당신은 주제를 찾고 있습니까 “수학 증명 모음 – 🐶 0=1 증명 (오류를 찾아보세요)“? 다음 카테고리의 웹사이트 https://kk.taphoamini.com 에서 귀하의 모든 질문에 답변해 드립니다: https://kk.taphoamini.com/wiki/. 바로 아래에서 답을 찾을 수 있습니다. 작성자 수학의 본질 EOMath 이(가) 작성한 기사에는 조회수 132,691회 및 좋아요 1,080개 개의 좋아요가 있습니다.
Table of Contents
수학 증명 모음 주제에 대한 동영상 보기
여기에서 이 주제에 대한 비디오를 시청하십시오. 주의 깊게 살펴보고 읽고 있는 내용에 대한 피드백을 제공하세요!
d여기에서 🐶 0=1 증명 (오류를 찾아보세요) – 수학 증명 모음 주제에 대한 세부정보를 참조하세요
[Beautiful math] #4. 0=1 증명 (오류를 찾아보세요)수학 증명 모음 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.
난만한☆ 수학 증명 모음 – 추가 증명 신청 받습니다 – 오르비
신뢰도는 수리가형 성적증명모음 xlnx->0 , x/e^x ->0 증명http://orbi.kr/1233776구의 부피 증명http://orbi.kr/1233543 – 급수에서 …
Source: orbi.kr
Date Published: 2/29/2022
View: 2375
수학 증명에 관한 PDF 파일들 모음 – 티스토리
수학 증명에 관한 PDF 파일들 모음 · 1. 오클라호마 주립대 수학과 Math4023 수업 강의노트 중 1~4번 · 2. What are What are Mathematical Proof and Why …
Source: mathnmath.tistory.com
Date Published: 12/5/2021
View: 4235
수학의 정의, 정리, 증명 – 수학방
명제에 이어 정의와 증명, 정리에 관한 내용이에요. 이 단원에서는 새로운 내용을 배우기보다는 기존에 알고 있는 용어들을 이용할 거예요. 비슷한 용어들이 나오고 그 …
Source: mathbang.net
Date Published: 8/25/2022
View: 136
고1 주요증명 문제 정리 – 네이버 블로그
고1 과정의 주요 증명 문제를 정리한 겁니다. … 안녕하세요~ 저는 위례 롯데캐슬 4동에서 <봉쌤수학 과외방>을 운영하고 있는 봉쌤이라고 합니다.
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 9/22/2021
View: 7630
초등부터 고등까지 > 수학에서 증명의 중요성 – edwith
어른들을 위한 기초 수학: 초등부터 고등까지. … TOPIC2 : 정리(Theorem)와 증명(Proof); 수학에서 증명의 중요성. TOPIC3 : 유클리드 기하학(Euclean Geometry)_2 …
Source: www.edwith.org
Date Published: 2/3/2022
View: 2845
수학 증명 모음 | 🐶 0=1 증명 (오류를 찾아보세요) 상위 111개 답변
수학 증명 모음 주제에 대한 동영상 보기. 여기에서 이 주제에 대한 비디오를 시청하십시오. 주의 깊게 살펴보고 읽고 있는 내용에 대한 피드백을 제공 …
Source: ppa.giarevietnam.vn
Date Published: 4/3/2022
View: 2881
점과 직선 사이의 거리 공식 증명 – 수학사랑
물론 수학은 다소 복잡하더라도 끈기를 가지고 증명을 해보는 것도 필요하다. 그렇다고 해도 이 증명은 학생들에게 큰 짐이다. 교사에게도 귀찮은 부분이다. 결국 공식을 …
Source: www.mathlove.kr
Date Published: 6/16/2022
View: 7911
고등 수학 공식 정리 – math-son – 티스토리
고등학교 수학 필수 공식 정리집. ① 수학 가형 공식 정리 … 사관학교, 경찰대 기출문제(20,21년도) + 단원별 기출문제 모음(1999~2020) ◇ 2020.
Source: math-son.tistory.com
Date Published: 7/5/2021
View: 7697
[고급수학 중간고사] 증명문제 정리 – 더플러스수학
더플러스수학, #울산과고 중간고사 대비 고급수학 증명문제 모음 정의. 비특이행렬(non-singular matrix), 가역행렬(invertible matrix) 정규 …
Source: plusthemath.tistory.com
Date Published: 6/12/2021
View: 4804
주제와 관련된 이미지 수학 증명 모음
주제와 관련된 더 많은 사진을 참조하십시오 🐶 0=1 증명 (오류를 찾아보세요). 댓글에서 더 많은 관련 이미지를 보거나 필요한 경우 더 많은 관련 기사를 볼 수 있습니다.
주제에 대한 기사 평가 수학 증명 모음
- Author: 수학의 본질 EOMath
- Views: 조회수 132,691회
- Likes: 좋아요 1,080개
- Date Published: 2018. 7. 31.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=w4aKxICRJiQ
★난만한★ 수학 증명 모음
–
신뢰도는 수리가형 성적
증명모음
xlnx->0 , x/e^x ->0 증명
http://orbi.kr/1233776
구의 부피 증명
http://orbi.kr/1233543 – 급수에서 마무리
http://orbi.kr/1229744 – 정적분으로 고쳐서
구의 겉면적 구분구적법
http://orbi.kr/1229849
A^B=B^A 를 만족하는 자연수의 유일성
http://orbi.kr/1233537
지수의 확장
http://orbi.kr/1232768
sinx/x -> 1 증명
http://orbi.kr/1231502
1/n , 1/n^2 수렴, 발산 증명
http://orbi.kr/1231368 – 적분이용
http://orbi.kr/1231363 – 1/n^2 수렴값 증명
http://orbi.kr/1231361 – 1/n^2 수렴한다 증명
http://orbi.kr/1231353 – 1/n 발산한다 증명
급수 시그마 1/2n(2n-1) 증명
http://orbi.kr/1231350
개구간 미분가능 -> 폐구간 연속 명제
http://orbi.kr/1231326
[x]의 도함수 그래프http://orbi.kr/1231323
점과 직선사이의 거리 공식 – 벡터 이용하지 않고
http://orbi.kr/1230318
파푸스의 중선정리
http://orbi.kr/1230301
톨레미의 정리
http://orbi.kr/1229890
벡터의 외적
http://orbi.kr/1229888
AB=E -> BA=E 증명
http://orbi.kr/1229851
파푸스 굴딘의 정리
http://orbi.kr/1229845
일반적 도형의 무게중심
http://orbi.kr/1229776
산술기하평균의 대소관계
http://orbi.kr/1229771
체비셰프부등식 증명
http://orbi.kr/1229770
몬티홀의딜레마
http://orbi.kr/1229762
0.99999…..=1
http://orbi.kr/1229746
헤세의 표준형
http://orbi.kr/1229742
e^x-1/x 의 극한
http://orbi.kr/1229431
중복조합 nHr 증명
http://orbi.kr/1229427
싸이클로이드,아스트로이드,카디오이드 곡선
http://orbi.kr/1229425
카르다노의 3차방정식
http://orbi.kr/1229423
n^3의 합 공식 증명
http://orbi.kr/1229419 – 3차원도형
http://orbi.kr/1229412 – 파스칼의 삼각형으로
http://orbi.kr/1229411 – 2차원도형
0인자는 역행렬이 없다
http://orbi.kr/1229408 – 디터미넌트 이용
http://orbi.kr/1229406 – 귀류법 이용
이치함수 밑넓이 a/6(p-q)^3
http://orbi.kr/1229398
삼수선의정리
http://orbi.kr/1233986
분모->0, 분자->0 증명
http://orbi.kr/1233992
행렬 이차방정식 인수의 역행렬 존재 여부
http://orbi.kr/1234015
수학 공부할때 도움되길 바래요 ㅋㅋ 더 요청하면 해드립니다
모두 1600×1200의 고화질이므로 사진이 작게보이는 경우 다운받으시면 커집니다
수학 증명에 관한 PDF 파일들 모음
공유하기 게시글 관리 저작자표시
1 : Proofs and Logic2 : Methods of Proof A3 : Methods of Proof B4 : Methods of Proof C위키피디아에서 Mathematical Proof로 검색을 하면 나오는 See Also부분에서 얻은 것엄밀한 수학적 증명의 발전 계기와 왜 중요한가를 설명해주고 있다.이것도 2번과 동일한 곳에서 얻음35페이지 분량이지만 어렵지는 않다. 현재 읽는 중인데Steven G.Krantz라는 사람으로 해석학 책도 쓴 사람이다.(집에 있음;)격식있는 단어들의 사용빈도가 높아 사전을 찾아가면 읽고 있다.그러나 내용이 매우 풍부한 것 같아 기대 中이것도 위키에서 얻은 걸로 기억.. 아닐 수도 있음아직 안 읽어 봤으나 소제목들은 다음과 같다.1. what is that mathematics accomplished?2. how do people understand mathematics?3. how is mathematical understanding communicated?4. what is a proof?5. what motivates people to do mathematics?6. some personal experiences쓰고 보니 재밌을 것 같다. 읽어봐야지~
수학의 정의, 정리, 증명
명제에 이어 정의와 증명, 정리에 관한 내용이에요.
이 단원에서는 새로운 내용을 배우기보다는 기존에 알고 있는 용어들을 이용할 거예요. 비슷한 용어들이 나오고 그 뜻의 차이가 크지 않아서 헷갈릴 수 있으니까 이 기회에 그 뜻을 정확하게 정리하세요. 특히 도형과 관련된 내용이 많이 나오니까 1학년 때 배웠던 도형 관련 내용들을 쭉 한 번 읽어보는 것도 좋아요.
중1 수학 목록
정의, 정리, 증명
정의는 용어의 뜻을 명확하게 정한 것으로 용어의 뜻에 대한 약속이에요. 약속이므로 증명할 필요가 없어요. 약속은 참, 거짓의 문제가 아니니까요.
방정식이라는 용어가 있어요. 식에 미지수가 있어서 이 미지수가 특정한 값을 가질 때만 참이 되는 등식을 말하죠. 이건 그냥 그런 특징이 있는 식을 방정식이라고 부르기로 사람들끼리 약속한 거예요. 다른 이름으로 약속했다면 그렇게 부르면 되는 거예요.
증명은 실험이나 경험에 따르지 않고, 정의 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 근거로 어떤 명제가 참임을 보이는 것을 말해요.
어떤 가정이 있다면 그 가정이 진짜인지 증거를 대는 거죠. 그 증거에 잘 맞으면 참이고, 증거에 맞지 않으면 거짓이 되는 거예요.
정리는 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것으로 여러 개가 있어요. 정리는 원래는 가정이었는데, 증명을 통해서 참으로 밝혀진 걸 말해요. 이 정리를 이용해서 다른 명제의 참, 거짓을 증명하게 되는 거죠.
정의와 정리는 달라요. 정의는 그냥 약속이라서 증명을 할 필요가 없어요. 물론 증명할 수도 없지만요. 정리는 증명을 통해서 그것이 참임을 밝혀야 해요. 그래야 정리로서 가치를 인정받을 수 있죠.
도형의 정의
아래는 다각형 중에서 삼각형과 사각형의 정의를 나타낸 거예요.
삼각형: 세 개의 선분으로 둘러싸인 다각형
정삼각형: 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형
이등변삼각형: 두 변의 길이가 같은 삼각형
직각삼각형: 한 내각의 크기가 직각인 삼각형
예각삼각형: 세 내각의 크기가 모두 예각인 삼각형
둔각삼각형: 한 내각의 크기가 둔각인 삼각형
사각형: 네 개의 선분으로 둘러싸인 다각형
직사각형: 네 각의 크기가 모두 같은 사각형
마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
정사각형: 네 내각의 크기와 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
평행사변형: 두 쌍의 대변이 각각 평행인 사각형
사다리꼴: 한 쌍의 대변이 평행인 사각형
등변사다리꼴: 한 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴
증명에서 자주 사용되는 정리
평행한 두 직선과 한 직선이 만날 때 → 동위각, 엇각의 크기가 같다
평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각
삼각형의 합동 → 대응변의 길이와 대응각의 크기는 서로 같다
도형의 합동, 삼각형의 합동조건
두 직선 l, m이 아래 그림처럼 한 점 O에서 만난다. 일 때 다음을 증명하여라.
< (1) ∠AOB = ∠COD (2) (1)에서 ∠AOC는 평각이라서 180°에요. 그리고 ∠AOC = ∠AOD + ∠COD이고요. ∠BOD도 평각이라서 180°에요. 그리고 ∠BOD = ∠AOB + ∠AOD이고요. ∠AOD + ∠COD = ∠AOB + ∠AOD = 180° 가 되는 거죠. 양변의 ∠AOD를 없애주면 ∠COD = ∠AOB가 됩니다. 사실 (1)번은 새로운 증명이 아니라 맞꼭지각, 동위각, 엇각에 나온 "두 직선이 한 점에서 만날 때 맞꼭지각의 크기는 같다."는 걸 한 번 더 증명해 본 거예요. (2)번은 삼각형의 합동을 이용할 거예요. 점 A와 점 B에 선을 그으면 △AOB가 되고, 점 C와 점 D에 선을 그으면 △COD가 돼요. 두 삼각형에서 이고, ∠AOB = ∠COD에요. 즉 두 변의 길이와 그 사이의 끼인각의 크기가 가죠? 두 삼각형은 합동이에요. △AOB ≡ △COD 두 삼각형의 합동이니까 대응변의 길이는 같고, 대응각의 크기도 같아요. 따라서 서로 대응변인 변 AB와 변 CD의 길이는 같아요. 함께 보면 좋은 글 명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역 정리해볼까요 정의, 증명, 정리 정의: 용어의 뜻을 정한 것 증명: 정의 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 근거로 어떤 명제가 참임을 보이는 것 정리: 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것 그리드형(광고전용)
고1 주요증명 문제 정리
안녕하세요~ 저는 위례 롯데캐슬 4동에서 <봉쌤수학 과외방>을 운영하고 있는 봉쌤이라고 합니다. 봉쌤수학은 학생 한명한명마다 꼼꼼하게 맞춤형으로 수업을 진행합니다. 자기주도형 학습을 하면서 한계를 느꼈거나, 학원수업을 들으면서 자신만의 차별화된 수업을 듣고 싶었던 학생들은 많은 상담 주세요~ 감사합니다.^^ 상담문의: 010 4209 5661
어른들을 위한 기초 수학: 초등부터 고등까지 > 수학에서 증명의 중요성 : edwith
공유하기 URL복사 밴드
수학에서 증명의 중요성 들어가기 전에 수학을 공부할 때, 증명없이 그냥 받아들이면 어떻게 될까요? 참인지 거짓인지도 명확하지 않은채 엉뚱한 곳으로 생각이 흘러갈 수도 있고, 우리의 사고가 더 발전하지 못… – 커넥트재단
좋아요 8
수학 증명 모음 | 🐶 0=1 증명 (오류를 찾아보세요) 상위 111개 답변
We are using cookies to give you the best experience on our website.
You can find out more about which cookies we are using or switch them off in settings.
고등학교 1학년을 가르칠 때마다 다음의 “점과 직선 사이의 거리 공식” 증명으로 마음이 무거웠다.
왜냐하면 교과서에 있는 증명은 계산이 복잡하고 학생들에게 좀 버거운 상대이었기 때문이다.
사실 내 자신에게 다음의 질문을 한 적이 한 두 번이 아니다.
“이 증명을 설명할 필요가 있을까?”
“학생들에게 무슨 의미가 있을까”
물론 수학은 다소 복잡하더라도 끈기를 가지고 증명을 해보는 것도 필요하다.
그렇다고 해도 이 증명은 학생들에게 큰 짐이다.
교사에게도 귀찮은 부분이다.
결국 공식을 잘 외우도록 도와주는 것으로 타협하곤 했다.
증명을 이해하지 못하고 문제풀이를 위해 공식을 외우도록 해야하는 상황이 정말 속이 상했다.
일본 교과서를 보아도 우리와 똑 같은 증명이 실려 있었다.
어떻게 하면 학생들이 흥미를 느낄 수 있는 증명이 없을까하고 항상 노력하던 중 같은 고민을 하던 수학사랑 연구원선생님들과 삼각형의 닮음으로 설명하는 방법을 찾아내었다.
사실 중학교 3학년에서 피타고라스의 정리를 배우고 다음과 같은 문제를 주는 것이 좋을 듯하다는 생각도 든다.
색칠한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비오아 점 S의 좌표를 이용하여 쉽게 구할 수 있다.
이것을 일반적인 경우에 적용하면 다음과 같다.
교과서 증명보다는 좀 나은 것 같은 데 여전히 어려울지도 모른다.
이 내용은 최근의 NCTM 잡지에서도 보았다.
[고급수학 중간고사] 증명문제 정리
반응형
#더플러스수학, #울산과고 중간고사 대비 고급수학 증명문제 모음
정의. 비특이행렬(non-singular matrix), 가역행렬(invertible matrix) 정규행렬(regular matrix)
$ n $차 정사각행렬 $ A $, $ B $에 대하여 $ AB=I _ {n} =BA $를 만족하는 행렬 $ B $가 존재할 때, 행렬 $ A $를 비특이행렬(non-singular matrix) 또는 가역행렬(invertible matrix) 또는 정규행렬(regular matrix)이라 부른다.
또, 행렬 $ B $를 행렬 $ A $의 역행렬이라 부르고 행렬 $ A $가 역행렬을 가지지 않을 때, 행렬 $ A $를 특이행렬(singular matrix)라고 부른다.
1. 단위행렬의 유일성
$ n $차 정사각행렬에서 단위행렬은 오직 하나 있다.
…더보기 (증명) $n$차 정사각행렬의 단위행렬이 $I$, $E$가 존재한다고 가정하자. $$ I= IE=I$$ 첫번째 등호에서는 $E$가 단위행렬임이 두번째 등호에서는 $I$가 단위행렬임이 사용되었다. 따라서 단위행렬은 하나밖에 없다.
2. 역행렬의 유일성
행렬 $ A $의 역행렬이 $ B,~C $가 있다면 $ B=C $이다.
…더보기 (증명) 행렬 $ B,~C $가 행렬 $ A $의 역행렬이라고 가정하자. 그러면 역행렬의 정의에 의해 $$ AB=BA=I ,~AC=CA=I $$ $$ B=B ( AC)= ( BA)C=IC=C $$
3. 행렬 $ A $의 역행렬을 $ A ^ {-1} $라 하자. 다음을 증명하여라.
행렬 $ A $가 가역행렬이면 $ A ^ {-1} $도 가역행렬이고 $ ( A ^ {-1} ) ^ {-1} =A $이다.
4. $ n $차 정사각행렬 $ A,~B $가 가역행렬이면 행렬 $ AB $도 가역행렬이고 $ ( AB) ^ {-1} =B ^ {-1} A ^ {-1} $임을 보여라.
증명)
$$ \left ( AB \right ) \left ( B ^ {-1} A ^ {-1} \right ) =A \left ( BB ^ {-1} \right ) A ^ {-1} =AIA ^{-1}=AA ^ {-1} =I $$
비슷한 방법으로 $ \left ( B ^ {-1} A ^ {-1} \right ) AB=I $임을 보일 수 있다. 따라서 $ AB $은 가역행렬이다. 또, 역행렬의 유일성에 의해 $ \left ( AB \right ) ^ {-1} =B ^ {-1} A ^ {-1} $이다.
5. 다음을 증명하시오.
$ A _ {1} ,~ \cdots ,~A _ {m} $은 모두 $ n $차 가역행렬이라고 하면 $ A _ {1} \cdots A _ {m} $도 가역행렬이고
$$ \left ( A _ {1} \cdots A _ {m} \right ) ^ {-1} =A _ {m} ^ {-1} \cdots A _ {1} ^ {-1} $$
이다.
(증명) 수학적 귀납법으로 하면 된다.
6. 다음을 증명하시오.
$ n $차 정사각행렬 $ A,~B $에 대하여 $ A ^ {2} =B ^ {2} = \left ( AB \right ) ^ {2} =I $이면 $ AB=BA $이다.
증명) $ A ^ {2} =B ^ {2} = \left ( AB \right ) ^ {2} =I $라 가정하면 $ A,~B,~AB $는 모두 가역행렬이고 $ A ^ {-1} =A $, $ B ^ {-1} =B $, $ \left ( AB \right ) ^ {-1} =AB $
그런데 $ \left ( AB \right ) ^ {-1} =B ^ {-1} A ^ {-1} $가 성립하므로 위의 관계식을 여기에 대입하면
$$AB=BA$$
7. 미지수 $ n $개이고 $ n $개의 식으로 이루어진 연립방정식의 계수 행렬 $ A $가 가역행렬(비특이행렬)이면 연립방정식 $ AX=B $의 해 $ X $는 유일하고 $ X=A ^ {-1} B $이다.
(증명) $ A ^ {-1} $가 존재한다고 가정하자.
1. 유일성을 보이자.
$ AX=B $라 하면 양변에 $ A ^ {-1} $를 곱하면
$ \left ( AX \right ) =B $, $ A ^ {-1} \left ( AX \right ) =A ^ {-1} B $,
$ \left ( A ^ {-1} A \right ) X=A ^ {-1} B $, $ IX=A ^ {-1} B $
$$ \therefore ~ X=A ^ {-1} B $$
2. 존재성을 보이자. $ x=A ^ {-1} B $라 하면
$ AX=A \left ( A ^ {-1} B \right ) = \left ( AA ^ {-1} \right ) B=IB=B $
8. 정사각행렬 $ A $가 가역행렬이면 제차연립방정식(homogeneous system) $ AX=O $은 유일한 자명해(unique trivial solution)를 갖는다. 동치명제로서, 재차연립방정식 $ AX=O $이 비자명해를 갖는다면 행렬 $ A $는 특이행렬이다. 즉 역행렬을 갖지 않는다.
(증명) 행렬 $ A $가 가역행렬이라 하고 $ AX=O $이라 하면
$$ X=A ^ {-1} O=O $$.
9. 행렬 $ A= \left[ \matrix {1 & 2 & 3\\1 & 0 & 1\\3 & 4 & 7} \right] $에 대하여
(1) 위의 명제를 이용하여 행렬 $ A $가 특이행렬임을 보이시오.
(풀이)행렬 $ A $를 reduced row-echelon form으로 만들면
$ A= \left[ \matrix {1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0} \right] $
이므로 결과적으로 $ AX=O $은 비자명해를 갖는다. 예를 들어 $ x=-1,~y=-1,~z=1 $. 따라서 위의 명제에 의해 행렬 $ A $는 특이행렬이다.
(2) 또, 행렬식을 이용하여 행렬 $ A $가 특이행렬임을 보이시오.
(3) 가우스 소거법을 이용하여 행렬 $ A $가 특이행렬임을 보이시오.
정의 기본행연산과 기본행렬
1. 두 행을 교환한다.
$ R _ {i} \Leftrightarrow R _ {j} $ 행렬 : $ E _ {ij} $
2. 한행에 $ 0 $이 아닌 상수를 곱한다.
$ kR _ {i} \rightarrow R _ {i} $ ($ k
eq 0 $) 행렬 $ E _ {i} ( k) $
3. 한 행의 배수를 다른 행에 더한다.
$ R _ {i} +kR _ {j} \rightarrow R _ {i} $ ($ i
eq j $) 행렬 $ E _ {ij} ( k) $
(예) $ n=3 $
$ E _ {23} = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0} \right] $, $ E _ {2} \left ( 2 \right ) = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 1} \right] $, $ E _ {23} \left ( 2 \right ) = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1} \right] $이고 각각의 역행렬은
$ E _ {23} ^ {-1} =E _ {23} $, $ E _ {2} ^ {-1} \left ( 2 \right ) =E _ {2} \left ( \frac {1} {2} \right ) = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & \frac {1} {2} & 0\\0 & 0 & 1} \right] $, $ E _ {23} ^ {-1} \left ( 2 \right ) =E _ {23} \left ( -2 \right ) = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & -2\\0 & 0 & 1} \right] $
이다.
10. 기본행렬은 가역행렬이다. 또,
1. $ E _ {ij} ^ {-1} =E _ {ij} $
2. $ E _ {i} ^ {-1} ( t)=E _ {i} ( t ^ {-1} ) $
3. $ \left ( E _ {ij} ( t) \right ) ^ {-1} =E _ {ij} ( -t) $
증명) 행렬 $ I $를 기본행렬의 곱으로 표현하자.
$ E _ {ij} E _ {ij} =I $
$ E _ {i} \left ( t \right ) E _ {i} \left ( t ^ {-1} \right ) =I=E _ {i} ( t ^ {-1} )E _ {i} ( t) $ ($ t
eq 0 $)
$ E _ {ij} ( t)E _ {ij} ( -t)=I=E _ {ij} ( -t)E _ {ij} ( t) $
11. $ 3 $차 정사각행렬 $ A $가 $ A=E _ {3} ( 5)E _ {23} ( 2)E _ {12} $로 표현될 때, $ A ^ {-1} $을 구하여라.
(증명)
$ A=E _ {3} ( 5)E _ {23} ( 2)E _ {12} =E _ {3} ( 5)E _ {23} ( 2) \left[ \matrix {0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1} \right] =E _ {3} ( 5) \left[ \matrix {0 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1} \right] = \left[ \matrix {0 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\\0 & 0 & 5} \right] $.
$ A ^ {-1} $을 구하자.
$ A ^ {-1} $$ = \left ( E _ {3} ( 5)E _ {23} ( 2)E _ {12} \right ) ^ {-1} $$ =E _ {12} ^ {-1} ( E _ {23} ( 2)) ^ {-1} ( E _ {3} ( 5)) ^ {-1} $$ =E _ {12} E _ {23} ( -2)E _ {3} ( 5 ^ {-1} ) $$ =E _ {12} E _ {23} ( -2) \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & \frac {1} {5} } \right] $$ =E _ {12} \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & – \frac {2} {5} \\0 & 0 & \frac {1} {5} } \right] $$ = \left[ \matrix {0 & 1 & – \frac {2} {5} \\1 & 0 & 0\\0 & 0 & \frac {1} {5} } \right] $
12. $ n $차 정사각행렬 $ A $가 가역행렬이라 하면 다음이 성립한다.
(i) $ A $는 $ I $와 row–-equivalent이다.
(ii) $ A $는 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다.
증명) $ A $가 가역행렬이고 $ B $가 $ A $의 reduced row-echelon 행렬이라면 $ B $는 모두 0인 열이 없다. ($ \because $ 만약 모두 $ 0 $인 열의 존재한다면 $ AX=O $은 non-trivial solution을 갖는다. 따라서 $ A $는 특이행렬이다. 이는 모순이다.) 따라서 $ B=I $
기본행렬 $ E _ {1} ,~ \cdots ,~E _ {r} $가 존재하여 $ E _ {r} ( \cdots ( E _ {1} A) \cdots )=B=I $을 만족한다. 따라서 $ A=E _ {1} ^ {-1} \cdots E _ {r} ^ {-1} $이다. 즉, 기본행렬의 곱으로 표현된다.
13. $ n $차 정사각행렬 $ A $에 대하여 $ A $가 $ I $와 row-equivalent 라고 하자. 그러면 $ A $는 가역행렬이고 $ A ^ {-1} $는 기본행렬로 $ A $를 $ I $로 변형하는 과정을 통해서 구할 수 있다.
증명) $ E _ {r} \cdots E _ {1} A=I _ {} $라 가정하자. 즉 $ B=E _ {r} \cdots E1 $로 놓으면 $ BA=I $로 $ B $는 가역행렬이다.
그러면 $ B ^ {-1} ( BA)=B ^ {-1} I $이므로 $ A=B ^ {-1} $이다. 따라서 $ A $는 가역행렬이다.
또한 $ A ^ {-1} = \left ( B ^ {-1} \right ) ^ {-1} =B=E _ {r} \left ( ( \cdots \left ( E _ {1} I _ {n} \right ) \cdots \right ) $이고 $ A ^ {-1} $은 기본행연산을 통해 $ I _ {n} $으로부터 얻을 수 있다.
14. 행렬 $ A= \left[ \matrix {1 & 2\\1 & 1} \right] $이 가역행렬임을 보이고 $ A ^ {-1} $를 구하고, $ A $를 기본행렬의 곱으로 표현하시오.
sol) $ [A~|~I] $을 확대행렬이라 하자. 즉,
$ [A~|~I] $ $ = \left[ \matrix {1 & 2~:~1 & 0\\1 & 1~:~0 & 1} \right] $
2열을 (2열-1열)로 나타내자.
$ R _ {2} ~ \rightarrow ~R _ {2} -R _ {1} $ $ \left[ \matrix {1 & 2 & ~:~ & 1 & 0\\0 & -1 & ~:~ & -1 & 1} \right] $, $ E _ {21} ( -1)= \left[ \matrix {1 & 0\\-1 & 1} \right] $
$ R _ {2} ~ \rightarrow ~ ( -1)R _ {2} $ $ \left[ \matrix {1 & 2 & ~:~ & 1 & 0\\0 & 1 & ~:~ & 1 & -1} \right] $, $ E _ {2} ( -1)= \left[ \matrix {1 & 0\\0 & -1} \right] $
$ R _ {1} ~ \rightarrow ~R _ {1} -2R _ {2} $ $ \left[ \matrix {1 & 0 & ~:~ & -1 & 2\\0 & 1 & ~:~ & 1 & -1} \right] $, $ E _ {12} ( -1)= \left[ \matrix {1 & -2\\0 & -1} \right] $
따라서 $ A $가 $ I $와 행동치(row-equivalent)이므로 $ A $는 가역행렬이다. 또, $ A ^ {-1} $는
$ A ^ {-1} = \left[ \matrix {-1 & 2\\1 & -1} \right] $
위의 기본행렬로 위를 표현해 보면
$ E _ {12} \left ( -2 \right ) E _ {2} \left ( -1 \right ) E _ {21} \left ( -1 \right ) A=I $
따라서
$ A ^ {-1} =E _ {12} \left ( -2 \right ) E _ {2} \left ( -1 \right ) E _ {21} \left ( -1 \right ) $
$ A=E _ {21} \left ( 1 \right ) E _ {2} \left ( -1 \right ) E _ {12} \left ( 2 \right ) $
15. $ n $차 정사각행렬에 대하여 연립방정식 $ AX=O $은 단지 자명해만을 해를 갖는다고 하자. 그러면 $ A $는 가역행렬이다. 또, 동치적으로 $ A $가 특이행렬이면 연립방정식 $ AX=O $은 비자명해를 갖는다. 즉 $ x=0,~y=0 $이외의 해를 갖는다.
증명) $ n $차 정사각행렬 $ A $에 대해 $ AX=O $이 해가 $ x=0,~y=0 $만 있다고 가정하면, 행렬 $ A $를 reduced echelon form으로 만든 행렬 $ B $는 모두 $ 0 $인 행을 갖지 않는다. 따라서 $ B=I $가 된다. 따라서 $ A $는 가역행렬이다.
16. $ n $차 정사각행렬 $ A,~B $에 대하여 $ AB=I $라 하면 $ BA=I $이다.
(증명) $ n $차 정사각행렬 $ A,~B $가 $ AB=I $을 만족한다고 하자. 먼저 $ B $가 가역행렬임을 보이자.
방정식 $ BX=O $에 대해 양변에 $ A $를 곱하면
$ A \left ( BX \right ) =AO=O $, $ \left ( AB \right ) X=O $, $ IX=O $
$ \therefore $ $ X=O $
따라서 $ X $는 trivial solution을 가지므로 $ B $는 가역행렬이다.
따라서 $ AB=I $에서 $ \left ( AB \right ) B ^ {-1} =IB ^ {-1} =B ^ {-1} $, 즉 $ A=B ^ {-1} $
$ BA=B \left ( B ^ {-1} \right ) =I $이므로 $ BA=I $이다.
정의 전치행렬, 대칭행렬, skew-symmetrix matrix
17. 전치행렬의 성질
1. $ \left ( A ^ {T} \right ) ^ {T} =A $
2. $ \left ( A\pm B \right ) ^ {T} =A ^ {T} \pm B ^ {T} $
3. $ \left ( sA \right ) ^ {T} =sA ^ {T} $ ($ s $는 스칼라)
4. $ \left ( AB \right ) ^ {T} =B ^ {T} A ^ {T} $ ($ A $는 $ m \times n $, $ B $는 $ n \times p $)
5. 가역행렬 $ A $에 대하여 $ A ^ {T} $는 가역행렬이고 $ \left ( A ^ {T} \right ) ^ {-1} = \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {T} $
4번 증명
$ A $는 $ m \times n $, $ B $는 $ n \times p $이므로 $ AB $는 $ m \times p $, $ \therefore $ $ \left ( AB \right ) ^ {T} $는 $ p \times m $
$ A ^ {T} $는 $ n \times m $, $ B ^ {T} $는 $ p \times n $이므로 $ B ^ {T} A ^ {T} $는 $ p \times m $
$ A=[a _ {ij} ] $, $ B=[b _ {jk} ] $에 대하여 $ ( AB) ^ {T} $의 $ k,i $성분은 $ A $의 $ i $행 성분 $ a _ {i1} ,~a _ {i2} ,~ \cdots ,~a _ {\in } $과 행렬 $ B $의 $ k $의 열의 성분 $ b _ {1k} ,~b _ {2k} ,~ \cdots ,~b _ {nk} $의 곱이므로
$ a _ {i1} b _ {1k} +a _ {i2} b _ {2k} + \cdots +a _ {\in } b _ {nk} $ $ \cdots \cdots $①
이다.
또, $ B ^ {T} A ^ {T} $의 $ k,i $성분은 $ B ^ {T} $의 $ k $행과 $ A ^ {T} $의 $ i $열의 곱이다.
$ B ^ {T} $의 $ k $행은 $ B $의 $ k $열과 같으므로 $ b _ {1k} ,~b _ {2k} ,~ \cdots ,~b _ {nk} $이고, $ A ^ {T} $의 $ i $열은 $ A $의 $ i $행이므로 $ a _ {i1} ,~a _ {i2} ,~ \cdots ,~a _ {\in } $이다. 따라서 $ B ^ {T} A ^ {T} $의 $ k,~i $성분은
$ b _ {1k} a _ {i1} +b _ {2k} a _ {i2} + \cdots +b _ {nk} a _ {\in } $ $ \cdots \cdots $②
①, ②는 서로 같고, 여기서 $ k,~i $는 각각 $ 1 \leq k \leq p,~1 \leq i \leq m $으므로
$ \left ( AB \right ) ^ {T} =B ^ {T} A ^ {T} $
5 증명
가역행렬 $ A $에 대하여 $ A $의 역행렬을 $ A ^ {-1} $라 하자.
$ AA ^ {-1} =A ^ {-1} A=I $, $ \left ( AA ^ {-1} \right ) ^ {T} =I ^ {T} =I $, $ \left ( A ^ {-1} A \right ) ^ {T} =I ^ {T} =I $
4의 성질에 의해
$ ( A ^ {-1} ) ^ {T} A ^ {T} =I $, $ A ^ {T} ( A ^ {-1} ) ^ {T} =I $
따라서 $ A ^ {T} $는 가역행렬이다. 또, $ ( A ^ {T} ) ^ {-1} = \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {T} $
18. 다음을 증명하시오.
(1) skew-sysmmetric $ n $차 정사각행렬 $ B $에 대하여 $ A=I-B $는 가역행렬(non-singular)임을 보여라.
(증명) $ B ^ {T} =-B $인 행렬 $ B $에 대하 $ A=I-B $이다. $ AX=O $이면 $ X=O $임을 보이면 충분하다.
$ AX=O $이라 가정하면
$ AX= ( I-B)X=O $, $ X=BX $,
$ X ^ {T} X=X ^ {T} BX $ $ \cdots \cdots $①
양변을 전치행렬을 취하면
$ ( X ^ {T} X) ^ {T} = ( X ^ {T} BX) ^ {T} $
$ X ^ {T} \left ( X ^ {T} \right ) ^ {T} =X ^ {T} B ^ {T} \left ( X ^ {T} \right ) ^ {T} $
$ X ^ {T} X=X ^ {T} ( -B)X $ $ \cdots \cdots $②
①, ②에서
$ X ^ {T} BX=-X ^ {T} BX $
$ \therefore $$ X ^ {T} BX=X ^ {T} X=O $
여기서 위의 방정식의 해 $ X $를 $ X= \left [ x _ {1} ~ ~x _ {2} ~ ~ \cdots ~ ~x _ {n} \right ] ^ {T} $라 두면
$ X ^ {T} X=x _ {1} ^ {2} +x _ {2} ^ {2} + \cdots +x _ {n} ^ {2} =0 $
$ \therefore $ $ x _ {1} =x _ {2} = \cdots =x _ {n} =0 $
연립방정식 $ AX=O $의 해가 자명해만을 가지므로 $ A $는 가역행렬이다.
(2) 성분이 실수인 행렬 $ A $가 다음과 같을 때, 행렬 $ A $가 $ I _ {3} $과 행동치(row-equvalent)임을 이용하여 가역행렬임을 보여라. 또, (1)의 성질을 이용하여 보이시오.
$ A= \left[ \matrix {1 & a & b\\-a & 1 & c\\-b & -c & 1} \right] $
19. 행렬 $ A= \left[ \matrix {1 & 4\\-3 & 1} \right] $이라 할 때 행렬 $ A $가 가역행렬임을 증명하고 $ A ^ {-1} $을 구하시오. 또, 행렬 $ A $를 기본행렬의 곱으로 표현하시오.
답) $ A ^ {-1} = \frac {1} {13} \left[ \matrix {1 & -4\\3 & 1} \right] $
$ A=E _ {21} ( -3)E _ {2} ( 13)E _ {12} ( 4) $
20. 대각행렬을 다음과 같이 정의하자.
다음 조건을 만족하는 $ n $차 정사각행렬 $ D=[d _ {ij} ] $을 대각행렬이라 한다.
$ i
eq j $일 때, $ d _ {ij} =0 $
대각행렬의 $ d _ {ii} $ ($ i=1,2, \cdots ,n $)의 성분을 $ a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} $라 할 때, $ diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} ) $을 대각행렬을 표시한다.
다음을 보여라.
(1) $ diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} )diag ( b _ {1} ,~b _ {2} ,~ \cdots ,~b _ {n} )=diag ( a _ {1} b _ {1} ,~a _ {2} b _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} b _ {n} ) $
(2) $ a _ {1} a _ {2} \cdots a _ {n}
eq 0 $라 하면 $ diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} ) $의 가역행렬이고
$ ( diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} )) ^ {-1} =diag \left ( a _ {1} ^ {-1} ,~a _ {2} ^ {-1} ,~ \cdots ,~a _ {n} ^ {-1} \right ) $
(3) 대각행렬 $ diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} ) $에 대하여 $ a _ {i} =0 $인 $ i $ ($ 0 \leq i \leq n $)가 존재한다면 $ diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} ) $는 특이행렬(singular)이다.
21. 행렬 $ A= \left[ \matrix {0 & 0 & 2\\1 & 2 & 6\\3 & 7 & 9} \right] $이라 할 때 행렬 $ A $가 가역행렬임을 증명하고 $ A ^ {-1} $을 구하시오. 또, 행렬 $ A $를 기본행렬의 곱으로 표현하시오.
답)
$ A ^ {-1} = \left[ \matrix {-12 & 7 & -2\\ \frac {9} {2} & -3 & 1\\ \frac {1} {2} & 0 & 0} \right] $
$ A=E _ {12} E _ {31} ( 3)E _ {23} E _ {3} ( 2)E _ {12} ( 2)E _ {13} ( 24)E _ {23} ( -9) $
22. 행렬 $ A= \left[ \matrix {1 & 2 & k\\3 & -1 & 1\\5 & 3 & -5} \right] $가 특이행렬이 되게 하는 유리수 $ k $의 값을 구하시오.
답) $ k=-3 $
23. 행렬 $ A= \left[ \matrix {1 & 2\\-2 & -4} \right] $가 특이행렬임을 보이고 가역행렬 $ P $에 대하여 행렬 $ PA $가 모두 $ 0 $인 행이 존재하도록 하는 행렬 $ P $를 구하여라.
답) $ E _ {21} ( 2) $
24. 다음을 보이시오.
(i) $ B ^ {3} =O $을 만족하는 $ n $차 정사각행렬 $ B $에 대하여
$ A=I _ {n} -B $이면 $ A $는 가역행렬이고 $ A ^ {-1} =I _ {n} +B+B ^ {2} $이다. 여기서 $ I _ {n} $은 $ n $차 단위행렬이다.
또, 연립방정식 $ AX=b $의 해는 다음과 같음을 보여라. 여기서 $ b=[b _ {1} ~b _ {2} ~ \cdots b _ {n} ] ^ {T} $인 행렬이다.
$ X=b+Bb+B ^ {2} b $
*힌트 $ x ^ {3} =1 $의 허근 $ \omega $를 생각해보자.
(ii) 행렬 $ B= \left[ \matrix {0 & r & s\\0 & 0 & t\\0 & 0 & 0} \right] $에 대하여
a. $ B ^ {3} =O $
b. (i)을 이용하여 $ ( I _ {3} -B) ^ {-1} $을 구하여라.
b의 답 $ \left[ \matrix {1 & r & s+rt\\0 & 1 & t\\0 & 0 & 1} \right] $
25. $ n $차 정사각행렬 $ A $에 대하여 다음을 증명하시오.
(i) $ A ^ {2} =O $이면 $ A $는 특이행렬이다.
(ii) $ A ^ {2} =A $이고 $ A
eq I $이면 $ A $는 특이행렬이다.
(증명) 둘 다 귀류법으로 보이면 된다. 즉 $ A $가 가역행렬이라 가정하면 (1)은 $ A=O $이므로 $ A $는 특이행렬이므로 모순, (ii) $ A=I $가 되어 모순이다.
26. $ 4 $차 정사각행렬 $ A $가 다음과 같이 기본행렬의 곱으로 표현될 때, 행렬 $ A $와 그 역행렬 $ A ^ {-1} $를 구하시오.
$ A=E _ {3} ( 2)E _ {14} E _ {42} ( 3) $
정답 $ A= \left[ \matrix {0 & 3 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 2 & 1\\1 & 0 & 0 & 0} \right] $ $ A ^ {-1} = \left[ \matrix {0 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1/2 & 1\\1 & -3 & 0 & 0} \right] $
27. 자연수 $ m $에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라.
$ ( P ^ {-1} AP) ^ {n} =P ^ {-1} A ^ {n} P $
힌트) 수학적 귀납법으로 보여라.
28. $ m \times n $행렬 $ A $와 $ n \times m $행렬 $ B $에 대하여 $ m>n $이면 $ AB $가 특이행렬임을 보이시오.
(증명) 행렬 $ B $가 $ n \times m $행렬이고 $ m>n $이므로 다음 방정식의 해는 비자명해를 갖는다. 즉 미미지수의 개수보다 식의 개수가 더 적기 때문이다.
$ BX=O $ $ X=[x _ {1} ~x _ {2} ~ \cdots ~x _ {m} ] ^ {T} $ (어떤 $ i $ ($ 1 \leq i \leq m $)에 대하여 $ x _ {i}
eq 0 $)
위의 식의 양변이 $ A $를 곱하면
$ ABX=AO=O $,
즉 $ ( AB)X=O $에서 $ AB $는 $ m $차 정사각행렬이고 방정식 $ ( AB)X=O $가 비자명해를 가지므로 $ AB $는 특이행렬(singular matrix)이다.
29. $ n $차 정사각행렬 $ A,~B $에 대하여 다음을 증명하시오.
$ A,~B $ 중 적어도 하나가 특이행렬(비가역행렬)이면 $ AB $도 특이행렬이다.
(증명) ① 행렬식의 성질을 이용하자.
귀류법으로 증명하자.
먼저 결론을 부정하여 $ AB $가 가역행렬이라 가정하면
$ det ( AB)=det ( A)det ( B)
eq 0 $
$ \therefore $ $ det ( A)
eq 0 $ 이고 $ det ( B)
eq 0 $
따라서 $ A,~B $ 모두 가역행렬이다. (모순)
② $ AB $가 가역행렬이므로 기본행렬 $ E _ {1} ,~ \cdots ,~E _ {s} $가 존재하여 다음을 만족한다.
$ ( E _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} )AB=I $
$ ( E _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} A)B=I $
에서 $ B $가 가역행렬이고 $ B ^ {-1} = ( E _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} A) $이다.
또, $ B $가 가역행렬이므로
$ B ( E _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} A)=I $,
$ ( BE _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} )A=I $
에서 $ B $가 가역행렬이고 기본행렬 $ E _ {1} ,~ \cdots ,~E _ {s} $ 모두 가역행렬이므로 $ A $도 가역행렬이다.
30. 다음 (a), (b)에서 좌표공간 $ R ^ {3} $에서 일차독립인지 일차종속인지 말하고 그 이유를 설명하시오.
(a) $ ( -3,~0,~4),~ ( 5,~-1,~2),~ ( 1,~1,~3) $
(b) $ ( -2,~0,~1),~ ( 3,~2,~5),~ ( 6,~-1,~1),~ ( 7,~0,~-2) $
(a) 실수 $ x,~y,~z $에 대하여 다음 방정식을 생각해 보자.
$ x \left[ \matrix {-3\\0\\4} \right] +y \left[ \matrix {5\\-1\\2} \right] +z \left[ \matrix {1\\1\\3} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right] $
$ \left[ \matrix {-3 & 5 & 1\\0 & -1 & 1\\4 & 2 & 3} \right] \left[ \matrix {x\\y\\z} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right] $
$ det ( \left[ \matrix {-3 & 5 & 1\\0 & -1 & 1\\4 & 2 & 3} \right] )
eq 0 $이므로 해가 $ x=0,~y=0,~z=0 $ 밖에 존재하지 않으므로 세 벡터는 일차독립이다.
(b) 실수 $ x,~y,~z,~w $에 대하여 다음 방정식을 생각해 보자.
$ x \left[ \matrix {-2\\0\\1} \right] +y \left[ \matrix {3\\2\\5} \right] +y \left[ \matrix {6\\-1\\1} \right] +w \left[ \matrix {7\\0\\-2} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right] $
$ \left[ \matrix {-3 & 5 & 1 & 7\\0 & -1 & 1 & 0\\4 & 2 & 3 & -2} \right] \left[ \matrix {x\\y\\z\\w} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right] $
미지수의 개수보다 식의 개수가 더 적으므로 0이 아닌 실수 $ x,~y,~z,~w $가 적어도 하나 있으므로 일차종속이다.
31. 이차이하의 다항식의 집합 $ P _ {2} $에서 아래의 (a), (b)가 각각 일차독립인지 일차종속인지 결정하시오.
(a) $ 2-x+4x ^ {2} $, $ 3+6x+2x ^ {2} $, $ 2+10x-4x ^ {2} $
(b) $ 1+3x+3x ^ {2} $, $ x+4x ^ {2} $, $ 5+6x+3x ^ {2} $, $ 7+2x-x ^ {2} $
(a) 실수 $ p,~q,~r $에 대하여 다음 방정식을 생각해보면
$ p ( 2-x+4x ^ {2} )+q ( 3+6x+2x ^ {2} )+r ( 2+10x-4x ^ {2} )=0 $
위의 방정식이 임의의 실수 $ x $에 대하여 성립하려면
$ 2p+3q+2=0 $
$ -p+6q+10r=0 $
$ 4p+2q-4r=0 $
위의 방정식을 행렬로 나타내면
$ \left[ \matrix {2 & 3 & 2\\-1 & 6 & 10\\4 & 2 & -4} \right] \left[ \matrix {p\\q\\r} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right] $
위의 행렬의 행렬식은 $ -32 $이므로 위의 방정식은 $ p=q=r=0 $밖에 해를 갖지 않는다. 따라서 일차독립이다.
(b) 일차종속이다. 미지수의 개수보다 식이 개수가 더 적어서 비자명해를 갖기 때문이다.
32. $ T _ {A} :R ^ {2} \rightarrow R ^ {2} $인 일차변환을 생각하자. 또, $ \overrightarrow {u _ {1} } = ( 1,~2) $, $ \overrightarrow {u _ {2} } = ( -1,~1) $라 할 때, 다음 집합 $ \left\{ T _ {A} ( \overrightarrow {u _ {1} } ),~T _ {A} ( \overrightarrow {u _ {2} } ) \right\} $가 $ R ^ {2} $에서 일차독립인지 일차종속인지 판별하여라.
(a) $ A= \left[ \matrix {1 & -1\\0 & 2} \right] $ (b) $ A= \left[ \matrix {1 & -1\\-2 & 2} \right] $
(중요)(b) 일차독립인 $u_1 ,~u_2 $와 역변환이 존재하는 일차변환 $T_{A}$에 대하여 $ \left\{ T _ {A} ( \overrightarrow {u _ {1} } ),~T _ {A} ( \overrightarrow {u _ {2} } ) \right\} $이 일차독립임을 증명하여라.
33. 필요하다면 알고 있는 적당한 항등식을 이용하여 아래의 벡터의 집합이 일차독립인지 판별사하시오.
(a) $ 6,~3\sin ^ {2} x,~3\cos ^ {2} x $ (b) $ x,~\cos x $
(c) $ 1,~\sin x,~\sin 2x $ (d) $ \cos 2x,~\sin ^ {2} x,~\cos ^ {2} x $
(e) $ \left ( 3-x \right ) ^ {2} ,~x ^ {2} -6x,~5 $
(답) (a) 일차종속($ \left ( -1 \right ) \times 6+2 \left ( 3\cos ^ {2} x \right ) +2 \left ( 3\sin ^ {2} x \right ) =0 $)
(b) 일차독립 (임의의 실수 $ x $에 대하여 $ tx+s\cos x=0 $을 만족하는 해는 $ t=s=0 $밖에 없어서)
(c) 일차독립 임의의 실수 $ x $에 대하여
$ a \times 1+b\sin x+c\sin 2x=0 $
을 만족하는 해 $ \left ( a,~b,~c \right ) $는 $ a=b=c=0 $밖에 없어서
(d) 일차종속
$ \cos 2x-\cos ^ {2} x-\sin ^ {2} x=0 $는 모든 실수 $ x $에 대해 성립하므로
(e) 일차종속
$ – ( 3-x) ^ {2} + ( x ^ {2} -6x)+ \frac {9} {5} \times 5=0 $
34. $ \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} \right\} $가 일차독립인 집합이라면 다음 집합들도 일차독립인 집합임을 증명하여라.
$ \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} \right\} $, $ \left\{ v _ {2} ,~v _ {3} \right\} $, $ \left\{ v _ {3} ,~v _ {1} \right\} $, $ \left\{ v _ {1} \right\} $, $ \left\{ v _ {2} \right\} $, $ \left\{ v _ {3} \right\} $
(증명) $ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} $가 일차독립이므로 실수 $ p,~q,~r $에 대하여 다음 방정식의 해는 $ p=q=r=0 $이다.
$ pv _ {1} +qv _ {2} +rv _ {3} =0 $
따라서 $ 0v _ {1} +qv _ {2} +rv _ {3} =0 $의 해 역시 $ q=r=0 $이므로 $ v _ {2} ,~v _ {3} $는 일차독립이다. 나머지도 마찬가지로 하면 된다.
이를 일반화하면 일차독립인 집합 $ S= \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~ \cdots ,~v _ {r} \right\} $의 공집합이 아닌 임의의 부분집합도 일차독립이다.
35. 벡터 공간 $ V $에서 일차종속인 집합 $ S= \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} \right\} $에 대하여 $ S $의 원소가 아닌 벡터공간 $ V $의 임의의 원소 $ v _ {4} $를 생각하자. 집합 $ \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} ,~v _ {4} \right\} $는 일차종속임을 보여라.
(증명) 집합 $ S= \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} \right\} $가 일차종속이므로 다음 방정식이 비자명해를 갖는다.
$ xv _ {1} +yv _ {2} +zv _ {3} =0 $
한편 방정식 $ xv _ {1} +yv _ {2} +zv _ {3} +wv _ {4} =0 $의 해는 위에서 구한 비자명해와 $ w=0 $이 될 수 있으므로 집합 $ \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} ,~v _ {4} \right\} $는 일차종속이다.
반응형
키워드에 대한 정보 수학 증명 모음
다음은 Bing에서 수학 증명 모음 주제에 대한 검색 결과입니다. 필요한 경우 더 읽을 수 있습니다.
이 기사는 인터넷의 다양한 출처에서 편집되었습니다. 이 기사가 유용했기를 바랍니다. 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오. 매우 감사합니다!
사람들이 주제에 대해 자주 검색하는 키워드 🐶 0=1 증명 (오류를 찾아보세요)
- 수학
- 0=1 증명
- 오류를 찾아보세요
🐶 #0=1 #증명 #(오류를 #찾아보세요)
YouTube에서 수학 증명 모음 주제의 다른 동영상 보기
주제에 대한 기사를 시청해 주셔서 감사합니다 🐶 0=1 증명 (오류를 찾아보세요) | 수학 증명 모음, 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오, 매우 감사합니다.
