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역쌍곡선함수의 도함수/부정적분 – 네이버 블로그
미적분(Old, 오류 많음). 역쌍곡선함수의 도함수/부정적분. 프로필. 네냐플. 2010. 9. 18. 8:00. 이웃추가. 본문 기타 기능. 본문 폰트 크기 조정
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 4/14/2022
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쌍곡선 함수(Hyperbolic Function) – 조금은 느리게 살자
여기서 C 는 적분 상수이다. [증명] 식 (2.4)에 있는 역함수의 미분을 사용해도 되지만, 다음처럼 변수 치환을 이용해도 쉽게 …
Source: ghebook.blogspot.com
Date Published: 3/23/2022
View: 8808
4. 쌍곡시컨트(sech x)의 적분법
첫 번째 시도로 시컨트의 적분에서처럼 자연로그를 시도할 수 있다. 그러나 삼각함수와 쌍곡선함수의 도함수에서 마이너스 차이로 인해 가능하지 …
Source: cma-edu.tistory.com
Date Published: 11/26/2022
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주제에 대한 기사 평가 쌍곡선 함수 적분
- Author: 연고편입
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- Date Published: 2020. 2. 16.
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4. 쌍곡시컨트(sech x)의 적분법
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0. $\int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x=\ln\vert{\rm sech}\,x+\tanh x\vert+c\,$?
첫 번째 시도로 시컨트의 적분에서처럼 자연로그를 시도할 수 있다. 그러나 삼각함수와 쌍곡선함수의 도함수에서 마이너스 차이로 인해 가능하지 않다는 것을 알게 된다. 이 차이점을 아는 것도 중요하므로 이 부분부터 살펴보자.
우리에게 필요한 도함수들은 다음과 같다.
$$ \begin{align} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\tan x&=\sec^2x & \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\tanh x&={\rm sech}^2x \\ \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\sec x&=\sec x\tan x & \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}{\rm sech}\,x&=-{\rm sech}\,x\tanh x \end{align} $$
여기서 ${\rm sech}\,x\,$에 있는 마이너스 사인으로 인해 자연로그 형태가 나오지 않게 됨을 확인할 수 있다.
$$ \begin{align} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}(\sec x+\tan x)&=\sec x\tan x+\sec^2x=\sec x(\sec x+\tan x) \\ \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}({\rm sech}\,x+\tanh x)&=-{\rm sech}\,x\tanh x+{\rm sech}^2x={\rm sech}\,x({\rm sech}\,x-\tanh x) \\ \int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x&=\int\frac{{\rm sech}\,x({\rm sech}\,x+\tanh x)}{{\rm sech}\,x+\tanh x}\,\textrm{d}x
e\ln\vert{\rm sech}\,x+\tanh x\vert+c \end{align} $$
1. $u=\textrm{e}^x$ 치환적분
$$ \int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right)+c $$
책에 가장 많이 등장하는 표준적인 방법은 쌍곡선함수(hyperbolic function)을 지수함수 정의로 나타내어 치환하는 방법이다.
$$ \begin{align} \cosh x&=\frac{\textrm{e}^x+\textrm{e}^{-x}}{2},& \sinh x&=\frac{\textrm{e}^x-\textrm{e}^{-x}}{2} \\ {\rm sech}\,x&=\frac{2}{\textrm{e}^x+\textrm{e}^{-x}}=\frac{2\textrm{e}^x}{\textrm{e}^{2x}+1} \end{align} $$
이제 $u=\textrm{e}^x$ 치환을 사용하여 적분을 전개하면 ($\textrm{d}u=\textrm{e}^x\,\textrm{d}x=u\,\textrm{d}x$),
$$ \begin{align} \int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x&=\int\frac{2\textrm{e}^x}{\textrm{e}^{2x}+1}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{2}{u^2+1}\,\textrm{d}u \qquad (u=\tan z,\quad \textrm{d}u=\sec^2z\,\textrm{d}z) \\ &=\int\frac{2}{\tan^2z+1}\cdot\sec^2z\,\textrm{d}z \\ &=\int2\,\textrm{d}z \\ &=2z+c \\ &=2\arctan u+c \\ &=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right)+c \qquad \square \end{align} $$
2. $u=\sinh x$ 치환과 부분분수(partial fractions)
$$ \int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x=\arctan(\sinh x)+c $$
시컨트/세칸트의 적분에서 본 아이작 배로우(Isaac Barrow, 1630-1677)의 방법을 쌍곡선함수/하이퍼볼릭 함수에도 그대로 적용할 수 있다. 다만, 부분분수가 아니라 적분의 결과가 탄젠트의 역함수(inverse tangent, arctan)로 나타난다.
$$ \begin{align} \int{\rm sech}\,x&=\int\frac1{\cosh x}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{\cosh x}{\cosh^2x}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{\cosh x}{1+\sinh^2x}\,\textrm{d}x \qquad (u=\sinh x,\quad \textrm{d}u=\cosh x\,\textrm{d}x) \\ &=\int\frac{\textrm{d}u}{1+u^2} \\ &=\int\frac{\sec^2z}{1+\tan^2z}\,\textrm{d}z \qquad (u=\tan z,\quad \textrm{d}u=\sec^2z\,\textrm{d}z) \\ &=\int \textrm{d}z \\ &=z+c \\ &=\arctan u+c \\ &=\arctan(\sinh x)+c \qquad \square \end{align} $$
Comment: 방법1과 동일함은 잠시 후 부록에서 확인하도록 하자.
3. $t=\tanh\frac{x}2$ 치환 (t-치환 또는 바이어슈트라스 치환)
$$ \int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x=2\arctan\left(\tanh\frac{x}2\right)+c $$
시컨트와 코시컨트 적분과 마찬가지로 t-치환 또는 바이어슈트라스 치환(Weierstrass substitution)을 사용할 수 있다. 삼각함수와 마찬가지로 t-치환의 핵심은 $t=\tanh\frac{x}2\,$을 사용하여 $\textrm{d}x$, $\cosh x\,$와 $\sinh x\,$를 모두 t를 사용한 분수(유리함수)로 나타낼 수 있다는 데 있다.
$$ \begin{align} \textrm{d}t&=\frac12\underbrace{{\rm sech}^2\frac{x}2}_{1-\tanh^2\frac{x}2}\,\textrm{d}x=\frac{1-\tanh^2\frac{x}2}2\,\textrm{d}x=\frac{1-t^2}2\,\textrm{d}x \\ \textrm{d}x&=\frac{2}{1-t^2}\,\textrm{d}t \\ \\ \cosh x&=\cosh^2\frac{x}2+\sinh^2\frac{x}2=\cosh^2\frac{x}2\left(1+\tanh^2\frac{x}2\right)=\frac{1+\tanh^2\frac{x}2}{{\rm sech}^2\frac{x}2}=\frac{1+\tanh^2\frac{x}2}{1-\tanh^2\frac{x}2}=\frac{1+t^2}{1-t^2} \\ \sinh x&=2\sinh\frac{x}2\cosh\frac{x}2=2\cosh^2\frac{x}2\tanh^2\frac{x}2=\frac{2\tanh^2\frac{x}2}{{\rm sech}^2\frac{x}2}=\frac{2\tanh^2\frac{x}2}{1-\tanh^2\frac{x}2}=\frac{2t}{1-t^2} \end{align} $$
이제 쌍곡시컨트/쌍곡세칸트 적분에 적용하면,
$$ \begin{align} \int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x &=\int\frac1{\cosh x}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac1{\frac{1+t^2}{1-t^2}}\frac{2}{1-t^2}\,\textrm{d}t \\ &=\int\frac2{1+t^2}\,\textrm{d}t \qquad (t=\tan z,\quad \textrm{d}t=\sec^2z\,\textrm{d}z)\\ &=\int\frac{2\sec^2z}{1+\tan^2z}\,\textrm{d}z \\ &=\int2\,\textrm{d}z \\ &= 2z+c \\ &=2\arctan t+c \\ &=2\arctan\left(\tanh\frac{x}2\right)+c \qquad \square \end{align} $$
Comment: 방법 1, 방법 2와의 동일함은 부록에서 확인할 수 있다.
부록 1: 세 결과의 동일함
앞서 예고한 것처럼 달리 보이는 세 결과의 동일함을 증명해보자. 세 결과를 다시 적어보면 다음과 같다. (계산을 단순히 하기 위해 적분상수는 잠시 무시하자.)
$$ \begin{align} \theta&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right) \\ \phi&=\arctan(\sinh x)=\arctan\left(\frac{\textrm{e}^x-\textrm{e}^{-x}}{2}\right)=\arctan\left(\frac{\textrm{e}^{2x}-1}{2\textrm{e}^x}\right) \\ \psi&=2\arctan\left(\tanh\frac{x}2\right)=2\arctan\left(\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}\right) \end{align} $$
(1) $\phi=\psi$ (방법2 = 방법3)
2배각 공식(double angle formulae)을 이용하여 $\theta\,$와 $\psi\,$를 나타낼 수 있다.
$$ \begin{align} \tan\frac{\theta}{2}&=\textrm{e}^x &&\Rightarrow& \tan\theta&=\frac{2\tan\frac{\theta}2}{1-\tan^2\frac{\theta}2}=\frac{2\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^{2x}} \\ \tan\frac{\psi}2&=\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1} &&\Rightarrow& \tan\psi&=\frac{2\tan\frac{\psi}2}{1-\tan^2\frac{\psi}2}=\frac{2\cdot\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}}{\underbrace{\left(1-\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}\right)}_{\frac2{\textrm{e}^x+1}}\underbrace{\left(1+\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}\right)}_{\frac{2\textrm{e}^x}{\textrm{e}^x+1}}}=\frac{\textrm{e}^{2x}-1}{2\textrm{e}^x} \\ &&&\Rightarrow& \psi&=\arctan\left(\frac{\textrm{e}^{2x}-1}{2\textrm{e}^x}\right)=\phi \qquad \square \end{align} $$
따라서 $\phi\,$와 $\psi\,$는 같은 표현임을 알 수 있다.
(2) $\theta=\phi$ (방법1 = 방법2)
반면 $\theta\,$는 $\phi\,$와 역수의 관계를 가지고, 음수 부호가 다르다는 것을 알 수 있다. 이제 적분상수가 들어올 차례다. 즉, $-\cot\theta\,$와 $\tan\phi\,$가 동일하므로, 적분상수를 적절히 변환하면 같은 표현을 얻을 수 있다. 여기서 약간의 추측(guesswork)이 필요한데, $\theta\,$의 적분상수로 $-\frac{\pi}2$를 더해 다음과 같이 표현해보자.
$$ \begin{align} \theta&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right)-\frac{\pi}2 \\ \theta+\frac{\pi}2&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right) \\ \tan\left(\frac{\theta}2+\frac{\pi}4\right)&=\frac{1+\tan\frac{\theta}2}{1-\tan\frac{\theta}2}=\textrm{e}^x \\ \Rightarrow\quad \tan\frac{\theta}2&=\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1} \\ \Rightarrow\quad \tan\theta&=\frac{2\tan\frac{\theta}2}{1-\tan^2\frac{\theta}2}=\frac{2\cdot\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}}{\underbrace{\left(1-\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}\right)}_{\frac2{\textrm{e}^x+1}}\underbrace{\left(1+\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}\right)}_{\frac{2\textrm{e}^x}{\textrm{e}^x+1}}}=\frac{\textrm{e}^{2x}-1}{2\textrm{e}^x}=\phi \qquad \square \end{align} $$
Comment: 여기서 추측(guesswork)이라고 했는데, 추측 과정을 적어보면 다음과 같다. 우선 $\theta\,$에 적분상수 $-c$를 더한다고 해보자.
$$ \begin{align} \theta&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right)-c \\ \frac{\theta+c}2&=\arctan\left(\textrm{e}^x\right) \\ \tan\left(\frac{\theta+c}{2}\right)&=\textrm{e}^x \end{align} $$
이제 남은 건 c값을 찾아내는 일이다. 앞선 계산을 통해 $\tan\phi=-\cot\theta\,$의 관계를 알아냈다. 아직 $\phi\,$와 $\theta\,$의 정확한 관계는 모르기 때문에 $\tan\phi=-\cot\alpha\,$라고 가정하고 $\alpha\,$와 $\theta\,$를 관계지어보자.
$$ \begin{align} \tan\phi=-\cot\alpha&=\frac{\textrm{e}^{2x}-1}{2\textrm{e}^x} \\ \Rightarrow\quad \tan\alpha&=\frac{2\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^{2x}}=\frac{2\tan\frac{\alpha}2}{1-\tan^2\frac{\alpha}2} \\ \Rightarrow\quad \tan\frac{\alpha}2&=\textrm{e}^x\end{align} $$
이제 다음 관계들 중
$$ \begin{align} \tan\left(x\pm\frac{\pi}2\right)&=-\cot x \\ \tan\left(x\pm\frac{3\pi}2\right)&=-\cot x \\ \tan\left(x-\frac{\pi}2+n\pi\right)&=-\cot x,\quad n\in\mathbb Z \end{align} $$
가장 일반적인 세 번째 관계를 이용하여 $\theta\,$와 $\alpha\,$를 연결지을 수 있다.
$$ \begin{align} \textrm{e}^x=\tan\frac{\alpha}2&=\tan\left(\frac{\theta+c}2\right) \\ \Rightarrow\quad \frac{\alpha}2&=\frac{\theta+c}2+n\pi,\quad n\in\mathbb Z \\ \Rightarrow\quad \alpha&=\theta+c+2n\pi,\quad n\in\mathbb Z \end{align} $$
이제 $\tan\alpha=-\cos\phi\,$라는 점을 이용하여, 즉 탄젠트 함수와 $\alpha\,$를 통해 $\theta\,$와 $\phi\,$를 연결지으면
$$ \tan\alpha=\tan(\theta+c)=-\cot\phi=\tan\left(\phi-\frac{\pi}2+n\pi\right),\quad n\in\mathbb Z $$
그리고 c값을 적절히 선택하면 $\theta=\phi\,$를 등치시킬 수 있다.
$$ c=n\pi-\frac{\pi}2=\left(n-\frac12\right)\pi,\quad n\in\mathbb Z $$
앞서 우리는 이 중 가장 간단한 $n=1$, 즉 $c=\frac{\pi}2\,$를 선택한 것이었다.
Cross-check: 계산 확인을 위해 $c=-\frac{\pi}2\,$의 경우에도 $\theta=\phi\,$를 얻는지 살펴보자.
$$ \begin{align} \theta&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right)+\frac{\pi}2 \\ \theta-\frac{\pi}2&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right) \\ \tan\left(\frac{\theta}2-\frac{\pi}4\right)&=\frac{\tan\frac{\theta}2-1}{1+\tan\frac{\theta}2}=\textrm{e}^x \\ \Rightarrow\quad \tan\frac{\theta}2&=\frac{1+\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^x} \\ \Rightarrow\quad \tan\theta&=\frac{2\tan\frac{\theta}2}{1-\tan^2\frac{\theta}2}=\frac{2\cdot\frac{1+\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^x}}{\underbrace{\left(1-\frac{1+\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^x}\right)}_{\frac{-2\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^x}}\underbrace{\left(1+\frac{1+\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^x}\right)}_{\frac{2}{1-\textrm{e}^x}}}=\frac{\textrm{e}^{2x}-1}{2\textrm{e}^x}=\phi \qquad \square \end{align} $$
이제 세 결과를 한 줄로 요약하면 (이제 적분상수 c는 모두 같은 값이라고 생각할 수 있다),
$$ \begin{align} \int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right)+\left(n-\frac12\right)\pi+c \\ &=\arctan(\sinh x)+c \\ &=2\arctan\left(\tanh\frac{\pi}2\right)+c \end{align} $$
부록2: t-치환 / 바이어슈트라스 치환 $t=\tanh\frac{x}2$
t-치환으로 쌍곡시컨트(sech)와 쌍곡코시컨트(csch) 적분을 할 수 있지만, 이 두 적분만 하고 멈추기에 t-치환은 너무도 효율적인 도구다.
앞서 유도한 결과를 다시 요약해보자.
$$ \textrm{d}x=\frac{2}{1-t^2}\,\textrm{d}t, \qquad \cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}, \qquad \sin x=\frac{2t}{1-t^2} $$
또한 다른 삼각함수($\tan$, $\sec$, $\csc$, $\cot$)도 t를 사용해 나타낼 수 있다.
$$ \tanh x=\frac{2t}{1+t^2},\quad {\rm sech}\,x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad {\rm csch}\,x=\frac{1-t^2}{2t}, \quad \coth x=\frac{1+t^2}{2t} $$
이를 이용하면 $\cosh x$, $\sinh x$이 들어있는 모든 적분을 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ \int \textrm{f}(\cosh x,\sinh x)\,\textrm{d}x = \int \textrm{f}\left(\frac{1+t^2}{1-t^2},\frac{2t}{1-t^2}\right)\frac{2}{1-t^2}\,\textrm{d}t $$
이중 가장 대표적인 예는
$$\int\frac1{a\cosh x+b\sinh x+c}\,\textrm{d}x$$
로서 보다 자세한 내용은 t-치환/바이어슈트라스 치환(t-substitution, Weierstrass substitution)참조.
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쌍곡선함수 그래프 & 미분 (hyperbolic function) (sinh, cosh, tanh, csch, sech, coth)
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이전에는 삼각함수와 미분에 대해서 다뤘다.
2020/04/19 – [AI/Math] – 삼각 함수 미분 공식 & 그래프.
이번시간에는 쌍곡선함수와 그래프에 대해서 다뤄 보겠다.
식은 다음과 같다.
쌍곡사인함수
domain, range : R
쌍곡코사인함수
domain : R , range : y >= 1
쌍곡탄젠트함수
domain : R, range : -1 < y < 1 쌍곡코시컨트함수 domain, range : R (not zero) 쌍곡시컨트함수 domain : R, range : 0 < y <= 1 쌍곡코탄젠트함수 domain : R (not zero), range : y<-1 or y>1
다음글은 쌍곡선함수의 역함수에 대해서 알아보겠다.
2020/04/23 – [AI/Math] – 쌍곡선함수의 역함수 미분 (arcsinh, arccosh, arctanh)
그래프출처
https://www.wolframalpha.com/
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쌍곡선함수 정의 역함수 증명 공식 증명
– 쌍곡선함수 정의
수학에서, 쌍곡선 함수双曲線函數, 영어 hyperbolic function는 일반적인 삼각함수와 유사한 성질 .. 지수함수가 모든 복소수를 인자로 받을 수 있기 때문에, 지수함수의 사칙연산으로 정의된 쌍곡선 함수 또한 복소수까지 확장시킬 수 있다. 이때, sinh 종류 · 삼각함수와의 관계 · 역쌍곡함수의 미분 · 역쌍곡함수의 부정적분 쌍곡선 함수
쌍곡선 함수 Hyperbolic Function의 정의는 다음과 같다. 이와 같은 함수를 쌍곡선 함수라고 정의한 이유는 cosh와 sinh를 x, y 좌표로 그린 그래프 쌍곡선 함수 Hyperbolic function의 정의
그러나 이 부분은 3 미분, 적분 부분에서 다루도록 하고, 오늘은 우선 쌍곡 함수의 정의와 기하학적 의미 및 성질에 대해서만 설명하려고 합니다. 쌍곡 함수Hyperbolic function
쌍곡선함수의 정의입니다. 네이버 지식인 펌 쌍곡선함수의 정의
쌍곡선함수의 정의입니다. 기본적인 쌍곡선함수 공식들입니다. 이를 증명해봅시다. 쌍곡선함수의 덧셈정리입니다. 이를 증명해봅시다. 쌍곡선함수의 두배각공식 , 반각 쌍곡선함수 정의 및 미적분 공식
– 쌍곡선함수 역함수
역함수편집. 쌍곡선 함수의 역함수는 다음과 같다. arcsinh x = ln x + x 2 + 1 arccosh x = ln x + x 2 − 1 ; x ≥ 1 종류 · 삼각함수와의 관계 · 역쌍곡함수의 미분 · 역쌍곡함수의 부정적분 쌍곡선 함수
일단 sin cos tan, csc, sec, cot와 그 도함수는 기본적으로 꿰고 있어야 하며 여기선 다루지 않으니 링크를 참고하기 바란다. 삼각함수 고난도 공식 삼각함수 쌍곡선함수 역함수의
충분히 증명가능하다. 각자 해보면, 좋을 것 같다. 5. 역함수 각 쌍곡선 함수에서 를 바꿔치기 하면 역함수에 대해서도 말 할 수 있다. 일단 결과부터 이야기 하면 미적분 쌍곡선함수 Hyperbolic Functions
ex는 다음과 같다. 쌍곡 탄젠트의 역함수 유도는 다음과 같다. 위의 쌍곡선함수의 역함수에 대해 미분을 해본다. 위의 미분 결과는 쌍곡선함수의 역함수 미분과 같다. 쌍곡선함수의 역함수
– 쌍곡선함수 증명
쌍곡함수의 미분법은 사실 증명할 것도 외울 것도 별로 없다. 증명은 그냥 단순히 정의를 이용할 뿐이고 모양새도 삼각함수에서 부호만 뗀 정도기 쌍곡함수의 미분법 생새우초밥집
수학 이야기/ㅁ ○ 미적분학 · NOTE 필기 역쌍곡선 함수 Inverse Hyperbolic function 대학미적분1 수준. Mr.hwa math Anointing 2016.12.02 12 NOTE 필기
쌍곡선함수의 공식, 미적분 증명
π/2,π/2 arccos x와 arctan x 역시 같은 방법음함수 미분법으로 증명하면 된다. 2. 쌍곡선함수 좌 sinh x ∞,∞→∞,∞ 우 cosh x ∞,∞→1,∞ 삼각함수의 역함수, 쌍곡선함수, 그리고 쌍곡선함수의 역함수
– 쌍곡선함수 공식 증명
쌍곡선함수 정의 및 미적분 공식 0, 2009.12.15. Maclaurin Series 0, 2009.12.15. 쌍곡선함수의 공식, 미적분 증명 0, 2009.12.15.
기본적인 쌍곡선함수 공식들입니다. 이를 증명해 쌍곡선함수의 두배각공식 , 반각공식입니다. 쌍곡선함수의 공식, 미적분 증명 0, 2009.12.15.
삼각형의 넓이 공식에서 쌍곡삼각형을 넓이를 구한다. 쌍곡삼각형의 행렬식과 위의 쌍곡삼각형의 넓이가 같다는 것은 쌍곡선함수의 합의 제곱 및 이배각 공식으로 증명 쌍곡선의 쌍곡각I
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