 역함수가 존재한다면 해 $x$는 무조건 하나만 존재하겠지만, 그렇지 않은 경우도 분명 존재한다. 해가 아예 없을 수도 있고, 또는 2개 이상이 존재할 수 있다.
이러한 관계 속에서 Linear Combination(선형 조합)이란, 쉽게 말하면 $A$와 $x$의 조합이다. 즉, $x$라는 벡터를 $A$라는 행렬과 잘 조합하여서 b라는 결과를 만들어 내는 것이다.
$$Ax = \sum_i x_i A_{:,i}$$
또 span이란 용어가 나오는데, 선형 조합들로 가질 수 있는 모든 점들의 집합을 뜻한다. b가 이 span에 존재하지 않는 점이라면 해가 존재할 수 없는 것이고, span의 차원이 b의 차원보다 크다면 해가 여러 개가 나올 수도 있는 것이다. 즉, A matrix가 square형태를 가지지 않는다면 해가 없거나, 많을 가능성이 높다.
물론 square형태이면서 중복된 column이나 row를 갖는다면 이도 마찬가지로 문제가 생길 것이다.
이러한 matrix를 singular matrix라고 하며, 중복된 component를 갖는 것을 linear dependence라고 한다.
A를 3×3 matrix라고 하고, 이를 3개의 column으로 나타내보자.
$$\{a_1, a_2, a_3\}$$
이 행렬이 중복된 열을 갖는다는 것은 즉, 2개의 column들의 linear combination을 통해서 다른 하나의 column을 만들어낼 수 있다는 이야기이다. 그러므로 그 만들어진 하나는 2개의 column에 dependent하기에 추가적인 정보가 되지 못하고, 이는 해를 하나만 갖지 못하게 만든다.
즉, 해를 하나만 갖기 위해서는 $x$가 n차원이라고 할 때, n개의 linearly independent한 columns을 가져야만 한다. 이 의미는 “matrix가 square여야만 한다”와 동치이다.
마지막으로 이러한 선형독립을 영행렬에서 정의할 수도 있는데,
$$\sum_{i=1}^n a_i x_i = a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n = 0$$
이라고 할 때, 나올 수 있는 해가 모든 x가 0인 경우 밖에 없을 때 linearly independent라 하고,
모든 x가 0이 아닌데도 선형조합으로 0을 만들 수 있는 경우, linearly dependent라 한다.
왜 그러하냐는 매우 간단히 보일 수 있다.
0이 아닌 해 x1, x2, x3에 대해서 A와 선형 조합 했을 때 0이 나온다 해보자.
$$a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 = 0 $$
이 경우에, 한 값을 우변으로 넘기면
$$a_1x_1 + a_2x_2 = -a_3x_3$$
가 된다. 즉 x_1과 x_2의 선형 조합으로 x_3를 만들어낼 수 있으므로 linearly dependent라 할 수 있는 것이다.
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